線性代數(shù)講義第三章

線性代數(shù)講義第三章第1頁，共95頁，2023年，2月20日，星期六第一節(jié)n維向量的定義一、n維向量的概念二、n維向量的表示方法三、向量空間第2頁，共95頁，2023年，2月20日，星期六定義1分量全為復數(shù)的向量稱為復向量.分量全為實數(shù)的向量稱為實向量，一、維向量的概念第3頁，共95頁，2023年，2月20日，星期六例如n維實向量n維復向量第1個分量第n個分量第2個分量第4頁，共95頁，2023年，2月20日，星期六二、維向量的表示方法

維向量寫成一行，稱為行向量，也就是行矩陣，通常用等表示，如：

維向量寫成一列，稱為列向量，也就是列矩陣，通常用等表示，如：第5頁，共95頁，2023年，2月20日，星期六注意

１．行向量和列向量總被看作是兩個不同的向量；

２．行向量和列向量都按照矩陣的運算法則進行運算；

３．當沒有明確說明是行向量還是列向量時，都當作列向量；第6頁，共95頁，2023年，2月20日，星期六叫做維向量空間．時，維向量沒有直觀的幾何形象．三、向量空間第7頁，共95頁，2023年，2月20日，星期六第二節(jié)向量組的線性相關(guān)性一、向量、向量組與矩陣二、線性相關(guān)性的概念三、線性相關(guān)性的判定第8頁，共95頁，2023年，2月20日，星期六

若干個同維數(shù)的列向量（或同維數(shù)的行向量）所組成的集合叫做向量組．例如一、向量、向量組與矩陣第9頁，共95頁，2023年，2月20日，星期六向量組,,…，稱為矩陣A的行向量組．第10頁，共95頁，2023年，2月20日，星期六

反之，由有限個向量所組成的向量組可以構(gòu)成一個矩陣.第11頁，共95頁，2023年，2月20日，星期六第12頁，共95頁，2023年，2月20日，星期六線性方程組的向量表示方程組與增廣矩陣的列向量組之間一一對應．第13頁，共95頁，2023年，2月20日，星期六定義１線性組合二、線性相關(guān)性的概念第14頁，共95頁，2023年，2月20日，星期六

向量能由向量組線性表示．第15頁，共95頁，2023年，2月20日，星期六定義２向量組能由向量組線性表示向量組等價．注：等價的向量組具有性質(zhì)：（1）反身性：一個向量組與其自身等價；（2）對稱性：（3）傳遞性：第16頁，共95頁，2023年，2月20日，星期六注意定義３則稱向量組是線性相關(guān)的，否則稱它線性無關(guān)．第17頁，共95頁，2023年，2月20日，星期六第18頁，共95頁，2023年，2月20日，星期六定理向量組（當時）線性相關(guān)的充分必要條件是中至少有一個向量可由其余個向量線性表示．證明充分性

設(shè)中有一個向量（比如）能由其余向量線性表示.即有三、線性相關(guān)性的判定第19頁，共95頁，2023年，2月20日，星期六故因這個數(shù)不全為0，故線性相關(guān).必要性設(shè)線性相關(guān)，則有不全為0的數(shù)使第20頁，共95頁，2023年，2月20日，星期六因中至少有一個不為0，不妨設(shè)則有即能由其余向量線性表示.證畢.第21頁，共95頁，2023年，2月20日，星期六線性相關(guān)性在線性方程組中的應用結(jié)論第22頁，共95頁，2023年，2月20日，星期六定理2下面舉例說明定理的應用.證明（略）第23頁，共95頁，2023年，2月20日，星期六解例１第24頁，共95頁，2023年，2月20日，星期六解例２分析第25頁，共95頁，2023年，2月20日，星期六第26頁，共95頁，2023年，2月20日，星期六證第27頁，共95頁，2023年，2月20日，星期六第28頁，共95頁，2023年，2月20日，星期六注意：第29頁，共95頁，2023年，2月20日，星期六第30頁，共95頁，2023年，2月20日，星期六第三節(jié)向量組的極大線性無關(guān)組一、最大線性無關(guān)向量組二、矩陣與向量組秩的關(guān)系第31頁，共95頁，2023年，2月20日，星期六定義１一、最大線性無關(guān)向量組第32頁，共95頁，2023年，2月20日，星期六注：第33頁，共95頁，2023年，2月20日，星期六定理2二、矩陣與向量組秩的關(guān)系定理１推論：第34頁，共95頁，2023年，2月20日，星期六第35頁，共95頁，2023年，2月20日，星期六第36頁，共95頁，2023年，2月20日，星期六第37頁，共95頁，2023年，2月20日，星期六事實上第38頁，共95頁，2023年，2月20日，星期六練習：第39頁，共95頁，2023年，2月20日，星期六第四節(jié)向量空間一、向量空間的概念二、子空間三、向量空間的基與維數(shù)四、空間向量的坐標五、基變換與坐標變換(不做要求)第40頁，共95頁，2023年，2月20日，星期六說明2．維向量的集合是一個向量空間,記作.一、向量空間的概念定義1設(shè)為維向量的集合，如果集合非空，且集合對于加法及乘數(shù)兩種運算封閉，那么就稱集合為向量空間．1．集合對于加法及乘數(shù)兩種運算封閉指第41頁，共95頁，2023年，2月20日，星期六第42頁，共95頁，2023年，2月20日，星期六例2判別下列集合是否為向量空間.解第43頁，共95頁，2023年，2月20日，星期六例3判別下列集合是否為向量空間.解第44頁，共95頁，2023年，2月20日，星期六定義2

設(shè)有向量空間及，若向量空間，就說是的子空間．實例二、子空間設(shè)是由維向量所組成的向量空間，一般地，為第45頁，共95頁，2023年，2月20日，星期六那末，向量組就稱為向量的一個基，稱為向量空間的維數(shù)，并稱為

維向量空間．三、向量空間的基與維數(shù)定義3

設(shè)是向量空間，如果個向量，且滿足第46頁，共95頁，2023年，2月20日，星期六

（1）只含有零向量的向量空間稱為0維向量空間，因此它沒有基．說明

（3）若向量組是向量空間的一個基，則可表示為

（2）若把向量空間看作向量組，那末的基就是向量組的最大無關(guān)組,的維數(shù)就是向量組的秩.第47頁，共95頁，2023年，2月20日，星期六四、空間向量的坐標定義4第48頁，共95頁，2023年，2月20日，星期六第49頁，共95頁，2023年，2月20日，星期六第50頁，共95頁，2023年，2月20日，星期六第51頁，共95頁，2023年，2月20日，星期六第52頁，共95頁，2023年，2月20日，星期六第53頁，共95頁，2023年，2月20日，星期六第54頁，共95頁，2023年，2月20日，星期六第55頁，共95頁，2023年，2月20日，星期六五、基變換與坐標變換(不做要求)那么，同一個向量在不同的基下的坐標有什么關(guān)系呢？換句話說，隨著基的改變，向量的坐標如何改變呢？

問題：在維線性空間中，任意個線性無關(guān)的向量都可以作為的一組基．對于不同的基，同一個向量的坐標是不同的．第56頁，共95頁，2023年，2月20日，星期六稱此公式為基變換公式．第57頁，共95頁，2023年，2月20日，星期六由于第58頁，共95頁，2023年，2月20日，星期六基變換公式矩陣稱為由基到基的過渡矩陣．過渡矩陣是可逆的．第59頁，共95頁，2023年，2月20日，星期六若兩個基滿足關(guān)系式二、坐標變換公式第60頁，共95頁，2023年，2月20日，星期六則有坐標變換公式或第61頁，共95頁，2023年，2月20日，星期六證明第62頁，共95頁，2023年，2月20日，星期六第63頁，共95頁，2023年，2月20日，星期六第64頁，共95頁，2023年，2月20日，星期六第65頁，共95頁，2023年，2月20日，星期六第66頁，共95頁，2023年，2月20日，星期六第67頁，共95頁，2023年，2月20日，星期六第五節(jié)歐氏空間(不做要求)一、內(nèi)積的定義及性質(zhì)二、向量的長度及性質(zhì)三、正交向量組的概念及求法四、正交矩陣與正交變換第68頁，共95頁，2023年，2月20日，星期六定義1內(nèi)積一、內(nèi)積的定義及性質(zhì)第69頁，共95頁，2023年，2月20日，星期六說明1維向量的內(nèi)積是3維向量數(shù)量積的推廣，但是沒有3維向量直觀的幾何意義．第70頁，共95頁，2023年，2月20日，星期六內(nèi)積的運算性質(zhì)第71頁，共95頁，2023年，2月20日，星期六定義2令長度范數(shù)向量的長度具有下述性質(zhì)：二、向量的長度及性質(zhì)第72頁，共95頁，2023年，2月20日，星期六解單位向量夾角第73頁，共95頁，2023年，2月20日，星期六１正交的概念２正交向量組的概念正交若一非零向量組中的向量兩兩正交，則稱該向量組為正交向量組．三、正交向量組的概念及求法第74頁，共95頁，2023年，2月20日，星期六證明３正交向量組的性質(zhì)第75頁，共95頁，2023年，2月20日，星期六例1

已知三維向量空間中兩個向量正交，試求使構(gòu)成三維空間的一個正交基.４向量空間的正交基第76頁，共95頁，2023年，2月20日，星期六即解之得由上可知構(gòu)成三維空間的一個正交基.則有解第77頁，共95頁，2023年，2月20日，星期六５規(guī)范正交基例如第78頁，共95頁，2023年，2月20日，星期六第79頁，共95頁，2023年，2月20日，星期六同理可知第80頁，共95頁，2023年，2月20日，星期六（1）正交化，取，６求規(guī)范正交基的方法第81頁，共95頁，2023年，2月20日，星期六（2）單位化，取第82頁，共95頁，2023年，2月20日，星期六例２

用施密特正交化方法，將向量組正交規(guī)范化.解

先正交化，取施密特正交化過程第83頁，共95頁，2023年，2月20日，星期六再單位化，得規(guī)范正交向量組如下第84頁，共95頁，2023年，2月20日，星期六例３解第85頁，共95頁，2023年，2月20日，星期六再把它們單位化，取第86頁，共95頁，2023年，2月20日，星期六例４解第87頁，共95頁，2023年，2月20日，星期六把基礎(chǔ)解系正交化，即合所求．亦即取第88頁，共95頁，2023年，2月20日，星期六證明定義4定理四、正交矩陣與正交變換

為正交矩陣的充要條件是的列向量都是單位向量且兩兩正交．第89頁，共95頁，2023年，2月20日，星期六第90頁，共95頁，2023年，2月20日，星期六性質(zhì)

正交變換保持向量的長度不變．證明例５

判別下列矩陣是否為正交陣．定義5

若為正