2022-2023學(xué)年廣東省七校聯(lián)合體高二年級(jí)下冊(cè)學(xué)期3月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題【含答案】

2022-2023學(xué)年廣東省七校聯(lián)合體高二下學(xué)期3月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知復(fù)數(shù)z與都是純虛數(shù)，則z的共軛復(fù)數(shù)為（

）A．2 B． C． D．【答案】D【分析】先仔細(xì)審題，抓住題目中的關(guān)鍵信息之后再動(dòng)手，純虛數(shù)的特征就是實(shí)部為0，虛部不為0的虛數(shù)，可用復(fù)數(shù)的代數(shù)形式解.【詳解】設(shè)則為純虛數(shù)，則有：，解得：，故，則.故選：D.2．集合，，則為A． B． C． D．【答案】B【解析】計(jì)算得到，，再計(jì)算得到答案.【詳解】，，故.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查了集合的交集運(yùn)算，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.3．函數(shù)的圖象大致為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】本題首先根據(jù)判斷函數(shù)的奇偶性排除,再根據(jù),對(duì)應(yīng),排除,進(jìn)而選出正確答案.【詳解】由函數(shù)，可得，故函數(shù)的定義域?yàn)?，又，所以是偶函?shù)，其圖象關(guān)于軸對(duì)稱，因此錯(cuò)誤；當(dāng)0時(shí)，，所以錯(cuò)誤．故選:4．如圖，在三棱柱中，E，F(xiàn)分別是BC，的中點(diǎn)，，則（

）A．B．C．D．【答案】D【分析】根據(jù)空間向量線性運(yùn)算的幾何意義進(jìn)行求解即可.【詳解】，故選：D．5．已知函數(shù)，若在上的值域是，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用換元法將在上的值域?yàn)檗D(zhuǎn)化為在上的值域?yàn)椋缓蠼Y(jié)合余弦函數(shù)的單調(diào)性列不等式求解即可.【詳解】，令，則，，因?yàn)?，，的值域?yàn)?，所以，解?故選：B.6．設(shè)，，，則的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由題,分別為函數(shù),,上的點(diǎn)的縱坐標(biāo),利用函數(shù)單調(diào)性與特殊值0,1比較,進(jìn)而比較的大小關(guān)系【詳解】由題,因?yàn)閱握{(diào)遞減,則；因?yàn)閱握{(diào)遞減,則；因?yàn)閱握{(diào)遞增,則,所以,故選：A【點(diǎn)睛】本題考查利用函數(shù)單調(diào)性比較大小,掌握指數(shù)函數(shù),對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)是解題關(guān)鍵7．在圓中，過(guò)點(diǎn)的最長(zhǎng)弦和最短弦分別為和，則四邊形的面積為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】將圓的方程配成標(biāo)準(zhǔn)式，即可得到圓心坐標(biāo)與半徑，從而求出最短、最長(zhǎng)弦，即可得解；【詳解】解：圓，即，圓心為，半徑，又，所以過(guò)點(diǎn)的最長(zhǎng)弦，最短弦，且最短弦與最長(zhǎng)弦互相垂直，所以；故選：B8．設(shè)雙曲線的左?右焦點(diǎn)分別為，過(guò)點(diǎn)作斜率為的直線與雙曲線的左?右兩支分別交于兩點(diǎn)，且，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．2【答案】A【分析】結(jié)合向量運(yùn)算、雙曲線的定義建立等量關(guān)系式，利用直線的斜率列方程，化簡(jiǎn)求得雙曲線的離心率.【詳解】如圖，設(shè)為的中點(diǎn)，連接.易知，所以，所以.因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以.設(shè)，因?yàn)椋?因?yàn)?，所?所以.因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，，所以.在Rt中，；在Rt中，.所以，解得.所以.因?yàn)橹本€的斜率為，所以，所以，，所以離心率為.故選：A【點(diǎn)睛】求雙曲線離心率的方法有：（1）直接法：利用已知條件將求出，從而求得離心率；（2）方程法：利用已知條件列出關(guān)于或的方程，化簡(jiǎn)求得離心率.二、多選題9．若，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】AC【分析】根據(jù)基本不等式或不等式的性質(zhì)可判斷AC的正誤，根據(jù)反例可判斷BD的錯(cuò)誤.【詳解】因?yàn)椋?，故，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.故A成立.因?yàn)椋?，故C成立.若，則，故不成立，故B錯(cuò)誤.取，則，故D錯(cuò)誤.故選：AC.10．下列說(shuō)法正確的是（

）A．已知向量，，若∥，則B．若向量，共線，則C．已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，若點(diǎn)M滿足，則D．若O是的外心，，，則的值為【答案】CD【分析】對(duì)于A，由兩向量平行的坐標(biāo)運(yùn)算計(jì)算即可；對(duì)于B，分向量，同向和向量，反向計(jì)算，即可判斷；對(duì)于C，由題意可得為的三等分點(diǎn)中靠近的點(diǎn)，于是可得,再由向量的四則運(yùn)算法則及數(shù)量積運(yùn)算計(jì)算即可；對(duì)于D，由題可得,(為的外接圓半徑)，進(jìn)而可得，即有，即可判斷.【詳解】解：對(duì)于A，因?yàn)椋?，∥，所以，解得，故錯(cuò)誤；對(duì)于B，因?yàn)橄蛄浚簿€，當(dāng)向量，同向時(shí)，則有；當(dāng)向量，反向時(shí)，則有，故錯(cuò)誤；對(duì)于C，因?yàn)?，所以為的三等分點(diǎn)中靠近的點(diǎn)，所以,,所以,故正確；對(duì)于D，因?yàn)镺是的外心，所以(為的外接圓半徑),又因?yàn)?所以,即,①同理可得,②由①-②可得：，即有，故正確.故選：CD.11．已知點(diǎn)F為橢圓C：，的左焦點(diǎn)，過(guò)原點(diǎn)O的直線l交橢圓于P，Q兩點(diǎn)，點(diǎn)M是橢圓上異于P，Q的一點(diǎn)，直線MP，MQ的斜率分別為，，橢圓的離心率為e，若，，則（

）A． B． C． D．【答案】BD【分析】設(shè)出右焦點(diǎn)，根據(jù)橢圓定義結(jié)合對(duì)稱性以及余弦定理得到關(guān)系，則離心率可求，設(shè)出坐標(biāo)，利用點(diǎn)差法可求得的表示，結(jié)合關(guān)系可求解出的值.【詳解】連接，根據(jù)橢圓對(duì)稱性可知四邊形為平行四邊形，則，且由，可得,所以,則.由余弦定理可得，化簡(jiǎn)得，故，所以（負(fù)舍）設(shè)，則，所以，又，相減可得．因?yàn)?，所以，，所?故選：BD.【點(diǎn)睛】解答本題的關(guān)鍵在于合理運(yùn)用焦點(diǎn)三角形的知識(shí)以及點(diǎn)差法設(shè)而不求的思想去計(jì)算；橢圓是一個(gè)對(duì)稱圖形，任何過(guò)原點(diǎn)的直線(不與焦點(diǎn)所在軸重合)與橢圓相交于兩點(diǎn)，這兩點(diǎn)與橢圓的焦點(diǎn)構(gòu)成的四邊形為平行四邊形.12．如圖，若正方體的棱長(zhǎng)為1，點(diǎn)M是正方體的側(cè)面上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（含邊界），P是棱的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．沿正方體的表面從點(diǎn)A到點(diǎn)P的最短路程為B．若保持，則點(diǎn)M在側(cè)面內(nèi)運(yùn)動(dòng)路徑的長(zhǎng)度為C．三棱錐的體積最大值為D．若點(diǎn)M在上運(yùn)動(dòng)，則到直線PM的距離的最小值為【答案】ABC【分析】A選項(xiàng)，把兩個(gè)平面展開(kāi)到同一平面內(nèi)，利用兩點(diǎn)之間，線段最短進(jìn)行求解，注意展開(kāi)方式可能有多種；B選項(xiàng)，找到點(diǎn)在側(cè)面內(nèi)的運(yùn)動(dòng)軌跡是圓弧，再求解弧長(zhǎng)；C選項(xiàng)，利用等體積法和建立空間直角坐標(biāo)系，求出的最大值，即為最大值；D選項(xiàng)，在空間直角坐標(biāo)系中利用點(diǎn)與線距離公式即可判斷該選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A，將平面與平面展開(kāi)到同一平面內(nèi)，連接AP，此時(shí)，也可將平面ABCD與平面展開(kāi)到同一平面內(nèi)，此時(shí)，，故A正確；對(duì)于B，取DD1中點(diǎn)E，連EM，PE，如圖，因是正方體的棱中點(diǎn)，則PE//CD，而CD⊥平面ADD1A1，則有PE⊥平面ADD1A1，平面ADD1A1，于是得PE⊥EM，由，PE=1得，EM=1，因此，點(diǎn)在側(cè)面內(nèi)運(yùn)動(dòng)路徑是以E為圓心，1為半徑的圓在正方形內(nèi)的圓弧，如圖，圓弧所對(duì)圓心角為，圓弧長(zhǎng)為B正確；對(duì)于C，連接，，，，，，則，所以，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以DA，DC，所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，設(shè)，（，），設(shè)平面的法向量為，則，令，得：，所以，設(shè)到平面的距離為，則，故當(dāng)，時(shí)，取得最大值，為，此時(shí)三棱錐體積最大，，C正確；對(duì)于D，正方體的棱長(zhǎng)為1，為的中點(diǎn)，點(diǎn)M在上運(yùn)動(dòng)，設(shè)，可得，，，，，，可得，得，，，由圖可見(jiàn)，明顯地，當(dāng)與重合時(shí)，必有到直線PM的距離的最小，此時(shí)，，故，設(shè)直線與直線的夾角為，可得,則，故到直線PM的距離的最小值為，故D選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選：ABC三、填空題13．一名醫(yī)護(hù)人員維護(hù)3臺(tái)獨(dú)立的呼吸機(jī)，一周內(nèi)這些呼吸機(jī)需要維護(hù)的概率分別是、、0.6，則一周內(nèi)至少有一臺(tái)呼吸機(jī)不需要維修的概率為_(kāi)_____．【答案】【分析】一周內(nèi)全部都要維修的概率，利用其對(duì)立事件即可求一周內(nèi)至少有一臺(tái)呼吸機(jī)不需要維修的概率.【詳解】一周內(nèi)全部都要維修的概率為，故一周內(nèi)至少有一臺(tái)呼吸機(jī)不需要維修的概率為.故答案為：.14．已知數(shù)列滿足，且，則的值為_(kāi)_________.【答案】2【分析】首先判斷數(shù)列的周期，再根據(jù)周期求.【詳解】由題意得，，，，，，∴數(shù)列是周期為6的周期數(shù)列，∴.故答案為：．15．在邊長(zhǎng)為2的菱形中，，將菱形沿對(duì)角線對(duì)折，使二面角的余弦值為，則所得三棱錐的外接球的表面積為_(kāi)__________.【答案】【分析】利用菱形對(duì)角線相互垂直的性質(zhì)得出，，可得出二面角的平面角為，再利用余弦定理求出，可知三棱錐為正四面體，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，即可得到平面，從而得到為底面的重心，再由勾股定理求出外接球的半徑，最后利用球的表面積公式可得出答案．【詳解】解：依題意在邊長(zhǎng)為的菱形中，，所以，如下圖所示，易知和都是等邊三角形，取的中點(diǎn)，則，．，平面，所以平面，所以是二面角的平面角，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，由平面，平面，所以，，平面，所以平面．因?yàn)樵谥?，，所以，則．故三棱錐為正四面體，由平面，所以為底面的重心，所以，，則，設(shè)外接球的半徑為，則，解得．因此，三棱錐的外接球的表面積為．故答案為：．16．已知拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，動(dòng)點(diǎn)在拋物線上，且，則的最小值是__________.【答案】【分析】設(shè)直線方程為，與拋物線方程聯(lián)立方程組求得點(diǎn)坐標(biāo)（只要求得橫坐標(biāo)即可），然后計(jì)算，同理得，利用二次函數(shù)性質(zhì)求得的最小值．【詳解】易知在拋物線上，的斜率都存在且不為0，設(shè)的斜率為，直線方程為，由得，是方程的一解，另一解為（不重合，因此），拋物線的焦點(diǎn)為，，（∵），同理，，∴時(shí)，取得最小值11，此時(shí)滿足題意．故答案為：11.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：直線與拋物線相交弦長(zhǎng)問(wèn)題，弦所在直線為，可設(shè)，，直線方程與拋物線方程聯(lián)立方程組后消元，應(yīng)用韋達(dá)定理得,然后由弦長(zhǎng)公式計(jì)算，本題中由于弦的一個(gè)端點(diǎn)已知，即方程的一個(gè)解已知，因此可由韋達(dá)定理求得另一解，從而由兩點(diǎn)間距離公式直接計(jì)算．四、解答題17．已知數(shù)列滿足，數(shù)列的前項(xiàng)和為.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)求.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用“退一作差”法求得.（2）利用錯(cuò)位相減求和法求得.【詳解】（1）依題意，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，由，得，兩式相減得，也符合上式，所以.（2），，兩式相減得，.18．在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且.（1）求角的大小.（2）若邊上的中線，且,求的周長(zhǎng).【答案】（1）（2）【解析】（1）利用正弦定理將角化邊，再由余弦定理可求角的大小.（2）由面積公式可得，再在和中，由余弦定理可得，最后用完全平方公式可求的值，即可求得三角形的周長(zhǎng).【詳解】解：（1）由已知

由正弦定理得：由余弦定理得：在中，因?yàn)?所以（2）由，得①由（1）知，即②在中，由余弦定理得：在中，由余弦定理得：因?yàn)?，所以③由①②③，得所以所以的周長(zhǎng).【點(diǎn)睛】本題主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面積公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．19．如圖，中，，，分別為，邊的中點(diǎn)，以為折痕把折起，使點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)的位置，且．（1）證明：平面；（2）求平面與平面所成銳二面角的余弦值．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）【分析】（1）由，分別為，邊的中點(diǎn)，可得，由已知結(jié)合線面垂直的判定可得平面，從而得到平面；（2）取的中點(diǎn)，連接，由已知證明平面，過(guò)作交于，分別以，，所在直線為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，分別求出平面與平面的一個(gè)法向量，由兩法向量所成角的余弦值可得平面與平面所成銳二面角的余弦值．【詳解】（1）因?yàn)榉謩e為，邊的中點(diǎn)，所以，因?yàn)?，所以，，又因?yàn)?，所以平面，所以平面．?）取的中點(diǎn)，連接，由（1）知平面，平面，所以平面平面，因?yàn)椋?，又因?yàn)槠矫妫矫嫫矫?，所以平面?/p>

過(guò)作交于，分別以，，所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，．，，設(shè)平面的法向量為，則即則，易知為平面的一個(gè)法向量，，所以平面與平面所成銳二面角的余弦值．【點(diǎn)睛】本題考查直線與平面垂直的判定，由于“線線垂直”“線面垂直”“面面垂直”之間可以相互轉(zhuǎn)化，因此整個(gè)證明過(guò)程圍繞著線面垂直這個(gè)核心而展開(kāi)，這是化解空間垂直關(guān)系難點(diǎn)的技巧所在，兩半平面所成的二面角與面的法向量之間所成的角相等或互補(bǔ)，主要通過(guò)題意或圖形來(lái)確定最后結(jié)果.20．已知橢圓的離心率為，是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)．點(diǎn)，直線的斜率為．（1）求橢圓的方程；（2）若過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為，且．求的方程．【答案】（1）；（2）【分析】（1）由題意可得，解得即可得出．（2）分兩種情況，當(dāng)斜率不存在時(shí)，不符合題意；當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)出直線方程，聯(lián)立直線方程和橢圓方程，利用判別式大于0可得出；利用列出等式可求得k的值，即可得出的方程．【詳解】（1）由題意，可得，解得，則，故橢圓的方程為．（2）當(dāng)?shù)男甭什淮嬖跁r(shí)，，不合題意，故的斜率存在．設(shè)的方程為，聯(lián)立，得，設(shè)，則，即，設(shè)，則，則，即整理得．故，的方程為．【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、“點(diǎn)差法”、點(diǎn)斜式、斜率的計(jì)算公式．21．若函數(shù)在定義域內(nèi)存在實(shí)數(shù)，使得成立，則稱函數(shù)有“飄移點(diǎn)”．Ⅰ試判斷函數(shù)及函數(shù)是否有“飄移點(diǎn)”并說(shuō)明理由；Ⅱ若函數(shù)有“飄移點(diǎn)”，求a的取值范圍．【答案】（Ⅰ）函數(shù)有“飄移點(diǎn)”，函數(shù)沒(méi)有“飄移點(diǎn)”．證明過(guò)程詳見(jiàn)解析（Ⅱ）【分析】Ⅰ按照“飄移點(diǎn)”的概念，只需方程有根即可，據(jù)此判斷；Ⅱ由題得，化簡(jiǎn)得，可得，可求>，解得a范圍．【詳解】Ⅰ函數(shù)有“飄移點(diǎn)”，函數(shù)沒(méi)有“飄移點(diǎn)”，證明如下：設(shè)在定義域內(nèi)有“飄移點(diǎn)”，所以：，即：，解得：，所以函數(shù)在定義域內(nèi)有“飄移點(diǎn)”是0；設(shè)函數(shù)有“飄移點(diǎn)”，則，即由此方程無(wú)實(shí)根，與題設(shè)矛盾，所以函數(shù)沒(méi)有飄移點(diǎn)Ⅱ函數(shù)的定義域是，因?yàn)楹瘮?shù)有“飄移點(diǎn)”，所以：，即：，化簡(jiǎn)可得：，可得：，因?yàn)?，所以：，所以：，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，方程無(wú)解，所以，所以，因?yàn)楹瘮?shù)的定義域是，所以：，即：，因?yàn)椋?，即：，所以?dāng)時(shí)，函數(shù)有“飄移點(diǎn)”【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的方程與函數(shù)間的關(guān)系，即利用函數(shù)思想解決方程根的問(wèn)題，利用方程思想解決函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題，由轉(zhuǎn)化為關(guān)于方程在有解是本題關(guān)鍵.22．已知點(diǎn)，點(diǎn)為平面上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作直線的垂線，垂足為，且.(1)求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；(2)設(shè)點(diǎn)的軌跡與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)，是軌跡上異于點(diǎn)的不同的兩點(diǎn)，且滿足，求的最小值.【答案】(1)(