線代與概率論第七章

線代與概率論第七章第1頁(yè)，共64頁(yè)，2023年，2月20日，星期六

第7.1節(jié)假設(shè)檢驗(yàn)二、假設(shè)檢驗(yàn)的相關(guān)概念三、假設(shè)檢驗(yàn)的一般步驟一、假設(shè)檢驗(yàn)的基本原理四、小結(jié)第2頁(yè)，共64頁(yè)，2023年，2月20日，星期六一、假設(shè)檢驗(yàn)的基本原理在總體的分布函數(shù)完全未知或只知其形式、但不知其參數(shù)的情況下,為了推斷總體的某些性質(zhì),提出某些關(guān)于總體的假設(shè).假設(shè)檢驗(yàn)就是根據(jù)樣本對(duì)所提出的假設(shè)作出判斷:是接受,還是拒絕.例如,提出總體服從泊松分布的假設(shè);第3頁(yè)，共64頁(yè)，2023年，2月20日，星期六一、假設(shè)檢驗(yàn)的基本原理什么是假設(shè)檢驗(yàn)問(wèn)題？我們先看幾個(gè)簡(jiǎn)單的例子。例1：在超市上出售的某種品牌方便面，按規(guī)定每袋凈重少于100克的比例不得超過(guò)1%。技術(shù)監(jiān)督部門(mén)從某超市的貨架上任意抽取200袋該種品牌的方便面，經(jīng)檢驗(yàn)發(fā)現(xiàn)有3袋重量少于100克，試問(wèn)：該超市出售的這種方便面是否符合質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)。在本例中，在超市上出售的這種方便面的不合格率是未知的，我們關(guān)心的問(wèn)題是，如何根據(jù)樣本的不合格率p=1.5%來(lái)判斷：在超市上出售的這種方便面的不合格率p<1%是否成立？第4頁(yè)，共64頁(yè)，2023年，2月20日，星期六例2：某車(chē)間用一臺(tái)包裝機(jī)包裝葡萄糖,包得的袋裝糖重是一個(gè)隨機(jī)變量,它服從正態(tài)分布.當(dāng)機(jī)器正常時(shí),其均值為0.5公斤,標(biāo)準(zhǔn)差為0.015公斤.某日開(kāi)工后為檢驗(yàn)包裝機(jī)是否正常,隨機(jī)地抽取它所包裝的糖9袋,稱(chēng)得凈重為(公斤):0.4970.5060.5180.5240.4980.5110.5200.5150.512,問(wèn)機(jī)器是否正常?第5頁(yè)，共64頁(yè)，2023年，2月20日，星期六如何利用樣本值對(duì)一個(gè)具體的假設(shè)進(jìn)行檢驗(yàn)?通常借助于直觀分析和理論分析相結(jié)合的做法,其基本原理就是人們?cè)趯?shí)際問(wèn)題中經(jīng)常采用的所謂小概率原理:“一個(gè)小概率事件在一次試驗(yàn)中幾乎是不可能發(fā)生的”.下面結(jié)合實(shí)例來(lái)說(shuō)明假設(shè)檢驗(yàn)的基本思想.第6頁(yè)，共64頁(yè)，2023年，2月20日，星期六例2：某車(chē)間用一臺(tái)包裝機(jī)包裝葡萄糖,包得的袋裝糖重是一個(gè)隨機(jī)變量,它服從正態(tài)分布.當(dāng)機(jī)器正常時(shí),其均值為0.5公斤,標(biāo)準(zhǔn)差為0.015公斤.某日開(kāi)工后為檢驗(yàn)包裝機(jī)是否正常,隨機(jī)地抽取它所包裝的糖9袋,稱(chēng)得凈重為(公斤):0.4970.5060.5180.5240.4980.5110.5200.5150.512,問(wèn)機(jī)器是否正常?分析:第7頁(yè)，共64頁(yè)，2023年，2月20日，星期六由長(zhǎng)期實(shí)踐可知,標(biāo)準(zhǔn)差較穩(wěn)定,問(wèn)題:根據(jù)樣本值判斷提出兩個(gè)對(duì)立假設(shè)再利用已知樣本作出判斷是接受假設(shè)H0(拒絕假設(shè)H1),還是拒絕假設(shè)H0(接受假設(shè)H1).如果作出的判斷是接受H0,即認(rèn)為機(jī)器工作是正常的,否則,認(rèn)為是不正常的.第8頁(yè)，共64頁(yè)，2023年，2月20日，星期六由于要檢驗(yàn)的假設(shè)涉及總體均值,故可借助于樣本均值來(lái)判斷.于是可以選定一個(gè)適當(dāng)?shù)恼龜?shù)k,使得第9頁(yè)，共64頁(yè)，2023年，2月20日，星期六由標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布分位點(diǎn)的定義得第10頁(yè)，共64頁(yè)，2023年，2月20日，星期六于是拒絕假設(shè)H0,認(rèn)為包裝機(jī)工作不正常.第11頁(yè)，共64頁(yè)，2023年，2月20日，星期六第12頁(yè)，共64頁(yè)，2023年，2月20日，星期六1.

原假設(shè)與備擇假設(shè)假設(shè)檢驗(yàn)問(wèn)題通常敘述為:二、假設(shè)檢驗(yàn)的相關(guān)概念第13頁(yè)，共64頁(yè)，2023年，2月20日，星期六2.

拒絕域與臨界點(diǎn)如在前面實(shí)例中,為拒絕域,拒絕域拒絕原假設(shè)H0,則稱(chēng)區(qū)域當(dāng)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量取某個(gè)區(qū)域中的值時(shí),我們的邊界點(diǎn)稱(chēng)為臨界點(diǎn).第14頁(yè)，共64頁(yè)，2023年，2月20日，星期六3.

兩類(lèi)錯(cuò)誤及記號(hào)假設(shè)檢驗(yàn)是根據(jù)樣本的信息并依據(jù)小概率原理，作出接受還是拒絕H0的判斷。由于樣本具有隨機(jī)性，因而假設(shè)檢驗(yàn)所作出的結(jié)論有可能是錯(cuò)誤的.這種錯(cuò)誤有兩類(lèi):(1)當(dāng)原假設(shè)H0為真,觀察值卻落入拒絕域,而作出了拒絕H0的判斷,稱(chēng)做第一類(lèi)錯(cuò)誤,又叫棄真錯(cuò)誤.犯第一類(lèi)錯(cuò)誤的概率是顯著性水平第15頁(yè)，共64頁(yè)，2023年，2月20日，星期六(2)當(dāng)原假設(shè)H0不真,而觀察值卻落入接受域,而作出了接受H0的判斷,稱(chēng)做第二類(lèi)錯(cuò)誤,又叫取偽錯(cuò)誤.當(dāng)樣本容量n一定時(shí),若減少犯第一類(lèi)錯(cuò)誤的概率,則犯第二類(lèi)錯(cuò)誤的概率往往增大.犯第二類(lèi)錯(cuò)誤的概率記為若要使犯兩類(lèi)錯(cuò)誤的概率都減小,除非增加樣本容量.第16頁(yè)，共64頁(yè)，2023年，2月20日，星期六三、假設(shè)檢驗(yàn)的一般步驟第17頁(yè)，共64頁(yè)，2023年，2月20日，星期六五、小結(jié)假設(shè)檢驗(yàn)的基本原理、相關(guān)概念和一般步驟.真實(shí)情況(未知)所作決策接受H0拒絕H0H0為真正確犯第I類(lèi)錯(cuò)誤H0不真犯第II類(lèi)錯(cuò)誤正確假設(shè)檢驗(yàn)的兩類(lèi)錯(cuò)誤第18頁(yè)，共64頁(yè)，2023年，2月20日，星期六第7.2節(jié)正態(tài)總體均值與方差的

假設(shè)檢驗(yàn)一、單個(gè)總體參數(shù)的檢驗(yàn)二、兩個(gè)總體參數(shù)的檢驗(yàn)三、基于成對(duì)數(shù)據(jù)的檢驗(yàn)(t

檢驗(yàn))四、小結(jié)第19頁(yè)，共64頁(yè)，2023年，2月20日，星期六一、單個(gè)正態(tài)總體均值與方差的檢驗(yàn)第20頁(yè)，共64頁(yè)，2023年，2月20日，星期六對(duì)于給定的檢驗(yàn)水平由標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布分位數(shù)定義知，因此，檢驗(yàn)的拒絕域?yàn)槠渲袨榻y(tǒng)計(jì)量U的觀測(cè)值。這種利用U統(tǒng)計(jì)量來(lái)檢驗(yàn)的方法稱(chēng)為U檢驗(yàn)法。第21頁(yè)，共64頁(yè)，2023年，2月20日，星期六例1某切割機(jī)在正常工作時(shí),切割每段金屬棒的平均長(zhǎng)度為10.5cm,標(biāo)準(zhǔn)差是0.15cm,今從一批產(chǎn)品中隨機(jī)的抽取15段進(jìn)行測(cè)量,其結(jié)果如下:假定切割的長(zhǎng)度X服從正態(tài)分布,且標(biāo)準(zhǔn)差沒(méi)有變化,試問(wèn)該機(jī)工作是否正常?解第22頁(yè)，共64頁(yè)，2023年，2月20日，星期六查表得第23頁(yè)，共64頁(yè)，2023年，2月20日，星期六上述利用t統(tǒng)計(jì)量得出的檢驗(yàn)法稱(chēng)為t檢驗(yàn)法.

在實(shí)際中,正態(tài)總體的方差常為未知,所以我們常用t

檢驗(yàn)法來(lái)檢驗(yàn)關(guān)于正態(tài)總體均值的檢驗(yàn)問(wèn)題.第24頁(yè)，共64頁(yè)，2023年，2月20日，星期六如果在例1中只假定切割的長(zhǎng)度服從正態(tài)分布,問(wèn)該機(jī)切割的金屬棒的平均長(zhǎng)度有無(wú)顯著變化?解查表得t分布表例2第25頁(yè)，共64頁(yè)，2023年，2月20日，星期六定理三根據(jù)第五章§3定理5.8的推論1知,由t分布分位數(shù)的定義知

在實(shí)際中,正態(tài)總體的方差常為未知,所以我們常用t

檢驗(yàn)法來(lái)檢驗(yàn)關(guān)于正態(tài)總體均值的檢驗(yàn)問(wèn)題.第26頁(yè)，共64頁(yè)，2023年，2月20日，星期六在實(shí)際中,正態(tài)總體的方差常為未知,所以我們常用t

檢驗(yàn)法來(lái)檢驗(yàn)關(guān)于正態(tài)總體均值的檢驗(yàn)問(wèn)題.上述利用t

統(tǒng)計(jì)量得出的檢驗(yàn)法稱(chēng)為t檢驗(yàn)法.第27頁(yè)，共64頁(yè)，2023年，2月20日，星期六要檢驗(yàn)假設(shè):根據(jù)第五章§3知,第28頁(yè)，共64頁(yè)，2023年，2月20日，星期六第29頁(yè)，共64頁(yè)，2023年，2月20日，星期六指它們的和集拒絕域?yàn)?第30頁(yè)，共64頁(yè)，2023年，2月20日，星期六解例3某廠生產(chǎn)的某種型號(hào)的電池,其壽命長(zhǎng)期以來(lái)服從方差=5000(小時(shí)2)的正態(tài)分布,現(xiàn)有一批這種電池,從它生產(chǎn)情況來(lái)看,壽命的波動(dòng)性有所變化.現(xiàn)隨機(jī)的取26只電池,測(cè)出其壽命的樣本方差=9200(小時(shí)2).問(wèn)根據(jù)這一數(shù)據(jù)能否推斷這批電池的壽命的波動(dòng)性較以往的有顯著的變化?第31頁(yè)，共64頁(yè)，2023年，2月20日，星期六拒絕域?yàn)?可認(rèn)為這批電池的壽命的波動(dòng)性較以往的有顯著的變化.第32頁(yè)，共64頁(yè)，2023年，2月20日，星期六二、兩個(gè)正態(tài)總體均值與方差的檢驗(yàn)1.已知方差時(shí)兩正態(tài)總體均值的檢驗(yàn)需要檢驗(yàn)假設(shè):上述假設(shè)可等價(jià)的變?yōu)?/p>

利用u檢驗(yàn)法檢驗(yàn).第33頁(yè)，共64頁(yè)，2023年，2月20日，星期六第34頁(yè)，共64頁(yè)，2023年，2月20日，星期六故拒絕域?yàn)橛蓸?biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布分位數(shù)的定義知第35頁(yè)，共64頁(yè)，2023年，2月20日，星期六第36頁(yè)，共64頁(yè)，2023年，2月20日，星期六第37頁(yè)，共64頁(yè)，2023年，2月20日，星期六2.未知方差時(shí)兩正態(tài)總體均值的檢驗(yàn)

利用t檢驗(yàn)法檢驗(yàn)具有相同方差的兩正態(tài)總體均值差的假設(shè).第38頁(yè)，共64頁(yè)，2023年，2月20日，星期六定理四根據(jù)第五章§3定理5.8的推論2知,第39頁(yè)，共64頁(yè)，2023年，2月20日，星期六對(duì)給定的故拒絕域?yàn)榈?0頁(yè)，共64頁(yè)，2023年，2月20日，星期六例2有甲、乙兩臺(tái)機(jī)床加工相同的產(chǎn)品,從這兩臺(tái)機(jī)床加工的產(chǎn)品中隨機(jī)地抽取若干件,測(cè)得產(chǎn)品直徑(單位:mm)為機(jī)床甲:20.5,19.8,19.7,20.4,20.1,20.0,19.0,19.9機(jī)床乙:19.7,20.8,20.5,19.8,19.4,20.6,19.2,試比較甲、乙兩臺(tái)機(jī)床加工的產(chǎn)品直徑有無(wú)顯著差異?假定兩臺(tái)機(jī)床加工的產(chǎn)品直徑都服從正態(tài)分布,且總體方差相等.解第41頁(yè)，共64頁(yè)，2023年，2月20日，星期六即甲、乙兩臺(tái)機(jī)床加工的產(chǎn)品直徑無(wú)顯著差異.第42頁(yè)，共64頁(yè)，2023年，2月20日，星期六需要檢驗(yàn)假設(shè):3.兩正態(tài)總體方差的檢驗(yàn)第43頁(yè)，共64頁(yè)，2023年，2月20日，星期六第44頁(yè)，共64頁(yè)，2023年，2月20日，星期六定理5.8根據(jù)第五章§3定理5.8的推論2知為了計(jì)算方便,習(xí)慣上取第45頁(yè)，共64頁(yè)，2023年，2月20日，星期六檢驗(yàn)問(wèn)題的拒絕域?yàn)樯鲜鰴z驗(yàn)法稱(chēng)為F檢驗(yàn)法.第46頁(yè)，共64頁(yè)，2023年，2月20日，星期六解某磚廠制成兩批機(jī)制紅磚,抽樣檢查測(cè)量磚的抗折強(qiáng)度(公斤),得到結(jié)果如下:已知磚的抗折強(qiáng)度服從正態(tài)分布,試檢驗(yàn):(1)兩批紅磚的抗折強(qiáng)度的方差是否有顯著差異?(2)兩批紅磚的抗折強(qiáng)度的數(shù)學(xué)期望是否有顯著差異?(1)檢驗(yàn)假設(shè):例3第47頁(yè)，共64頁(yè)，2023年，2月20日，星期六查表7-3知拒絕域?yàn)榈?8頁(yè)，共64頁(yè)，2023年，2月20日，星期六(2)檢驗(yàn)假設(shè):第49頁(yè)，共64頁(yè)，2023年，2月20日，星期六查表7-3知拒絕域?yàn)榈?0頁(yè)，共64頁(yè)，2023年，2月20日，星期六三、基于配對(duì)數(shù)據(jù)的檢驗(yàn)（t檢驗(yàn)）有時(shí)為了比較兩種產(chǎn)品，兩種儀器，或兩種試驗(yàn)方法等的差異，我們常常在相同的條件下做對(duì)比試驗(yàn)，得到一批成對(duì)（配對(duì)）的觀測(cè)值，然后對(duì)觀測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析。作出推斷，這種方法常稱(chēng)為配對(duì)分析法。例7.9比較甲乙兩種橡膠輪胎的耐磨性，今從甲乙兩種輪胎中各隨機(jī)地抽取8個(gè)，其中各取一個(gè)組成一對(duì)。再隨機(jī)選擇8架飛機(jī)，將8對(duì)輪胎隨機(jī)地搭配給8架飛機(jī)，做耐磨性實(shí)驗(yàn)第51頁(yè)，共64頁(yè)，2023年，2月20日，星期六飛行一段時(shí)間的起落后，測(cè)得輪胎磨損量（單位：mg）數(shù)據(jù)如下：輪胎甲：4900，5220，5500，60206340，7660，8650，4870輪胎乙；4930，4900，5140，57006110，6880，7930，5010試問(wèn)這兩種輪胎的耐磨性有無(wú)顯著差異？解：用X及Y分別表示甲乙兩種輪胎的磨損量第52頁(yè)，共64頁(yè)，2023年，2月20日，星期六假定，其中欲檢驗(yàn)假設(shè)下面分兩種情況討論：（1）實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)配對(duì)分析：記，則，由正態(tài)分布的可加性知，Z服從正態(tài)分布。于是，對(duì)與是否相等的檢驗(yàn)第53頁(yè)，共64頁(yè)，2023年，2月20日，星期六就變對(duì)的檢驗(yàn)，這時(shí)我們可采用關(guān)于一個(gè)正態(tài)總體均值的檢驗(yàn)法。將甲，乙兩種輪胎的數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)相減得Z的樣本值為：-30，320，360，320，230,780，720，-140計(jì)算得樣本均值第54頁(yè)，共64頁(yè)，2023年，2月20日，星期六對(duì)給定，查自由度為的分布表得臨界值，由于因而否定，即認(rèn)為這種輪胎的耐磨性有顯著差異。（2）實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)不配對(duì)分析：將兩種輪胎的數(shù)據(jù)看作來(lái)自?xún)蓚€(gè)總體的樣本觀測(cè)值，這種方法稱(chēng)為不配對(duì)分析法。欲檢驗(yàn)假設(shè)第55頁(yè)，共64頁(yè)，2023年，2月20日，星期六我們選擇統(tǒng)計(jì)量由樣本數(shù)據(jù)及可得第56頁(yè)，共64頁(yè)，2023年，2月20日，星期六對(duì)給定的，查自由度為16-2=14的t分布表，得臨界值，由于，因而接受，即認(rèn)為這兩種輪胎的耐磨性無(wú)顯著差異。第57頁(yè)，共64頁(yè)，2023年，2月20日，星期六以上是在同一檢驗(yàn)水平的分析結(jié)果，方法不同所得結(jié)果也比一致，到底哪個(gè)結(jié)果正確呢？下面作一簡(jiǎn)要分析。因?yàn)槲覀儗?對(duì)輪胎隨機(jī)地搭配給8架飛機(jī)作輪胎耐磨性試驗(yàn)，兩種輪胎不僅對(duì)試驗(yàn)數(shù)據(jù)產(chǎn)生影響，而且不同的飛機(jī)也對(duì)試驗(yàn)數(shù)據(jù)產(chǎn)生干擾，因此試驗(yàn)數(shù)據(jù)配對(duì)分析，消除了飛機(jī)本身對(duì)數(shù)據(jù)的干擾，突出了比較兩種輪胎之間耐磨性的差異。下采用不同方法第58頁(yè)，共64頁(yè)，2023年，2月20日，星期六對(duì)試驗(yàn)數(shù)據(jù)不做配對(duì)分析，輪胎之間和飛機(jī)之間對(duì)數(shù)據(jù)的影響交織在一起，這時(shí)樣本

不獨(dú)立。因此，用兩個(gè)獨(dú)立正態(tài)總體的t檢驗(yàn)法是不合適的。由本例看出，對(duì)同一批試驗(yàn)數(shù)據(jù)，采用配對(duì)分析還是不配對(duì)分析方法，要根據(jù)抽樣方法而定。

與樣本第59頁(yè)，共64頁(yè)，2023年，2月20日，星期六四、小結(jié)本節(jié)學(xué)習(xí)的正態(tài)總體均值的假設(shè)檢驗(yàn)有:正態(tài)總體均值、方差的檢驗(yàn)法見(jiàn)下表第60頁(yè)，共64頁(yè)，2023年，2月20日，星期六附表7.1

4321第61頁(yè)，共64頁(yè)，2023年，2月20日，星期六附表7-2567第62頁(yè)，共64頁(yè)，2023年，2月20日，星期六t分布表a=0.250.100.050.0250.010.005123456789101112131415161.00000.81650.76490.74070.72670.71760.71110.70640.70270.69980.69740.69550.69380.69240.69120.69013.07771.88561.63771.53321.47591.43981.41491.39681.38301.37221.36341.35621.35021.34501.34061.33686.31382.92002.35342.13182.01501.94321.89461.85951.83311.81251.79591.78231.77091.76131.75311.745912.70624.30273.18242.77642.57062.44692.36462.30602.26222.22812.20102.17882.16042.14482.13152.119931.82076.96464.54073.74693.36493.14272.99802.89652.82142.76382.71812.68102.65032.62452.60252.583563.65749.92485.84094.60414.03223.70743.49953.35543.24983.16933.10583.05453.01232.97682.94672.92082.1448第63頁(yè)，共64頁(yè)，2023年，2月20日，星期六t分布表b=0.250.100.050.0250.010.00512345678910