導(dǎo)數(shù)與復(fù)數(shù)試題

1．導(dǎo)數(shù)的計(jì)算。例1求下函數(shù)的導(dǎo)數(shù)1y=sin(3x+1)2

5x2xx

（3y=e（）yln(x2

；（5）y=(1-2x)(x>0且

12

)。[解（）

yx

3cos(3x+1).(2)

'

(5x)'2x)'2

1x22

2

xx

12

3

.（）

y'

2x)'cosx2x)'2x（）

y'

1x

x2

1x

x

x

12

.（）

y[(1x]'eln(1x)]'

ln(1x)

xln(1x)xln(1x).x2．用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性。例2設(shè)，函數(shù)f(x)=

x

-ln(x+a)(x∈∞的調(diào)區(qū)間。[解

f'()

12

1

(x0)

，因?yàn)?，?/p>

f)x

+(2a-4)x+a

>0；f'(x)x+(2a-4)x+a+<0.（）a>1時(shí)對(duì)所有x>0，有+(2a-4)x+a>0即

f'

(x)>0,f(x)在0,+∞上單調(diào)遞增；（）a=1時(shí)對(duì)x≠1,有x>0，即

f)

，所以在0，1）內(nèi)單調(diào)遞增，在（，∞內(nèi)遞增，又f(x)x=1連續(xù)，因此f(x)在0,+∞內(nèi)增；（）精品文檔

(1)x(1y2x(1)x(1y2x0<a<1時(shí)令

f'(x)

，即x+(2a-4)x+a>0，解得x<2-a-

21

或x>2-a+

21

，因此，在(0,2-a-

2

)內(nèi)調(diào)遞增，在(2-a+

21

,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增，而當(dāng)2-a-

21

<x<2-a+

21

時(shí)，x+(2a-4)x+a<0，即

f'(x0

，所以f(x)在(2-a-

2

,2-a+

21

)內(nèi)單調(diào)遞減。3．利用導(dǎo)數(shù)證明不等式。例3設(shè)

(0,

2

)

，求證：sinx+tanx>2x.[證明]

設(shè)f(x)=sinx+tanx-2x，則

fx)

=cosx+secx-2，當(dāng)

(0,

2

)

時(shí)，1coccoxcco

（因?yàn)?/p>

0<cosx<1），所以f)

=cosx+secx-2=cosx+

1cosx

0

.又在續(xù)所以f(x)在22上單調(diào)遞增，所以當(dāng)x∈

2

f(x)>f(0)=0，sinx+tanx>2x.4.利導(dǎo)數(shù)討論極值。例4設(shè)f(x)=alnx+bx+x在x=1和處都得極值試與b的并出這時(shí)f(x)在x與x處取得極大值還是小值。[解]因在(∞)上續(xù)，可導(dǎo)，又在x，x=2處得極值，所以f'(1)

，又

fx)

ax

+2bx+1，所以

2a,3解得1b所以

f(x)

21(x1)(2)ln2,f)36x3x

.所以當(dāng)∈(0,1)時(shí)

f'(x)0

，所以f(x)在上減；當(dāng)x∈(1,2)時(shí)

f'(x

，所以在1，2]上遞增；當(dāng)x∈∞時(shí)

f'(x)0

，所以f(x)在2，∞上遞減綜上可知f(x)在x=1處取極值，在x=2處得極大值。例5設(shè)x∈[0,],y[0,1]試求函數(shù)f(x,y)=(2y-1)sinx+(1-y)sin(1-y)x的小值。[解首，當(dāng)x∈[0,π∈時(shí)，f(x,y)=(2y-1)sinx+(1-y)sin(1-y)x=(1-y)精品文檔

yxyx

=(1-y)x

sin(1)xxy2)xxy)

x

sin，令g(x)=,xg)

(xtanx)

(x),2當(dāng)

因?yàn)?，?/p>

gx0

；當(dāng)

,為所以

gx0

；又因?yàn)間(x)在0,)上連續(xù)，所以g(x)在0,)上單調(diào)遞減。又因?yàn)?<(1-y)x<x<π所以g[(1-y)x]>g(x)即

y)x(1)x

，又因?yàn)?/p>

y2x(1yx

，所以當(dāng)x∈(0,),y(0,1)，f(x,y)>0.其次，當(dāng)x=0時(shí)，f(x,y)=0；當(dāng)x=π時(shí)f(x,y)=(1-y)sin(1-y)π≥當(dāng)y=1時(shí)，f(x,y)=-sinx+sinx=0當(dāng)y=1時(shí)，f(x,y)=sinx0.綜上，當(dāng)且僅當(dāng)x=0或y=0或x=π且y=1時(shí)，f(x,y)取小值0。1.（全卷Ⅰ理已直線y=x+1與線

yln()

相切，則α的值為)A.1.2-1D.-2答案B解設(shè)切點(diǎn)

P(,)0

，則

y

0

xy00

,又

'

|

0xy00

故答案

選B（安徽卷理）已知函數(shù)

f(x

在上足

f(xf(22

，則曲線yf(x)

在點(diǎn)

f處的切線方程是

()

yx

y

C.

yx

y答案解析

A由

f(xf(22

得幾何f(2f(x(2)

2

8(2)，精品文檔

即

2f((2)x

2，∴(x)2∴/

)x

，∴切線方程y2(x

，即

2

選A（2009江卷）若存在過點(diǎn)(等于

的直線與曲線yx和y2

x

都相切，則()A

或-

64

B

或

7C．或-464

D．

或

答案

A解析

設(shè)過

的直線與

y

3

相切于點(diǎn)

(,00

3

)

，所以切線方程為y3x(x)000即

yx0

2

xx0

3

，又(1,0)在線上，則

x0或0

32

，當(dāng)x0時(shí)由y與y0

2

15x相可得a4

2564

，當(dāng)

x0

327時(shí)，由yx2

與

y

154

x

相切可得

a

，所以選

A

.（2009遼卷理）若滿足2x+2x=5,x滿2x+2log－1)=5,x+＝122

(

)

52

B.3

72

D.4答案解析

由題意2

①22lx

所以

x

(5x)

即x

令2x＝7－代入上式得－＝(2t＝2＋－1)122∴5－2t＝2log－與②式比較得t＝x2于是＝－1（2009天卷理）設(shè)函數(shù)

1f(x)xlnx則yf()3

(

)A在間B在間

1(e1(e

內(nèi)均有零點(diǎn)。內(nèi)均無零點(diǎn)。C區(qū)間

1(e

內(nèi)有零點(diǎn)，在區(qū)間(1,內(nèi)零點(diǎn)。D在間

1(e

內(nèi)無零點(diǎn)，在區(qū)間e內(nèi)零點(diǎn)。精品文檔

n1299199n1299199解析：由題得

fx)

11x33x3x

，令

f`()得3；令f`(x)0

得0x3；f`()得x3函數(shù)

f()

在區(qū)間

上為減函數(shù)間

(3,)為增函數(shù)，在點(diǎn)

處有極小值

3

；又f

1,f1f)10ee

，故選擇D。若曲線

f

存在垂直于

軸的切線，則實(shí)數(shù)

a

的取值范圍是

解由意該函數(shù)的定義域x，

ax

1

。因?yàn)榇嬖诖怪庇趛軸切線，故此時(shí)斜率為，題轉(zhuǎn)化為x范圍內(nèi)導(dǎo)函數(shù)

f

1

存在零點(diǎn)。解法（分離變量法）上述也可等價(jià)于方程

2ax

1

在

內(nèi)有解，顯然可得a

12x

2

(2009陜西卷)設(shè)曲線

y

n

nN

*

在點(diǎn)（1處的切線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x

n

令

axn

，則

a1

99

的值為

答

解析：點(diǎn)（1，1）在函數(shù)y

n

(nN

*

)的圖上為點(diǎn)，xn導(dǎo)函數(shù)為xy|切線是：1)(xn令y=0得切點(diǎn)的橫坐標(biāo)：xn198991axxxlg...2399100100（2010.全1文．設(shè)

f(x)x

3

12

x

2

，[時(shí)f()0

恒成立，求實(shí)數(shù)的值范圍．【解析】：f/()

，由

f/x)

，即

x

23

或x；由

f

/

(x得3x2

0

即

23

x

單調(diào)

是

()

，函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是

(,1)

。由(xm恒成大于最大值。精品文檔

當(dāng)x2]時(shí)(1)當(dāng)

]

時(shí)，

f(x為增函數(shù)，所以

f()

2157f(

；(2)當(dāng)

x

時(shí)，(x)減函數(shù)以

f()f)3

(3)，f(x)為增函數(shù)，所以

f(xf(2)

；因?yàn)?/p>

7

15727

，從

復(fù)(2009廣卷)列n的值中，使

i

n

=1(i是數(shù)單位）的是

（）BD.n=5【解析】因?yàn)?/p>

i

故選答案（2009廣東卷理）設(shè)是復(fù)數(shù)，位i，a(i)

a(z)

表示滿足的最正整數(shù)n，對(duì)虛數(shù)單（）B.6C.42【解析】

ai)

n

，則最小正整數(shù)為4選答案3.（2009浙江理設(shè)

z

（

i

是虛數(shù)單位），則

2z

()A

B

．

D．

【解析】對(duì)于

22)z

2

i答案D浙江文）

（i是數(shù)單位則

2z

2

（）A

B

C．

D．

【解析】對(duì)于

22)z

2

i答案D（2009北卷）復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)

(1i)

對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A第一象限

B第二象限

C．三象限

D．第四象限【解析】∵

i)i

，∴復(fù)數(shù)

所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為

，故選B.答案B精品文檔

(2009東理復(fù)數(shù)

31

等于

（）A

i

i

C.

3)i4i【解析】1)(1)2答案C3(2009東文復(fù)數(shù)等于1

故選

（）A．

i

i

C.

【解析】答案

3)i4i1)(1)2

故選8.（全國Ⅰ）知

Z＋

=2+i,則數(shù)z=

（）（）-1+3i(B)1-3i(C)3+i(D)3-i【析答案B

))izi

故B9.（安徽理i是數(shù)單位，若

1i2

(a,bR)

，則乘積

的值是)（A）15

（B－

（）

（）15【析

1ii2

，∴abab

，選。答案B（安徽文i是虛單位i(1+i)等A．B.-1-iC.1-iD.-1+i

（）【解析】依據(jù)虛數(shù)運(yùn)算公式可知

i

1

可得

ii)

，選D.答案D（江西理若數(shù)

zx

i

為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)x的值為（）A

B．

C．

D

或

【解析】由0

故選A答案A湖北理投擲兩顆骰子，到其向上的點(diǎn)數(shù)分別為和n,復(fù)數(shù)（m+ni(n-mi)為實(shí)數(shù)的概率為

（）精品文檔

A

111B、34

D、

【解析】因?yàn)閙)(n)mnn

)i實(shí)數(shù)所以n

故mn則可以取、可能，所以P

1