淺談高中數(shù)學核心思想 論文

淺談高中數(shù)學核心思想

摘要：很多學生在進入高一之后會出現(xiàn)一些很奇怪的現(xiàn)象，初中數(shù)學成績明明很好，到了高一卻一落千丈。課堂上老師講的都能聽懂，一到做題就感到無從下手。這些問題一直困擾著很多學生，其中一個很重要的原因就是沒有真正地掌握數(shù)學思想，從而沒有訓練出高中數(shù)學所需要的數(shù)學思維。所以對于這一問題，教師要給學生多進行數(shù)學思想的訓練，讓學生意識到數(shù)學思想在高中數(shù)學學習中的重要性。本文將通過舉例說明高中數(shù)學中幾類基本的數(shù)學思想的運用，以供參考。 關鍵詞：數(shù)學思想；數(shù)學思維；分類討論；數(shù)形結(jié)合；函數(shù)與方程；轉(zhuǎn)化與化歸

引言：分類討論、數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程、轉(zhuǎn)化與劃歸是高中數(shù)學中的四個基本的思想。在數(shù)學中，尤其是高中數(shù)學的學習中，相比數(shù)學基礎知識，數(shù)學思想方法往往具有更高的地位和層次，數(shù)學思想是通過人們長期實踐摸索出來用于解決問題的一種認識，屬于思維的范疇，用于對問題的提出、分析、計算和解決。數(shù)學的目的是解決問題，然而現(xiàn)在的大多數(shù)學生拿著一道題目，老想著用自己做過的題型去“復制”，一味地追求所謂的“模板”，當遇到有些難度或者沒做過類似題型時，往往就“卡殼”甚至束手無策了?，F(xiàn)階段，數(shù)學思想方法在高考中越來越受到重視，特別是中檔題或難題這些用以考查思維能力的試題題目，解答過程中無一不包含著重要的數(shù)學思想。這些現(xiàn)象都表明以往的生搬硬套已經(jīng)不再適用于現(xiàn)在的數(shù)學學習，必須要鍛煉自己應用數(shù)學思想去解決問題的意識，培養(yǎng)自己的數(shù)學思維和眼光，提高自己的數(shù)學能力。一、數(shù)學思想的含義及運用1.分類討論思想有時候一個問題之所以顯得較為復雜，是因為其中包含著一些不確定的因素，例如：函數(shù)解析式中的參數(shù)，方程有多個解、三角函數(shù)的周期性等。分類討論思想就是根據(jù)所研究對象因受到某種不確定因素的影響產(chǎn)生了多種情況，從而將其分成不同的情況進行分析解決，從而將一個較復雜的數(shù)學問題分解成若干個基礎性問題，通過“化整為零，各個擊破”的策略優(yōu)化解題思路，從而降低難度。分類討論思想是高中數(shù)學中的一種計較常見的思想，它對于人的思維發(fā)展有著很大的促進作用，在歷年的高考試題中它都會被做為一個重點內(nèi)容來考查。例：求函數(shù)f(x)x2mx1在區(qū)間3,1[]上的最值.【問題分析】 （1）本題考查含參二次函數(shù)在給定區(qū)間上的最值問題，因為解析式中含有參數(shù)，所以本題會出現(xiàn)多種情況，進而想到用分類討論思想來解決；（2）由于參數(shù)在一次項系數(shù)中，所以會對函數(shù)的對稱軸產(chǎn)生影響，而恰恰二次函數(shù)的對稱軸又能影響到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，進而影響到函數(shù)的最值點，所以本題應通過討論對稱軸的位置來解決；（3）對于圖像開口向上的二次函數(shù)，當一點與對稱軸的水平距離越大時，該點處的函數(shù)值越大，反之則越小。所以討論最大值時，應分為對稱軸在給定區(qū)間中點的左側(cè)或右側(cè)兩種情況來討論；討論最小值時，應分對稱軸在給定區(qū)間的左側(cè)，內(nèi)部，右側(cè)三種情況來討論。這樣一來，如果把最大值與最小值放在一起來考慮，就會把對稱軸的位置分為四種情況：①區(qū)間左側(cè)；②區(qū)間左端點與中點之間；③區(qū)間中點與右端點之間；④區(qū)間右側(cè)?！窘獯疬^程】)時，解：①當m 2(]1,即m[,2最大值為f(3)m10，最小值為f)1(m2；②當m22,1(]即m[,42)時，最大值為f(3)m10，最小值為f(m)m21；24③當m2(3,2]即m[,64)時，最大值為f)1(m2，最小值為f(m)m21；24④當m 2(,3)即m(,6)時，最大值為f)1(m2，最小值為f(3)m10；2.數(shù)形結(jié)合思想“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微?！边@是我國著名的數(shù)學家華羅庚先生曾經(jīng)說過的話。在數(shù)學中，代數(shù)運算與幾何圖形是兩個最主要的研究對象，在很多情況下，二者可以相互轉(zhuǎn)化，相互促進。恩格斯是如此來定義數(shù)學的：“數(shù)學是研究現(xiàn)實世界的量的關系與空間形式的科學?！彼裕瑪?shù)形結(jié)合是數(shù)學的發(fā)展的必然產(chǎn)物，是世間萬事萬物的和諧統(tǒng)一。數(shù)形結(jié)合思想就是在研究問題的過程中，把數(shù)和形結(jié)合起來考查，主要考查二者之間的相互轉(zhuǎn)化與相互促進作用，根據(jù)具體情況，把幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，用代數(shù)運算的方法得出一些幾何里的結(jié)論，或者把代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為幾何的問題，利用幾何圖形的直觀性化簡代數(shù)運算中比較繁瑣的過程，二者互相取長補短，使得一個繁雜的問題變得比較簡單。數(shù)形結(jié)合思想在解決集合，函數(shù)，方程與不等式，向量等問題中都發(fā)揮著很大的作用，尤其是在解析幾何中，更是體現(xiàn)得淋漓盡致。歷年高考中對這方面的考查都很多，比如圓錐曲線一般都會占到20分左右，因此熟練運用數(shù)形結(jié)合思想對于數(shù)學思維的培養(yǎng)是非常重要的。C2例：已知一個動圓P與兩個定圓都外切，定圓C1(:x4)2y2100，定圓(:x4)2y24，求動圓P的圓心的軌跡方程?！締栴}分析】

此題是解析幾何中的一道關于軌跡方程的問題，如果直接運用方程求解的方法將會非常麻煩，而如果運用數(shù)形結(jié)合的思想方法，通過在平面直角坐標系下畫出圖形，利用“形”的直觀就可以很簡便地求出“數(shù)”的問題?！窘獯疬^程】解：設動圓的圓心為P(x,y)，半徑是，由題可知定圓C1的圓心是(0,4)，半徑是10；定圓C2的圓心是(0,4)，半徑是2；如上圖所示，動圓P與定圓C1是內(nèi)切關系，所以|C1P|10r，與定圓C2是外切關系，所以|C2P|r2，所以|C1P||C2P|12|C1C2|，所以點P的軌跡是橢圓。易知c4，a6，所以b2a2c220，動圓P圓心的軌跡方程是x2 2y201。363.函數(shù)與方程思想函數(shù)與方程是數(shù)學中解決問題的兩大利器。方程思想是利用已知數(shù)與未知數(shù)建立等量關系，通過設未知數(shù)列方程，然后求值從而達到解決問題的方法。方程思想常用于幾何動點類型的問題中，將變化的量設為未知數(shù)，從而達到動中有靜、靜中有動、以靜制動的效果。函數(shù)是研究變量之間的對應關系，函數(shù)思想就是利用變化量變化時的對應關系來分析和解決問題，通過已知的數(shù)量特征及關系建立函數(shù)表達式，然后用函數(shù)知識去解決問題的方法。函數(shù)思想的關鍵就是構(gòu)造函數(shù)，函數(shù)知識主要體現(xiàn)在函數(shù)的增減性、最大值和最小值、等，高中階段要熟練掌握基本初等函數(shù)的具體特性。例：（2022·全國·高考真題）已知正四棱錐的側(cè)棱長為l，其各頂點都在同一球面上.若該球的體積為36p，且3￡￡33，則該正四棱錐體積的取值范圍是（）A．é 81ê?18,4ùú?B．éê?27814 , 4ùú?C．éê?27644 , 3ù

ú?D．[18,27]【問題分析】

設正四棱錐的高為，由球的截面性質(zhì)列方程求出正四棱錐的底面邊長與高的關系，進而表示出體積之后，再利用之前的關系把所有的未知量全部轉(zhuǎn)化為側(cè)棱長，最終把正四棱錐的體積轉(zhuǎn)化為關于側(cè)棱長的函數(shù)，利用求導的方法得出函數(shù)的單調(diào)性與最值點，最終確定體積的取值范圍。【解答過程】

∵球的體積為36p，所以球的半徑R=3,設正四棱錐的底面邊長為2a，高為，則l2=2a2+h2，32=2a2+(3-h)2,=1l?4-l6?所以6h=l2，2a2=l2-h2所以正四棱錐的體積V 1=3Sh1

=′34a2′h2

=′3(l2-l4)′l23669?

è36÷，?所以V 1￠=9?

?4lè3-l5? 1÷?

=9l3?24?è-l2?

÷，

?6664，當3￡￡26時，V￠>0，當26<￡33時，V￠<0，所以當l=26時，正四棱錐的體積V取最大值，最大值為3又l=3時，V=27，l=33時， 81V=4,4所以正四棱錐的體積V的最小值為27，4所以該正四棱錐體積的取值范圍是éê?27644 ， 3ù

ú?.故選：C.4.轉(zhuǎn)化與化歸思想轉(zhuǎn)化與化歸思想，就是在分析和解決有關數(shù)學問題時，使用整體、換元等方法將原有問題轉(zhuǎn)化為另一種更為簡潔的問題，進而使問題得到解決的一種數(shù)學方法。更具體的來說就是將待解決或尚未解決的問題通過轉(zhuǎn)化或再轉(zhuǎn)化，歸結(jié)為一個已經(jīng)解決的問題，或者歸結(jié)為一個已為人們所熟知的具有既定方法或程序的問題，最終得到問題解決的思想方法。主要包含以下四個方面：1.化繁為簡；2.化難為易；3.化未知為已知；4.化大為小。比如有時候可以把問題中某些比較繁瑣的部分看成一個整體，利用換元法的思想使問題變得簡潔一些。例：已知x,yR且2x3y23x，那么（）xy0A.xy0B.xy0C.xy0D.【分析】如果從函數(shù)的角度來思考，不等式左右兩邊都是二元函數(shù)，但是目前學生只學習過一元函數(shù)，為此先把不等式化為2x3x2y3y，使得兩邊都先化為一元函數(shù)，此時可以發(fā)現(xiàn)左右兩邊式子的結(jié)構(gòu)是一樣的，于是可以構(gòu)造函數(shù)f(x)2x3x，通過構(gòu)造函數(shù)，把不等式問題化歸為函數(shù)單調(diào)性問題?！窘獯疬^程】解：原式通過移項可得2x3x2y3y，即2x3x2y3(y).構(gòu)造函數(shù)f(x)2x3x.因為y2x是R上的增函數(shù)，y3x是R上的減函數(shù)，根據(jù)“增-減=增”的原則可得f(x)2x3x是R上的增函數(shù).所以2x3x2y3(y)即可化為f(x)f(y)，所以xy即xy0，故選B.二、課堂教學中對高中數(shù)學核心思想的培養(yǎng)教師在教學中應重視對學生數(shù)學思想方法的培養(yǎng)，除了要讓學生掌握數(shù)學基本知識和基本技能，還應該重點培養(yǎng)學生將代數(shù)運算與幾何圖形的互相結(jié)合的思想，遇