2020版高考數(shù)學(xué)（理）一輪復(fù)習(xí)通用版講義第六章第一節(jié)數(shù)列的概念與簡(jiǎn)單表示

第一節(jié)數(shù)列的概念與簡(jiǎn)單表示1．?dāng)?shù)列的概念(1)數(shù)列的定義：按照一定順序排列的一列數(shù)叫做數(shù)列，數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)叫做這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)．(2)數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系：從函數(shù)觀點(diǎn)看，數(shù)列可以看成以正整數(shù)集N*(或它的有限子集)為定義域的函數(shù)an＝f(n)，當(dāng)自變量按照從小到大的順序依次取值時(shí)所對(duì)應(yīng)的一列函數(shù)值．(3)數(shù)列的表示法：列表法、圖象法和通項(xiàng)公式法．eq\x(數(shù)列的圖象是一系列孤立的點(diǎn)，而不是連續(xù)的曲線.)2．?dāng)?shù)列的分類分類原則類型滿足條件按項(xiàng)數(shù)分類有窮數(shù)列項(xiàng)數(shù)有限無窮數(shù)列項(xiàng)數(shù)無限按項(xiàng)與項(xiàng)間的大小關(guān)系分類遞增數(shù)列an＋1＞an其中n∈N*遞減數(shù)列an＋1＜an常數(shù)列an＋1＝an3．?dāng)?shù)列的通項(xiàng)公式(1)通項(xiàng)公式：如果數(shù)列{an}的第n項(xiàng)an與序號(hào)n之間的關(guān)系可以用一個(gè)式子an＝f(n)來表示，那么這個(gè)公式叫做這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式．?dāng)?shù)列通項(xiàng)公式的注意點(diǎn)(1)并不是所有的數(shù)列都有通項(xiàng)公式；(2)同一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式在形式上未必唯一；(3)對(duì)于一個(gè)數(shù)列，如果只知道它的前幾項(xiàng)，而沒有指出它的變化規(guī)律，是不能確定這個(gè)數(shù)列的．(2)遞推公式：如果已知數(shù)列{an}的第1項(xiàng)(或前幾項(xiàng))，且從第二項(xiàng)(或某一項(xiàng))開始的任一項(xiàng)an與它的前一項(xiàng)an－1(或前幾項(xiàng))間的關(guān)系可以用一個(gè)公式來表示，那么這個(gè)公式就叫做這個(gè)數(shù)列的遞推公式.通項(xiàng)公式和遞推公式的異同點(diǎn)不同點(diǎn)相同點(diǎn)通項(xiàng)公式可根據(jù)某項(xiàng)的序號(hào)n的值，直接代入求出an,都可確定一個(gè)數(shù)列，也都可求出數(shù)列的任意一項(xiàng)遞推公式可根據(jù)第一項(xiàng)(或前幾項(xiàng))的值，通過一次(或多次)賦值，逐項(xiàng)求出數(shù)列的項(xiàng)，直至求出所需的an，也可通過變形轉(zhuǎn)化，直接求出an[小題查驗(yàn)基礎(chǔ)]一、判斷題(對(duì)的打“√”，錯(cuò)的打“×”)(1)相同的一組數(shù)按不同順序排列時(shí)都表示同一個(gè)數(shù)列．()(2)根據(jù)數(shù)列的前幾項(xiàng)歸納出數(shù)列的通項(xiàng)公式可能不止一個(gè)．()(3)1,1,1,1，…，不能構(gòu)成一個(gè)數(shù)列．()(4)任何一個(gè)數(shù)列不是遞增數(shù)列，就是遞減數(shù)列．()(5)如果數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，則對(duì)?n∈N*，都有an＋1＝Sn＋1－Sn.()答案：(1)×(2)√(3)×(4)×(5)√二、選填題1．?dāng)?shù)列－1，eq\f(1,2)，－eq\f(1,3)，eq\f(1,4)，－eq\f(1,5)，…的一個(gè)通項(xiàng)公式為()A．a(chǎn)n＝±eq\f(1,n) B．a(chǎn)n＝(－1)n·eq\f(1,n)C．a(chǎn)n＝(－1)n＋1eq\f(1,n) D．a(chǎn)n＝eq\f(1,n)答案：B2．已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝n2－8n＋15，則3()A．不是數(shù)列{an}中的項(xiàng)B．只是數(shù)列{an}中的第2項(xiàng)C．只是數(shù)列{an}中的第6項(xiàng)D．是數(shù)列{an}中的第2項(xiàng)或第6項(xiàng)解析：選D令an＝3，即n2－8n＋15＝3，解得n＝2或6，故3是數(shù)列{an}中的第2項(xiàng)或第6項(xiàng)．3．已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，an＝an－1＋2n(n≥2)，則a7＝()A．53 B．54C．55 D．109解析：選C由題意知，a2＝a1＋2×2，a3＝a2＋2×3，…，a7＝a6＋2×7，各式相加得a7＝a1＋2(2＋3＋4＋5＋6＋7)＝55.4．在數(shù)列{an}中，a1＝1，an＝1＋eq\f(－1n,an－1)(n≥2)，則a5＝________.解析：a1＝1，a2＝1＋eq\f(1,a1)＝2，a3＝1－eq\f(1,a2)＝eq\f(1,2)，a4＝1＋eq\f(1,a3)＝3，a5＝1－eq\f(1,a4)＝eq\f(2,3).答案：eq\f(2,3)5．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝2n2＋n，則an＝________.解析：當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝2n2＋n－2(n－1)2－(n－1)＝4n－1.當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝3＝4×1－1，故an＝4n－1.答案：4n－1考點(diǎn)一由數(shù)列的前幾項(xiàng)求通項(xiàng)公式[基礎(chǔ)自學(xué)過關(guān)][題組練透]1．?dāng)?shù)列0，eq\f(2,3)，eq\f(4,5)，eq\f(6,7)，…的一個(gè)通項(xiàng)公式為()A．a(chǎn)n＝eq\f(n－1,n＋2)(n∈N*) B．a(chǎn)n＝eq\f(n－1,2n＋1)(n∈N*)C．a(chǎn)n＝eq\f(2n－1,2n－1)(n∈N*) D．a(chǎn)n＝eq\f(2n,2n＋1)(n∈N*)答案：C2．?dāng)?shù)列－eq\f(1,1×2)，eq\f(1,2×3)，－eq\f(1,3×4)，eq\f(1,4×5)，…的一個(gè)通項(xiàng)公式an＝________.解析：這個(gè)數(shù)列前4項(xiàng)的絕對(duì)值都等于序號(hào)與序號(hào)加1的積的倒數(shù)，且奇數(shù)項(xiàng)為負(fù)，偶數(shù)項(xiàng)為正，所以它的一個(gè)通項(xiàng)公式為an＝(－1)neq\f(1,nn＋1).答案：(－1)neq\f(1,nn＋1)3．?dāng)?shù)列eq\r(3)，eq\r(7)，eq\r(11)，eq\r(15)，…的一個(gè)通項(xiàng)公式an＝________.解析：因?yàn)?－3＝11－7＝15－11＝4，即aeq\o\al(2,n＋1)－aeq\o\al(2,n)＝4，所以aeq\o\al(2,n)＝3＋(n－1)×4＝4n－1，所以an＝eq\r(4n－1).答案：eq\r(4n－1)[名師微點(diǎn)]由數(shù)列前幾項(xiàng)歸納數(shù)列通項(xiàng)公式的常用方法及具體策略(1)常用方法觀察(觀察規(guī)律)、比較(比較已知數(shù)列)、歸納、轉(zhuǎn)化(轉(zhuǎn)化為特殊數(shù)列)、聯(lián)想(聯(lián)想常見的數(shù)列)等方法．同時(shí)也可以使用添項(xiàng)、還原、分割等方法，轉(zhuǎn)化為一個(gè)常見數(shù)列，通過常見數(shù)列的通項(xiàng)公式求得所給數(shù)列的通項(xiàng)公式．(2)具體策略①分式中分子、分母的特征；②相鄰項(xiàng)的變化特征，如遞增時(shí)可考慮關(guān)于n為一次遞增或以2n,3n等形式遞增；③拆項(xiàng)后的特征；④各項(xiàng)的符號(hào)特征和絕對(duì)值的特征；⑤化異為同，對(duì)于分式還可以考慮對(duì)分子、分母各個(gè)擊破，或?qū)ふ曳肿?、分母之間的關(guān)系；⑥對(duì)于符號(hào)交替出現(xiàn)的情況，可用(－1)n或(－1)n＋1，n∈N*來處理．考點(diǎn)二an與Sn關(guān)系的應(yīng)用[師生共研過關(guān)][典例精析](1)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝n2＋2n＋1(n∈N*)，則an＝________.(2)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝eq\f(1,3)an＋eq\f(2,3)，則{an}的通項(xiàng)公式an＝________.(3)已知數(shù)列{an}中，a1＝1，Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，且當(dāng)n≥2時(shí)，有eq\f(2an,anSn－S\o\al(2,n))＝1成立，則S2019＝________.[解析](1)當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝2n＋1；當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝4≠2×an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4，n＝1，,2n＋1，n≥2.))(2)當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝eq\f(1,3)a1＋eq\f(2,3)，所以a1n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝eq\f(1,3)an－eq\f(1,3)an－1，所以eq\f(an,an－1)＝－eq\f(1,2)，所以數(shù)列{an}為首項(xiàng)a1＝1，公比q＝－eq\f(1,2)的等比數(shù)列，故an＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))n－1.(3)當(dāng)n≥2時(shí)，由eq\f(2an,anSn－S\o\al(2,n))＝1，得2(Sn－Sn－1)＝(Sn－Sn－1)·Sn－Seq\o\al(2,n)＝－SnSn－1，所以eq\f(2,Sn)－eq\f(2,Sn－1)＝1，又eq\f(2,S1)＝2，所以eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(2,Sn)))是以2為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，所以eq\f(2,Sn)＝n＋1，故Sn＝eq\f(2,n＋1)，則S2019＝eq\f(1,1010).[答案](1)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4，n＝1，,2n＋1，n≥2))(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))n－1(3)eq\f(1,1010)[解題技法]an與Sn關(guān)系的應(yīng)用策略(1)僅含有Sn的遞推數(shù)列或既含有Sn又含有an的遞推數(shù)列，一般利用公式Sn－Sn－1＝an(n≥2)實(shí)施消元法，將遞推關(guān)系轉(zhuǎn)化為僅含an的關(guān)系式或僅含Sn的關(guān)系式，即“二者消元留一象”．(2)究竟消去an留Sn好，還是消去Sn留an好？取決于消元后的代數(shù)式經(jīng)過恒等變形后能否得到簡(jiǎn)單可求的數(shù)列關(guān)系，如等差數(shù)列關(guān)系或等比數(shù)列關(guān)系，若消去an留Sn可以得到簡(jiǎn)單可求的數(shù)列關(guān)系，那么就應(yīng)當(dāng)消去an留Sn，否則就嘗試消去Sn留an，即“何知去留誰(shuí)更好，變形易把關(guān)系找”．(3)值得一提的是：數(shù)列通項(xiàng)公式an求出后，還需要驗(yàn)證數(shù)列首項(xiàng)a1是否也滿足通項(xiàng)公式，即“通項(xiàng)求出莫疏忽，驗(yàn)證首項(xiàng)滿足否”，這一步學(xué)生容易忘記，切記！[口訣記憶]前n項(xiàng)和與通項(xiàng)，二者消元留一象；何知去留誰(shuí)更好，變形易把關(guān)系找；通項(xiàng)求出莫疏忽，驗(yàn)證首項(xiàng)滿足否．[過關(guān)訓(xùn)練]1．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝3n＋1，則an＝________.解析：當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝3＋1＝4；當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝(3n＋1)－(3n－1＋1)＝2·3n－1.當(dāng)n＝1時(shí)，2×31－1＝2≠a1，所以an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4，n＝1，,2·3n－1，n≥2.))答案：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4，n＝1，,2·3n－1，n≥2))2．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a1＝1，Sn＝2an＋1，則Sn＝________.解析：因?yàn)镾n＝2an＋1，所以當(dāng)n≥2時(shí)，Sn－1＝2an，所以an＝Sn－Sn－1＝2an＋1－2an(n≥2)，即eq\f(an＋1,an)＝eq\f(3,2)(n≥2)，又a2＝eq\f(1,2)，所以an＝eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))n－2(n≥2)．當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝1≠eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))－1＝eq\f(1,3)，所以an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1，n＝1，,\f(1,2)×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))n－2，n≥2，))所以Sn＝2an＋1＝2×eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))n－1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))n－1.答案：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))n－1考點(diǎn)三由數(shù)列的遞推關(guān)系式求通項(xiàng)[全析考法過關(guān)](一)累加法——形如an＋1－an＝f(n)，求an[例1](2019·鄭州模擬)設(shè)數(shù)列{an}滿足a1＝1，且an＋1－an＝n＋1(n∈N*)，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為________．[解析]由題意得a2－a1＝2，a3－a2＝3，…，∴an－an－1＝n(n≥2)．以上各式相加，得an－a1＝2＋3＋…＋n＝eq\f(n－12＋n,2)＝eq\f(n2＋n－2,2).∵a1＝1，∴an＝eq\f(n2＋n,2)(n≥2)．∵當(dāng)n＝1時(shí)也滿足此式，∴an＝eq\f(n2＋n,2).[答案]an＝eq\f(n2＋n,2)[口訣記憶]兩項(xiàng)之差一函數(shù)，兩邊求和莫躊躇．對(duì)于形如an＋1－an＝f(n)的遞推關(guān)系的遞推數(shù)列，即數(shù)列相鄰兩項(xiàng)之差是一個(gè)關(guān)于n的函數(shù)式，可以直接對(duì)等式兩邊求和進(jìn)行解答，也可寫為an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1的形式．(二)累乘法——形如eq\f(an＋1,an)＝f(n)，求an[例2]在數(shù)列{an}中，a1＝1，an＝eq\f(n－1,n)an－1(n≥2，n∈N*)，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為________．[解析]∵an＝eq\f(n－1,n)an－1(n≥2)，∴an－1＝eq\f(n－2,n－1)an－2，an－2＝eq\f(n－3,n－2)an－3，…，a2＝eq\f(1,2)a1.以上(n－1)個(gè)式子相乘得，an＝a1·eq\f(1,2)·eq\f(2,3)·…·eq\f(n－1,n)＝eq\f(a1,n)＝eq\f(1,n).當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝1，符合上式，∴an＝eq\f(1,n).[答案]an＝eq\f(1,n)[口訣記憶]函數(shù)對(duì)應(yīng)兩項(xiàng)商，左右求積細(xì)端詳．對(duì)于形如eq\f(an＋1,an)＝f(n)的遞推關(guān)系的遞推數(shù)列，即數(shù)列相鄰兩項(xiàng)之商是一個(gè)關(guān)于n的函數(shù)式，可以直接對(duì)等式兩邊求積解答，也可寫為an＝eq\f(an,an－1)·eq\f(an－1,an－2)·…·eq\f(a2,a1)·a1的形式．(三)待定系數(shù)法——形如an＋1＝Aan＋B(A≠0且A≠1，B≠0)，求an[例3](2019·青島模擬)已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，an＋1＝3an＋2(n∈N*)，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為________．[解析]∵an＋1＝3an＋2，∴an＋1＋1＝3(an＋1)，∴eq\f(an＋1＋1,an＋1)＝3，∴數(shù)列{an＋1}為等比數(shù)列，公比q＝3，又a1＋1＝2，∴an＋1＝2·3n－1，∴an＝2·3n－1－1.[答案]an＝2·3n－1－1[口訣記憶]相鄰兩項(xiàng)是一次，尾巴跟著個(gè)常數(shù)，函數(shù)結(jié)構(gòu)藏玄機(jī)，待定系數(shù)化等比．對(duì)于形如an＋1＝Aan＋B(A≠0且A≠1，B≠0)的遞推關(guān)系的遞推數(shù)列，即數(shù)列相鄰的次數(shù)都是一次，尾巴上有一個(gè)常數(shù)，求此類數(shù)列的通項(xiàng)公式，通常采用待定系數(shù)法將其轉(zhuǎn)化為an＋1＋k＝A(an＋k)求解．(四)取倒數(shù)法——形如an＋1＝eq\f(Aan,Ban＋C)(A，B，C為常數(shù))，求an[例4]已知數(shù)列{an}中，a1＝1，an＋1＝eq\f(2an,an＋2)(n∈N*)，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an＝________.[解析]因?yàn)閍n＋1＝eq\f(2an,an＋2)，a1＝1，所以an≠0，所以eq\f(1,an＋1)＝eq\f(1,an)＋eq\f(1,2)，即eq\f(1,an＋1)－eq\f(1,an)＝eq\f(1,2).又a1＝1，則eq\f(1,a1)＝1，所以eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))是以1為首項(xiàng)，eq\f(1,2)為公差的等差數(shù)列．所以eq\f(1,an)＝eq\f(1,a1)＋(n－1)×eq\f(1,2)＝eq\f(n,2)＋eq\f(1,2).所以an＝eq\f(2,n＋1).[答案]eq\f(2,n＋1)形如an＋1＝eq\f(Aan,Ban＋C)A，B，C為常數(shù)的數(shù)列，將其變形為eq\f(1,an＋1)＝eq\f(C,A)·eq\f(1,an)＋eq\f(B,A).①若A＝C，則eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))是等差數(shù)列，且公差為eq\f(B,A)，可直接用公式求通項(xiàng)；②若A≠C，則采用待定系數(shù)法，構(gòu)造新數(shù)列求解.[過關(guān)訓(xùn)練]1．[累加法]在數(shù)列{an}中，a1＝3，an＋1＝an＋eq\f(1,nn＋1)，則通項(xiàng)公式an＝________.解析：原遞推公式可化為an＋1＝an＋eq\f(1,n)－eq\f(1,n＋1)，則a2＝a1＋1－eq\f(1,2)，a3＝a2＋eq\f(1,2)－eq\f(1,3)，a4＝a3＋eq\f(1,3)－eq\f(1,4)，…，an－1＝an－2＋eq\f(1,n－2)－eq\f(1,n－1)，an＝an－1＋eq\f(1,n－1)－eq\f(1,n)，累計(jì)相加得，an＝a1＋1－eq\f(1,n)，故an＝4－eq\f(1,n).答案：4－eq\f(1,n)2．[累乘法]已知a1＝2，an＋1＝2nan，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an＝________.解析：∵an＋1＝2nan，∴eq\f(an＋1,an)＝2n，當(dāng)n≥2時(shí)，an＝eq\f(an,an－1)·eq\f(an－1,an－2)·…·eq\f(a2,a1)·a1＝2n－1·2n－2·…·2·2＝2.又a1＝1也符合上式，∴an＝2.答案：23．[待定系數(shù)法]已知數(shù)列{an}中，a1＝3，且點(diǎn)Pn(an，an＋1)(n∈N*)在直線4x－y＋1＝0上，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為________．解析：因?yàn)辄c(diǎn)Pn(an，an＋1)(n∈N*)在直線4x－y＋1＝0上，所以4an－an＋1＋1＝0.所以an＋1＋eq\f(1,3)＝4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(an＋\f(1,3))).因?yàn)閍1＝3，所以a1＋eq\f(1,3)＝eq\f(10,3).故數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an＋\f(1,3)))是首項(xiàng)為eq\f(10,3)，公比為4的等比數(shù)列．所以an＋eq\f(1,3)＝eq\f(10,3)×4n－1，故數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝eq\f(10,3)×4n－1－eq\f(1,3).答案：eq\f(10,3)×4n－1－eq\f(1,3)4．[取倒數(shù)法]已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，an＋1＝eq\f(an,an＋2)(n∈N*)，若bn＋1＝(n－2λ)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)＋1))(n∈N*)，b1＝－eq\f(3,2)λ，且數(shù)列{bn}是遞增數(shù)列，則實(shí)數(shù)λ的取值范圍是__________．解析：由an＋1＝eq\f(an,an＋2)，得eq\f(1,an＋1)＝1＋eq\f(2,an)，所以eq\f(1,an＋1)＋1＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)＋1))，故eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)＋1))是首項(xiàng)為eq\f(1,a1)＋1＝2，公比為2的等比數(shù)列，則eq\f(1,an)＋1＝2n，bn＋1＝(n－2λ)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)＋1))＝(n－2λ)·2n，又b1＝－eq\f(3,2)λ，且數(shù)列{bn}是遞增數(shù)列，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)λ＜1－2λ·2，,n－1－2λ·2n－1＜n－2λ·2n，n≥2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＜\f(4,5)，,λ＜\f(n＋1,2)，n≥2，))所以λ＜eq\f(4,5).答案：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(4,5)))考點(diǎn)四數(shù)列的性質(zhì)[師生共研過關(guān)][典例精析](1)已知數(shù)列{an}滿足an＋1＝eq\f(1,1－an)，若a1＝eq\f(1,2)，則a2018＝()A．－1 B.eq\f(1,2)C．1 D．2(2)若an＝n2＋kn＋4且對(duì)于n∈N*，都有an＋1＞an成立，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是________．(3)若數(shù)列{an}的通項(xiàng)an＝eq\f(n,n2＋90)，則數(shù)列{an}中的最大項(xiàng)是第________項(xiàng)．[解析](1)由a1＝eq\f(1,2)，an＋1＝eq\f(1,1－an)，得a2＝eq\f(1,1－a1)＝2，a3＝eq\f(1,1－a2)＝－1，a4＝eq\f(1,1－a3)＝eq\f(1,2)，a5＝eq\f(1,1－a4)＝2，…，于是可知數(shù)列{an}是以3為周期的周期數(shù)列，因此a2018＝a3×672＋2＝a2＝2.(2)由an＋1＞an知該數(shù)列是一個(gè)遞增數(shù)列，∵通項(xiàng)公式an＝n2＋kn＋4，∴(n＋1)2＋k(n＋1)＋4＞n2＋kn＋4，即k＞－1－2n，又n∈N*，∴k＞－3.(3)令f(x)＝x＋eq\f(90,x)(x＞0)，運(yùn)用基本不等式得f(x)≥6eq\r(10)，當(dāng)且僅當(dāng)x＝3eq\r(10)時(shí)等號(hào)成立．因?yàn)閍n＝eq\f(1,n＋\f(90,n))，所以eq\f(1,n＋\f(90,n))≤eq\f(1,6\r(10))，由于n∈N*，不難發(fā)現(xiàn)當(dāng)n＝9或n＝10時(shí)，an＝eq\f(1,19)最大．[答案](1)D(2)(－3，＋∞)(3)9或10[解題技法]1．解決數(shù)列周期性問題的方法先根據(jù)已知條件求出數(shù)列的前幾項(xiàng)，確定數(shù)列的周期，再根據(jù)周期性求值．2．判斷數(shù)列單調(diào)性的2種方法(1)作差比較法：比較an＋1－an與0的大?。?2)作商比較法：比較eq\f(an＋1,an)與1的大小，注意an的符號(hào)．3．求數(shù)列最大項(xiàng)或最小項(xiàng)的方法(1)將數(shù)列視為函數(shù)f(x)當(dāng)x∈N*時(shí)所對(duì)應(yīng)的一列函數(shù)值，根據(jù)f(x)的類型作出相應(yīng)的函數(shù)圖象，或利用求函數(shù)最值的方法，求出f(x)的最值，進(jìn)而求出數(shù)列的最大(小)項(xiàng)；(2)通過通項(xiàng)公式an研究數(shù)列的單調(diào)性，利用eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(an≥an－1，,an≥an＋1))(n≥2)確定最大項(xiàng)，利用eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(an≤an－1，,an≤an＋1))(n≥2)確定最小項(xiàng)．(3)比較法：若有an＋1－an＝f(n＋1)－f(n)＞0eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(或an＞0時(shí)，\f(an＋1,an)＞1))，則an＋1＞an，即數(shù)列{an}是遞增數(shù)列，所以數(shù)列{an}的最小項(xiàng)為a1＝f(1)；若有an＋1－an＝f(n＋1)－f(n)＜0eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(或an＞0時(shí)，\f(an＋1,an)＜1))，則an＋1＜an，即數(shù)列{an}是遞減數(shù)列，所以數(shù)列{an}的最大項(xiàng)為a1＝f(1)．[過關(guān)訓(xùn)練]1．已知等差數(shù)列{an}的公差d＜0，且aeq\o\al(2,1)＝aeq\o\al(2,11)，則數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn取得最大值時(shí)，項(xiàng)數(shù)n的值為()A．5 B．6C．5或6 D．6或7解析：選C由aeq\o\al(2,1)＝aeq\o\al(2,11)，可得(a1＋a11)(a1－a11)＝0，因?yàn)閐＜0，所以a1－a11≠0，所以a1＋a11＝0，又2a6＝a1＋a11，所以a6＝0.因?yàn)閐＜0，所以{an}是遞減數(shù)列，所以a1＞a2＞…＞a5＞a6＝0＞a7＞a8＞…，顯然前5項(xiàng)和或前6項(xiàng)和最大，故選C.2．已知數(shù)列{an}的首項(xiàng)為2，且數(shù)列{an}滿足an＋1＝eq\f(an－1,an＋1)，數(shù)列{an}的前n項(xiàng)的和為Sn，則S1008等于()A．504 B．294C．－294 D．－504解析：選C∵a1＝2，an＋1＝eq\f(an－1,an＋1)，∴a2＝eq\f(1,3)，a3＝－eq\f(1,2)，a4＝－3，a5＝2，…，∴數(shù)列{an}的周期為4，且a1＋a2＋a3＋a4＝－eq\f(7,6)，∴S1008＝S4×252＝252×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(7,6)))＝－294.eq\a\vs4\al([課時(shí)跟蹤檢測(cè)])一、題點(diǎn)全面練1．已知數(shù)列1,2，eq\r(7)，eq\r(10)，eq\r(13)，…，則2eq\r(19)在這個(gè)數(shù)列中的項(xiàng)數(shù)是()A．16 B．24C．26 D．28解析：選C因?yàn)閍1＝1＝eq\r(1)，a2＝2＝eq\r(4)，a3＝eq\r(7)，a4＝eq\r(10)，a5＝eq\r(13)，…，所以an＝eq\r(3n－2).令an＝eq\r(3n－2)＝2eq\r(19)＝eq\r(76)，解得n＝26.2．若數(shù)列{an}滿足a1＝1，a2＝3，an＋1＝(2n－λ)an(n＝1，2，…)，則a3等于()A．5 B．9C．10 D．15解析：選D令n＝1，則3＝2－λ，即λ＝－1，由an＋1＝(2n＋1)an，得a3＝5a2＝5×3＝15.故選D.3．若Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，且Sn＝eq\f(n,n＋1)，則eq\f(1,a5)等于()A.eq\f(5,6) B.eq\f(6,5)C.eq\f(1,30) D．30解析：選D當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝eq\f(n,n＋1)－eq\f(n－1,n)＝eq\f(1,nn＋1)，所以eq\f(1,a5)＝5×6＝30.4．(2019·西寧模擬)數(shù)列{an}滿足a1＝2，an＋1＝aeq\o\al(2,n)(an＞0)，則an＝()A．10n－2 B．10n－1C．102n－4 D．22n－1解析：選D因?yàn)閿?shù)列{an}滿足a1＝2，an＋1＝aeq\o\al(2,n)(an＞0)，所以log2an＋1＝2log2an?eq\f(log2an＋1,log2an)＝2，所以{log2an}是公比為2的等比數(shù)列，所以log2an＝log2a1·2n－1?an＝22n－1.5．設(shè)數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝n2－bn，若數(shù)列{an}是單調(diào)遞增數(shù)列，則實(shí)數(shù)b的取值范圍為()A．(－∞，－1] B．(－∞，2]C．(－∞，3) D.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(9,2)))解析：選C因?yàn)閿?shù)列{an}是單調(diào)遞增數(shù)列，所以an＋1－an＝2n＋1－b＞0(n∈N*)，所以b＜2n＋1(n∈N*)，所以b＜(2n＋1)min＝3，即b＜3.6．(2018·佛山模擬)若數(shù)列{an}滿足eq\f(1,2)a1＋eq\f(1,22)a2＋eq\f(1,23)a3＋…＋eq\f(1,2n)an＝2n＋1，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an＝________.解析：因?yàn)閑q\f(1,2)a1＋eq\f(1,22)a2＋eq\f(1,23)a3＋…＋eq\f(1,2n)an＝2n＋1，所以eq\f(1,2)a1＋eq\f(1,22)a2＋eq\f(1,23)a3＋…＋eq\f(1,2n)an＋eq\f(1,2n＋1)an＋1＝2(n＋1)＋1，兩式相減得eq\f(1,2n＋1)an＋1＝2，即an＝2n＋1，n≥eq\f(1,2)a1＝3，所以a1＝6，因此an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(6，n＝1，,2n＋1，n≥2.))答案：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(6，n＝1，,2n＋1，n≥2))7．已知數(shù)列{an}滿足an≠0,2an(1－an＋1)－2an＋1(1－an)＝an－an＋1＋an·an＋1，且a1＝eq\f(1,3)，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an＝________.解析：∵an≠0,2an(1－an＋1)－2an＋1(1－an)＝an－an＋1＋an·an＋1，∴兩邊同除以an·an＋1，得eq\f(21－an＋1,an＋1)－eq\f(21－an,an)＝eq\f(1,an＋1)－eq\f(1,an)＋1，整理，得eq\f(1,an＋1)－eq\f(1,an)＝1，即eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))是以3為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，∴eq\f(1,an)＝3＋(n－1)×1＝n＋2，即an＝eq\f(1,n＋2).答案：eq\f(1,n＋2)8．已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，a2＝4，an＋2＋2an＝3an＋1(n∈N*)，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an＝________.解析：由an＋2＋2an－3an＋1＝0，得an＋2－an＋1＝2(an＋1－an)，∴數(shù)列{an＋1－an}是以a2－a1＝3為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，∴an＋1－an＝3×2n－1，∴n≥2時(shí)，an－an－1＝3×2n－2，…，a3－a2＝3×2，a2－a1＝3，將以上各式累加得an－a1＝3×2n－2＋…＋3×2＋3＝3(2n－1－1)，∴an＝3×2n－1－2(n≥2)，經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)n＝1時(shí)，an＝1，符合上式．∴an＝3×2n－1－2.答案：3×2n－1－29．設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn.已知a1＝a(a≠3)，an＋1＝Sn＋3n，n∈N*，設(shè)bn＝Sn－3n.(1)求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式；(2)若an＋1≥an，n∈N*，求a的取值范圍．解：(1)依題意，Sn＋1－Sn＝an＋1＝Sn＋3n，即Sn＋1＝2Sn＋3n，由此得Sn＋1－3n＋1＝2(Sn－3n)，即bn＋1＝2bn，又b1＝S1－3＝a－3，所以數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式為bn＝(a－3)2n－1，n∈N*.(2)由(1)知Sn＝3n＋(a－3)2n－1，n∈N*，于是，當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝3n＋(a－3)2n－1－3n－1－(a－3)2n－2＝2×3n－1＋(a－3)2n－2，an＋1－an＝4×3n－1＋(a－3)2n－2＝2n－2eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(12\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))n－2＋a－3))，當(dāng)n≥2時(shí)，an＋1≥an?12eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))n－2＋a－3≥0?a≥－9.又a2＝a1＋3＞a1.綜上，a的取值范圍是[－9,3)∪(3，＋∞)．10．已知數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù)，記數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，數(shù)列{aeq\o\al(2,n)}的前n項(xiàng)和為Tn，且3Tn＝Seq\o\al(2,n)＋2Sn，n∈N*.(1)求a1的值；(2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．解：(1)由3T1＝Seq\o\al(2,1)＋2S1，得3aeq\o\al(2,1)＝aeq\o\al(2,1)＋2a1，即aeq\o\al(2,1)－a1＝0.因?yàn)閍1＞0，所以a1＝1.(2)因?yàn)?Tn＝Seq\o\al(2,n)＋2Sn，①所以3Tn＋1＝Seq\o\al(2,n＋1)＋2Sn＋1，②②－①，得3aeq\o\al(2,n＋1)＝Seq\o\al(2,n＋1)－Seq\o\al(2,n)＋2an＋1.因?yàn)閍n＋1＞0，所以3an＋1＝Sn＋1＋Sn＋2，③所以3an＋2＝Sn＋2＋Sn＋1＋2，④④－③，得3an＋2－3an＋1＝an＋2＋an＋1，即an＋2＝2an＋1，所以當(dāng)n≥2時(shí)，eq\f(an＋1,an)＝2.又由3T2＝Seq\o\al(2,2)＋2S2，得3(1＋aeq\o\al(2,2))＝(1＋a2)2＋2(1＋a2)，即aeq\o\al(2,2)－2a2＝0.因?yàn)閍2＞0，所以a2＝2，所以eq\f(a2,a1)＝2，所以對(duì)n∈N*，都有eq\f(an＋1,an)＝2成立，所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝2n－1，n∈N*.二、專項(xiàng)培優(yōu)練(一)易錯(cuò)專練——不丟怨枉分1．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝n2＋1(n∈N*)，則an＝________.解析：當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝2，當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝n2＋1－[(n－1)2＋1]＝2n－1，故an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2，n＝1，,2n－1，n≥2.))答案：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2，n＝1，,2n－1，n≥2))2．若數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an＝(n＋1)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(10,11)))n，則此數(shù)列的最大項(xiàng)是第________項(xiàng)．解析：∵an＋1－an＝(n＋2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(10,11)))n＋1－(n＋1)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(10,11)))n＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(10,11)))n×eq\f(9－n,11)，當(dāng)n＜9時(shí)，an＋1－an＞0，即an＋1＞an；當(dāng)n＝9時(shí)，an＋1－an＝0，即an＋1＝an；當(dāng)n＞9時(shí)，an＋1－an＜0，即an＋1＜an，∴該數(shù)列中有最大項(xiàng)，且最大項(xiàng)為第9,10項(xiàng)．答案：9或103．若數(shù)列{an}滿足an＋1＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2an，0≤an≤\f(1,2)，,2an－1，\f(1,2)＜an＜1，))a1＝eq\f(3,5)，則數(shù)列{an}的第2019項(xiàng)為________．解析：由已知可得，a2＝2×eq\f(3,5)－1＝eq\f(1,5)，a3＝2×eq\f(1,5)＝eq\f(2,5)，a4＝2×eq\f(2,5)＝eq\f(4,5)，a5＝2×eq\f(4,5)－1＝eq\f(3,5)，∴{an}為周期數(shù)列且T＝4，∴a2019＝a504×4＋3＝a3＝eq\f(2,5).答案：eq\f(2,5)4．(2019·湖南永州模擬)已知數(shù)列{an}中，a1＝a，a2＝2－a，an＋2－an＝2，若數(shù)列{an}單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為________．解析：由an＋2－an＝2可知數(shù)列{an}的奇數(shù)項(xiàng)、偶數(shù)項(xiàng)分別遞增，若數(shù)列{an}單調(diào)遞增，則必有a2－a1＝(2－a)－a＞0且a2－a1＝(2－a)－a＜an＋2－an＝2，可得0＜a＜1，故實(shí)數(shù)a的取值范圍為(0,1)．答案：(0,1)(二)交匯專練——融會(huì)巧遷移5．[與函數(shù)零點(diǎn)交匯]已知二次函數(shù)f(x)＝x2－ax＋a(a＞0，x∈R)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝f(n)(n∈N*)．(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)cn＝1－eq\f(