2020版高考數(shù)學（理）一輪復習通用版講義選修第二節(jié)參數(shù)方程

第二節(jié)參數(shù)方程1.曲線的參數(shù)方程在平面直角坐標系中，如果曲線上任意一點的坐標x，y都是某個變數(shù)t的函數(shù)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝ft，,y＝gt，))并且對于t的每一個允許值，由這個方程組所確定的點M(x，y)都在這條曲線上，那么這個方程組就叫做這條曲線的參數(shù)方程，聯(lián)系變數(shù)x，y的變數(shù)t叫做參變數(shù)，簡稱參數(shù).相對于參數(shù)方程而言，直接給出點的坐標間關(guān)系的方程F(x，y)＝0叫做普通方程.2.參數(shù)方程和普通方程的互化(1)參數(shù)方程化普通方程：利用兩個方程相加、減、乘、除或者代入法消去參數(shù).(2)普通方程化參數(shù)方程：如果x＝f(t)，把它代入普通方程，求出另一個變數(shù)與參數(shù)的關(guān)系y＝g(t)，則得曲線的參數(shù)方程eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝ft，,y＝gt.))參數(shù)方程與普通方程互化的注意點(1)在參數(shù)方程與普通方程的互化中，一定要注意變量的范圍以及轉(zhuǎn)化的等價性.(2)普通方程化為參數(shù)方程，參數(shù)方程的形式不唯一，即如果選用的參數(shù)不同，那么所求得的曲線的參數(shù)方程的形式也不同.3.直線、圓與橢圓的普通方程和參數(shù)方程軌跡普通方程參數(shù)方程直線y－y0＝tanα(x－x0)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α≠\f(π,2)，點斜式))eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝x0＋tcosα，,y＝y(tǒng)0＋tsinα))(t為參數(shù))圓(x－a)2＋(y－b)2＝r2eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝a＋rcosθ，,y＝b＋rsinθ))(θ為參數(shù))橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝acosφ，,y＝bsinφ))(φ為參數(shù))[熟記常用結(jié)論]經(jīng)過點P(x0，y0)，傾斜角為α的直線l的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝x0＋tcosα，,y＝y(tǒng)0＋tsinα))(t為參數(shù)).若A，B為直線l上的兩點，其對應的參數(shù)分別為t1，t2，線段AB的中點為M，點M所對應的參數(shù)為t0，則以下結(jié)論在解題中經(jīng)常用到：(1)t0＝eq\f(t1＋t2,2)；(2)|PM|＝|t0|＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(t1＋t2,2)))；(3)|AB|＝|t2－t1|；(4)|PA|·|PB|＝|t1·t2|.[小題查驗基礎(chǔ)]一、判斷題(對的打“√”，錯的打“×”)(1)參數(shù)方程eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝ft，,y＝gt))中的x，y都是參數(shù)t的函數(shù).()(2)過M0(x0，y0)，傾斜角為αeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α≠\f(π,2)))的直線l的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝x0＋tcosα，,y＝y(tǒng)0＋tsinα))(t為參數(shù)).參數(shù)t的幾何意義表示：直線l上以定點M0為起點，任一點M(x，y)為終點的有向線段M0M的數(shù)量.()(3)方程eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2cosθ，,y＝1＋2sinθ))(θ為參數(shù))表示以點(0,1)為圓心，以2為半徑的圓.()(4)已知橢圓的參數(shù)方程eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2cost，,y＝4sint))(t為參數(shù))，點M在橢圓上，對應參數(shù)t＝eq\f(π,3)，點O為原點，則直線OM的斜率為eq\r(3).()答案：(1)√(2)√(3)√(4)×二、選填題eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－1＋cosθ，,y＝2＋sinθ))(θ為參數(shù))的對稱中心()y＝2xy＝－2x上y＝xy＝x＋1上解析：選B由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－1＋cosθ，,y＝2＋sinθ，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(cosθ＝x＋1，,sinθ＝y(tǒng)－2.))所以(x＋1)2＋(y－2)2＝1.曲線是以(－1,2)為圓心，1為半徑的圓，所以對稱中心為(－1,2)，在直線y＝－2x上.l：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2t，,y＝1－4t))(t為參數(shù))與曲線C：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\r(5)cosθ，,y＝m＋\r(5)sinθ))(θ為參數(shù))相切，則實數(shù)m的值為()A.－4或6 B.－6或4C.－1或9 D.－9或1解析：選A由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2t，,y＝1－4t))(t為參數(shù))，得直線l：2x＋y－1＝0，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\r(5)cosθ，,y＝m＋\r(5)sinθ))(θ為參數(shù))，得曲線C：x2＋(y－m)2＝5，因為直線l與曲線C相切，所以圓心到直線的距離等于半徑，即eq\f(|m－1|,\r(22＋12))＝eq\r(5)，解得m＝－4或m＝6.故選A.3.在平面直角坐標系中，若曲線C的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2＋\f(\r(2),2)t，,y＝1＋\f(\r(2),2)t))(t為參數(shù))，則其普通方程為____________.解析：依題意，消去參數(shù)可得x－2＝y(tǒng)－1，即x－y－1＝0.答案：x－y－1＝0eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\r(5)cosθ，,y＝sinθ))(0≤θ＜π)和eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(5,4)t2，,y＝t))(t∈R)，則它們的交點坐標為________.解析：消去參數(shù)θ得普通方程為eq\f(x2,5)＋y2＝1(0≤y≤1)，表示橢圓的一部分.消去參數(shù)t得普通方程為y2＝eq\f(4,5)x，表示拋物線，聯(lián)立兩方程，可知兩曲線有一個交點，解得交點坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(2\r(5),5))).答案：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(2\r(5),5)))C的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝sinθ，,y＝cos2θ＋1))(θ為參數(shù))，則曲線C的普通方程為____________.解析：由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝sinθ，,y＝cos2θ＋1))(θ為參數(shù))消去參數(shù)θ，得y＝2－2x2(－1≤x≤1).答案：y＝2－2x2(－1≤x≤1)考點一參數(shù)方程與普通方程的互化[基礎(chǔ)自學過關(guān)][題組練透]l的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝a－2t，,y＝－4t))(t為參數(shù))，圓C的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝4cosθ，,y＝4sinθ))(θ為參數(shù)).(1)求直線l和圓C的普通方程；(2)若直線l與圓C有公共點，求實數(shù)a的取值范圍.解：(1)直線l的普通方程為2x－y－2a＝0，圓C的普通方程為x2＋y2＝16.(2)因為直線l與圓C有公共點，故圓C的圓心到直線l的距離d＝eq\f(|－2a|,\r(5))≤4，解得－2eq\r(5)≤a≤2eq\r(5).即實數(shù)a的取值范圍為[－2eq\r(5)，2eq\r(5)].xOy中，已知直線l的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－8＋t，,y＝\f(t,2)))(t為參數(shù))，曲線C的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2s2，,y＝2\r(2)s))(s為參數(shù))，設(shè)P為曲線C上的動點，求點P到直線l的距離的最小值.解：直線l的普通方程為x－2y＋8＝0.因為點P在曲線C上，設(shè)P(2s2,2eq\r(2)s)，從而點P到直線l的距離d＝eq\f(|2s2－4\r(2)s＋8|,\r(12＋－22))＝eq\f(2s－\r(2)2＋4,\r(5))，當s＝eq\r(2)時，dmin＝eq\f(4\r(5),5).因此當點P的坐標為(4,4)時，曲線C上的點P到直線l的距離取到最小值eq\f(4\r(5),5).[名師微點]將參數(shù)方程化為普通方程消參的3種方法(1)利用解方程的技巧求出參數(shù)的表達式，然后代入消去參數(shù).(2)利用三角恒等式消去參數(shù).(3)根據(jù)參數(shù)方程本身的結(jié)構(gòu)特征，靈活的選用一些方法從整體上消去參數(shù).[提醒]將參數(shù)方程化為普通方程時，要注意防止變量x和y取值范圍的擴大或縮小，必須根據(jù)參數(shù)的取值范圍，確定函數(shù)f(t)和g(t)的值域，即x和y的取值范圍.考點二參數(shù)方程的應用[師生共研過關(guān)][典例精析](2018·全國卷Ⅲ)在平面直角坐標系xOy中，⊙O的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝cosθ，,y＝sinθ))(θ為參數(shù))，過點(0，－eq\r(2))且傾斜角為α的直線l與⊙O交于A，B兩點.(1)求α的取值范圍；(2)求AB中點P的軌跡的參數(shù)方程.[解](1)⊙O的直角坐標方程為x2＋y2＝1.當α＝eq\f(π,2)時，l與⊙O交于兩點.當α≠eq\f(π,2)時，記tanα＝k，則l的方程為y＝kx－eq\r(2).l與⊙O交于兩點需滿足eq\f(\r(2),\r(1＋k2))＜1，解得k＜－1或k＞1，即α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(3π,4)))或α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,2))).綜上，α的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(3π,4))).(2)l的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝tcosα，,y＝－\r(2)＋tsinα))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t為參數(shù)，\f(π,4)＜α＜\f(3π,4))).設(shè)A，B，P對應的參數(shù)分別為tA，tB，tP，則tP＝eq\f(tA＋tB,2)，且tA，tB滿足t2－2eq\r(2)tsinα＋1＝0.于是tA＋tB＝2eq\r(2)sinα，tP＝eq\r(2)sinα.又點P的坐標(x，y)滿足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝tPcosα，,y＝－\r(2)＋tPsinα，))所以點P的軌跡的參數(shù)方程是eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(\r(2),2)sin2α，,y＝－\f(\r(2),2)－\f(\r(2),2)cos2α))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α為參數(shù)，\f(π,4)＜α＜\f(3π,4))).[解題技法]一般地，如果題目中涉及圓、橢圓上的動點或求最值范圍問題時可考慮用參數(shù)方程，設(shè)曲線上點的坐標，將問題轉(zhuǎn)化為三角恒等變換問題解決，使解題過程簡單明了.[過關(guān)訓練]已知曲線C：eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,9)＝1，直線l：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2＋t，,y＝2－2t))(t為參數(shù)).(1)寫出曲線C的參數(shù)方程，直線l的普通方程；(2)過曲線C上任意一點P作與l夾角為30°的直線，交l于點A，求|PA|的最大值與最小值.解：(1)曲線C的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2cosθ，,y＝3sinθ))(θ為參數(shù)).直線l的普通方程為2x＋y－6＝0.(2)曲線C上任意一點P(2cosθ，3sinθ)到l的距離為d＝eq\f(\r(5),5)|4cosθ＋3sinθ－6|.則|PA|＝eq\f(d,sin30°)＝eq\f(2\r(5),5)|5sin(θ＋α)－6|，其中α為銳角，且tanα＝eq\f(4,3).當sin(θ＋α)＝－1時，|PA|取得最大值，最大值為eq\f(22\r(5),5).當sin(θ＋α)＝1時，|PA|取得最小值，最小值為eq\f(2\r(5),5).考點三參數(shù)方程與極坐標方程的綜合應用[師生共研過關(guān)][典例精析](2019·柳州模擬)在直角坐標系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3cosα，,y＝2sinα))(α為參數(shù))，以原點為極點，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標系，曲線D的極坐標方程為ρ＝4sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,6))).(1)求曲線C的極坐標方程以及曲線D的直角坐標方程；(2)若過點Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2\r(2)，\f(π,4)))(極坐標)且傾斜角為eq\f(π,3)的直線l與曲線C交于M，N兩點，弦MN的中點為P，求eq\f(|AP|,|AM|·|AN|)的值.[解](1)由題意可得曲線C的普通方程為eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1，將eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝ρcosθ，,y＝ρsinθ))代入曲線C的普通方程可得，曲線C的極坐標方程為eq\f(ρ2cos2θ,9)＋eq\f(ρ2sin2θ,4)＝1，即ρ2＝eq\f(36,4＋5sin2θ).因為曲線D的極坐標方程為ρ＝4sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,6)))，所以ρ2＝4ρsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,6)))＝4ρeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)sinθ－\f(1,2)cosθ))，又ρ2＝x2＋y2，x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，所以x2＋y2＝2eq\r(3)y－2x，所以曲線C的極坐標方程為ρ2＝eq\f(36,4＋5sin2θ)，曲線D的直角坐標方程為x2＋y2＋2x－2eq\r(3)y＝0.(2)由點Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2\r(2)，\f(π,4)))，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2\r(2)cos\f(π,4)＝2，,y＝2\r(2)sin\f(π,4)＝2，))所以A(2,2).因為直線l過點A(2,2)且傾斜角為eq\f(π,3)，所以直線l的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2＋tcos\f(π,3)，,y＝2＋tsin\f(π,3)))(t為參數(shù))，代入eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1可得，eq\f(31,4)t2＋(8＋18eq\r(3))t＋16＝0，設(shè)M，N對應的參數(shù)分別為t1，t2，則t1＋t2＝－eq\f(32＋72\r(3),31)，t1t2＝eq\f(64,31)，所以eq\f(|AP|,|AM|·|AN|)＝eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(t1＋t2,2))),|t1t2|)＝eq\f(4＋9\r(3),16).[解題技法]參數(shù)方程與極坐標方程綜合問題的解題策略(1)涉及參數(shù)方程和極坐標方程的綜合題，求解的一般方法是分別化為普通方程和直角坐標方程后求解.當然，還要結(jié)合題目本身特點，確定選擇何種方程.(2)數(shù)形結(jié)合的應用，即充分利用參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義，或者利用ρ和θ的幾何意義，直接求解，能達到化繁為簡的解題目的.[過關(guān)訓練](2018·合肥質(zhì)檢)在平面直角坐標系xOy中，以坐標原點為極點，x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系，已知曲線C的極坐標方程為ρ＝2eq\r(2)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－θ)).(1)求曲線C的直角坐標方程；(2)已知直線l過點P(1,0)且與曲線C交于A，B兩點，若|PA|＋|PB|＝eq\r(5)，求直線l的傾斜角α.解：(1)由ρ＝2eq\r(2)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－θ))＝2(cosθ＋sinθ)?ρ2＝2(ρcosθ＋ρsinθ)?x2＋y2＝2x＋2y?(x－1)2＋(y－1)2＝2，故曲線C的直角坐標方程為(x－1)2＋(y－1)2＝2.(2)由條件可設(shè)直線l的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1＋tcosα，,y＝tsinα))(t為參數(shù))，代入圓的方程，有t2－2tsinα－1＝0，設(shè)點A，B對應的參數(shù)分別為t1，t2，則t1＋t2＝2sinα，t1t2＝－1，|PA|＋|PB|＝|AB|＝|t1－t2|＝eq\r(t1＋t22－4t1t2)＝eq\r(4sin2α＋4)＝eq\r(5)，解得sinα＝eq\f(1,2)或sinα＝－eq\f(1,2)(舍去)，故α＝eq\f(π,6)或eq\f(5π,6).eq\a\vs4\al([課時跟蹤檢測])l的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3＋tcosα，,y＝4＋tsinα))(t為參數(shù)，α為傾斜角)，圓C的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1＋2cosθ，,y＝－1＋2sinθ))(θ為參數(shù)).(1)若直線l經(jīng)過圓C的圓心，求直線l的斜率；(2)若直線l與圓C交于兩個不同的點，求直線l的斜率的取值范圍.解：(1)由已知得直線l經(jīng)過的定點是P(3,4)，而圓C的圓心是C(1，－1)，所以，當直線l經(jīng)過圓C的圓心時，直線l的斜率k＝eq\f(5,2).(2)由圓C的參數(shù)方程eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1＋2cosθ，,y＝－1＋2sinθ))(θ為參數(shù))，得圓C的圓心是C(1，－1)，半徑為2.由直線l的參數(shù)方程eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3＋tcosα，,y＝4＋tsinα))(t為參數(shù)，α為傾斜角)，得直線l的普通方程為y－4＝k(x－3)(斜率存在)，即kx－y＋4－3k＝0.當直線l與圓C交于兩個不同的點時，圓心到直線的距離小于圓的半徑，即eq\f(|5－2k|,\r(k2＋1))＜2，解得k＞eq\f(21,20).即直線l的斜率的取值范圍為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(21,20)，＋∞)).2.(2018·全國卷Ⅱ)在直角坐標系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2cosθ，,y＝4sinθ))(θ為參數(shù))，直線l的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1＋tcosα，,y＝2＋tsinα))(t為參數(shù)).(1)求C和l的直角坐標方程；(2)若曲線C截直線l所得線段的中點坐標為(1,2)，求l的斜率.解：(1)曲線C的直角坐標方程為eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,16)＝1.當cosα≠0時，l的直角坐標方程為y＝tanα·x＋2－tanα；當cosα＝0時，l的直角坐標方程為x＝1.(2)將l的參數(shù)方程代入C的直角坐標方程，整理得關(guān)于t的方程(1＋3cos2α)t2＋4(2cosα＋sinα)t－8＝0.①因為曲線C截直線l所得線段的中點(1,2)在C內(nèi)，所以①有兩個解，設(shè)為t1，t2，則t1＋t2＝0.又由①得t1＋t2＝－eq\f(42cosα＋sinα,1＋3cos2α)，故2cosα＋sinα＝0，于是直線l的斜率k＝tanα＝－2.3.(2019·沈陽模擬)在平面直角坐標系xOy中，直線l的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－2＋\f(\r(2),2)t，,y＝\f(\r(2),2)t))(t為參數(shù)).以坐標原點O為極點，x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為ρsin2θ＝2acosθ(a＞0).(1)求曲線C的直角坐標方程，直線l的普通方程；(2)設(shè)直線l與曲線C交于M，N兩點，點P(－2,0)，若|PM|，|MN|，|PN|成等比數(shù)列，求實數(shù)a的值.解：(1)由ρsin2θ＝2acosθ(a＞0)兩邊同乘以ρ得，曲線C的直角坐標方程為y2＝2ax(a＞0).由直線l的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－2＋\f(\r(2),2)t，,y＝\f(\r(2),2)t))(t為參數(shù))，消去t，得直線l的普通方程為x－y＋2＝0.(2)將eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－2＋\f(\r(2),2)t，,y＝\f(\r(2),2)t))代入y2＝2ax，得t2－2eq\r(2)at＋8a＝0，由Δ＞0得a＞4，設(shè)M，N對應的參數(shù)分別為t1，t2，則t1＋t2＝2eq\r(2)a，t1t2＝8a，∵|PM|，|MN|，|PN|成等比數(shù)列，∴|t1－t2|2＝|t1t2|，∴(2eq\r(2)a)2－4×8a＝8a，∴a＝5.4.(2019·青島調(diào)研)在直角坐標系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\r(3)cosα，,y＝sinα))(α為參數(shù)).以坐標原點為極點，以x軸的正半軸為極軸，建立極坐標系，曲線C2的極坐標方程為ρsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4)))＝2eq\r(2).(1)寫出C1的普通方程和C2的直角坐標方程；(2)設(shè)點P在C1上，點Q在C2上，求|PQ|的最小值及此時P的直角坐標.解：(1)C1的普通方程為eq\f(x2,3)＋y2＝1，C2的直角坐標方程為x＋y－4＝0.(2)由題意，可設(shè)點P的直角坐標為(eq\r(3)cosα，sinα).因為C2是直線，所以|PQ|的最小值即為P到C2的距離d(α)的最小值，d(α)＝eq\f(|\r(3)cosα＋sinα－4|,\r(2))＝eq\r(2)eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,3)))－2)).當且僅當α＝2kπ＋eq\f(π,6)(k∈Z)時，d(α)取得最小值，最小值為eq\r(2)，此時P的直角坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，\f(1,2))).5.(2018·遼寧五校聯(lián)合體模擬)在平面直角坐標系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1＋cosα，,y＝sinα))(α為參數(shù)).在以O(shè)為極點，x軸的正半軸為極軸的極坐標系中，曲線C2的極坐標方程為ρcos2θ＝sinθ.(1)求C1的普通方程和C2的直角坐標方程；(2)若射線l：y＝kx(x≥0)分別交C1，C2于A，B兩點(A，B異于原點)，當k∈(1，eq\r(3)]時，求|OA|·|OB|的取值范圍.解：(1)由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1＋cosα，,y＝sinα，))可得(x－1)2＋y2＝cos2α＋sin2α＝1，即C1的普通方程為(x－1)2＋y2＝1.方程ρcos2θ＝sinθ可化為ρ2cos2θ＝ρsinθ(*)，將eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝ρcosθ，,y＝ρsinθ))代入(*)式，可得x2＝y(tǒng)，所以C2的直角坐標方程為x2＝y(tǒng).(2)因為A，B異于原點，所以聯(lián)立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－12＋y2＝1，,y＝kx，))可得Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,k2＋1)，\f(2k,k2＋1)))；聯(lián)立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx，,y＝x2，))可得B(k，k2).故|OA|·|OB|＝eq\r(1＋k2)·eq\f(2,k2＋1)·eq\r(1＋k2)·|k|＝2|k|.又k∈(1，eq\r(3)]，所以|OA|·|OB|∈(2,2eq\r(3)].6.(2019·惠州調(diào)研)在直角坐標系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2－\f(3,5)t，,y＝－2＋\f(4,5)t))(t為參數(shù)).以坐標原點為極點，以x軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C2的極坐標方程為ρcosθ＝tanθ.(1)求曲線C1的普通方程與曲線C2的直角坐標方程；(2)若C1與C2交于A，B兩點，點P的極坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2\r(2)，－\f(π,4)))，求eq\f(1,|PA|)＋eq\f(1,|PB|)的值.解：(1)由曲線C1的參數(shù)方程消去參數(shù)t可得，曲線C1的普通方程為4x＋3y－2＝0.由x＝ρcosθ，y＝ρsinθ可得，曲線C2的直角坐標方程為y＝x2.(2)由點P的極坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2\r(2)，－\f(π,4)))，可得點P的直角坐標為(2，－2)，∴點P在曲線C1上.將曲線C1的參數(shù)方程eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2－\f(3,5)t，,y＝－2＋\f(4,5)t))(t為參數(shù))代入y＝x2，得9t2－80t＋150＝0，設(shè)t1，t2是點A，B對應的參數(shù)，則t1＋t2＝eq\f(80,9)，t1t2＝eq\f(50,3)＞0.∴eq\f(1,|PA|)＋eq\f(1,|PB|)＝eq\f(|PA|＋|PB|,|PA|·|PB|)＝eq\f(|t1＋t2|,|t1t2|)＝eq\f(8,15).xOy中，以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，點A的極坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(2)，\f(π,4)))，直線l的極坐標方程為ρcoseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,4)))＝a，且l過點A，曲線C1的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2cosα，,y＝\r(3)sinα))(α為參數(shù)).(1)求曲線C1上的點到直線l的距離的最大值；(2)過點B(－1,1)且與直線l平行的直線l1與曲線C1交于M，N兩點，求|BM|·|BN|的值.解：(1)由直線l過點A，得eq\r(2)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－\f(π,4)))＝a，故a＝eq\r(2)，則易得直線l的直角坐標方程為x＋y－2＝0.由點到直線的距離公式，得曲線C1上的點到直線l的距離d＝eq\f(|2cosα＋\r(3)sinα－2|,\r(2))＝eq\f(|\r(7)sinα＋φ－2|,\r