2022-2023學(xué)年湖北省鄖陽中學(xué)、恩施高中、沙市中學(xué)、隨州二中、襄陽三中高二年級上冊學(xué)期10月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題【含答案】

2022-2023學(xué)年湖北省鄖陽中學(xué)、恩施高中、沙市中學(xué)、隨州二中、襄陽三中高二上學(xué)期10月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、單選題1．復(fù)數(shù)的虛部是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運算可化簡復(fù)數(shù)，進(jìn)而可得虛部.【詳解】，所以虛部為，故選：C2．若直線經(jīng)過兩點，則直線的傾斜角為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用兩點的斜率公式及直線的斜率定義即可求解.【詳解】因為直線經(jīng)過兩點，所以直線的斜率為，設(shè)直線的傾斜角為，則，且，解得，所以直線的傾斜角為.故選：D.3．圓的圓心到直線的距離為1，則A． B． C． D．2【答案】A【詳解】試題分析：由配方得，所以圓心為，因為圓的圓心到直線的距離為1，所以，解得，故選A.【解析】圓的方程，點到直線的距離公式【名師點睛】直線與圓的位置關(guān)系有三種情況：相交、相切和相離.已知直線與圓的位置關(guān)系時，常用幾何法將位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為圓心到直線的距離d與半徑r的大小關(guān)系，以此來確定參數(shù)的值或取值范圍．4．如圖，是四面體的棱的中點，點在線段上，點在線段上，且，用向量表示，則（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)空間向量的線性運算即可求解.【詳解】由題意可知所以,\故選：A5．若直線與直線平行，則的值是（

）A． B．1 C．1或 D．【答案】B【分析】根據(jù)兩直線平行滿足的關(guān)系即可求解.【詳解】直線與直線平行，故，故選：B6．如圖，用K、A1、A2三類不同的元件連接成一個系統(tǒng)．當(dāng)K正常工作且A1、A2至少有一個正常工作時，系統(tǒng)正常工作，已知K、A1、A2正常工作的概率依次是0.9、0.8、0.8，則系統(tǒng)正常工作的概率為A．0.960 B．0.864 C．0.720 D．0.576【答案】B【詳解】A1、A2同時不能工作的概率為0.2×0.2＝0.04，所以A1、A2至少有一個正常工作的概率為1－0.04＝0.96，所以系統(tǒng)正常工作的概率為0.9×0.96＝0.864.故選B.【解析】相互獨立事件的概率.7．已知單位向量，滿足，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由已知得，進(jìn)而兩邊平方得，故或（舍），故，進(jìn)而得答案.【詳解】由，得，兩邊平方，得，即，整理得，所以或因為，所以，所以，所以.故選:B.【點睛】本題考查向量模的運算，考查方程思想與運算求解能力，是中檔題.解題的關(guān)鍵在于根據(jù)已知將問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程，進(jìn)而得，最后結(jié)合向量模與二次函數(shù)性質(zhì)求最值即可.8．在等腰直角三角形中，，點是邊上異于的一點，光線從點出發(fā)，經(jīng)反射后又回到點，如圖，若光線經(jīng)過的重心，則（

）A． B． C．1 D．2【答案】C【分析】根據(jù)題意，建立坐標(biāo)系，設(shè)點的坐標(biāo)，可得關(guān)于直線的對稱點的坐標(biāo)，和關(guān)于軸的對稱點的坐標(biāo)，由，，四點共線可得直線的方程，由于過的重心，代入可得關(guān)于的方程，解之可得的坐標(biāo)，進(jìn)而可得的值，即可得答案．【詳解】根據(jù)題意，建立如圖所示的坐標(biāo)系，可得，，故直線的方程為，又由，，，則的重心為，設(shè)，其中，點關(guān)于直線的對稱點，則有，解得，即，易得關(guān)于軸的對稱點，由光的反射原理可知，，，四點共成直線的斜率，故直線的方程為，由于直線過的重心，代入化簡可得，解得：或舍，即，故，故選：C．二、多選題9．有一組樣本數(shù)據(jù)，，…，，由這組數(shù)據(jù)得到新樣本數(shù)據(jù)，，…，，其中(為非零常數(shù)，則（

）A．兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本平均數(shù)相同B．兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本中位數(shù)相同C．兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本標(biāo)準(zhǔn)差相同D．兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本極差相同【答案】CD【分析】A、C利用兩組數(shù)據(jù)的線性關(guān)系有、，即可判斷正誤；根據(jù)中位數(shù)、極差的定義，結(jié)合已知線性關(guān)系可判斷B、D的正誤.【詳解】A：且，故平均數(shù)不相同，錯誤；B：若第一組中位數(shù)為，則第二組的中位數(shù)為，顯然不相同，錯誤；C：，故方差相同，正確；D：由極差的定義知：若第一組的極差為，則第二組的極差為，故極差相同，正確；故選：CD10．下列說法錯誤有（

）A．“”是“與直線互相垂直”的充要條件B．過，兩點的所有直線的方程為C．直線的傾斜角的取值范圍是D．經(jīng)過點且在x軸和y軸上截距都相等的直線方程為【答案】ABD【分析】A.由兩直線互相垂直求解判斷；，B.根據(jù)直線的兩點式方程判斷；C.利用直線的傾斜角和斜率求解判斷；D分直線經(jīng)過原點和不經(jīng)過原點時求解判斷.【詳解】A.當(dāng)與直線互相垂直時，，解得或，故錯誤；B.過，（且）兩點的所有直線的方程為，故錯誤；C.直線的傾斜角，則，所以傾斜角的取值范圍是，故正確；D.經(jīng)過點且在x軸和y軸上截距都相等的直線方程為：當(dāng)直線經(jīng)過原點時為，當(dāng)直線不經(jīng)過原點時，設(shè)方程為，將點代入得，則直線方程為，故錯誤；故選：ABD11．以下命題正確的是（

）A．直線的方向向量，直線的方向向量，則B．直線的方向向量，平面的法向量，則C．兩個不同平面的法向量分別為，則D．平面經(jīng)過三點，向量是平面的法向量，則【答案】CD【分析】對于A，利用直線的方向向量是否垂直即可求解；對于B，利用直線的方向向量與平面的法向量是否垂直即可求解；對于C，利用平面的法向量是否平行即可求解；對于D，利用待定系數(shù)法設(shè)出平面的法向量，求出和的關(guān)系即可求解.【詳解】對于A，因為直線的方向向量，直線的方向向量，所以，所以與不垂直，故直線與直線不垂直，故A錯誤；對于B，因為直線的方向向量，平面的法向量，所以，所以，故或，故B錯誤；對于C，因為兩個不同平面的法向量分別為，所以，即，所以，故C正確；對于D，因為，所以,又向量是平面的法向量，則,即，解得，故D正確.故選：CD.12．在正三棱柱中，，點滿足，其中，，則（

）A．當(dāng)時，的周長為定值B．當(dāng)時，三棱錐的體積為定值C．當(dāng)時，有且僅有一個點，使得D．當(dāng)時，有且僅有一個點，使得平面【答案】BD【分析】對于A，由于等價向量關(guān)系，聯(lián)系到一個三角形內(nèi)，進(jìn)而確定點的坐標(biāo)；對于B，將點的運動軌跡考慮到一個三角形內(nèi)，確定路線，進(jìn)而考慮體積是否為定值；對于C，考慮借助向量的平移將點軌跡確定，進(jìn)而考慮建立合適的直角坐標(biāo)系來求解點的個數(shù)；對于D，考慮借助向量的平移將點軌跡確定，進(jìn)而考慮建立合適的直角坐標(biāo)系來求解點的個數(shù)．【詳解】易知，點在矩形內(nèi)部（含邊界）．對于A，當(dāng)時，，即此時線段，周長不是定值，故A錯誤；對于B，當(dāng)時，，故此時點軌跡為線段，而，平面，則有到平面的距離為定值，所以其體積為定值，故B正確．對于C，當(dāng)時，，取，中點分別為，，則，所以點軌跡為線段，不妨建系解決，建立空間直角坐標(biāo)系如圖，，，，則，，，所以或．故均滿足，故C錯誤；對于D，當(dāng)時，，取，中點為．，所以點軌跡為線段．設(shè)，因為，所以，，所以，此時與重合，故D正確．故選：BD．【點睛】本題主要考查向量的等價替換，關(guān)鍵之處在于所求點的坐標(biāo)放在三角形內(nèi)．三、填空題13．已知一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為4，則的值是_____.【答案】2【分析】根據(jù)平均數(shù)的公式進(jìn)行求解即可．【詳解】∵數(shù)據(jù)的平均數(shù)為4∴，即.故答案為：2.【點睛】本題主要考查平均數(shù)的計算和應(yīng)用，比較基礎(chǔ)．14．若直線過點，則的最小值為________．【答案】8【分析】由直線過點，可得，從而有，展開后利用基本不等式可求得其最小值【詳解】解：因為直線過點，所以，因為所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，所以的最小值為8故答案為：8【點睛】此題考查基本不等式的應(yīng)用，利用基本不等式求最值時要注意“一正二定三相等”的條件，屬于基礎(chǔ)題15．自然界中，構(gòu)成晶體的最基本的幾何單元稱為晶胞，其形狀一般是平行六面體，具體形狀大小由它的三組棱長a、b、c及棱間交角、、（合稱為“晶胞參數(shù)”）來表征.如圖是某種晶體的晶胞，其中，，，，，則該晶胞的對角線的長為__________.【答案】【分析】數(shù)形結(jié)合以及使用向量的方法，可得，然后先平方再開方可得結(jié)果.【詳解】如圖所示：所以依題可知：，所以所以則，故故答案為：四、雙空題16．黃金分割比是把一條線段分割為兩部分，使其中一部分與全長之比等于另一部分與這部分之比，其比值是．由于按此比例設(shè)計的造型十分美觀，因此稱為黃金分割比．例如中國人民解放軍軍徽，為鑲有金色黃邊的五角紅星．如圖，已知正五角星內(nèi)接于圓，，點為線段的黃金分割點，則______，若圓的半徑為2，為圓的一條弦，以為底邊向圓外作等腰三角形，且，則的最大值為______．【答案】

【分析】（1）取的中點，連接，根據(jù)正五角星的性質(zhì)，可得出的值，結(jié)合二倍角公式可得的值，（2）在圓中，連接，，運用正弦定理即可求解．【詳解】（1）如圖，取的中點，連接，由題意可知為等腰三角形，故，∴，又∵點為線段的黃金分割點，且，∴，∴，∴；(2)在圓中，連接，如圖：∵，，，∴，∴為角的角平分線，即，在中，由正弦定理得，即，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，故的最大值為．故答案為：，．【點睛】關(guān)鍵點睛：本題考查二倍角公式和正弦定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是正確利用黃金分割比，得出.五、解答題17．直線經(jīng)過兩直線和的交點．(1)若直線與直線平行，求直線的方程；(2)若點到直線的距離為，求直線的方程．【答案】(1)(2)或【分析】（1）由題意兩立方程組，求兩直線的交點的坐標(biāo)，利用兩直線平行的性質(zhì)，用待定系數(shù)法求出的方程．（2）分類討論直線的斜率，利用點到直線的距離公式，用點斜式求直線的方程．【詳解】（1）解：由，解得，所以兩直線和的交點為．當(dāng)直線與直線平行，設(shè)的方程為，把點代入求得，可得的方程為．（2）解：斜率不存在時，直線的方程為，滿足點到直線的距離為5．當(dāng)?shù)男甭蚀嬖跁r，設(shè)直限的方程為，即，則點到直線的距離為，求得，故的方程為，即．綜上，直線的方程為或．18．已知向量．（1）若，求x的值；（2）記，求函數(shù)y＝f（x）的最大值和最小值及對應(yīng)的x的值．【答案】（1）（2）時，取到最大值3；時，取到最小值.【分析】（1）根據(jù)，利用向量平行的充要條件建立等式，即可求x的值．（2）根據(jù)求解求函數(shù)y＝f（x）解析式，化簡，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)即可求解最大值和最小值及對應(yīng)的x的值．【詳解】解：（1）∵向量．由，可得：，即，∵x∈[0，π]∴．（2）由∵x∈[0，π]，∴∴當(dāng)時，即x＝0時f（x）max＝3；當(dāng)，即時．【點睛】本題主要考查向量的坐標(biāo)運用以及三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，利用三角函數(shù)公式將函數(shù)進(jìn)行化簡是解決本題的關(guān)鍵．19．乒乓球比賽，每贏一球得1分，當(dāng)某局打成平后，每球交換發(fā)球權(quán)，先多得2分的一方獲勝，該局比賽結(jié)束．甲?乙兩位同學(xué)進(jìn)行單打比賽，假設(shè)甲發(fā)球時甲得分的概率為，乙發(fā)球時甲得分的概率為，各球的結(jié)果相互獨立．在某局雙方平后，甲先發(fā)球，兩人又打了個球該局比賽結(jié)束．(1)求；(2)求事件“”的概率．【答案】(1)0.5(2)0.25【分析】（1）（2）根據(jù)獨立事件的乘法公式即可求解，【詳解】（1）就是平后，兩人又打了2個球該局比賽結(jié)束，則這2個球均由甲得分，或者均由乙得分，因此．（2）且甲獲勝，就是10：10平后，兩人又打了4個球該局比賽結(jié)束，且這4個球的得分情況為：前兩球是甲，乙各得1分，后兩球均為甲得分．因此所求概率為．同理可得且乙獲勝的概率為．因此所求概率為.20．如圖，直三棱柱的體積為的面積為(1)求點到平面的距離；(2)設(shè)為的中點，，平面平面，求二面角的正切值．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)等體積法即可求解，（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用法向量的夾角即可求解二面角的余弦值，進(jìn)而可求解正切值.【詳解】（1）設(shè)求到平面的距離為，矩形中對角線互相平分，到平面的距離也為，因為直三棱柱的體積為2，即可得，故,又，解得，所以到平面的距離為；（2）連接，因為直三棱柱中，，故為正方形，即，又平面平面，平面平面平面，故平面，平面,所以，又因為平面,平面,所以平面，且，故平面，平面,則，所以三條直線兩兩垂直，故建立如圖以為原點建立空間直角坐標(biāo)系設(shè)，則，由條件可得，解得，則的中點，所以，設(shè)平面的一個法向量為，，取，同理可求得平面的一個法向量為所以．所以二面角的正弦值為可以判斷此二面角為鈍角，所以二面角的正切值為．21．如圖，一載著重危病人的火車從地出發(fā)，沿北偏東射線行駛，其中，在距離地10公里北偏東角的處住有一位醫(yī)學(xué)專家（其中），現(xiàn)有緊急征調(diào)離地正東公里的處的救護(hù)車趕往處載上醫(yī)學(xué)專家全速追趕乘有重危病人的火車，并在處相遇，經(jīng)計算當(dāng)兩車行駛的路線與圍成的三角形面積最小時，搶救最及時．（1）求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系；（2）當(dāng)為何值時，搶救最及時．【答案】（1）當(dāng)時，，當(dāng)且時，，（2）【分析】（1）根據(jù)題意可建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，分別求出直線的方程和點的坐標(biāo)，進(jìn)而可以關(guān)于的函數(shù)關(guān)系；（2）將問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最小值，根據(jù)（1）中的函數(shù)解析式，利用基本不等式，可求出函數(shù)的最小值，進(jìn)而可得答案【詳解】解：（1）建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，因為，所以，因為，所以，因為，所以射線的方程為，因為，所以直線的斜率為（），所以直線的方程為（），當(dāng)時，點，則，當(dāng)時，由，得（），所以點（），所以（），綜上，當(dāng)時，，當(dāng)且時，（2）由（1）得當(dāng)且時，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，而當(dāng)時，，所以當(dāng)時，有最小值，即搶救最及時.22．正四棱錐