2022屆上海市五愛(ài)高三年級(jí)下冊(cè)學(xué)期3月月考數(shù)學(xué)試題【含答案】

2022屆上海市五愛(ài)高三下學(xué)期3月月考數(shù)學(xué)試題一、填空題1．若，則_______.【答案】【分析】在所求分式的分子和分母中同時(shí)除以，然后利用數(shù)列極限的運(yùn)算法則化簡(jiǎn)求解即可．【詳解】，解得.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列極限的運(yùn)算法則的應(yīng)用，是基本知識(shí)的考查．2．設(shè)函數(shù)，則_______.【答案】【分析】根據(jù)二階行列式的運(yùn)算得出關(guān)于的方程，解出即可.【詳解】，即，即，，，解得.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查二階行列式的計(jì)算，同時(shí)也考查了二次方程的求解，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.3．參數(shù)方程，化為普通方程為_(kāi)_．【答案】【分析】利用消去參數(shù)，并求出的取值范圍，即可求得普通方程.【詳解】由，得，又由，得，得，，化簡(jiǎn)得，又當(dāng)時(shí)，，所以，綜上，得參數(shù)方程的普通方程為.故答案為：.4．如果的展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)之和為，則含項(xiàng)的系數(shù)等于________.(用數(shù)字作答)【答案】21【詳解】試題分析：根據(jù)題意，令可知展開(kāi)式的各項(xiàng)系數(shù)和為，可知，所以所給的式子的展開(kāi)式的通項(xiàng)為，令，解得，故該項(xiàng)的系數(shù)為．【解析】二項(xiàng)式定理．5．方程在上的解是______．【答案】【分析】根據(jù)特殊角的余弦值，根據(jù)所給的區(qū)間直接求解即可.【詳解】，因此由或，解得或.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了特殊角的余弦值，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.6．若的方差為1，則__．【答案】【分析】根據(jù)方差公式計(jì)算即可.【詳解】平均數(shù)為，則其方差為，解得．故答案為：.7．某市公租房的房源位于甲?乙?丙三個(gè)片區(qū)，設(shè)每位申請(qǐng)人只申請(qǐng)其中一個(gè)片區(qū)的房源，且申請(qǐng)其中任一個(gè)片區(qū)的房源是等可能的.則該市的4位申請(qǐng)人中恰有2人申請(qǐng)甲片區(qū)房源的概率為_(kāi)_______.【答案】【分析】設(shè)A=“申請(qǐng)甲片區(qū)房源”，可得P(A)的值，利用獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率計(jì)算即可．【詳解】每位申請(qǐng)人申請(qǐng)房源為一次試驗(yàn)，這是4重伯努利試驗(yàn)，設(shè)A=“申請(qǐng)甲片區(qū)房源”，則P(A)=，恰有2人申請(qǐng)甲片區(qū)的概率為P==故答案為：8．若直線與直線垂直，則________.【答案】【分析】由兩直線垂直求出的值，然后利用二倍角的正弦公式結(jié)合弦化切的思想可求出的值.【詳解】由于直線與直線垂直，則，可得，.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查二倍角正弦值的計(jì)算，涉及利用兩直線垂直求參數(shù)以及弦化切思想的應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力，屬于中等題.9．底面半徑為的圓柱，為其一條母線，若上、下底面圓周上的點(diǎn)都在某一球面上，，則、兩點(diǎn)的球面距離為_(kāi)______.【答案】【分析】設(shè)球心為，計(jì)算出球的半徑以及，然后利用弧長(zhǎng)公式可計(jì)算出、兩點(diǎn)的球面距離.【詳解】設(shè)球心為，設(shè)球的半徑為，則，即，又，，所以，，因此，、兩點(diǎn)的球面距離為.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查球面距離的計(jì)算，主要是計(jì)算出球的半徑與弦所對(duì)的圓心角，考查計(jì)算能力，屬于中等題.10．若，且當(dāng)時(shí)，恒有，則以為坐標(biāo)的點(diǎn)所形成的平面區(qū)域的面積等于．【答案】【詳解】試題分析：由所確定的可行域?yàn)槿庑?，頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是，代入得，所以由所確定的平面區(qū)域?yàn)檫呴L(zhǎng)為的正方形，其面積為．【解析】線性規(guī)劃．11．若，且數(shù)列為單調(diào)數(shù)列，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__．【答案】【分析】根據(jù)數(shù)列單調(diào)可得，分別討論數(shù)列是增數(shù)列或減數(shù)列時(shí)，孤立參數(shù)求最值得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】若，且數(shù)列為單調(diào)數(shù)列，則，若數(shù)列是增數(shù)列，則恒成立，即，即，即恒成立，因?yàn)樵谏线f減，所以，所以；若數(shù)列是減數(shù)列，則，即，即，即恒成立，因?yàn)樵谏线f減，且，所以；綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：.12．若平面向量、、滿足，，，，則、夾角的取值范圍是_____.【答案】【分析】設(shè)，，，由題中條件得出，，，然后利用基本不等式可求出、夾角余弦值的取值范圍，即可求得答案.【詳解】設(shè)，，，設(shè)、的夾角為，，，，，，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，顯然，即，，，因此，、夾角的取值范圍是.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查向量夾角取值范圍的計(jì)算，解題的關(guān)鍵就是將向量的坐標(biāo)特殊化來(lái)處理，借助基本不等式來(lái)求解，考查計(jì)算能力，屬于中等題.二、單選題13．設(shè)為全集，、為非空子集，，則下列關(guān)系中錯(cuò)誤的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用韋恩圖法逐項(xiàng)判斷，可得出合適的選項(xiàng).【詳解】如下圖所示：由圖可知，，，因?yàn)椋瑒t，，ACD選項(xiàng)都對(duì)，B錯(cuò).故選：B.14．若實(shí)數(shù)、、同時(shí)滿足：①；②；③.則、、的大小關(guān)系是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由③可知，且，結(jié)合①可得出、的大小關(guān)系，將不等式②變形為，分和兩種情況討論，可得出結(jié)論.【詳解】由③可知，且，，.由②得，可得.若，則，，這時(shí)，與③矛盾；若，則.（1）若，則，合乎題意；（2）若，則，若，此時(shí)③不成立.綜上所述，.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)的大小比較，涉及到不等式的基本性質(zhì)與對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，解題時(shí)要記得對(duì)底數(shù)的取值范圍進(jìn)行分類討論，考查推理能力，屬于中等題.15．已知F為拋物線（）的焦點(diǎn)，A（，）?B（，）是拋物線上的不同兩點(diǎn)，則下列條件中與“A?F?B三點(diǎn)共線”等價(jià)的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】用特殊值（與軸垂直得出兩點(diǎn)坐標(biāo)）直接驗(yàn)證判斷CD，然后設(shè)直線的方程為，代入拋物線方程利用韋達(dá)定理，在選項(xiàng)AB滿足時(shí)，求出，看是否成立可得結(jié)論．【詳解】當(dāng)直線垂直于軸時(shí)，，取，選項(xiàng)C和選項(xiàng)D顯然不符.設(shè)直線的方程為，代入拋物線方程消去得，由韋達(dá)定理得.對(duì)于選項(xiàng)，，解得，符合；對(duì)于B選項(xiàng)，，解得，不符.故選：A.16．如圖分別為定義域和值域均為的函數(shù)和函數(shù)的圖象，則下列命題正確的是（

）

A．函數(shù)恰有個(gè)零點(diǎn) B．函數(shù)恰有個(gè)零點(diǎn)C．函數(shù)恰有個(gè)零點(diǎn) D．函數(shù)恰有個(gè)零點(diǎn)【答案】C【分析】將各選項(xiàng)中的復(fù)合函數(shù)分為內(nèi)層函數(shù)和外層函數(shù)，先分析外層函數(shù)的零點(diǎn)及其范圍，再分析內(nèi)層函數(shù)方程的根的個(gè)數(shù)，即可得出結(jié)論.【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，令，則外層函數(shù)有個(gè)零點(diǎn)，，關(guān)于的方程只有1個(gè)根，關(guān)于的方程只有1個(gè)根，所以，函數(shù)恰有個(gè)零點(diǎn)，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于B選項(xiàng)，令，則外層函數(shù)有個(gè)零點(diǎn)，，，關(guān)于的方程有個(gè)根，關(guān)于的方程有個(gè)根，關(guān)于的方程有個(gè)根，所以，函數(shù)恰有個(gè)零點(diǎn)，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于C選項(xiàng)，令，則外層函數(shù)有個(gè)零點(diǎn)，，關(guān)于的方程有個(gè)根，關(guān)于的方程有個(gè)根，所以，函數(shù)恰有個(gè)零點(diǎn)，C選項(xiàng)正確；對(duì)于D選項(xiàng)，令，則外層函數(shù)有個(gè)零點(diǎn)，，，關(guān)的方程有個(gè)根，關(guān)的方程有3個(gè)根，關(guān)于的方程有1個(gè)根，所以，函數(shù)恰有個(gè)零點(diǎn).故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)合函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判斷，一般要將復(fù)合函數(shù)分為內(nèi)層函數(shù)和外層函數(shù)來(lái)分析，考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，屬于中等題.三、解答題17．如圖，在正方體中，為棱的中點(diǎn).求證：（1）平面；（2）求直線與平面所成角的大小.【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）.【分析】（1）連接，交于，連接，推導(dǎo)出，由此能證明平面.（2）以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出直線與平面所成角的大小.【詳解】（1）證明：連接，交于，連接，∵在正方體中，是正方形，∴是中點(diǎn)，∵為棱的中點(diǎn)，∴，∵平面，平面，∴平面.（2）解：以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體中棱長(zhǎng)為2，則，，，，，，，設(shè)平面的法向量，則，取，得，設(shè)直線與平面所成角的大小為，則，∴，∴直線與平面所成角的大小為.【點(diǎn)睛】(1)求直線與平面所成的角的一般步驟：①找直線與平面所成的角，即通過(guò)找直線在平面上的射影來(lái)完成；②計(jì)算，要把直線與平面所成的角轉(zhuǎn)化到一個(gè)三角形中求解．(2)作二面角的平面角可以通過(guò)垂線法進(jìn)行，在一個(gè)半平面內(nèi)找一點(diǎn)作另一個(gè)半平面的垂線，再過(guò)垂足作二面角的棱的垂線，兩條垂線確定的平面和二面角的棱垂直，由此可得二面角的平面角．18．已知函數(shù)和銳角三角形.（1）若為奇函數(shù)，求角的大?。唬?）在（1）的前提下，求的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）利用三角恒等變換思想化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式為，由題意可得出，由為銳角可得出的值；（2）根據(jù)為銳角三角形得出，求出的取值范圍，利用正弦函數(shù)的基本性質(zhì)可求出的取值范圍.【詳解】（1），故為奇函數(shù)，則，，又為銳角，，故；（2）在（1）的前提下，由于為銳角三角形，則，即，解得，于是，，，故.因此，的取值范圍是.【點(diǎn)睛】本題考查利用正弦型函數(shù)的對(duì)稱性求參數(shù)，同時(shí)也考查了正弦型函數(shù)在區(qū)間上的值域問(wèn)題，考查推理能力與運(yùn)算求解能力，屬于中等題.19．已知拋物線C：y2=3x的焦點(diǎn)為F，斜率為的直線l與C的交點(diǎn)為A，B，與x軸的交點(diǎn)為P．（1）若|AF|+|BF|=4，求l的方程；（2）若，求|AB|．【答案】（1）；（2）.【分析】（1）設(shè)直線：，，；根據(jù)拋物線焦半徑公式可得；聯(lián)立直線方程與拋物線方程，利用韋達(dá)定理可構(gòu)造關(guān)于的方程，解方程求得結(jié)果；（2）設(shè)直線：；聯(lián)立直線方程與拋物線方程，得到韋達(dá)定理的形式；利用可得，結(jié)合韋達(dá)定理可求得；根據(jù)弦長(zhǎng)公式可求得結(jié)果.【詳解】（1）設(shè)直線方程為：，，由拋物線焦半徑公式可知：

聯(lián)立得：則

，解得：直線的方程為：，即：（2）設(shè)，則可設(shè)直線方程為：聯(lián)立得：則

，

，

則【點(diǎn)睛】本題考查拋物線的幾何性質(zhì)、直線與拋物線的綜合應(yīng)用問(wèn)題，涉及到平面向量、弦長(zhǎng)公式的應(yīng)用.關(guān)鍵是能夠通過(guò)直線與拋物線方程的聯(lián)立，通過(guò)韋達(dá)定理構(gòu)造等量關(guān)系.20．設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和，已知，.（1）求證:數(shù)列為等差數(shù)列，并求出其通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，又對(duì)一切恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）已知為正整數(shù)且，數(shù)列共有項(xiàng)，設(shè)，又，求的所有可能取值.【答案】（1）證明見(jiàn)解析；；（2）；（3）；【分析】(1)當(dāng)時(shí)，由所給的遞推關(guān)系式進(jìn)行作差變形證明后項(xiàng)與前項(xiàng)之差為常數(shù)即可證得數(shù)列為等差數(shù)列，進(jìn)一步可得數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)結(jié)合(1)中的通項(xiàng)公式裂項(xiàng)求和，然后結(jié)合題意可確定實(shí)數(shù)的取值范圍；(3)首先確定數(shù)列為等差數(shù)列，然后結(jié)合數(shù)列的單調(diào)性確定絕對(duì)值符號(hào)進(jìn)行求和，得到關(guān)于k的不等式，最后求解關(guān)于k的不等式即可確定實(shí)數(shù)的所有可能取值.【詳解】(1)當(dāng)時(shí)，，，兩式作差得，故，所以數(shù)列是公差為6的等差數(shù)列，又，所以；(2)由于，故.，顯然單調(diào)遞增，且，故，所以.(3)，則是公差為的等差數(shù)列，故當(dāng)時(shí)，;當(dāng)時(shí)，，設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，于是：，注意到，則，題中的不等式即，所以，所以，的所有可取值為.【點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列的證明，裂項(xiàng)求和的方法，絕對(duì)值型等差數(shù)列前n項(xiàng)和的求解，二次不等式的解法等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.21．是定義在區(qū)間上且同時(shí)滿足如下條件的函數(shù)所組成的集合：①對(duì)任意的，都有；②存在常數(shù)，使得對(duì)任意的，都有（1）設(shè)，試判斷是否屬于集合；（2）若，如果存在，使得，求證：滿足條件的是唯一的；（3）設(shè)，且，試求參數(shù)的取值范圍【答案】（1）是的元素；（2）證明見(jiàn)解析；（3）【分析】（1）構(gòu)造函數(shù)f（x）＝φ（x）xx2x+1，判斷單調(diào)性求最值即可證明（2）要證明唯一性通過(guò)反證法來(lái)證明，假設(shè)滿足這樣條件的x0有兩個(gè)，導(dǎo)出矛盾．（3）轉(zhuǎn)化為c（x2﹣x1）恒成立，利用單調(diào)性求最值求解【詳解】（1）x∈[1，2]，所以φ（x）∈（，）令f（x）＝φ（x）xx2x+1，則f'（x）x，因?yàn)閤∈[1，2]，所以f'（x）≤0，所以f（x）在[1，2]上單調(diào)遞減，對(duì)任意1≤x1≤x2≤2，f（x1）≤f（x2）?φ（x2）﹣φ（x1）（x2﹣x1）?|φ（x1）﹣φ（x2）||x1﹣x2|,即存在所以φ（x）∈A．（2）假設(shè)存在不同的兩個(gè)數(shù)a、b∈（1，2），使得φ