2023年普通高等學(xué)校統(tǒng)一招生考試（全國乙卷）數(shù)學(xué)預(yù)測試題【含答案】

2023年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試預(yù)測試題數(shù)學(xué)試卷本試卷共8頁，22小題，滿分150分?？荚囉脮r120分鐘。一、選擇題本題共12小題，每小題5分，共60分。1．已知集合，則（

）A． B． C． D．2．在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對應(yīng)的點與復(fù)數(shù)對應(yīng)的點的距離是（

）．A．1 B． C．2 D．3．高斯是德國著名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)的奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王子”的稱號，用其名字命名的“高斯函數(shù)”為：設(shè)，用表示不超過x的最大整數(shù)，則稱為“高斯函數(shù)”，例如：，．已知數(shù)列滿足，，，若，為數(shù)列的前n項和，則（

）A． B． C． D．4．如圖1所示，拋物面天線是指由拋物面（拋物線繞其對稱軸旋轉(zhuǎn)形成的曲面）反射器和位于焦點上的照射器（饋源，通常采用喇叭天線）組成的單反射面型天線，廣泛應(yīng)用于微波和衛(wèi)星通訊等領(lǐng)域，具有結(jié)構(gòu)簡單、方向性強、工作頻帶寬等特點．圖2是圖1的軸截面，A，B兩點關(guān)于拋物線的對稱軸對稱，F(xiàn)是拋物線的焦點，∠AFB是饋源的方向角，記為，焦點F到頂點的距離f與口徑d的比值稱為拋物面天線的焦徑比，它直接影響天線的效率與信噪比等．如果某拋物面天線饋源的方向角滿足，，則其焦徑比為（

）A． B． C． D．5．在計算機的算法語言中有一種函數(shù)叫做取整函數(shù)(也稱高斯函數(shù))，表示不超過的最大整數(shù).例如:.取整函數(shù)在科學(xué)和工程上有廣泛應(yīng)用.下面的程序框圖是與取整函數(shù)有關(guān)的求和問題，若輸入的的值為64，則輸出的值是（

）A．21 B．76 C．264 D．6426．如圖，在正方體中，M，N分別為AC，的中點，則下列說法中不正確的是（

）A．平面B．C．直線MN與平面ABCD所成的角為60°D．異面直線MN與所成的角為45°7．將數(shù)列中的所有項排成如下數(shù)陣：……已知從第二行開始每一行比上一行多兩項，第一列數(shù)……，成等差數(shù)列，且．從第二行起，每一行中的數(shù)按從左到右的順序均構(gòu)成以為公比的等比數(shù)列，則下列結(jié)論錯誤的為（

）A． B．C．位于第85列 D．8．某中學(xué)為慶祝建校80周年，學(xué)校將舉辦校慶文藝演出，文藝演出含有節(jié)目，等15個節(jié)目，甲、乙兩位同學(xué)都將參演節(jié)目，中的一個，假設(shè)甲參加節(jié)目，的概率分別為，乙參加節(jié)目，的概率分別為，且甲乙兩人參加節(jié)目相互獨立，若事件表示甲乙兩人參加同一個節(jié)目，事件表示兩人都參加節(jié)目，則（

）A． B． C． D．9．已知橢圓的左、右焦點分別為，，離心率為，橢圓的上頂點為，且，曲線和橢圓有相同焦點，且雙曲線的離心率為，為曲線與的一個公共點，若，則（

）．A． B． C． D．10．高斯是德國著名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)的奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王子”的稱號，用其名字命名的“高斯函數(shù)”為：設(shè)，用表示不超過x的最大整數(shù)，則稱為“高斯函數(shù)”，例如：.已知函數(shù)，則函數(shù)的值域是（

）A． B． C． D．11．已知函數(shù)的定域為，圖象恒過點，對任意，當時，都有，則不等式的解集為（

）．A． B． C． D．12．已知正三棱錐的底面邊長為2，表面積為，A，B，C三點均在以O(shè)為球心得球面上，Q為球面上一點，下列結(jié)論正確得是（

）A．球O的半徑為B．三棱錐的內(nèi)切球半徑為C．的取值范圍為D．若平面ABC，則異面直線AC與QB所成角的余弦值為二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在區(qū)間上隨機取一個實數(shù)，則使得直線與圓有公共點的概率為________14．下列四個命題:①直線的斜率，則直線的傾斜角的范圍是②直線與過，兩點的線段相交，則或③直線與橢圓恒有公共點，則的取值范圍是;④方程表示圓的充要條件是或;正確的是___________________.15．函數(shù)的部分圖象如圖所示，將函數(shù)的圖象向右平移個單位后得到函數(shù)的圖象，若函數(shù)在區(qū)間上的值域為，則的最小值是__________．16．已知函數(shù)有兩個極值點與，若，則實數(shù)a＝____________.三、解答題(本題共6個小題，滿分70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．第17~21題為必考題，每個試題考生都必須作答．第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答)（一）必考題：共60分。17．在中，角所對的邊長分別為．(1)若，求的面積；(2)是否存在正整數(shù)a，使得為鈍角三角形？若存在，求出a的值；若不存在，說明理由．18．如圖，在邊長為4的正三角形中，為邊的中點，過作于.把沿翻折至的位置，連接?.(1)為邊的一點，若，求證：平面；(2)當四面體的體積取得最大值時，求平面與平面的夾角的余弦值.19．某地經(jīng)過多年的環(huán)境治理，已將荒山改造成了綠水青山．為估計一林區(qū)某種樹木的材積量，隨機選取了10棵這種樹木，測量每棵樹的根部橫截面積（單位：）和材積量（單位：），得到如下數(shù)據(jù)：樣本號i12345678910總和根部橫截面積0.040.060.040.080.080.050.050.070.070.060.6材積量0.250.400.220.540.510.340.360.460.420.403.9由散點圖知根部橫截面積與材積量線性相關(guān)，并計算得．(1)估計該林區(qū)這種樹木平均一棵的根部橫截面積與平均一棵的材積量；(2)求該林區(qū)這種樹木的根部橫截面積與材積量的回歸直線方程；(3)現(xiàn)測量了該林區(qū)2500棵這種樹木的根部橫截面積，并得到這些樹木的根部橫截面積總和為．利用（2）中所求的回歸直線方程，估計這些樹木的總材積量．附：回歸直線方程的斜率，截距．20．已知A，B是橢圓上關(guān)于坐標原點O對稱的兩點，點，連結(jié)DA并延長交C于點M，連結(jié)DB交C于點N．(1)若A為線段DM的中點，求點A的坐標；(2)設(shè)，的面積分別為，若，求線段OA的長．21．已知函數(shù)，其中.(1)若的圖象在處的切線過點，求a的值；(2)證明：，，其中e的值約為2.718，它是自然對數(shù)的底數(shù)；(3)當時，求證：有3個零點，且3個零點之積為定值.（二）選考題：共10分。請考生在第22、23題中任選一題作答。如果多做，則按所做的第一題計分。22．[選修4－4：坐標系與參數(shù)方程]在平面直角坐標中，以原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為(1)求曲線的普通方程；(2)在平面直角坐標中，若過點且傾斜角為的直線與曲線交于兩點，求證：成等差數(shù)列.23．[選修4－5：不等式選講]（1）已知a，b，c，d均為正數(shù).求證：（2）已知.求證：<的充要條件為x>y參考答案：1．B【分析】根據(jù)補集的運算求出，再由并集的運算可得答案.【詳解】因為，所以，因為，所以．故選：B．2．C【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的運算化簡后，利用復(fù)數(shù)差的模求解.【詳解】，，即復(fù)數(shù)對應(yīng)點之間的距離為2，故選：C3．C【分析】運用構(gòu)造法可得為等比數(shù)列，再運用累加法可得通項公式，進而求得通項公式，再運用裂項相消求和可得結(jié)果.【詳解】由，得．又，所以數(shù)列構(gòu)成以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，所以.又，，…，，疊加可得，即，所以.又因為滿足上式，所以.所以.因為，所以，即，所以.故.所以.故選：C.4．C【分析】建立直角坐標系，設(shè)拋物線的標準方程為：，，，代入拋物線方程可得，根據(jù)，解得與的關(guān)系，即可得出．【詳解】如圖所示，建立直角坐標系，設(shè)拋物線的標準方程為：，，，代入拋物線方程可得：，解得，由于，得或（舍）又，化為：，解得或（舍）.故選：C.5．C【分析】根據(jù)給定的程序框圖，分析i的最大取值，再利用高斯函數(shù)的意義計算作答.【詳解】初始值，輸入，當時，總是執(zhí)行“是”，并且當時，進入循環(huán)體，，計算并進入判斷框，不等式不成立，退出循環(huán)，輸出，而，，即1有2個；，即2有4個；，即3有8個；，即4有16個；，即5有32個；，6有1個，所以.故選：C6．C【分析】取棱中點，利用線面平行的判定推理判斷A；利用線面垂直的性質(zhì)推理判斷B；求出線面角、線線角判斷CD作答.【詳解】在正方體中，取棱中點，連接，因為M，N分別為AC，的中點，則，因此四邊形為平行四邊形，則平面，平面，所以平面，A正確；因為平面，則，所以，B正確；顯然平面，則是與平面所成的角，又，有，由于，所以直線MN與平面ABCD所成的角為，C錯誤；因為，，則是異面直線MN與所成的角，顯然，D正確.故選：C7．C【分析】分析所給數(shù)陣的特點，計算出數(shù)陣第一列對應(yīng)等差數(shù)列的通項公式，可得A正確；分析計算的表達式，比較可得B正確；通過計算可知位于數(shù)陣第行第86列，故C錯誤；位于數(shù)陣第行第個數(shù)，代入等比數(shù)列通項公式可得D正確.【詳解】將等差數(shù)列，，，，…，記為，則公差，所以，，故A正確；因為，，故B正確；第行的項數(shù)，第行的項數(shù)，，第行的項數(shù)，構(gòu)成以為首項，為公差的等差數(shù)列，即第行有項，前行有項，因為，而，則位于第行從左邊數(shù)第項，即位于第列，故C錯誤；，故D正確.故選：C.8．B【分析】根據(jù)給定條件，利用互斥事件、相互獨立事件的概率公式求出，再利用條件概率公式求解作答.【詳解】依題意，，，所以.故選：B9．B【分析】根據(jù)．可得，可得，設(shè)，．可得，根據(jù)余弦定理化簡，利用離心率計算公式即可得出．【詳解】如圖所示，設(shè)雙曲線的標準方程為：，半焦距為．∵橢圓的上頂點為，且．∴，∴，∴．∴．不妨設(shè)點在第一象限，設(shè)，．∴，．∴．在中，由余弦定理可得：∴．兩邊同除以，得，解得：．對選項A，，故A錯誤，對選項B，，故B正確，對選項C，D，，故C，D錯誤.故選：B10．B【分析】方法一：利用分離常數(shù)及指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合不等式的性質(zhì)及高斯函數(shù)的定義即可求解；方法二：利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及分式不等式的解法，結(jié)合高斯函數(shù)的定義即可求解；【詳解】方法一：函數(shù)，因為，所以，所以.所以.所以，即.當時，；當時，.故的值域為.故選：B.方法二：由，得.因為，所以，解得.當時，；當時，.所以的值域為.故選：B.11．B【解析】由，設(shè)，得到，令，然后將不等式，轉(zhuǎn)化為，利用的單調(diào)性求解.【詳解】因為，不妨設(shè)，則，令，在R上遞增，又，所以不等式，即為，即，所以，則，解得，故選：B【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題關(guān)鍵是由，構(gòu)造函數(shù)，利用其單調(diào)性得解.12．ABD【分析】設(shè)G，H，，分別為BC，AB，AQ的中點，為的中心，求出,故選項A正確；求出三棱錐的內(nèi)切球半徑為，故選項B正確；，故選項C錯誤；求出異面直線AC與QB所成角的余弦值為，故選項D正確．【詳解】解：設(shè)G，H，，分別為BC，AB，AQ的中點，為的中心，，故選項A正確；設(shè)三棱錐的內(nèi)切球半徑為，，，，故選項B正確；，故選項C錯誤；，，所以異面直線AC與QB所成角就是或其補角.因為，,.，所以異面直線AC與QB所成角的余弦值為，故選項D正確．故選：ABD．13．##0.5【分析】根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系，即可求得的取值范圍，結(jié)合幾何概型的概率求解，即可容易求得.【詳解】因為直線與圓有公共點，所以，解得，又，所以所求概率.故答案為：.14．②④【解析】①根據(jù)的斜率，得到，再根據(jù)直線的傾斜角的范圍是求解判斷；②根據(jù)直線過定點，由判斷；③直線過定點，若直線與橢圓恒有公共點，由點在橢圓內(nèi)部或橢圓上求解判斷；④將方程配方為，若方程表示圓，由求解判斷.【詳解】①因為的斜率，則，又直線的傾斜角的范圍是，所以，故錯誤；②直線過定點，，若直線與過，兩點的直線相交，則或，故正確；③直線過定點，若直線與橢圓恒有公共點，則點在橢圓內(nèi)部或橢圓上，則，且，所以的取值范圍是且，故錯誤;④方程配方，若方程表示圓，則，解得或，故正確;故答案為：②④【點睛】易錯點點睛：本題③容易忽視方程表示橢圓，則且的條件.15．##【分析】由圖象求得函數(shù)解析式，由平移變換求得的表達式，由的最值、值域求得．【詳解】由圖可得，,，又，所以，又，得,所以，因為，即，則，因為函數(shù)在區(qū)間上的值域為，注意到，，的周期是，因此取最小值時有，所以，解得.故答案為：．16．4【分析】由得，所以，根據(jù)解方程即可求出結(jié)果．【詳解】因為函數(shù)有兩個極值點與由，則有兩根與所以，得因為，所以，又則，所以故答案為：17．(1)(2)存在，．【分析】（1）根據(jù)已知條件及正弦定理邊化角，利用余弦定理及同角三角函數(shù)的平方關(guān)系，結(jié)合三角形的面積的公式即可求解；（2）根據(jù)已知條件得出邊長的關(guān)系，利用余弦定理的推論即一元二次不等式的解法，結(jié)合三角形成立的條件即可求解.【詳解】（1）由及正弦定理，得，又因為，所以，解得，故，由余弦定理，得，所以C為銳角，則，因此，．（2）存在正整數(shù)a，使得為鈍角三角形,理由如下：由，即由，得，即，所以，因為為鈍角三角形，所以為鈍角，由余弦定理的推論可得，解得，由三角形的三邊關(guān)系可得，可得，∵，,故．18．(1)證明見解析(2)【分析】(1)由線面平行判定定理證明平面，平面，根據(jù)面面平行判定定理證明平面平面，根據(jù)面面平行性質(zhì)定理證明平面；(2)根據(jù)錐體體積公式由條件確定平面，建立空間直角坐標系，求平面與平面的法向量，根據(jù)向量夾角公式求法向量的夾角余弦，由此可得結(jié)論.【詳解】（1）取中點，連接，因為在正三角形中，，又因為，所以，平面，平面，所以平面，又有，且，所以，而平面，平面，所以平面.有，平面，所以平面平面，又平面，因此平面.（2）因為，又因為的面積為定值，所以當?shù)狡矫娴木嚯x最大時，四面體的體積有最大值，因為，，，，平面，所以平面，因為平面，所以平面平面，當時，平面平面，平面所以平面，即在翻折過程中，點到平面的最大距離是，因此四面體的體積取得最大值時，必有平面.如圖，以點為原點，為軸，為軸，為軸，建立空間直接坐標系，易知，，，，，，，為平面的一個法向量，設(shè)平面的法向量為，，由，令得：，，所以為平面的一個法向量，.所以平面與平面的夾角（銳角）的余弦值為.19．(1)該林區(qū)這種樹木平均一棵的根部橫截面積為0.06，平均一棵的材積量為0.39；(2)；(3)995.1【分析】（1）利用平均數(shù)公式計算出，即可；（2）利用題干數(shù)據(jù)，代入公式，計算出，，得到線性回歸方程；（3）將代入到線性回歸方程中，計算出，從而求出這些樹木的總材積量.(1)由題意得：，，估計該林區(qū)這種樹木平均一棵的根部橫截面積為0.06，平均一棵的材積量為0.39(2)，，故該林區(qū)這種樹木的根部橫截面積與材積量的回歸直線方程為(3)因為，所以，將代入中，得到，則估計這些樹木的總材積量為20．(1)(2)【分析】(1)由于A是M，D的中點，設(shè)，由此推出M的坐標，再根據(jù)A，M都在橢圓上，代入橢圓方程即可求解；(2)設(shè)直線DA的方程，再根據(jù)A，B的對稱性設(shè)DB的方程，與橢圓方程聯(lián)立，求出M，N點的坐標與A，B點坐標的關(guān)系，將面積之比問題轉(zhuǎn)化為坐標之比問題.【詳解】（1）設(shè)，∴由A，M均在橢圓C上，∴，解得，，∴；（2）設(shè)DA方程為，，，，得，，∴，∴．同理∴，∴，∴；而，∴【點睛】本題的難點在于要將面積之比轉(zhuǎn)化為坐標之比，這個思路是在解題的開始時就應(yīng)該產(chǎn)生的，后面的步驟只是這個思路的具體執(zhí)行.21．(1)(2)證明見解析(3)證明見解析【分析】（1）求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求在處的切線方程，然后由切線過點求得的值；（2），構(gòu)造函數(shù)，，利用函數(shù)的單調(diào)性求證即可；（3）令求得，可得在，上單調(diào)遞增，在遞減，則至多有三個零點．又，，，所以，結(jié)合零點存在定理知：使得，又，，則，所以恰有三個零點：，1，，從而得出結(jié)論.【詳解】（1）