第六七節(jié)曲面與曲線二次曲面

（優(yōu)選）第六七節(jié)曲面與曲線二次曲面現(xiàn)在是1頁\一共有96頁\編輯于星期二現(xiàn)在是2頁\一共有96頁\編輯于星期二由幾何特征確定曲面方程特殊地：球心在原點時方程為現(xiàn)在是3頁\一共有96頁\編輯于星期二研究空間曲面有兩個基本問題：(1)已知曲面作為滿足某些條件的點集，求曲面方程；(2)已知曲面方程，研究曲面形狀.現(xiàn)在是4頁\一共有96頁\編輯于星期二二、柱面與旋轉(zhuǎn)曲面

1、柱面（cylinder）播放觀察柱面的形成過程:定義平行于定直線并沿定曲線C移動的直線

L

所形成的曲面稱為柱面.這條定曲線C叫柱面的準線，動直線L叫柱面的母線.現(xiàn)在是5頁\一共有96頁\編輯于星期二現(xiàn)在是6頁\一共有96頁\編輯于星期二例如：圓柱面拋物柱面橢圓柱面現(xiàn)在是7頁\一共有96頁\編輯于星期二(4)平面現(xiàn)在是8頁\一共有96頁\編輯于星期二柱面舉例拋物柱面平面現(xiàn)在是9頁\一共有96頁\編輯于星期二從柱面方程看柱面的特征：（其他類推）實例橢圓柱面雙曲柱面拋物柱面母線//軸母線//軸母線//軸現(xiàn)在是10頁\一共有96頁\編輯于星期二例指出下列方程在平面解析幾何中和空間解析幾何中分別表示什么圖形？現(xiàn)在是11頁\一共有96頁\編輯于星期二解平面解析幾何中空間解析幾何中斜率為1的直線方程現(xiàn)在是12頁\一共有96頁\編輯于星期二2、旋轉(zhuǎn)曲面（surfaceofrevolution）定義

平面上的曲線C繞該平面上的一條定直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面.這條定直線叫旋轉(zhuǎn)曲面的軸,曲線C稱為母線.播放現(xiàn)在是13頁\一共有96頁\編輯于星期二例如：球面現(xiàn)在是14頁\一共有96頁\編輯于星期二點M到z軸的距離得方程yoz坐標面上的已知曲線f(y,z)=0繞z軸旋轉(zhuǎn)一周的旋轉(zhuǎn)曲面方程.現(xiàn)在是15頁\一共有96頁\編輯于星期二yoz坐標面上的已知曲線

繞z軸旋轉(zhuǎn)一周的旋轉(zhuǎn)曲面方程為yoz坐標面上的已知曲線

繞y軸旋轉(zhuǎn)一周的旋轉(zhuǎn)曲面方程為現(xiàn)在是16頁\一共有96頁\編輯于星期二現(xiàn)在是17頁\一共有96頁\編輯于星期二現(xiàn)在是18頁\一共有96頁\編輯于星期二例1將下列各曲線繞對應(yīng)的軸旋轉(zhuǎn)一周，求生成的旋轉(zhuǎn)曲面的方程．雙葉旋轉(zhuǎn)雙曲面單葉旋轉(zhuǎn)雙曲面現(xiàn)在是19頁\一共有96頁\編輯于星期二雙葉雙曲面單葉雙曲面xyoz現(xiàn)在是20頁\一共有96頁\編輯于星期二旋轉(zhuǎn)橢球面現(xiàn)在是21頁\一共有96頁\編輯于星期二現(xiàn)在是22頁\一共有96頁\編輯于星期二旋轉(zhuǎn)拋物面zxyoxyzo現(xiàn)在是23頁\一共有96頁\編輯于星期二例5下列方程所表示的曲面是否是旋轉(zhuǎn)曲面，若是，指明其是如何形成的.給出一個方程也要會判斷它是否表示旋轉(zhuǎn)面,及旋轉(zhuǎn)曲面是如何形成的.現(xiàn)在是24頁\一共有96頁\編輯于星期二現(xiàn)在是25頁\一共有96頁\編輯于星期二解

繞z軸旋轉(zhuǎn)，故圓錐面方程為現(xiàn)在是26頁\一共有96頁\編輯于星期二圓錐面現(xiàn)在是27頁\一共有96頁\編輯于星期二空間曲線的一般方程曲線上的點都滿足方程，滿足方程的點都在曲線上（不在曲線上的點不能同時滿足兩個方程）.空間曲線C可看作空間兩曲面的交線.特點：三、空間曲線及其方程

1、空間曲線的一般方程現(xiàn)在是28頁\一共有96頁\編輯于星期二空間曲線現(xiàn)在是29頁\一共有96頁\編輯于星期二例1方程組表示怎樣的曲線？解表示圓柱面，表示平面，交線為橢圓.現(xiàn)在是30頁\一共有96頁\編輯于星期二例2方程組表示怎樣的曲線？解上半球面,圓柱面,交線如圖.現(xiàn)在是31頁\一共有96頁\編輯于星期二空間曲線的參數(shù)方程2、空間曲線的參數(shù)方程現(xiàn)在是32頁\一共有96頁\編輯于星期二動點從A點出發(fā)，經(jīng)過t時間，運動到M點螺旋線的參數(shù)方程取時間t為參數(shù)，解現(xiàn)在是33頁\一共有96頁\編輯于星期二螺旋線的參數(shù)方程還可以寫為螺旋線的重要性質(zhì)：上升的高度與轉(zhuǎn)過的角度成正比．即上升的高度螺距現(xiàn)在是34頁\一共有96頁\編輯于星期二如何將曲線的一般方程：(*)化為參數(shù)方程？(1)先從一般方程(*)中消去某個變量，比如z，得方程H(x,y)=0，寫出該方程在xOy面的參數(shù)方程x=x(t)，y=y(t).再把x=x(t)，y=y(t)代入(*)中的某個方程解出z=z(t)，最后在確定t的變化區(qū)間，就得到了曲線的參數(shù)方程.例5、把曲線用參數(shù)方程表示.現(xiàn)在是35頁\一共有96頁\編輯于星期二(2)在一些特殊情形，(*)中的某個方程是不完全三元方程(即方程中缺了一個未知量)，則可先將這個方程化為參數(shù)方程，再將所得結(jié)果代入(*)中的另一個方程，即可求得曲線的參數(shù)方程.例6、將曲線化為參數(shù)方程.現(xiàn)在是36頁\一共有96頁\編輯于星期二消去變量z后得：曲線對xOy面的投影柱面設(shè)空間曲線的一般方程為：投影柱面的特征：以此空間曲線為準線，垂直于所投影的坐標面.四、空間曲線在坐標面上的投影以空間曲線為準線，母線垂直于xOy面的柱面叫做曲線對xOy面的投影柱面空間曲線在xOy面上的投影曲線現(xiàn)在是37頁\一共有96頁\編輯于星期二投影曲線的研究過程的例子.空間曲線投影曲線投影柱面現(xiàn)在是38頁\一共有96頁\編輯于星期二曲線在yoz面上的投影柱面和投影曲線：曲線在zox面上的投影柱面和投影曲線：類似地：可定義空間曲線：

在其他坐標面上的投影柱面和投影曲線.現(xiàn)在是39頁\一共有96頁\編輯于星期二例1求曲線在

xoy

面的投影柱面及投影曲線方程.例2求曲線在

xoy面及

yoz面的投影曲線方程.現(xiàn)在是40頁\一共有96頁\編輯于星期二例3以曲線為準線,母線平行于z軸的柱面方程.現(xiàn)在是41頁\一共有96頁\編輯于星期二例4求曲線在坐標面上的投影.解（1）消去變量z后得在面上的投影為現(xiàn)在是42頁\一共有96頁\編輯于星期二所以在面上的投影為線段.（3）同理在面上的投影也為線段.（2）因為曲線在平面上，現(xiàn)在是43頁\一共有96頁\編輯于星期二截線方程為解如圖,現(xiàn)在是44頁\一共有96頁\編輯于星期二現(xiàn)在是45頁\一共有96頁\編輯于星期二空間立體或曲面在坐標面上的投影.空間立體曲面現(xiàn)在是46頁\一共有96頁\編輯于星期二五、空間區(qū)域在坐標面上的投影例1解半球面和錐面的交線為現(xiàn)在是47頁\一共有96頁\編輯于星期二一個圓,現(xiàn)在是48頁\一共有96頁\編輯于星期二求兩曲面所圍立體(即空間區(qū)域)在坐標面的投影區(qū)域的一般方法：(1)求兩曲面的交線方程在坐標面的投影柱面方程，(2)將(1)中所得方程與坐標面方程聯(lián)立，得兩曲面的交線方程在坐標面的投影曲線方程，(3)投影曲線在坐標面所圍成的閉區(qū)域.現(xiàn)在是49頁\一共有96頁\編輯于星期二例2求由曲線繞軸旋轉(zhuǎn)一周而成的曲面夾在平面與平面之間的部分在面的投影區(qū)域.現(xiàn)在是50頁\一共有96頁\編輯于星期二例3求上半球與圓柱體的公共部分在XOY面和XOZ面上的投影。解：曲面的交線在XOY面上的投影為所圍立體在XOY面上的投影為由消去y，可得交線在XOZ面上的投影為：因此，所圍立體在XOZ面上的投影為：現(xiàn)在是51頁\一共有96頁\編輯于星期二a.xyoz現(xiàn)在是52頁\一共有96頁\編輯于星期二z=0axyzo。。。。維望尼曲線。。D1.現(xiàn)在是53頁\一共有96頁\編輯于星期二六、小結(jié)1、曲面方程的概念旋轉(zhuǎn)曲面的概念及求法.柱面的概念(母線、準線).2、空間曲線的一般方程、參數(shù)方程．現(xiàn)在是54頁\一共有96頁\編輯于星期二3、空間曲線在三個坐標面上的投影柱面和投影直線．現(xiàn)在是55頁\一共有96頁\編輯于星期二思考題1方程表示怎樣的曲線？思考題2現(xiàn)在是56頁\一共有96頁\編輯于星期二思考題1解答表示雙曲線.現(xiàn)在是57頁\一共有96頁\編輯于星期二思考題2解答交線方程為在面上的投影為現(xiàn)在是58頁\一共有96頁\編輯于星期二四、二次曲面三元二次方程適當(dāng)選取直角坐標系可得它們的標準方程,下面僅就幾種常見標準型的特點進行介紹.研究二次曲面特性的基本方法:截痕法其基本類型有:橢球面、拋物面、雙曲面、錐面的圖形通常為二次曲面.(二次項系數(shù)不全為0)機動目錄上頁下頁返回結(jié)束現(xiàn)在是59頁\一共有96頁\編輯于星期二1.橢球面(1)范圍：(2)與坐標面的交線：橢圓機動目錄上頁下頁返回結(jié)束現(xiàn)在是60頁\一共有96頁\編輯于星期二與的交線為橢圓：(4)當(dāng)a＝b時為旋轉(zhuǎn)橢球面;同樣的截痕及也為橢圓.當(dāng)a＝b＝c時為球面.(3)截痕:為正數(shù))機動目錄上頁下頁返回結(jié)束現(xiàn)在是61頁\一共有96頁\編輯于星期二2.拋物面(1)橢圓拋物面(p,q

同號)(2)雙曲拋物面（鞍形曲面）特別,當(dāng)p=q時為繞z軸的旋轉(zhuǎn)拋物面.(p,q同號)機動目錄上頁下頁返回結(jié)束現(xiàn)在是62頁\一共有96頁\編輯于星期二3.雙曲面(1)單葉雙曲面橢圓.時,截痕為(實軸平行于x

軸；虛軸平行于z軸）平面上的截痕情況:機動目錄上頁下頁返回結(jié)束雙曲線:現(xiàn)在是63頁\一共有96頁\編輯于星期二虛軸平行于x軸）時,截痕為時,截痕為(實軸平行于z

軸;機動目錄上頁下頁返回結(jié)束相交直線:雙曲線:現(xiàn)在是64頁\一共有96頁\編輯于星期二(2)雙葉雙曲面雙曲線橢圓注意單葉雙曲面與雙葉雙曲面的區(qū)別:雙曲線單葉雙曲面雙葉雙曲面P18目錄上頁下頁返回結(jié)束圖形現(xiàn)在是65頁\一共有96頁\編輯于星期二4.橢圓錐面橢圓在平面x＝0或y＝0上的截痕為過原點的兩直線.可以證明,橢圓①上任一點與原點的連線均在曲面上.①(橢圓錐面也可由圓錐面經(jīng)x或y方向的伸縮變換得到,見書P316)機動目錄上頁下頁返回結(jié)束現(xiàn)在是66頁\一共有96頁\編輯于星期二內(nèi)容小結(jié)1.空間曲面三元方程球面旋轉(zhuǎn)曲面如,曲線繞z軸的旋轉(zhuǎn)曲面:柱面如,曲面表示母線平行z軸的柱面.又如,橢圓柱面,雙曲柱面,拋物柱面等.機動目錄上頁下頁返回結(jié)束現(xiàn)在是67頁\一共有96頁\編輯于星期二2.二次曲面三元二次方程橢球面拋物面:橢圓拋物面雙曲拋物面雙曲面:單葉雙曲面雙葉雙曲面橢圓錐面:機動目錄上頁下頁返回結(jié)束現(xiàn)在是68頁\一共有96頁\編輯于星期二斜率為1的直線平面解析幾何中空間解析幾何中方程平行于y軸的直線平行于yoz面的平面圓心在(0,0)半徑為3的圓以z軸為中心軸的圓柱面平行于z軸的平面思考與練習(xí)1.指出下列方程的圖形:機動目錄上頁下頁返回結(jié)束現(xiàn)在是69頁\一共有96頁\編輯于星期二2.P318題3,10機動目錄上頁下頁返回結(jié)束題10答案:在xoy面上現(xiàn)在是70頁\一共有96頁\編輯于星期二作業(yè)P3182;4;7;8(1),(5);11第四節(jié)目錄上頁下頁返回結(jié)束現(xiàn)在是71頁\一共有96頁\編輯于星期二練習(xí)題現(xiàn)在是72頁\一共有96頁\編輯于星期二現(xiàn)在是73頁\一共有96頁\編輯于星期二現(xiàn)在是74頁\一共有96頁\編輯于星期二練習(xí)題答案現(xiàn)在是75頁\一共有96頁\編輯于星期二現(xiàn)在是76頁\一共有96頁\編輯于星期二定義柱面觀察柱面的形成過程:平行于定直線并沿定曲線移動的直線所形成的曲面稱為柱面.這條定曲線叫柱面的準線，動直線叫柱面的母線.現(xiàn)在是77頁\一共有96頁\編輯于星期二定義柱面觀察柱面的形成過程:平行于定直線并沿定曲線移動的直線所形成的曲面稱為柱面.這條定曲線叫柱面的準線，動直線叫柱面的母線.現(xiàn)在是78頁\一共有96頁\編輯于星期二定義柱面觀察柱面的形成過程:平行于定直線并沿定曲線移動的直線所形成的曲面稱為柱面.這條定曲線叫柱面的準線，動直線叫柱面的母線.現(xiàn)在是79頁\一共有96頁\編輯于星期二定義柱面觀察柱面的形成過程:平行于定直線并沿定曲線移動的直線所形成的曲面稱為柱面.這條定曲線叫柱面的準線，動直線叫柱面的母線.現(xiàn)在是80頁\一共有96頁\編輯于星期二定義柱面觀察柱面的形成過程:平行于定直線并沿定曲線移動的直線所形成的曲面稱為柱面.這條定曲線叫柱面的準線，動直線叫柱面的母線.現(xiàn)在是81頁\一共有96頁\編輯于星期二定義柱面觀察柱面的形成過程:平行于定直線并沿定曲線移動的直線所形成的曲面稱為柱面.這條定曲線叫柱面的準線，動直線叫柱面的母線.現(xiàn)在是82頁\一共有96頁\編輯于星期二定義柱面觀察柱面的形成過程:平行于定直線并沿定曲線移動的直線所形成的曲面稱為柱面.這條定曲線叫柱面的準線，動直線叫柱面的母線.現(xiàn)在是83頁\一共有96頁\編輯于星期二定義柱面觀察柱面的形成過程:平行于定直線并沿定曲線移動的直線所形成的曲面稱為柱面.這條定曲線叫柱面的準線，動直線叫柱面的母線.現(xiàn)在是84頁\一共有96頁\編輯于星期二定義柱面觀察柱面的形成過程:平行于定直線并沿定曲線移動的直線所形成的曲面稱為柱面.這條定曲線叫柱面的準線，動直線叫柱面的母線.現(xiàn)在是85頁\一共有96頁\編輯于星期二定義柱面觀察柱面的形成過程:平行于定直線并沿定曲線移動的直線所形成的曲面稱為柱面.這條定曲線叫柱面的準線，動直線叫柱面的母線.現(xiàn)在是86頁\一共有96頁\編輯于星期二定義柱面觀察柱面的形成過程:平行于定直線并沿定曲線移動的直線所形成的曲面稱為柱面.這條定曲線叫柱面的準線，動直線叫柱面的母線.現(xiàn)在是87頁\一共有96頁\編輯于星期二定義柱面觀察柱面的形成過程:平行于定