2020年高考文科數(shù)學直線與圓題型歸納與訓練

沖刺高考復習必備2020年高考文科數(shù)學《直線與圓》題型歸納與訓練【題型歸納】題型一傾斜角與斜率例1直線l的方程為%mx+3j-1=0，則直線l的傾斜角為（ ）A.1500 B,1200 C,600 D.300【答案】A3【解析】由直線l的方程為＜3x+3j-1=0，可得直線的斜率為k=--，設直線的傾斜角為aeQ兀），則tana=-,.?.a=150°.故選：A.【易錯點】基礎求解問題注意不要算錯冗【思維點撥】直線方程的基礎問題（傾斜角，斜率與方程，注意傾斜角為a為了，即斜率k不存在的情況）應對相關知識點充分理解，熟悉熟練例2已知三點A（a,0）、B（3,7）、C（-2,-9a）在一條直線上，求實數(shù)a的值.― — 2【答案】a=2或a=9【解析】5 7 7+9a【解析】 ,k= 3—aCB5???A、B、C三點在一條直線上，kAB???A、B、C三點在一條直線上，kAB=kBC,即三"—'解得a=2或a=9'題型二直線方程例1經(jīng)過點M（1,1）且在兩坐標軸上截距相等的直線是（ ）.x=x=1或j=1x+j=2或x=j【答案】D.一 一 一 xy-【解析】若直線過原點，則直線為y=x符合題意，若直線不過原點設直線為一+-=1,mm代入點（1,1）解得m=2，直線方程整理得x+y-2=0，故選D.一，. xy【易錯點】截距問題用截距式比較簡單，但截距式一+-=1中要求m，n均非零。故做題時應考慮此情mn形【思維點撥】求解基本直線方程問題通常比較簡單，考慮時注意每種形式的適用范圍即可。不要漏解。題型三直線位置關系的判斷例1直線（3kx+（2—k）y—3=0和12:（k—2）x+（k+2）y—2=0互相垂直，則實數(shù)k的值是（）A.-2或—1 B.2或—1 C.-2或1 D.2或1【答案】D【解析】根據(jù)直線垂直的充要條件得到：3k*（k-2）+（2-k）*（k+2）=0化簡為k2-3k+2=0nk=1或2故選擇D【易錯點】本題若采用斜率之積為-1求解，則容易錯誤。首先求斜率變形時分母不為0，分母為零，實際上上是一條豎線（k不存在）；其次垂直時應為：k1k2=-1（斜率均存在）或k，k2中一為0，一不存在若用1]:ax+by+c=0，12:mx+ny+1=0垂直的充要條件：am+bn=0，則避免上述問題【思維點撥】直線位置關系問題（平行與垂直）應熟練掌握其判斷方法。一般而言，除一般式其他形式可能漏解（忽略了k不存在的情況）。在做題時應該考慮全面，避免少解題型四對稱與直線恒過定點問題例1點（2,4）關于直線2x+y-3=0的對稱點的坐標為【答案】（-2,2）【解析】設對稱點坐標為【解析】設對稱點坐標為（x0,y0），則對稱點與已知點連線的中點為y04_1由題意可得｛ / "%-2 2 ，解得廣0_~22,3+」-3_0 ^o_22 2所以對稱點坐標為(—2,2).【易錯點】此題求點可以設點，利用對稱(實則用中垂線)，建立方程組求解；亦可先求過該點與已知線垂直的直線方程，聯(lián)立求交點，反推對稱點(中點坐標公式)即可【思維點撥】對稱問題像點關于點對稱點關于直線對稱，直線關于直線對稱，其本質(zhì)都是點點對稱。當點運動則軌跡(曲線)得到而已。點點對稱根據(jù)中點坐標公式轉(zhuǎn)化，有時候利用中垂線特性(垂直，平分)進行求解例2直線y_kx-3k+2(kgR)必過定點().A.(3,2) B.(-3,2) C.(-3,-2) d.(3,-2)【答案】A［解析］y_k(x-3)+2，當x_3時，y_2,直線過(3,2)定點，故選A.【易錯點】對直線方程的常見表達式應熟悉熟練，并能進行恰當變形【思維點撥】直線過定點關鍵是把所有參數(shù)提出來，保證參數(shù)后面為零。即可求得題型五圓的方程例1若圓心在x軸上、半徑為、M的圓。位于y軸左側(cè)，且與直線X+2y_0相切，則圓O的方程是(x(x-\；5)2+y2_5(x+<5)2+y2_5(x(x-5)2+y2_5(x+5)2+y2_5【答案】D【解析】設圓心O(【解析】設圓心O(a,0)(a<0),則v5_IaI12+22即Ia|_5，解得a_-5,所以圓O的方程為例2圓心在直線x-2y=0上的圓C與y軸的正半軸相切，圓C截％軸所得弦的長為2<3，則圓C的標準方程為.【答案】(x—2)2+(y-1)2=4【解析】設圓心為(2b,b)，則圓的半徑為2b，圓心到x軸的距離為b，所以2v14b2-b2=273,b>0,解得b=1，所以圓C的標準方程為(x-2)2+(y-1)2=4.例3已知圓經(jīng)過點A(2,-1),圓心在直線2x+y=0上且與直線l:x-y-1=0相切，求圓的方程.1【答案】見解析【解析】設圓的方程為Q-1I+(y-bI=r2(r>0).???圓心在直線y=-2x上，??.b=-2a，即圓心為(a,-2a).又圓與直線x-y-1=0相切，且過點(2,-1),???a+2a-1=r,(2-aI+(-1+2a1=r2,即(3a-1、=2(2-a1+2G1+2a1,v2解得a=1或a=9.a=1,b=-2,r=-京2或a=9,b=-18,r=<338,故所求圓的方程為：Q-1、+(y+21=2，或Q-91+(y+18)=338.此題也可設出圓心所在直線方程12：x+y+1=0,聯(lián)立I與12求圓心P,利用P到A的距離與到l］距離相等求解t。則方程可求【易錯點】圓方程求解需要對圓的方程形式(標準式與一般式，其適用范圍，兩者轉(zhuǎn)化)充分熟悉。在解題時采用合適的方法(或代數(shù)法，或幾何法)進行相關求解【思維點撥】求解圓的方程問題可以采用代數(shù)方法：設合適的方程，根據(jù)條件進行轉(zhuǎn)換。變形解方程等求解；也可以采用幾何法(勾股定理，相似等)進行求解題型六直線、圓的綜合問題例1直線x+2y-5+J5=0被圓x2+y2-2x-4y=0截得的弦長為( )1【答案】C21【答案】C244x;6【解析】圓心(1,2)，圓心到直線的距離d=]+?"=1，半徑/=后，所以最后弦長為2<(<5)2-12:4.例2已知點M(a,b)在圓O：%2+丁2=1外，則直線ax+by=1與圓O的位置關系是()A.相切 B.相交 C.相離 D.不確定【答案】B【解析】因為M(a,b)在圓O：%2+y2=1外，所以a2+b2>1,而圓心0到直線ax+by=1的距離, 1 .d=. <1,故直線與圓0相交.aa2+b2 1 1\一 例3直線l：y=kx+不與圓C：x2+y2=1的位置關系為( )I2)A.相交或相切 B.相交或相離 C.相切 D.相交【答案】D【解析】由于圓心(0,0)，半徑等于1,(1、 0-0+2 1kl1 1圓心到直線l：y=kx+-的距離為d=j=—^==, <-<r=1,V2) Jk2+1 2Vk2+121+工2k故直線和圓相交，故選D.例4已知圓q：(x-2)2+(y-3)=1，圓C2:(x-3)2+(y-4)=9,M,N分別是圓C,C2上的動點，P為x軸上的動點，則1PMi+IPNI的最小值為A.5V2-4 B."7-1 C.6-2<2 D.<17【答案】D【解析】圓C1,C2的圓心分別為C1,C2，由題意知|PM|>|PCJ-1,|PN|>pC2|-3,??.|PM|+pN|>|PCJ+|PC2|-4,故所求值為|PCJ+|PC2|-4的最小值.又q關于x軸對稱的點為C3(2,-3),所以pCj+|PCj-4的最小值為|C3cJ-4=5垃-4，故選A.

【易錯點】此題可以采用聯(lián)立方程（A）求解；也可以采用圓心到直線的距離與半徑大小比較求解；還可 C 1\ 以利用直線l恒過0,-，易得（可作草圖）該點在圓內(nèi)，故應為相交。直線（含參數(shù)）過定點特征應有I2J所熟悉，高考中常有涉及【思維點撥】直線與圓位置關系通常采用圓心到直線距離d與圓半徑廠大小確定。圓C:G—a>+（y—b?=r2，直線l：Ax+By+C=0，圓心。（a,b）到直線l的距離為d，則:d>r，直線與圓相離。可求圓上動點到直線距離范圍（最大最?。﹩栴}d=r，直線與圓相切。依此可求過圓C：42+y2=丫2上某點尸（40，y0）的切線方程：404+y0y=r2一般地，過圓C：Q—J+（y-b）=r2上某點p（x0，y0）的切線方程:(x—a)4—a)+(y—b)(y—b)=r2., -（AB\2一 d<r，直線與圓相交。此時常用勾股定理r2=d2+—- （AB為相交弦）來求解相關問題.I2J【鞏固訓練】題型一傾斜角與斜率.經(jīng)過A（-2,0），B（-5,3）兩點的直線的斜率是，傾斜角是3—0—5~「2)=—1，故傾斜角為135.【答案】見解析【解析】經(jīng)過A3—0—5~「2)=—1，故傾斜角為135..設點A（2,—3）,B（—3,—2），直線l過點PG,1）且與線段AB相交，則l的斜率k的取值范圍是（）TOC\o"1-5"\h\z,3 , ,,3 3,.A.k>-或k<—4 B.—4<k<- C.—-<k<4 D,以上都不對4 4 4【答案】A33【解析】求得k=—4,k=-，結合圖像知k的范圍為k<—4或k>-PAPB4 43.直線l過點A（1,2），且不過第四象限，則直線l的斜率k的最大值是（）【解析】如圖，【解析】如圖，葭=2,『0,只有當直線落在圖中陰影部分才符合題意,故k 故直線l的斜率k的最大值為2.題型二直線方程.過點A（：3,1）且傾斜角為12cp的直線方程為（J=一、J=一、;3x+4y二-鼻x—2【答案】B【解析】傾斜角為12cp的直線斜率為-*；3.利用點斜式可得y—1=-、"（—V3）整理得y=—j3x+4..直線l過點（—1,2）且與直線2x—3y+4=0垂直，則l的方程是（）A.3x+2y—1=0 B.3x+2y+7=0 C.2x—3y+5=0D.2x—3y+8=0【答案】A【解析】設l：3x+2y+1=0,代入（—1,2）.得t=-1TOC\o"1-5"\h\z.已知AG,2）,B（3,1）,則線段AB的垂直平分線的方程是（ ）.A.4x—2y+5=0B.4x—2y—5=0C,x+2y—5=0D,A.4x—2y+5=03、， 1 3【解析】AB中點為M（2,）,k=—-.則中垂線斜率k=2,方程為y—-=2（x—2）.化簡得:2 AB 2 24x—2y—5=04.已知直線l過點6,2）,且在x軸截距是在y軸截距的2倍，則直線l的方程（）B.x+2y+5=0A.xB.x+2y+5=0C.2x—y=0或x+2y—5=0 D,2x—y=0或x—2y+3=0【答案】?！窘馕觥慨斨本€過原點時，又過點6,2）,???所求直線方程為2x—y=0.當直線不過原點時，由已知設直線方程為3+y=1,又過點6,2）,所求直線方程為

2mmx+2y—5=0a選C題型三直線位置關系的判斷.已知直線X-y-2=0與直線mx+y=0垂直，那么m的值是( ).A.-2【答案】A.-2【答案】CB.—1C.1D.2【解析】利用垂直的條件：m?1+1?(-1)=0，得m=1.若直線lj(m+3)x+4y+3m—5=0與直線12:2x+(m+5)y—8=0平行，則m的值為().13 _ _A.—— B.—1或一7 C.-6 D.-73【答案】D【解析】：11Pl2,??.(m+3)-(m+5)=2x4,解得m=-1或—7，又當m=-1時，兩條直線重合，故m=-7.3.直線+y3.直線+y=3和直線x+y=2的位置關系是A.垂直 B.相交不垂直 C.A.垂直 B.相交不垂直 C.平行【答案】A【解析】???(3—%；2)x1+(；'2—<3)x1=0,D重合.???兩條直線相互垂直.故選A.題型四對稱與過定點1.直線2x—my+1-3m=0，當m變化時，所有直線都過定點( )A.-2,3B.2A.-2,3B.2,3C.D.【答案】D［解析】直線［解析】直線2x—my+1—3m=0,化為2x+1—m(y+3)=0，令｛(1八當m變動時，所有直線都通過定點-不,—3，故選D.I2J

.直線l:(m+n)x+(2m一n)y-m+2n=。，對任意m,ngR直線l恒過定點【答案】(一1』)【解析】去作用”(m+n)x+(2m—n)y-m+2n=0可化為：m(x+2y-1)+n(x-y+2)=0,若要讓m,n“失【解析】去作用”x+2y-1=0 x=-1則｛x-y+2二0，解得｛y二1 ，即定點為(-1/)..已知直線l經(jīng)過點P(6,4)，斜率為k(1)若1的縱截距是橫截距的兩倍，求直線1的方程；(2)若k=-1，一條光線從點M(6,0)出發(fā)，遇到直線1反射，反射光線遇到y(tǒng)軸再次反射回點M，求光線所經(jīng)過的路程.【答案】(1)l：2x-3y=0或l:2x+y-16=0；(2)4<17.【解析】(1)由題意得k中0。直線l的方程為y-4=k(x-6),即y=k(x-6)+4，4令x=0，得y=-6k+4 令y=0，得x=-一+6TOC\o"1-5"\h\z； k, ..J4八一2 ,八???l的縱截距是橫截距的兩倍:?-6k+4=2--+6解得k=7或k=-2Ik) 3?,?直線/的方程為y=2(x-6)+4或y=-2(x-6)+4,即2x-3y=0或2x+y-16=0(2)當k=-1時，直線l的方程為x+y-10=0，設點M關于l的對稱點為M1(a,b),=1.??點M的坐標為00,4),.??點M的坐標為00,4),則｛a6 ，解得｛八/a+6s八 b=4 +y-10=02M1(10,4)關于y軸的對稱點為M2(-10,4),光線所經(jīng)過的路程為?M2Ml=\；'(6+101+(0-4)2=4<17題型五圓的方程1.圓與直線l:4x-3y+6=0相切于點A(3,6)，且經(jīng)過點B(5,2)，求此圓的方程.【答案】x2+y2-10x-9y+39=0.

【解析】設圓的方程為Q—J+（J—b1=r2則圓為C(a,【解析】設圓的方程為Q—J+（J—b1=r2'Q-3)2+(b-6)2=(a-5,+(b-2)2=r2得｛b-64 x-=-1〔a-33-,9 25解得a=5,b=—,r2=—2 4???圓的方程為（x-5）25.求過三點A(0,5),???圓的方程為（x-5）25【答案】x2+y2+6x-2y-15=0.【解析】設圓的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0'5E+F+25=0因為點在圓上所以點的坐標是方程的解，把它們的坐標代入圓的方程得JD-2E+F+5=03D+4E-F-25=0'D=6，解這個方程得jE=-2，所求方程為x2+y2+6x-2y-15=0.F=-15,此題亦可先求兩條中垂線，其交點為圓心，則半徑可求，得到方程.若RtAABC的斜邊的兩端點A，B的坐標分別為（-3,0）和（7,0），則直角頂點C的軌跡方程為（）A.X2+y2=25（y豐0） B.x2+y2=25C.（x-2、+y2=25（y豐0） D.（x-2、+y2=25【答案】C【解析】線段AB的中點為（2,0），因為^ABC為直角三角形，C為直角頂點，所以C到點（2,0）的距離為3ABi=5，所以點C（x,y）滿足n'（x-21+y2=5（y豐0），即（x-2、+y2=25（y豐0）.21求軌跡問題應注意變量的范圍.題型六直線、圓的綜合問題1.直線y=x+1與圓x2+y2=1的位置關系為（ ）A.相切 B.相交但直線不過圓心 C.直線過圓心 D.相離【答案】BTOC\o"1-5"\h\z一八 ，1 <2八V2 -【解析】圓心(0,0)為到直線y=X+1,即x—y+1=【解析】圓心(0,0)為到直線y=X+1,\o"CurrentDocument"<2 2 2.已知圓x2+y2+2x-2y+a=0截直線X+y+2=0所得弦的長度為4,則實數(shù)a的值是( )A.12 B.14 C.16 D.—8【答案】B【解析】圓的標準方程為(x+1)2+(y—1)2=2-a,則圓心。(-1,1),半徑r滿足r2=2—a,則圓心。到直線x+y+2=0的距離d=上—=v2，所以r2=4+2=2-a，故a=-41+1TOC\o"1-5"\h\z.若圓C:X2+y2=1與圓C:X2+y2-6X-8y+m=0外切，則m=( )2A.21 B.19 C.9 D.-11【答案】B【解析】由題意得C(0,0),C(3,4),r=1,r=<25-m,1 2 1 2ICC1=r+r=1+J25-m=5，