2023年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)備用題第2單元函數(shù)的概念與基本性質(zhì)

第二單元函數(shù)的概念與基本性質(zhì)

2.1函數(shù)的概念及其表示

1.(2022?重慶市第八中學(xué)檢測(cè))若函數(shù)y=/(x)的定義域是[0,8],則函數(shù)g(x)=(駕的定

ylx-i

義域是()

A.(1,32)B.(1,2)C.d，32]D.(1,2|

答案：D

044x4804x42…

解析：因?yàn)楹瘮?shù)y=/(x)的定義域是[0,8],所以m,.」K2.故選D.

x-l>0

2.(2。22?浙江金華月考)己知函數(shù)=的定義域?yàn)镽，則a的范圍

是.

答案：口,5)

解析：當(dāng)。=1時(shí)，f(x)=l,即定義域?yàn)?

當(dāng)要使f(x)的定義域?yàn)镽,則g(x)=(a-l)x2+(a-l)x+l>0在xwR上恒成立，

a-\>0

,八2"八八，解得綜上，有14a<5.

A=(a-1)-4(a-l)<0

Fx+1

3.已知函數(shù)f(x—l)的定義域?yàn)閇0,2022],則函數(shù)g(x)=q]7的定義域?yàn)?

答案：[-2,1)U(1,2020]

解析：由函數(shù)f(x-l)的定義域?yàn)閇0,2022J,得函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)閇-1,2021J.令

-l<x+l<2021,

■得一2WXM2020且存1.

*1,

所以函數(shù)g(x)的定義域?yàn)閇-2,1)。(1,2020].

,ex+2,x,,1,

2

4.(2022.重慶市巴蜀中學(xué)適應(yīng)性月考)已知函數(shù)[log2(x-l),x>l,K|J/[/(O)]=

()

A.3B.-3C.-2D.2

【答案】A.

【解析】/[/(0)]=/(3)=log28=3.

In(l-x)1

5.(2⑼江蘇省徐州考前模擬)函數(shù)股主?+泮定義域是(

A.[-1,O)U(O,DB.[—1,0)1(0,1]

C.(-l,0)U(0,l)D.(—1,0)50,1]

【答案】c

1-x>0,

【解析】由題意得r+1>0,解得-l<x<0或O<X<1.

x30,

所以原函數(shù)的定義域?yàn)?T,0)U(0」).

6.(2021?吉林梅河口期末)下列4個(gè)函數(shù)中，定義域和值域均為(0,e)的是()

A.y=x_2B.y=lnx

C.y=2'D.y=

【答案】D

【解析】對(duì)于選項(xiàng)A：y=/=*,定義域?yàn)閧巾RO},故A錯(cuò)誤；

對(duì)于選項(xiàng)B：y=lnx,定義域?yàn)閧x|x>0},值域?yàn)镽,故B錯(cuò)誤；

對(duì)于選項(xiàng)C：y=2",定義域?yàn)镽,故C錯(cuò)誤；

對(duì)于選項(xiàng)D：)，=不；=9，定義域和值域均為(0,+e),故D正確.

故選：D.

7.(2021?遼寧省撫順市月考)己知函數(shù)/(2X+1)=4X-6,若/3)=10,則實(shí)數(shù)a的值為()

A.5B.9C.10D.11

【答案】B

【解析】由/(2x+l)=4x-6,令r=2x+l,貝！|/(r)=2r-8.

因?yàn)?(a)=2a-8=10,所以a=9.

8.(2021?安徽安慶模擬)已知函數(shù)〃2-x)=j4-f,則函數(shù)/(?)的定義域?yàn)?)

A.[O,+oo)B.[0,16]C.[0,4]D.[0,2]

【答案】B

【解析】由解得一2麴k2,

即y=f(2—x)的定義域是[-2,2],貝IJ2-xe[0,4],即函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閇0,4],

令&e[0,4],解得xe[0,16],則函數(shù))，=/(6)的定義域?yàn)閇0,16].故選B.

9.(2021安徽名校聯(lián)盟考試)函數(shù)/(幻=:——+2的值域?yàn)?

廠—5x+6

【答案】{y|ywl且yw—1}

,x2-3x+2r-12

【解析】/(x)=—................=--------=Id---------,(1。2)，.??丁工1且￥。一1，

X2-5X+6x-3x-3

即值域?yàn)閧y|ywl且yW—l}.

10.(2022浙江臺(tái)州五校聯(lián)考)已知/(x)=72.+1,的定義域?yàn)镽，則實(shí)數(shù)

y/-mx~+6mx+m+10

m的取值范圍是一。

【答案】{川T〈加40}

【解析】：函數(shù)/(力=-/”+1的定義域?yàn)镽,

yj-mx"+6mx+m+10

-znx2+6/nx+"?+10>0恒成立，當(dāng)m=0,10>0恒成立；

-m>Q

當(dāng)，存0時(shí)，有"，解不等式可得，一1</?<0,

3677r+4，〃(/〃+10)<0

綜上可得一1<〃區(qū)0.

11.(2021河南高三模擬考試)高斯是德國(guó)著名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)

王子”的稱號(hào).設(shè)xeR,用卜]表示不超過x的最大整數(shù)，則丫=卜]稱為高斯函數(shù).例如：

15,1]=-6,[司=3.已知函數(shù)〃力=至/則函數(shù)>=卜(明的值域?yàn)?)

A.{-1}B.{-1,0}C.{1}D.{0,1}

【答案】B

【解析】因?yàn)閤wR，/(r)=—"x),所以/(x)是R上的奇函數(shù).

當(dāng)x>0時(shí)，0</。)=*45=g，所以當(dāng)xeR時(shí)，〃x)w

252

從而y=[.“0的值域?yàn)閧T0}.故選B.

12.(2021?湖北省荊州中學(xué)模擬)定義域是一個(gè)函數(shù)的三要素之一，已知函數(shù)及〃(x)定義域

為[211,985],則函數(shù)shuangyiliu(x)=Jzzr(2018x)+Jzzx(202lx)的定義域?yàn)?)

■211985--211985'

ADP.

A.2018)20212021'2018

211985211985

L/.

一2018'2018__2021，2021_

【答案】A

【解析,】由抽象函數(shù)的定義域可知，仁f2匕11<220218^x9<9885,解得211而酒985,

211QQ5-

所以所求函數(shù)的定義域?yàn)椤??故選A.

2(J1o2021

13.已知函數(shù)f(x)滿足f(一x)+幻?(箝=3。則，(尤)的解析式為,

3*+1一3r

答案：/(月二1-『一，XGR

解析：由/(一x)+M(x)=3*,①

得/(X)+才?(f)=3r.②

3*+1-3r

①x2—②，得3/(x)=3*+i—3*,即/(x)=―—.

y+1—3r

故/。)=---j------，x￡R.

\/x+1,-l<X<0,

14.(2021?陜西西安模擬)已知函數(shù)式尤)=彳"若實(shí)數(shù)a滿足1),則

[2x,x>0.

，<三>=()

A.2B.4C.6D.8

答案D

解析由兀0的定義域，知a>0.當(dāng)0<°<1時(shí)，由兒0=大。-1),即2a=g,

解得〃=1,則/(')=八4)=8,當(dāng)近1時(shí)，由*a)=/(a—1),得2a=2(a—1),不成立.綜上

4a

可知，/(1)=8.故選D.

a

15.(2021山東省泰安市模擬)函數(shù)/(x)=1匚+log、(x+2)的定義域是__________.

V\-x

【答案】(-2,1)

l-x>0

【解析】由題意可得，>23解得，一2<”1，故函數(shù)的定義域?yàn)?-2,1).

X

⑹師.山東名校模擬)設(shè)函數(shù)?=［\隧2,見讓0,間，則使他=51的x的集合為一

答案{一1,6,與）

解析由題意知，若爛0,則2*=去解得x=-1;若x>0,則|log2M=3，解得或X

坐故X的集合為

17.（2021山東省臨沂市模擬）高斯是德國(guó)著名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一，享有“數(shù)

學(xué)王子”的美譽(yù)，用其名字命名的“高斯函數(shù)”：設(shè)x=R,用[可表示不超過x的最大整數(shù)，則

y=[可稱為高斯函數(shù)，也稱取整函數(shù)，例如：[―3.7]=-4,[2.3]=2.已知g二1-L則

e+12

函數(shù)y=[/（x）]的值域?yàn)椋ǎ?/p>

A.{0}B.{-1,0}C.{-2,-1,0}D.{-1,0,1)

【答案】C

【解析】〃x）=總-3，+1-21--2---1—1

"+12，+12

o2]「]]、

當(dāng)了之0時(shí)，ex>\^貝iJTV--~~-<0,故/(x)=---+—,故[/(x)]w{_l,0}；

e+1e+1，_，，，

22]「31、

但x<0時(shí)，0<<1,貝卜2<―-—<-1,故/(x)=--T2—+T€RRL，

e+1e+\2\_22J

[/（x）]6{-2,-1}；綜上所述,函數(shù)y=[f（x）]的值域?yàn)椴?,-1,0}.故選?.

I3

18.（2021?安徽江南十校聯(lián)考）若人工）+3/（—）=1+；—2108^對(duì)工￡（0，+刃）恒成立，且存在

演）仁[2,4],使得兀的>加成立，則加的取值范圍為.

答案(一8,6)

13

解析兀丫)+3/(—)=%+;—210g2X，①

X人

以:代替X得/(，)+3yU)=4+3x+2k>g2X,②

兀xx

聯(lián)立①②消去/(-),得/)=x+log*

X

則XC[2,4]時(shí)，貝x)=x+log5是增函數(shù)，

?,./(x)max=A4)=6,因此m<6.

f2

x+一一3,x>l,

19.(2021.安徽合肥模擬)已知函數(shù)兀t)=<X則用(一3))=，式x)的最

,1g(f+1),x<\,

小值是,

答案02吸一3

解析由題意知八-3)=lg[(—3)2+l]=lg10=1,

所以用(-3)]=/U)=0,

當(dāng)眾1時(shí)，yu)=x+^—3之2也一3,當(dāng)且僅當(dāng)尸地時(shí)，取等號(hào)，此時(shí)/(x)min=26一3<0；

當(dāng)XV1時(shí)，yULlgS+l)>g1=0,當(dāng)且僅當(dāng)X=0時(shí)，取等號(hào)，止匕時(shí)?r)min=0.

???治)的最小值為2也一3.

—x+九x<](40R),

…「‘若對(duì)任意的都有歡⑶]

{2-Sx>\,

=2加,成立，則義的取值范圍是()

A.(0,2]B.[0,2]

C.[2,+oo)D.(—8,2)

答案C

解析當(dāng)色1時(shí)，222..\/1/3)]=/(2")=22"=2貝")恒成立.

當(dāng)時(shí)，咒/3)]=A-a+a=2/")=2La,：.k-a>l,即2次+1恒成立，

由題意上(a+Dmax,.??a2,綜上,4的取值范圍是[2,+8).故選C.

21.(2021北京市清華附中模擬)函數(shù)f(x)=HF+lg(4-x)的定義域是.

【答案】[-1，4)

1X+120「、

【解析】：/(x)=Vx+T+lg(4-x)4-x>0'解得T4X<4,故函數(shù)的定義域?yàn)?/p>

22.(2021北京市北京大學(xué)附屬中學(xué)模擬)若函數(shù)〃力="的定義域是[0,田)，則/。)的

值域是.

【答案】[-U)

【解析】由/(、)=含=丁=1一擊

12

當(dāng)xNO時(shí)，1>1,所以0<---K1,則一2W-----<0,

x+\x+l

9_i

所以即〃x）=Mr（xW0）的值域?yàn)椋邸?,1）。

23.（2021?山東青島二中月考）函數(shù)_/U）=ln（l+3+41-*的定義域?yàn)?

x

答案（0,1］

,+P°>xv—1或x>0,

解析要使函數(shù)7U）有意義，則。燈0,=>0<o<l.

*0,

.I一是0、一13爛1

工段）的定義域?yàn)椋?,1］.

2.2函數(shù)的單調(diào)性與最值

2

1.（2022.安徽合肥一中月考）函數(shù)式幻=——在［-2,0］上的最大值與最小值之差為.

x-1

塞索4

合菜：一

3

24

解析：易知凡*）在［-2,0］上是減函數(shù)，...兀為15—加%1m=大一2）—/（。）=一§一（一2）=§.

2.（2019?北京卷）下列函數(shù)中，在區(qū)間（0,+oo）上單調(diào)遞增的是

A.v_JB.y=2rc.yTogJD.y」

y~A'2x

答案：A

解析：函數(shù)y=27,y=log［X,y=L在區(qū)間（°,+8）上單調(diào)遞減，函數(shù)v=￡在區(qū)

間（0,+oo）上單調(diào)遞增，故選A.

3.（2021?安徽安慶模擬）定義新運(yùn)算十：當(dāng)a泌時(shí)，a?b=a；當(dāng)a<〃時(shí)，a?b^b2,則函

數(shù)兀0=（1十x）x—（2十x）,xW［—2,2］的最大值等于（）

A.-1B.1

C.6D.12

答案：C

解析：由已知得當(dāng)一2WE1時(shí)，fi,x）=x-2,當(dāng)1VW2時(shí)，

；/（x）=x—2,yU）=V—2在定義域內(nèi)都為增函數(shù)...JU）的最大值為12）=23—2=6.故選C.

_1x

4.（2021福建廈門模擬）函數(shù)/）=（一）一log2（x+2）在區(qū)間［-1,1］上的最大值為.

答案：3

1x

解析：由于y=（g）在R11遞減，y=log2（x+2）在［―1,1］上單調(diào)遞增，所以1x）在［―1,1］

上單調(diào)遞減，故兀v）在［-1,1］上的最大值為人-1）=3.

5.（2021?山東省日照市模擬）函數(shù)/（x）=VT3+Jx2-6x+函的值域?yàn)?

【答案】［友,+時(shí)

2-x>0

【解析】由已知得解得X42,所以〃x）的定義域?yàn)閧x|x42},

X2-6X+10>0

且x42時(shí)y=>/T二與yujx2—6x+10都是減函數(shù),所以〃x）在（―0上是減函數(shù),

/（X）>/（2）=夜，所以“X）的值域?yàn)椋?,+<?）.

6.（2021?陜西榆林月考）設(shè)偶函數(shù)1x）的定義域?yàn)镽,當(dāng)xG［0,+8）時(shí)，/U）是增函數(shù)，則

人一2）,犬兀），#一3）的大小關(guān)系是（）

A../（7t）>A-3）>/（-2）B.An）>A-2）>A-3）

C.式兀）勺（一3）勺（一2）D.火兀）勺（一2）勺（一3）

答案：A

解析：因?yàn)?U）是偶函數(shù)，所以八—3）=<3）,1-2）=火2）.又因?yàn)楹瘮?shù)人x）在［0,+oo）上是

增函數(shù).所以火兀）力（3）42）,即?冗）次一3）/一2）.故選A.

7.（2021.江蘇南京調(diào)研）已知函數(shù)式冷=彳一區(qū)+q在（1,+s）上是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范

x2

圍是.

答案：［-1，+8）

aa

解析：設(shè)14142，，X1X2>1.;函數(shù)“X）在（L+8）上是增函數(shù),?\/1。）_於2）=即一—十——

22

()

—(x2--+—)=X[—X2(1+——)<0.Vxi—X2<0,14--^7>0即（7>—X1X2.V\<X\<X2f

vzvv

—X［X2<—1,?>（!>—1.的取值范圍是［—1>+oo）.

a\x>l

函數(shù)/（幻=1a，滿足對(duì)任意的實(shí)數(shù).辦2都有八王）一八士,>0成立,則

（4——）x+2,xW1玉一馬

實(shí)數(shù)a的取值范圍為.

答案：［4,8）

解析：由題意，函數(shù)/（劃在（一知1］和（1,+8）上分別單調(diào)遞增，且/（X）在（一00,1］上的最

a>l,

高點(diǎn)不高于其在(1,+s)上的最低點(diǎn)，即，4-->0,解得4%<8.

2

-。+2

a>4------,

2

8.(2021?全國(guó)甲卷)下列函數(shù)中是增函數(shù)的為()

A.〃x)=-xB.〃力=停)C./(x)=x2D.f(x)=&

【答案】D

【解析】對(duì)于選項(xiàng)A,/(x)=-x為R上的減函數(shù)，不合題意；

對(duì)于選項(xiàng)B,/(%)=<-9Y為H上的減函數(shù)，不合題意；

13/

對(duì)于選項(xiàng)C,/(力=%2在(—,0)為減函數(shù)，不合題意；

對(duì)于選項(xiàng)D,/(%)=私為R上的增函數(shù)，符合題意，故選：D.

9.(2021?山東省青島一中模擬)函數(shù)應(yīng)^ulog/v2—4)的單調(diào)遞增區(qū)間為()

2

A.(-oo,-2)B.(2,+oo)

C.(—8,0)D.(0,+oo)

答案A

解析人x)的定義域?yàn)?-8,-2)U(2,+oo),令-4,易知r=f-4在(-8,—2)上單

調(diào)遞減，又y=log"是減函數(shù)，，兀0的單調(diào)遞增區(qū)間為(一8,-2).故選A.

2

e"^<o,

:二’一八若共。一2)次一則實(shí)數(shù)。的取值范圍是()

{—X2x+l,x>0,

A.(—8,1]B.[L+oo)

C.[o,1]D.g,1

答案：A

解析：作出函數(shù)yu)的圖象如圖所示，知函數(shù)y(x)在R上是減函數(shù)，

由式a—2)次一a),得a—20—a,解得把1.故選A.

11.(2021?江西省南昌四校模擬汜知函數(shù)八x)=3x—2cosx,若。=43$)"=人2),°=加37),

則a,b,c的大小關(guān)系是()

\.a<b<cB.c<a<b

C.b<a<cD.b<c<a

答案D

解析對(duì)/(x)=3x-2cosx求導(dǎo)得/(x)=3+2sinx,則有/(x)=3+2sin.r>0在R上恒成立，

則於)在R上為增函數(shù).又2=1og24<log27<3<36，所以Xc<a.故選D.

12.(2021?河北省唐山模擬)若函數(shù)尸冷,川的最小值為0,則m的取值范圍是()

A.(b2)B.(—1,2)

C.[l,2)D.[-l,2)

答案D

解析函數(shù)丁=干=—不一=若一1在區(qū)間(-1,+oo)上是減函數(shù)，且大2)=0,所

以〃=2.根據(jù)題意，m時(shí),ymin=0.?"的取值范圍是[―1,2).故選D.

二’、八若42一『)次0,則實(shí)數(shù)x的取

In(x+1),x>0,

值范圍是()

A.(—co,—1)U(2,+oo)B.(—oo,—2)U(1,+oo)

C.(—l,2)D.(-2,1)

答案D

解析?.?當(dāng)尤=0時(shí)，兩個(gè)表達(dá)式對(duì)應(yīng)的函數(shù)值都為0,

.?.函數(shù)的圖象是一條連續(xù)的曲線.又?.?當(dāng)它0時(shí)，函數(shù)式處=/為增函數(shù)，當(dāng)x>0時(shí),/(x)=ln(x

+1)也是增函數(shù)，.?.函數(shù)./U)是定義在R上的增函數(shù).因此，不等式12—%2)/x)等價(jià)于2—

x1>x,即f+x—2<0,解得一2<%<1.故選D.

14.(2021?遼寧省朝陽(yáng)市模擬)寫出一個(gè)值域?yàn)?—」)，在區(qū)間(9,+8)上單調(diào)遞增的函數(shù)

f(x)=

【答案】

【解析】=,理由如下：.?3=（￡）為R上的減函數(shù)，且>0,

.?J(x)=l—(g)為R上的增函數(shù)，且=<1,=e(-oo,l).

15.（2021?廣東省佛山市佛山一中模擬）函數(shù)y=M（1—x）的單調(diào)遞增區(qū)間是.

答案是］

2

x（1—x）,x>0,（一x>0,

解析y=M（l-x）=1,、=?2八函數(shù)的大致圖象如圖所示.由圖

—x（1—x），x<0［JT-x,x<0,

易知函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是［0,』］.

2

16.（2021?陜西師大附中模擬）已知函數(shù)/（x）=ehF（a為常數(shù)），若_/（x）在區(qū)間［1,+s）上是增函

數(shù)，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是.

答案（一如1］

e"",x>a,

解析y（x）=L-x當(dāng)后。時(shí)，久T）單調(diào)遞增，當(dāng)XV。時(shí)，7U）單調(diào)遞減，

e,x<af

又火x）在口，+oo）上是增函數(shù)，所以處1.

/W=1c1

17.（2021廣東省六校模擬）若a>0且存1,且函數(shù)1ax+"-2，“<］在R上單調(diào)遞增,

那么a的取值范圍是.

【答案】（1,2］

【解析】。>。且”1,函數(shù)，㈤弋:工,在R上單調(diào)遞增，可得：惶I?,解

得ae(l,2].

122

18.(2021廣東省廣州市天河區(qū)模擬)已知函數(shù)〃x)=gx3-x的值域?yàn)閇一則〃x)的

定義域可以是.(寫出一個(gè)符合條件的即可)

【答案】1-L1](答案不唯一)

【解析】令尸(x)=0可得x=—1,1,

所以當(dāng)犬<-1或x>l時(shí)，/((0)>0,當(dāng)時(shí)，f'(O)<0,

故f(x)在(YO,-1)和上單調(diào)遞增，在(-覃)上單調(diào)遞減，且f(—1)=：J⑴=-(,

由此可知定義域可以是[-1,1],故答案為：(答案不唯一)。

19.(2021?山東省聊城市模擬)已知函數(shù)犬x)=lg(x+：—2)(〃>0,且時(shí)1).

(1)求函數(shù)7U)的定義域；

(2)當(dāng)。6(1,4)時(shí)，求函數(shù)y(x)在[2,+8)上的最小值；

(3)若對(duì)任意[2,+8)恒有汽。>0,試確定a的取值范圍.

解析：(1)由x+f—2>0,得

當(dāng)時(shí)，x2—2x+〃>0恒成立，定義域?yàn)?0,+oo),

當(dāng)0<“<1時(shí)，定義域?yàn)椋鹸[0<x<171一“或x>1+、1一。｝.

(2)設(shè)ga)=x+f—2,當(dāng)?！?1,4),%e[2,+8)時(shí)，???，(乙)=1一/=

因此g(x)在[2,+8)上是增函數(shù)，，段)在[2,+8)上是增函數(shù)則加：)min=/(2)=lg*

(3)對(duì)任意咐2,+oo),恒有段)>0.

即x+~—2>1對(duì)石￡[2,+8)恒成立..,?〃>3上一x2.

2

令//(工)=3工一爐，xe[2,+oo).由于〃(x)=—(x—g+卷在[2,+oo)上是減函數(shù)，

???/G)max=%(2)=2.故a>2時(shí)，恒有心)>0.

故a的取值范圍為(2,+oo).

-f+4x,x<4,

20.(2021?江蘇省泰州模擬)設(shè)函數(shù)yu)=?若函數(shù)y=/(x)在區(qū)間(q,a+l)上單

」Og2X,x>4.

調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是.

答案(-00,1]U[4,+oo)

解析作函數(shù)式幻的圖象如圖所示,

y=log2x(x>4)

4

°/24x

尸一爐+4*

(4這4)

由圖象可知人x)在(a,a+1)上單調(diào)遞增，需滿足aN4或a+102,即aSl或破4

21.(多填題)(2019?北京卷)設(shè)函數(shù)段尸F(xiàn)+ae為常數(shù)).若危)為奇函數(shù)，則a=

若兀0是R上的增函數(shù)，則。的取值范圍是.

答案一1(—8,0]

解析若/(X)為奇函數(shù)，則7(—x)=—/U),即eF'+ae』一(e"+ae-

即3+1)(廿+0一”)=0對(duì)任意的x恒成立，所以a=-1.若函數(shù)兀0=&"+肥一*是R上的增函

數(shù)，則/(x)=e，一加二久恒成立，所以處e2V恒成立，則有處0,即。的取值范圍是(-8,0J.

22.(2021?廣東惠州一中月考)對(duì)于任意實(shí)數(shù)a,b,定義min{〃，b}=<"'"一,設(shè)函數(shù)段)

b,a>b

=—x+3,g(x)=log2X,則函數(shù)/7a)=min{/(x),g(x)}的最大值是.

【答案】1

【解析】法一在同一坐標(biāo)系中，作函數(shù)人工)，g(x)的圖象，

M3

少(y=Mx)

~-o/2x

依題意，力。)的圖象如圖所示的實(shí)線部分.易知點(diǎn)A(2,1)為圖象的最高點(diǎn)，因此做X)的最大

值為Zz(2)=L

_flog9x,0<x<2,

法二依題思，h[x)=<，當(dāng)0<k2時(shí)，％(x)=log2X是增函數(shù)，當(dāng)%>2時(shí)，

一x+3,x>2

力(外=3—x是減函數(shù)，因此力。)在x=2時(shí)取得最大值力(2)=1.

ex^e~x

23.(2022屆湖北黃石月考)已知函數(shù)/("二匚——實(shí)數(shù)〃滿足不等式

eA+e-A

/(n2-4?)+/(/t-4)>0,則〃的取值范圍是()

A.(4,+oo)B.(—oo,—l)

C.(-00,-1)U(4,+00)D.(-l,4)

【答案】C

fxvx

e_e-2e-p-

【解析】/(*)=、二.=1一是增函數(shù),且=、=—/(%)又是奇函

e+ee+1e+e

數(shù)，所以由得/(〃2_4〃)〉/(_〃+4);.“2_4〃>_〃+4解

得〃的取值范圍是(-8,-1)U(4,TS).故選C.

24.(2021福建漳州適應(yīng)性考試)已知函數(shù)/(力=6"+"*,給出以下四個(gè)結(jié)論：

①_/u)是偶函數(shù)；

②犬X)的最大值為2；

③當(dāng)大X)取到最小值時(shí)對(duì)應(yīng)的X=0；

④兀0在(F,O)單調(diào)遞增，在(0,+。)單調(diào)遞減.

正確的結(jié)論是()

A.①B.②④C.①③D.①④

【答案】C

【解析】:/(。=產(chǎn)+二，.?.〃-%)="'+d=”力，.?.函數(shù)八［為偶函數(shù),故①

對(duì)；又〃力=6'一"，=乙」，???當(dāng)x?0時(shí)，e2x>ex>l，則/'(同之0,.'/(x)在

(0,+“)上單調(diào)遞增，結(jié)合偶函數(shù)的性質(zhì)可知/(%)在(f,0)單調(diào)遞減，

...函數(shù)“X)在x=0處取得最小值〃)訕=/(0)=2,無最大值，故③對(duì)，②④錯(cuò)，故

選C.

25.(2021?吉林東北實(shí)發(fā)大學(xué)附屬中學(xué)二模)已知函數(shù)/(x)=2+log3尤的定義域?yàn)?/p>

［1,3］，g(x)=f2(x)+f(x2)+m,若存在實(shí)數(shù)q,4，/e{y|y=g(x)},使得

4+。2<%，則實(shí)數(shù)〃?的取值范圍是()

1113c

A.m<---B."2<----C.<1D./篦<2

44

【答案】A

【解析】由題意得g(x)=(2+唾3犬『+(2+Ic^x2)+/〃=(logs*)：+610g3%+6+m,

由，;；[；，得；?函數(shù)g(x)的定義域?yàn)榭冢?令Llogax/w0,g,

且〃(r)="+6t+6+m=(r+3)2—3+加，.?.函數(shù)〃(。在01上單調(diào)遞增，

(1、37

?1?〃(磯麗=4⑼=6+m,h(x\nax=h^=—+m,

?*-g=6+m,g(x)/wtv^~+m.由題意得“存在實(shí)數(shù)4,4,4e{y|y=g(x)},使

3711

得6+4<%”等價(jià)于"2g(%)”加<g(%)”“二2(6+/〃)<—+m,解得tn<一■].故選

A.

1,x>0

26..己知符號(hào)函數(shù)sgnx=r0,x=0，式x)是R上的增函數(shù),g(x)=/(x)—/(ax)(a>l),則()

-1,x<0

A.sgn[g(x)]=sgnx

B.sgn[g(x)]=—sgnx

C.sgn[g(x)]=sgn[/(x)]

D.sgn[g(x)]=—sgn,x)]

【答案】B

【解析】因?yàn)閥(x)是R上的增函數(shù)，且所以當(dāng)x>0時(shí)，兒[)勺(ax),即g(x)<0；當(dāng)尤=0

1,x>0

時(shí)，火x)=_/(ar),即g(x)=0；當(dāng)x<0時(shí)，/U)/ar),即g(x)>0.由符號(hào)函數(shù)sgnx=<0,X=0，

-1,x<0

-1,x>0

知，sgn[g(x)]=<0,x=0=—sgnx.故選B.

1,x<0

2.3函數(shù)的奇偶性、周期性

—4f+2,—l<x<0,

1.設(shè)段）是定義在R上的周期為2的函數(shù)，當(dāng)工￡[-1,1）時(shí)，小尸則

x,0<r<l,

解析由題意得,

答案1

2.(2021?新高考I卷)已知函數(shù)/(力=V(入2*-2-*)是偶函數(shù)，則〃=.

【答案】1

【解析】因?yàn)?(%)=/32'-2-),故力=一無3(4.27-2)

因?yàn)?(X)為偶函數(shù)，故"-x)="x)，

時(shí)x3(a2-2-')=—/(a?2-*—2。，整理得到(a—。(2,+2T)=0,故a=1.

3.(2021.山東省臨沂市模擬)已知y=〃x)為奇函數(shù)，y=〃x+l)為偶函數(shù)，若當(dāng)x?0,l]

時(shí)，/(x)=log2(x+a),貝iJ/(2021)=()

A.-1B.0C.1D.2

【答案】C

【解析】〃x)為奇函數(shù)，〃0)=0且〃x)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱①

Vxe[0,l]B^/(x)=log2(x+a),/.log2(0+a)=0,a=1

xe[0』時(shí)/(x)=log?(x+1),???y=/(x+1)為偶函數(shù)關(guān)于y軸對(duì)稱.

則f(x)關(guān)于x=l對(duì)稱②，由①②可知?

/(x)=/(2-x)

.-./(x)=/(2-x)=-/(x-2)),\/(x+2)=-/(%).

/(x+4)=-〃x+2)=--/(x))=/(x),

周期為4,/(2021)=/(l)=Iog22=l,故選：C.

4.(2021河北石家莊模擬)已知人用是定義在R上以3為周期的偶函數(shù)，若41)<1,負(fù)5)

=2a-3'則實(shí)數(shù)”的取值范圍為()

a+1

A.(—1,4)B.(—2,1)

C.(-1,2)D.(-1,0)

答案：A

解析：因?yàn)楹瘮?shù)/U)是定義在R上以3為周期的偶函數(shù)，所以"5)=A—1)=*1),即上2a」-3

a+\

VI，化簡(jiǎn)得(。-4)3+1)<0,解得一l<a<4.故選A.

5.(2021.江西南昌模擬)已知函數(shù)y(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且滿足式4-x)=/(x),當(dāng)0<x

V2時(shí)，4x)=232-x,則45)=()

A.3B.—3

C.7D.-7

答案：D

解析：法一：(利用對(duì)稱性)：由_A4—x)=/(x)得函數(shù)段)的圖象關(guān)于直線X=2對(duì)稱，則次5)

=/(—1),又函數(shù)_/(x)是奇函數(shù)，則大5)=/(—1)=一11)=一(2-2—])=—7,故選D.

法二：(利用等式轉(zhuǎn)化)：由14一彳)=兀0得犬5)=/14—(-1)]=/(-1)=-/(1)=一(23—1)

=一7.故選D.

6.(2019?全國(guó)卷II)設(shè)f(x)為奇函數(shù)，且當(dāng)定0時(shí)，f(x)=e，-1,則當(dāng)x<0時(shí)，f(x)=()

A.eA—1B.e~x+1C.—e'—1D.—ex+1

答案：D

解析：當(dāng)％<0時(shí)，一心>0.因?yàn)楫?dāng)后0時(shí)，/W=ev-1,所以f(-x)=e~x-L又因?yàn)?㈤為

奇函數(shù)，所以/(x)=-f(—x)=—?一]+1.故選D.

7.(2021新高考II卷)寫出一個(gè)同時(shí)具有下列性質(zhì)①②③的函數(shù)/(x).

@f(X]X2)=f(X|)f(X2)；②當(dāng)(0,+oo)時(shí)，/(x)>0；@f(x)是奇函數(shù).

答案：/(x)=x2

XX

解析:當(dāng)/(x)=/時(shí),f(xtx2)=(3%2)2=t2=/(%)/(%2)；當(dāng)xG(0,+8)時(shí)，/

(X)>0;f(X)=2光是奇函數(shù).

8.(2021?山東省日照模擬)已知函數(shù)/)對(duì)任意xdR,都有於+2兀)=段)，當(dāng)xd(0,兀耐，危)

r19萬

=2sin5，則c/(-^-)=()

A.gB.坐C.lD.小

答案：C

解析：因?yàn)殪?2兀)=/5)，所以4x)的周期為2兀.

所以/(|)=/(6%+半="(21x3+9=/(三)，又因?yàn)楫?dāng)xG(0,n)時(shí),

y(x)=2sin/所以=2sin季=1.故選C.

9.(2021?云南省昆明模擬)設(shè)定義在R上的函數(shù)/(x)同時(shí)滿足以下條件：

?f(x)+f(~x)=0；(2y(x)=/(x+2);③當(dāng)。力<1時(shí)，f(x)=2*-l.

則叫+“)+/(仙⑵+〃!)=—，

答案：^2-1

解析：依題意知函數(shù)/(x)為奇函數(shù)且周期為2,則〃1)+/(—1)=0,/(-1)=/(1),即/(I)

=0.

所以/(1)+/(1)+/(|)+/⑵+/(|)=/(1)+0+/(-1)+/(0)+/(1)

=f(^)+/(0)+f(^)=f(^)+/(0)=22-1+2°—1=A/2—1.

10.(2021.黑龍江省大慶鐵人中學(xué)模擬)已知函數(shù)