機(jī)械工程測(cè)試技術(shù)基礎(chǔ)第一章

機(jī)械工程測(cè)試技術(shù)基礎(chǔ)第一章第一頁(yè)，共117頁(yè)。

靜態(tài)測(cè)量動(dòng)態(tài)測(cè)量被測(cè)對(duì)象靜態(tài)量值連續(xù)變化的動(dòng)態(tài)量值單次測(cè)量結(jié)果具體數(shù)值具體函數(shù)（記錄曲線(xiàn)）N次重復(fù)測(cè)量結(jié)果隨機(jī)變量(一組具體數(shù)值)隨機(jī)函數(shù)(一組具體函數(shù))

靜態(tài)與動(dòng)態(tài)測(cè)量比較第二頁(yè)，共117頁(yè)。31.確定性信號(hào)與隨機(jī)信號(hào)第一節(jié)信號(hào)的分類(lèi)與描述一、信號(hào)的分類(lèi)與描述周期信號(hào)：是按一定時(shí)間間隔周而復(fù)始重復(fù)出現(xiàn)，無(wú)始無(wú)終的信號(hào)。（1）周期信號(hào)如，單自由度振動(dòng)系統(tǒng)圖1-1確定性信號(hào)：信號(hào)可表為一個(gè)確定的時(shí)間函數(shù)，因而可確定其任何時(shí)刻的量值；隨機(jī)信號(hào)：一種不能準(zhǔn)確預(yù)測(cè)其未來(lái)瞬時(shí)值，也無(wú)法用函數(shù)關(guān)系式來(lái)描述的信號(hào)，如汽車(chē)奔馳時(shí)產(chǎn)生的振動(dòng)信號(hào)、環(huán)境噪聲等。第三頁(yè)，共117頁(yè)。周期信號(hào)——周期信號(hào)是定義在區(qū)間，每隔一定時(shí)間周而復(fù)始重復(fù)出現(xiàn)的信號(hào)如圖所示。第四頁(yè)，共117頁(yè)。連續(xù)性的周期信號(hào)可表示為

x(t)=x(t+nT0)(n=0,1，2，…)離散性的周期信號(hào)可表示為

x(n)=x(n+mk)(m=0,1,2,…)只要給出周期信號(hào)在任一周期的函數(shù)或波形，便可確知它在任一時(shí)刻的數(shù)值。例如集中參量的單自由度振動(dòng)系統(tǒng)作無(wú)阻尼自由振動(dòng)時(shí)，其位移x(t)可由公式確定質(zhì)點(diǎn)的瞬時(shí)位置第五頁(yè)，共117頁(yè)。6確定信號(hào)中那些不具有周期重復(fù)性的信號(hào)稱(chēng)為非周期信號(hào)。（2）非周期信號(hào)第六頁(yè)，共117頁(yè)。非周期信號(hào)——將確定性信號(hào)中那些不具有周期重復(fù)性的信號(hào)稱(chēng)為非周期信號(hào)。包括準(zhǔn)周期信號(hào)和瞬變非周期信號(hào)兩種。

準(zhǔn)周期信號(hào)：由有限個(gè)周期信號(hào)合成的，但各周期分量之間無(wú)法找到公共周期，因而無(wú)法按某一時(shí)間間隔周而復(fù)始重復(fù)出現(xiàn)。例如

是兩個(gè)正弦信號(hào)的合成，其頻率比

，不是有理數(shù)，不成諧波關(guān)系。

瞬變非周期信號(hào)——在一定時(shí)間區(qū)間內(nèi)存在，或隨著時(shí)間的增長(zhǎng)而衰減至零的信號(hào)。如有阻尼振動(dòng)系統(tǒng)的位移信號(hào)、用錘子敲擊物體時(shí)的敲擊力信號(hào)。圖2-4是后者的波形，其數(shù)學(xué)表達(dá)式為式(0<t<τ)第七頁(yè)，共117頁(yè)。82.連續(xù)信號(hào)和離散信號(hào)連續(xù)信號(hào)：若信號(hào)數(shù)學(xué)表示式中的獨(dú)立變量取值是連續(xù)的離散信號(hào)：若獨(dú)立變量取離散值圖1-3第八頁(yè)，共117頁(yè)。93.能量信號(hào)和功率信號(hào)能量信號(hào)：當(dāng)電壓信號(hào)滿(mǎn)足一定條件時(shí),認(rèn)為信號(hào)的能量是有限的，并稱(chēng)之為能量有限信號(hào)。功率信號(hào)：若信號(hào)在區(qū)間（-∞，∞）的能量是無(wú)限的，但它在有限區(qū)間的平均功率是有限的,稱(chēng)為功率有限信號(hào)。第九頁(yè)，共117頁(yè)。信號(hào)非確定性信號(hào)平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程非平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程非周期信號(hào)瞬變非周期信號(hào)準(zhǔn)周期信號(hào)復(fù)雜周期信號(hào)簡(jiǎn)單周期信號(hào)周期信號(hào)確定性信號(hào)個(gè)態(tài)歷經(jīng)隨機(jī)過(guò)程非個(gè)態(tài)歷經(jīng)隨機(jī)過(guò)程第十頁(yè)，共117頁(yè)。11第一節(jié)信號(hào)的分類(lèi)與描述二、信號(hào)的時(shí)域描述和頻域描述直接測(cè)試或記錄到的信號(hào)，一般是以時(shí)間為獨(dú)立變量的，稱(chēng)其為信號(hào)的時(shí)域描述。如圖1-4所示。圖1-4信號(hào)的時(shí)域描述能夠反映信號(hào)幅值隨時(shí)間的變化關(guān)系，但是不能明顯揭示信號(hào)的頻率組成關(guān)系；因此為了研究信號(hào)的頻率結(jié)構(gòu)和各頻率成分的幅值、相位關(guān)系，應(yīng)對(duì)信號(hào)進(jìn)行頻譜分析，把信號(hào)的時(shí)域描述通過(guò)適當(dāng)方法變成信號(hào)的時(shí)域描述，即以頻率為獨(dú)立變量來(lái)表示信號(hào)。第十一頁(yè)，共117頁(yè)。

用坐標(biāo)圖描述信號(hào)時(shí)，若橫坐標(biāo)為時(shí)間t，縱坐標(biāo)為幅值的描述方式稱(chēng)為時(shí)域描述。若橫坐標(biāo)為頻率f(或圓頻率ω)，則稱(chēng)為頻域描述。這時(shí)實(shí)際上也是將信號(hào)中的各頻率成分按序排列，故稱(chēng)之為信號(hào)的“頻譜”。對(duì)橫坐標(biāo)為頻率，縱坐標(biāo)為幅值的稱(chēng)為幅頻譜；而對(duì)橫坐標(biāo)為頻率，縱坐標(biāo)為相位的稱(chēng)為相頻譜，圖為一個(gè)簡(jiǎn)諧信號(hào)的時(shí)域及幅頻譜、相頻譜的圖形。信號(hào)時(shí)域波形信號(hào)頻域幅頻譜第十二頁(yè)，共117頁(yè)。13第一節(jié)信號(hào)的分類(lèi)與描述二、信號(hào)的時(shí)域描述和頻域描述圖1-5表示的周期方波的時(shí)域圖形、幅頻譜和相頻譜三者之間的關(guān)系。圖1-5第十三頁(yè)，共117頁(yè)。信號(hào)的時(shí)域描述能夠直觀地反映信號(hào)瞬時(shí)值隨時(shí)間的變換情況，而頻域描述則反映信號(hào)的頻率組成及幅值、相位大小。思考：（1）評(píng)定機(jī)器振動(dòng)烈度用時(shí)域描述還是頻域描述？（2）尋找機(jī)器振動(dòng)根源用時(shí)域描述還是頻域描述？時(shí)域描述頻域描述第十四頁(yè)，共117頁(yè)。15第二節(jié)周期信號(hào)與離散頻譜一、傅里葉級(jí)數(shù)的三角函數(shù)展開(kāi)式在有限區(qū)間內(nèi)，凡滿(mǎn)足狄里赫利條件的周期函數(shù)都可以展開(kāi)成傅里葉級(jí)數(shù)。周期性三角函數(shù)（如圖1-6所示）圖1-6第十五頁(yè)，共117頁(yè)。傅立葉級(jí)數(shù)——任何周期信號(hào)在有限區(qū)間上，當(dāng)其滿(mǎn)足狄里赫利條件時(shí)，都可展開(kāi)成一系列正交函數(shù)的線(xiàn)性組合的無(wú)窮級(jí)數(shù)。傅立葉級(jí)數(shù)有多種形式三角展開(kāi)式、復(fù)指數(shù)展開(kāi)式是常見(jiàn)的形式傅立葉級(jí)數(shù)三角展開(kāi)式把x(t)展開(kāi)成下式展開(kāi)過(guò)程如下：第十六頁(yè)，共117頁(yè)。式中a0—常值分量

an—余弦分量的幅值

bn—正弦分量的幅值

T0—周期；

ω0—圓頻率，

n＝1，2，3，…第十七頁(yè)，共117頁(yè)。

——n次諧波的振幅；

可見(jiàn)，周期信號(hào)是由一個(gè)或幾個(gè)，乃至無(wú)窮多個(gè)不同頻率的諧波疊加而成的。其中第一項(xiàng)a0是常值項(xiàng)，它是周期信號(hào)中所包含的直流分量；

第二項(xiàng)中

稱(chēng)為諧波，An是n次諧波的振幅，φn是其初相角。

∑表示周期信號(hào)可以分解為各次諧波之和。

通常把ω0稱(chēng)為基頻，n是整數(shù)序列，各次諧波成份的頻率都是ω0的整倍數(shù)。相鄰頻率的間隔△ω＝ω0＝2π/T0

。三角展開(kāi)式中

——n次諧波的振幅；第十八頁(yè)，共117頁(yè)。19第二節(jié)周期信號(hào)與離散頻譜一、傅里葉級(jí)數(shù)的三角函數(shù)展開(kāi)式第十九頁(yè)，共117頁(yè)。20第二節(jié)周期信號(hào)與離散頻譜一、傅里葉級(jí)數(shù)的三角函數(shù)展開(kāi)式周期性三角波的頻譜圖如圖1-7所示。圖1-7第二十頁(yè)，共117頁(yè)。

用正交函數(shù)集來(lái)表示周期信號(hào)，另一種常用的方法是傅立葉級(jí)數(shù)的指數(shù)表示法，稱(chēng)為指數(shù)傅立葉級(jí)數(shù)。三角級(jí)數(shù)與指數(shù)級(jí)數(shù)并不是兩種不同類(lèi)型的級(jí)數(shù)，而只是同一級(jí)數(shù)的兩種不同的表示方法。指數(shù)級(jí)數(shù)形式比三角級(jí)數(shù)形式更簡(jiǎn)化更便于計(jì)算。根據(jù)歐拉公式第二節(jié)周期信號(hào)與離散頻譜二、傅里葉級(jí)數(shù)的復(fù)指數(shù)函數(shù)展開(kāi)式第二十一頁(yè)，共117頁(yè)。則所以可以寫(xiě)為令第二十二頁(yè)，共117頁(yè)。則或式中一般情況下Cn是復(fù)數(shù)，可以寫(xiě)成式中與共軛即第二十三頁(yè)，共117頁(yè)。周期信號(hào)傅立葉級(jí)數(shù)兩種展開(kāi)式之間的比較第二十四頁(yè)，共117頁(yè)。負(fù)頻率說(shuō)明主要原因角速度按其旋轉(zhuǎn)方向可以為正或負(fù)，一個(gè)向量的實(shí)部可以看成為兩個(gè)旋轉(zhuǎn)方向相反的矢量在其實(shí)軸上投影之和，而虛部則為虛軸上投影之差。第二十五頁(yè)，共117頁(yè)。26第二節(jié)周期信號(hào)與離散頻譜二、傅里葉級(jí)數(shù)的復(fù)指數(shù)函數(shù)展開(kāi)式正、余弦函數(shù)的頻譜圖如圖1-9所示。圖1-9第二十六頁(yè)，共117頁(yè)。27第二節(jié)周期信號(hào)與離散頻譜二、傅里葉級(jí)數(shù)的復(fù)指數(shù)函數(shù)展開(kāi)式周期信號(hào)的頻譜具有三個(gè)特點(diǎn)：1）周期信號(hào)的頻譜是離散的。2）每條頻譜只出現(xiàn)在基波頻率的整數(shù)倍上，基波頻率是諸分量頻率的公約數(shù)。3）各頻率分量的譜線(xiàn)高度表示該諧波的幅值或相位角。離散性、諧波性、收斂性第二十七頁(yè)，共117頁(yè)。第二十八頁(yè)，共117頁(yè)。例：求圖示周期方波的傅立葉級(jí)數(shù)展開(kāi)式，并做相應(yīng)幅頻相頻譜周期方波函數(shù)表達(dá)式：第二十九頁(yè)，共117頁(yè)。第三十頁(yè)，共117頁(yè)。第三十一頁(yè)，共117頁(yè)。有：

其波形、幅值譜和相位譜分別如下圖所示：

方波信號(hào)的波形、幅值譜和相位譜第三十二頁(yè)，共117頁(yè)。例求圖中周期性三角波的傅立葉級(jí)數(shù)。

解:在的一個(gè)周期信號(hào)可表示為常值分量的幅值第三十三頁(yè)，共117頁(yè)。余弦分量的幅值為正弦分量的幅值為第三十四頁(yè)，共117頁(yè)。該周期性的傅立葉級(jí)數(shù)展開(kāi)為

各頻率分量的幅值

各頻率分量的相位

該周期性三角波信號(hào)的頻譜圖如圖2-7所示。第三十五頁(yè)，共117頁(yè)。從幅頻圖上可見(jiàn)諧波的幅值是以的規(guī)律收斂。第三十六頁(yè)，共117頁(yè)。例畫(huà)出余弦、正弦函數(shù)的頻譜圖。解：根據(jù)式11-12得余弦函數(shù)只有實(shí)頻譜圖，且與軸偶對(duì)稱(chēng)；正弦函數(shù)只有虛頻譜圖，且與軸奇對(duì)稱(chēng)；第三十七頁(yè)，共117頁(yè)。第三十八頁(yè)，共117頁(yè)。周期信號(hào)的頻域描述小結(jié)

一）幅頻譜幅頻譜——是指周期信號(hào)各諧波分量的幅值與頻率或角頻率之間的關(guān)系例如單邊幅頻譜圖An——ω

雙邊幅頻譜圖│Cn│——ω

實(shí)頻譜圖CnR——ω

虛頻譜圖CnI——ω二）相頻譜相頻譜——是指周期信號(hào)各諧波分量的初相與頻率之間的關(guān)系。如 單邊相頻譜雙邊相頻譜

φn——ω第三十九頁(yè)，共117頁(yè)。40周期信號(hào)的強(qiáng)度以峰值、絕對(duì)均值、有效值和平均功率來(lái)表述。第二節(jié)周期信號(hào)與離散頻譜三、周期信號(hào)的強(qiáng)度表述第四十頁(yè)，共117頁(yè)。周期信號(hào)的強(qiáng)度描述（時(shí)域描述）周期信號(hào)的強(qiáng)度描述主要以峰值、絕對(duì)均值和平均功率來(lái)描述1、峰值xp

峰值xp

是信號(hào)可能出現(xiàn)的最大瞬時(shí)值峰—峰值xp-p

是在一個(gè)周期中最大瞬時(shí)值與最小瞬時(shí)值之差。對(duì)信號(hào)的峰值和峰—峰值應(yīng)有足夠的估計(jì)，以便確定測(cè)量系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)c測(cè)量范圍。一般希望信號(hào)的峰-峰值在測(cè)量系統(tǒng)的線(xiàn)性區(qū)域內(nèi)，使所觀測(cè)(記錄)到的信號(hào)正比于被測(cè)量的變化狀態(tài)。如果進(jìn)入非線(xiàn)性區(qū)域，則信號(hào)將發(fā)生畸變，結(jié)果不但不能正比于被測(cè)信號(hào)的幅值，而且會(huì)增生大量諧波。第四十一頁(yè)，共117頁(yè)。2、周期信號(hào)的均值、絕對(duì)均值周期信號(hào)的均值表示信號(hào)的常值分量也就是信號(hào)的直流分量周期信號(hào)全波整流后的均值就是絕對(duì)均值

3、周期信號(hào)的有效值（均方根值）、平均功率有效值是信號(hào)的均方根值xrms，即有效值的平方——均方值就是信號(hào)的平均功率Pav，即反映了信號(hào)功率的大小。第四十二頁(yè)，共117頁(yè)。第四十三頁(yè)，共117頁(yè)。表1-2中幾種典型周期信號(hào)上述各值之間的數(shù)量關(guān)系。從表中可見(jiàn)，信號(hào)的均值、絕對(duì)均值、有效值和峰值之間的關(guān)系隨波形的不同而異。

信號(hào)的峰值xp、絕對(duì)均值

和有效值xrms?？捎萌惦妷罕韥?lái)測(cè)量，也可用普通的電工儀表來(lái)測(cè)量。峰值：用能記憶瞬峰示值的儀表或示波器來(lái)測(cè)量，也可根據(jù)波形折算。均值：用直流電壓表測(cè)量。因?yàn)樾盘?hào)是周期交變的，如果交流頻率較高，交流成分只影響表．針的微小晃動(dòng)，不影響均值讀數(shù)。當(dāng)頻率低時(shí)，表針將產(chǎn)生擺動(dòng)，影響讀數(shù)。這時(shí)可用一個(gè)電容器與電壓表并接將交流分量旁路，但應(yīng)注意這個(gè)電容器對(duì)被測(cè)電路的影響第四十四頁(yè)，共117頁(yè)。有效值：雖然一般的交流電壓表均按有效值刻度，但其輸出量(例如指針的偏轉(zhuǎn)角)并不一定和信號(hào)的有效值成比例，而是隨著電壓表的檢波電路的不同，其輸出量可能與信號(hào)的有效值成正比例，也可能與信號(hào)的峰值或絕對(duì)均值成比例。不同檢波電路的電壓表上的有效值刻度，都是依照單一簡(jiǎn)諧信號(hào)來(lái)刻度的。這保證了用各種電壓表在測(cè)量單一簡(jiǎn)諧信號(hào)時(shí)都能正確測(cè)得信號(hào)的有效值，獲得一致的讀數(shù)。然而，由于刻度過(guò)程實(shí)際上相當(dāng)于把檢波電路輸出和簡(jiǎn)諧信號(hào)有效值的關(guān)系“固化”在電壓表中。這種關(guān)系不適用于非單一簡(jiǎn)諧信號(hào)，因?yàn)殡S著波形的不同，各類(lèi)檢波電路輸出和信號(hào)有效值的關(guān)系已經(jīng)改變了，從而造成電壓表在測(cè)量復(fù)雜信號(hào)有效值時(shí)的系統(tǒng)誤差。這時(shí)應(yīng)根據(jù)檢波電路和波形來(lái)修正有效值讀數(shù)。第四十五頁(yè)，共117頁(yè)。46第三節(jié)瞬變非周期信號(hào)與連續(xù)頻譜通常所說(shuō)的非周期信號(hào)是指瞬變非周期信號(hào)如圖1-11所示。圖1-11a為矩形脈沖信號(hào)，圖1-11b為指數(shù)衰減信號(hào)，圖1-11c為衰減振蕩，圖1-11d為單一脈沖。一、傅里葉變換

圖1-11非周期性信號(hào)第四十六頁(yè)，共117頁(yè)。瞬變非周期信號(hào)的譜密度與傅立葉變換

一）公式推導(dǎo)第四十七頁(yè)，共117頁(yè)。一個(gè)非周期函數(shù)x(t)可以看成是某一周期函數(shù)xT(t)，當(dāng)周期無(wú)限大時(shí)轉(zhuǎn)化而來(lái)的?，F(xiàn)設(shè)周期為T(mén)0的函數(shù)xT(t)，使其在[-T0/2，T0/2]區(qū)間內(nèi)等于x(t)，而在[-T0/2，T0/2]區(qū)間外，按周期T0延拓，如圖a、b、c所示。顯然，T0越大，xT(t)與x(t)相等的區(qū)間就越大，當(dāng)T0→∞時(shí)，周期函數(shù)xT(t)就轉(zhuǎn)化為非周期函數(shù)x(t)了，即

將上式代入周期信號(hào)傅立葉復(fù)指數(shù)展開(kāi)式中(1-X1)第四十八頁(yè)，共117頁(yè)。因ω0=2π/T0，當(dāng)n取整數(shù)時(shí)，nω0所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)便均勻地分布在整個(gè)數(shù)軸上，兩相鄰點(diǎn)之間的距離Δω，即

Δω=nω0－(n-1)ω0=2π/T0當(dāng)T0→∞時(shí)，Δω→0（即ω0→0），以T0=2π/Δω代入式（1-X1）得由于ω0→0，所以nω0所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)連續(xù)分布在整個(gè)數(shù)軸上，成為連續(xù)變量ω，以致離散譜線(xiàn)的頂點(diǎn)最后演變成一條連續(xù)曲線(xiàn)。所以瞬變非周期信號(hào)的頻譜是連續(xù)的。

由于π/Δω→∞，xT(t)→x(t)，則上式可寫(xiě)成

第四十九頁(yè)，共117頁(yè)。若令

代入上式，當(dāng)Δω→0，根據(jù)積分定義，則傅里葉變換，傅里葉逆變換，兩者互稱(chēng)傅里葉變換對(duì)。

把ω=2πf代人式中，消去1/2

第五十頁(yè)，共117頁(yè)。這樣就避免了在傅里葉變換中出現(xiàn)1/2π的常數(shù)因子，使公式形式簡(jiǎn)化，其關(guān)系是

一般X(f)是實(shí)變量f的復(fù)函數(shù)：

式中┃X(f)┃為信號(hào)x(t)的連續(xù)幅值譜，(f)為信號(hào)x(t)的連續(xù)相位譜。由于當(dāng)周期無(wú)限增長(zhǎng)時(shí)，各頻率分量的幅度也都趨近于無(wú)窮小，因此┃X(f)┃不是頻率為f的分量的幅值，而是f分量鄰近單位頻寬上的幅值，量綱是單位頻率的幅值。它類(lèi)似于物質(zhì)的密度定義，故稱(chēng)┃X(f)┃為頻譜密度。為了方便，仍稱(chēng)┃X(f)┃為頻譜。第五十一頁(yè)，共117頁(yè)。頻譜密度函數(shù)，簡(jiǎn)稱(chēng)頻譜函數(shù)，它具有單位頻帶振幅的量綱第五十二頁(yè)，共117頁(yè)。小結(jié):

把非周期信號(hào)：周期T0

→∞的周期信號(hào)周期信號(hào)x(t)，周期為T(mén)0，則其頻譜是離散譜，而相鄰諧波之間的頻率間隔為?ω=ω0=2π/T0。當(dāng)T0→∞，則ω0=?ω→0，信號(hào)頻譜譜線(xiàn)間隔?ω=ω0→0，無(wú)限縮小，相鄰諧波分量無(wú)限接近，離散參數(shù)nω0可用連續(xù)變量ω來(lái)代替，離散頻譜變成了連續(xù)頻譜，求和運(yùn)算可用積分運(yùn)算來(lái)取得，所以非周期信號(hào)的頻譜是連續(xù)的。

第五十三頁(yè)，共117頁(yè)。例：求矩形窗函數(shù)w(t)的頻譜。解：函數(shù)w(t)(圖2-12)的表達(dá)式為第五十四頁(yè)，共117頁(yè)。常稱(chēng)為矩形窗函數(shù)，其頻譜為將代入上式得第五十五頁(yè)，共117頁(yè)。矩形窗函數(shù)

利用歐拉公式這里定義森克函數(shù)第五十六頁(yè)，共117頁(yè)。57求矩形窗函數(shù)的頻譜，函數(shù)如圖1-12所示。圖1-12

W(f)函數(shù)只有實(shí)部，沒(méi)有虛部。其相位譜視sinc(πfT)的符號(hào)而定。當(dāng)sinc(πfT)為正值時(shí)相角為零，當(dāng)sinc(πfT)為負(fù)值時(shí)相角為π。

第五十七頁(yè)，共117頁(yè)。該信號(hào)在信號(hào)分析中很有用，它有很多名稱(chēng)，采樣函數(shù)、抽樣函數(shù)、濾波函數(shù)、內(nèi)插函數(shù)等。特點(diǎn)：1.以2π為周期，隨自變量增大而做衰減振蕩。2.sinc函數(shù)為偶函數(shù)3.時(shí)域有限，頻域無(wú)限4.值為窗的面積；頻譜的第一個(gè)過(guò)零點(diǎn)為窗長(zhǎng)的倒數(shù)這里定義森克函數(shù)第五十八頁(yè)，共117頁(yè)。59

sincθ的圖像第五十九頁(yè)，共117頁(yè)。例：?jiǎn)芜呏笖?shù)衰減函數(shù)的頻譜第六十頁(yè)，共117頁(yè)。|X(?)|為連續(xù)頻譜，而|Cn|為離散頻譜；|Cn|的量綱和信號(hào)幅值的量綱一致，即cm(振幅)，而|X(j?)|的量綱相當(dāng)于|Cn|/?，為單位頻寬上的幅值，即“頻譜密度函數(shù)”，cm/Hz（振幅/頻率）。

非周期函數(shù)它包含了從零到無(wú)窮大的所有頻率分量（連續(xù)譜），各頻率分量的幅值為X(f)df——是無(wú)窮小量，所以非周期信號(hào)頻譜不能再用幅值表示，而必須用頻譜密度函數(shù)X(f)描述。第六十一頁(yè)，共117頁(yè)。621.奇偶虛實(shí)性二、傅里葉變換的主要性質(zhì)

一般X(f)是實(shí)變量f的復(fù)變函數(shù)。它可以寫(xiě)成一個(gè)信號(hào)的時(shí)域描述和頻域描述依靠傅里葉變換來(lái)確立彼此一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系。第六十二頁(yè)，共117頁(yè)。若x(t)是實(shí)函數(shù)，則X(?)是復(fù)函數(shù)；若x(t)為實(shí)偶函數(shù)，則ImX(?)=0，而X(?)是實(shí)偶函數(shù)，即X(?)=ReX(?)；若x(t)為實(shí)奇函數(shù)，則ReX(?)=0，而X(?)是虛偶函數(shù)，即X(?)＝－

ImX(?)＝－X(-?)；若x(t)為虛偶函數(shù)，則ReX(?)=0，而X(?)是實(shí)奇函數(shù)；若x(t)為虛奇函數(shù)，則ImX(?)=0，而X(?)是虛奇函數(shù)。(1).奇偶虛實(shí)性信號(hào)的時(shí)域和頻域描述依靠傅里葉變換來(lái)確立彼此一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系第六十三頁(yè)，共117頁(yè)。(2).對(duì)稱(chēng)互易性若:(時(shí)域信號(hào))x(t)?X(?)(頻域信號(hào))，則X(t)?x(-?)

第六十四頁(yè)，共117頁(yè)。(3).尺度特性若x(t)?X(?)，則

x(kt)?

1/|k|·X(?/k)

信號(hào)持續(xù)時(shí)間壓縮k倍(k>1)，則信號(hào)的頻寬擴(kuò)寬k倍，而幅值變?yōu)樵瓉?lái)的1/k。

T為窗的寬度

k=1k=3第六十五頁(yè)，共117頁(yè)。(4).時(shí)移、頻移特性若x(t)?X(?)，則在時(shí)域中信號(hào)沿時(shí)間軸平移一常值t0，則（時(shí)移）

如果信號(hào)在時(shí)域中延遲了時(shí)間t0，其頻譜幅值不會(huì)改變，而相頻譜中各次諧波的相移-2π?t0，與頻率成正比在頻域中信號(hào)沿頻率軸平移一常值?0，則（頻移）第六十六頁(yè)，共117頁(yè)。(5).卷積特性對(duì)于任意兩個(gè)函數(shù)x1(t)和x2(t)，定義它們的卷積為：

若x1(t)?X1(?)，x2(t)?X2(?)，則 1.兩個(gè)函數(shù)在時(shí)域中的卷積，對(duì)應(yīng)于頻域中的乘積2.兩個(gè)函數(shù)在時(shí)域中的乘積，對(duì)應(yīng)于頻域中的卷積

x1(t)*x2(t)?X1(?)X2(?)x1(t)x2(t)?X1(?)*X2(?)推導(dǎo)第六十七頁(yè)，共117頁(yè)。因此所以交換積分次序時(shí)移性質(zhì)返回卷積定義第六十八頁(yè)，共117頁(yè)。(7).積分特性(6).微分特性第六十九頁(yè)，共117頁(yè)。第七十頁(yè)，共117頁(yè)。第七十一頁(yè)，共117頁(yè)。復(fù)指數(shù)函數(shù)形式的頻譜為雙邊譜（ω從-∞到+∞），三角函數(shù)形式的頻譜為單邊譜（ω從0到+∞）幾點(diǎn)結(jié)論：收斂性：一般周期信號(hào)展開(kāi)成傅立葉級(jí)數(shù)后，在頻域上是無(wú)限的，但從總體上看，其諧波幅值隨諧波次數(shù)的增高而減小。周期信號(hào)的頻譜特點(diǎn)：離散性：周期信號(hào)的頻譜是離散譜；諧波性：每個(gè)譜線(xiàn)只出現(xiàn)在基波頻率的整數(shù)倍上，基波頻率是諸分量頻率的公約數(shù)；第七十二頁(yè)，共117頁(yè)。瞬變非周期信號(hào)幅頻譜具有三個(gè)特點(diǎn)1、瞬變非周期周期信號(hào)的頻譜是連續(xù)的——連續(xù)性。2、因?yàn)榛闊o(wú)窮小譜線(xiàn)是連續(xù)的出現(xiàn)在任何頻率上，基波頻率是諸分量頻率的公約數(shù)——非諧波性。3、各頻率分量的譜線(xiàn)的高度表示該諧波的幅值。其諧波幅值總的趨勢(shì)是隨諧波次數(shù)的增高而減少——收斂性。第七十三頁(yè)，共117頁(yè)。如圖所示。三.幾種典型信號(hào)的頻譜1.矩形窗函數(shù)的頻譜第七十四頁(yè)，共117頁(yè)。在ε時(shí)間內(nèi)激發(fā)矩形脈沖Sε(t)（或三角脈沖、雙邊指數(shù)脈沖，鐘形脈沖）所包含的面積為1；2單位脈沖函數(shù)δ(t)及其頻譜各種單位面積為1的脈沖矩形脈沖到δ函數(shù)當(dāng)ε→0時(shí)，Sε(t)的極限就稱(chēng)為單位脈沖函數(shù)，記作δ(t)，即（單位脈沖函數(shù)）。

(1).δ(t)的定義第七十五頁(yè)，共117頁(yè)。從極限角度:(2).δ(t)的特性從面積角度:矩形脈沖到δ函數(shù)第七十六頁(yè)，共117頁(yè)。(3).δ(t)乘積性和積分性<1>乘積性<2>積分性第七十七頁(yè)，共117頁(yè)。(4).δ(t)的采樣性第七十八頁(yè)，共117頁(yè)。以上表示δ函數(shù)的采樣性質(zhì)：任何函數(shù)x(t)和δ(t-t0)的乘積是一個(gè)強(qiáng)度為x(t0)的δ函數(shù)δ(t-t0)，而該乘積在無(wú)限區(qū)間的積分則是x(t)在t=t0時(shí)刻的函數(shù)值x(t0)。這個(gè)性質(zhì)是連續(xù)信號(hào)離散采樣的依據(jù)。第七十九頁(yè)，共117頁(yè)。(5).δ(t)與其它信號(hào)的卷積

結(jié)果：x(t)與δ(t)的卷積等于x(t)。

δ函數(shù)的卷積特性1第八十頁(yè)，共117頁(yè)。結(jié)果：δ(t±t0)時(shí)卷積，就是將函數(shù)x(t)在發(fā)生脈沖函數(shù)的坐標(biāo)位置上重新作圖，或可以說(shuō)平移至t0當(dāng)脈沖函數(shù)為δ(t±t0)時(shí)，與函數(shù)x(t)的卷積

δ函數(shù)的卷積特性2第八十一頁(yè)，共117頁(yè)。第八十二頁(yè)，共117頁(yè)。(6).δ(t)的頻譜逆變換：

δ(t)?1

即：1?δ(?)

δ函數(shù)的頻譜直流分量的頻譜第八十三頁(yè)，共117頁(yè)。δ(t-t0)ej2π?0tδ(t)?1

1?δ(?)

δ函數(shù)的頻譜根據(jù)時(shí)移和頻移特性

：?1·e-j2π?to?δ(?-?0)

故知時(shí)域的δ函數(shù)具有無(wú)限寬廣頻帶的頻譜，而且在所有的頻段上都是等強(qiáng)度，這種頻譜常稱(chēng)為“均勻譜”第八十四頁(yè)，共117頁(yè)。根據(jù)傅里葉變換的對(duì)稱(chēng)性質(zhì)和時(shí)移、頻移性質(zhì)，可以得到下列傅里葉變換對(duì)：第八十五頁(yè)，共117頁(yè)。863、正、余弦函數(shù)的頻譜密度函數(shù)由于正、余弦函數(shù)不滿(mǎn)足絕對(duì)可積條件，因此不能直接進(jìn)行傅里葉變換，而需在傅里葉變換時(shí)引入δ函數(shù)。

根據(jù)歐拉公式正、余弦函數(shù)可以寫(xiě)成可認(rèn)為正、余弦函數(shù)是把頻域中的兩個(gè)δ函數(shù)向不同方向頻移后之差或和的傅里葉逆變換。根據(jù)ej2π?0t?δ(?-?0)

第八十六頁(yè)，共117頁(yè)。正弦函數(shù)的頻譜第八十七頁(yè)，共117頁(yè)。7.3周期單位脈沖序列的頻譜

相等間隔的周期單位脈沖序列，常稱(chēng)為梳狀函數(shù)

式中，Ts—周期，n—整數(shù)，n=0,±1,±2,±3,…。

為周期函數(shù)，而?s=1/Ts，用傅立葉級(jí)數(shù)的復(fù)指數(shù)形式表示：

第八十八頁(yè)，共117頁(yè)。因?yàn)樵?-Ts/2，Ts/2)區(qū)間內(nèi)，只有一個(gè)δ函數(shù)δ，而當(dāng)t=0時(shí)，

，所以因?yàn)檫@樣，可寫(xiě)成于是comb(t,Ts)的頻譜，comb(f,fs)，也是梳狀函數(shù)第八十九頁(yè)，共117頁(yè)。時(shí)域中，序列的周期為T(mén)s，頻域中，序列的周期為1/Ts。時(shí)域中，幅值為1

頻域中，幅值為1/Ts

第九十頁(yè)，共117頁(yè)。由圖可見(jiàn)，時(shí)域周期單位脈沖序列的頻譜也是周期脈沖序列。若時(shí)域周期為T(mén)s，則頻域脈沖序列的周期為1/Ts；時(shí)域脈沖強(qiáng)度為1，頻域中強(qiáng)度為1/Ts。第九十一頁(yè)，共117頁(yè)。矩形窗函數(shù)和常值函數(shù)的頻譜第九十二頁(yè)，共117頁(yè)。7.5指數(shù)函數(shù)的頻譜1、雙邊指數(shù)衰減函數(shù)的頻譜

第九十三頁(yè)，共117頁(yè)。2、單邊指數(shù)衰減函數(shù)的頻譜

第九十四頁(yè)，共117頁(yè)。95第四節(jié)隨機(jī)信號(hào)一、概述隨機(jī)信號(hào)是不能用確定的數(shù)學(xué)關(guān)系式來(lái)描述的，不能預(yù)測(cè)其未來(lái)的任何瞬時(shí)值。任何一次觀測(cè)值只代表在其變動(dòng)范圍中可能產(chǎn)生的結(jié)果之一，但其值的變動(dòng)服從統(tǒng)計(jì)規(guī)律。隨機(jī)過(guò)程與樣本函數(shù)如圖1-21所示。圖1-21第九十五頁(yè)，共117頁(yè)。樣本函數(shù)——對(duì)隨機(jī)信號(hào)按時(shí)間歷程所作的各次長(zhǎng)時(shí)間觀測(cè)記錄被稱(chēng)為樣本函數(shù)。樣本記錄——對(duì)隨機(jī)信號(hào)按時(shí)間歷程所作的各次有限長(zhǎng)時(shí)間觀測(cè)記錄被稱(chēng)為樣本記錄。隨機(jī)過(guò)程——在同一試驗(yàn)條件下，全部樣本函數(shù)的集合（總體）就是隨機(jī)過(guò)程。{x(t)}={x1(t),x2(t),…,xi(t),…}集合平均——隨機(jī)過(guò)程的各種均值（均值、方差、均方值和均方根值）的計(jì)算是將集合中所有樣本函數(shù)對(duì)同一時(shí)刻的觀測(cè)值取平均。時(shí)間平均——隨機(jī)過(guò)程的各種均值（均值、方差、均方值和均方根值）的計(jì)算如果是按某單個(gè)樣本函數(shù)的時(shí)間歷程進(jìn)行平均的計(jì)算叫作時(shí)間平均。第九十六頁(yè)，共117頁(yè)。根據(jù)集合平均和時(shí)間平均的關(guān)系不同可對(duì)隨機(jī)過(guò)程進(jìn)行分類(lèi)。隨機(jī)過(guò)程分類(lèi)：平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程和非平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程。平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程：指其統(tǒng)計(jì)特征參數(shù)不隨時(shí)間而變化的隨機(jī)過(guò)程；否則為非平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程。而平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)又分為各態(tài)歷經(jīng)平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程和非各態(tài)歷經(jīng)平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程各態(tài)歷經(jīng)隨機(jī)過(guò)程：在平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程中，任一單個(gè)樣本函數(shù)的時(shí)間平均統(tǒng)計(jì)特征等于該過(guò)程的集合平均統(tǒng)計(jì)特征第九十七頁(yè)，共117頁(yè)。

一般的隨機(jī)過(guò)程需要足夠多的樣本函數(shù)才能描述，而要進(jìn)行大量的觀測(cè)來(lái)獲取足夠多的樣本函數(shù)式非常困難或做不到的。實(shí)際測(cè)試工作常把隨機(jī)信號(hào)按各態(tài)歷經(jīng)過(guò)程來(lái)處理，進(jìn)而以有限長(zhǎng)度樣本記錄的觀察分析來(lái)推斷、估計(jì)被測(cè)對(duì)象的整個(gè)隨機(jī)過(guò)程；也就是說(shuō)，在測(cè)試工作中常以一個(gè)或幾個(gè)有限長(zhǎng)度的樣本記錄來(lái)推斷整個(gè)隨機(jī)過(guò)程，以其時(shí)間平均來(lái)估計(jì)集合平均。第九十八頁(yè)，共117頁(yè)。二、隨機(jī)信號(hào)的主要特征參數(shù)描述各態(tài)歷經(jīng)隨機(jī)信號(hào)的主要特征參數(shù)有：1)均值、方差和均方值。2)概率密度函數(shù)。3)自相關(guān)函數(shù)。4)功率譜密度函數(shù)。第九十九頁(yè)，共117頁(yè)。(—)均值x、方差x2和均方值x2表示信號(hào)的常值分量,

x(t)——樣本函數(shù),T——觀察時(shí)間描述隨機(jī)信號(hào)的波動(dòng)分量方差的正平方根叫標(biāo)準(zhǔn)偏差x，是隨機(jī)數(shù)據(jù)分析的重要參數(shù)描述隨機(jī)信號(hào)的強(qiáng)度均方值的正平方根稱(chēng)為均方根值,即xrms=ψx2第一百頁(yè)，共117頁(yè)。對(duì)于集合平均，則某時(shí)刻的均值和均方值為式中

M——樣本記錄總數(shù)

i——樣本記錄序號(hào)

ti——觀測(cè)時(shí)間第一百零一頁(yè)，共117頁(yè)。

σx2描述了信號(hào)的波動(dòng)量；μx2描述了信號(hào)的靜態(tài)量。第一百零二頁(yè)，共117頁(yè)。

可以證明

均方值方差均值平方已知其中任意兩個(gè)可以求第三個(gè)第一百零三頁(yè)，共117頁(yè)。例,已知某隨機(jī)信號(hào)的Ψx=50,μx=40,求σx=?根據(jù)

σ2x=Ψ2x-μ2x