2023年廣東省湛江下學(xué)期高考考前模擬數(shù)學(xué)試題含解析

2023年高考數(shù)學(xué)模擬試卷

考生須知：

1.全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色

字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。

2.請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。

3.保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.一個(gè)袋中放有大小、形狀均相同的小球，其中紅球1個(gè)、黑球2個(gè)，現(xiàn)隨機(jī)等可能取出小球，當(dāng)有放回依次取出兩

個(gè)小球時(shí)，記取出的紅球數(shù)為當(dāng)無放回依次取出兩個(gè)小球時(shí)，記取出的紅球數(shù)為則()

A.%<砥，B.碣=%,DQD紜

C.碣=砥，。。＜抬D.碣〉砥，DJ

2,關(guān)于函數(shù)/(x)=sin|x|+|cosx|有下述四個(gè)結(jié)論：()

①/(X)是偶函數(shù)；②/(x)在區(qū)間1上是單調(diào)遞增函數(shù)；

③/(x)在R上的最大值為2；④/(%)在區(qū)間［-2肛2句上有4個(gè)零點(diǎn).

其中所有正確結(jié)論的編號(hào)是()

A.①②④B.①③C.①④D.②④

3.某工廠利用隨機(jī)數(shù)表示對(duì)生產(chǎn)的600個(gè)零件進(jìn)行抽樣測(cè)試，先將600個(gè)零件進(jìn)行編號(hào)，編號(hào)分別為001,002,

599,600.從中抽取60個(gè)樣本，下圖提供隨機(jī)數(shù)表的第4行到第6行：

32211831297864540732524206443812234356773578905642

84421253313457860736253007328623457889072368960804

32567808436789535577348994837522535578321577892345

若從表中第6行第6列開始向右讀取數(shù)據(jù)，則得到的第6個(gè)樣本編號(hào)是()

A.324B.522C.535D.578

4.已知|)|=5|昨2,若￡_1_倒向，則向量Z+R在向量坂方向的投影為()

1717

A.-B.-C.——D.——

2222

2X-2~x

5.函數(shù)y=1?的圖像大致為().

X-COSX

6.如圖，在中，點(diǎn)Q為線段AC上靠近點(diǎn)A的三等分點(diǎn)，點(diǎn)尸為線段BQ上靠近點(diǎn)B的三等分點(diǎn)，則西+方=

1——2―?5—■7——1——1()——2—7—■

A.-BA+-BCB.-BA+-BCC.-BA+—BCD.-BA+-BC

33999999

7.已知雙曲線C:=-1=l(a>0/>0)的焦距為2c,過左焦點(diǎn)耳作斜率為1的直線交雙曲線。的右支于點(diǎn)P,若線

arb-

段PF1的中點(diǎn)在圓O:x2+y2=c2±,則該雙曲線的離心率為()

A.72B.272C.V2+1D.2血+1

8.已知函數(shù)/(力=25缶(0￥+0)+。(0>0),f(—+x)=/(--x),</(—)=5,則-=()

888

A.3B?3或7C.5D.5或8

22

9.已知直線J"-y+m=0過雙曲線C：=-2=1(。>0/>0)的左焦點(diǎn)尸，且與雙曲線C在第二象限交于點(diǎn)A,若

ab

\FA\4FO\(。為坐標(biāo)原點(diǎn))，則雙曲線C的離心率為

A.2B.V3+1C.亞D.V5-1

10.已知函數(shù)/(x)=o%2-4ox-lnx，則/（x）在（1,4）上不單調(diào)的一個(gè)充分不必要條件可以是（)

IC11iIC1

a>——B.0<<2<——C.a>—或——<a<0D.a>——

21616216

11.若復(fù)數(shù)z滿足zi=l-i（i為虛數(shù)單位），則其共枕復(fù)數(shù)［的虛部為（）

A.-iB.iC.-1D.1

4

12.^a=log23,b=log4l,c=0.7,則實(shí)數(shù)a,的大小關(guān)系為（）

A.a>b>cB.c>a>bC.b>a>cD.c>b>a

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.割圓術(shù)是估算圓周率的科學(xué)方法，由三國(guó)時(shí)期數(shù)學(xué)家劉徽創(chuàng)立，他用圓內(nèi)接正多邊形面積無限逼近圓面積，從而

得出圓周率.現(xiàn)在半徑為1的圓內(nèi)任取一點(diǎn)，則該點(diǎn)取自其內(nèi)接正十二邊形內(nèi)部的概率為.

jr37r7t12

14.在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)2（%,%）在單位圓。上，設(shè)NxOP=a，且ae（一,—）.若cos（a+—）=-一,

44413

則/的值為.

15.已知。>0,記/⑺=［（1—。；2%+亡4犬2-28丁+..._。；1281+《256f）小，則/⑺的展開式中各項(xiàng)系數(shù)

和為.

少2

16.雙曲線=1的焦距為________,漸近線方程為________.

54

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

2

17.（12分）已知函數(shù)=：,

（1）求函數(shù)/（x）的單調(diào)區(qū)間；

4r2

（2）當(dāng)0<m<7時(shí)，判斷函數(shù)g（x）=--機(jī)，（x>0）有幾個(gè)零點(diǎn)，并證明你的結(jié)論；

（3）設(shè)函數(shù)力（無）=g+龍）-CX2,若函數(shù)/?（x）在（0,+8）為增函數(shù)，求實(shí)數(shù)C的取值

范圍.

18.（12分）已知數(shù)列｛%｝中，4=1,前〃項(xiàng)和為S“，若對(duì)任意的〃eN*,均有S“=a,,+*-&（人是常數(shù)，且keN*）

成立,則稱數(shù)列｛叫為“”（攵）數(shù)列”.

（1）若數(shù)列｛《,｝為""（1）數(shù)列”，求數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和s.

（2）若數(shù)列｛4｝為"”（2）數(shù)列“，且/為整數(shù)，試問：是否存在數(shù)列｛4｝,使得對(duì)任意“22,

“eAf成立？如果存在，求出這樣數(shù)列｛可｝的的的所有可能值，如果不存在，請(qǐng)說明理由.

19.（12分）如圖，在平面四邊形ABCD中，ZD=—,sinABAC=cosZB=—,A3=13.

313

D

（1）求AC；

（2）求四邊形ABC。面積的最大值.

20.（12分）如圖，在四棱錐P—ABCD中，PO_L平面ABCO,底面ABCD是矩形，AD=PD,E,尸分別

是CO,PB的中點(diǎn).

D

（H）設(shè)A5=6BC=3，求三棱錐P—A￡下的體積.

21.（12分）已知/（x）=xl2與：V=a有兩個(gè)不同的交點(diǎn)AB,其橫坐標(biāo)分別為內(nèi)，/（玉<當(dāng)）.

（1）求實(shí)數(shù)。的取值范圍；

（2）求證：ae+\<x2-xy<"十—.

22.（10分）如圖，四棱錐P—4BC。中，底面ABC。是矩形，面24。，底面ABCO,且AE4D是邊長(zhǎng)為2的等

邊三角形，PC=屈,"在PC上，且面M6Z）.

p

(1)求證:M是PC的中點(diǎn);

(2)在PA上是否存在點(diǎn)F,使二面角歹-為直角？若存在，求出——的值；若不存在，說明理由.

AP

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.B

【解析】

分別求出兩個(gè)隨機(jī)變量的分布列后求出它們的期望和方差可得它們的大小關(guān)系.

【詳解】

?？赡艿娜≈禐?」,2；J?可能的取值為°」，

尸=P(*2)=l尸(*1)=1一『:=：,

7yV77

,,「匕2n匕242112444

故E￡.=—=0-x—F2~x—bl~x-----=一.

139199999

P值=°)=言4產(chǎn)值=1)=賁4

j-,2匕21242

故隔=§，D&2=。x-+l=

故E《=E3”|＞。巳故選民

【點(diǎn)睛】

離散型隨機(jī)變量的分布列的計(jì)算，應(yīng)先確定隨機(jī)變量所有可能的取值，再利用排列組合知識(shí)求出隨機(jī)變量每一種取值

情況的概率，然后利用公式計(jì)算期望和方差，注意在取球模型中摸出的球有放回與無放回的區(qū)別.

2.C

【解析】

根據(jù)函數(shù)/(x)的奇偶性、單調(diào)性、最值和零點(diǎn)對(duì)四個(gè)結(jié)論逐一分析，由此得出正確結(jié)論的編號(hào).

【詳解】

/(X)的定義域?yàn)镽.

由于/(—x)=/(x),所以/(X)為偶函數(shù)，故①正確.

由于/［Jsi吟+COS表與J1￡|=si吟+若=書也，3所以”可在

區(qū)間,］，。］上不是單調(diào)遞增函數(shù)，所以②錯(cuò)誤.

當(dāng)xNO時(shí),/(x)=sinx+|cosx\=sinx±cosx=>72sinx±-<V2,

且存在x=—,使/—=sin—+cos—=V2.

444

所以當(dāng)x20時(shí)，/(x)W0；

由于為偶函數(shù)，所以xeR時(shí)/'(x)wJL

所以〃x)的最大值為0,所以③錯(cuò)誤.

依題意，/(0)=sin|0|+|cos0|=l,當(dāng)0<xW2萬時(shí),

sinx+cosx,0<xKn,或—<X<2TT

/(%)=<22

.n37r

sinx-cosx,—<x<——

22

77C

所以令sinx+cosx=0,解得％=彳，令sinx-cosx=0,解得x=7-.所以在區(qū)間(0,2可，/(x)有兩個(gè)零點(diǎn).

由于/(x)為偶函數(shù)，所以“X)在區(qū)間［-2肛0)有兩個(gè)零點(diǎn).故/(x)在區(qū)間［-2%,2可上有4個(gè)零點(diǎn).所以④正確.

綜上所述，正確的結(jié)論序號(hào)為①④.

故選：C

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查三角函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、最值和零點(diǎn)，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，屬于中檔題.

3.D

【解析】

因?yàn)橐獙?duì)600個(gè)零件進(jìn)行編號(hào)，所以編號(hào)必須是三位數(shù)，因此按要求從第6行第6列開始向右讀取數(shù)據(jù)，大于600的,

重復(fù)出現(xiàn)的舍去，直至得到第六個(gè)編號(hào).

【詳解】

從第6行第6列開始向右讀取數(shù)據(jù)，編號(hào)內(nèi)的數(shù)據(jù)依次為：

436,535,577,348,522,535,578,324,577,…，因?yàn)?35重復(fù)出現(xiàn)，所以符合要求的數(shù)據(jù)依次為

436,535,577,348,522,578,324,■故第6個(gè)數(shù)據(jù)為578.選D.

【點(diǎn)睛】

本題考查了隨機(jī)數(shù)表表的應(yīng)用，正確掌握隨機(jī)數(shù)表法的使用方法是解題的關(guān)鍵.

4.B

【解析】

(a+b)-b

由a_L(q-B|a|=y/3,\b\=2=>￡4=3,再由向量￡+5在向量B方向的投影為化簡(jiǎn)運(yùn)算即可

\b\

【詳解】

aa-^a-b^=a-a-b=3-a-b=0,=3,

???向量〃+B在向量方向的投影為|3+7|cosG+癡)==三3=1

'/e+\b\0"=0\b"\222

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查向量投影的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題

5.A

【解析】

本題采用排除法:

排除選項(xiàng)D；

根據(jù)特殊值/>0排除選項(xiàng)C;

由x>0,且X無限接近于0時(shí)，/（力<0排除選項(xiàng)比

【詳解】

2x_2~x

對(duì)于選項(xiàng)D:由題意可得，令函數(shù)/(x)=>-=.._

COSX

即/［一三)=一/［萬)故選項(xiàng)D排除；

5n5不

2彳-2?n

對(duì)于選項(xiàng)C：因?yàn)?一豆一故選項(xiàng)C排除；

萬

對(duì)于選項(xiàng)B：當(dāng)了>0,且x無限接近于0時(shí),兇-cosx接近于—1<0,2、-2-*>0,此時(shí)/(力<0.故選項(xiàng)B排除；

故選項(xiàng):A

【點(diǎn)睛】

本題考查函數(shù)解析式較復(fù)雜的圖象的判斷;利用函數(shù)奇偶性、特殊值符號(hào)的正負(fù)等有關(guān)性質(zhì)進(jìn)行逐一排除是解題的關(guān)鍵;

屬于中檔題.

6.B

【解析】

PA+PC=BA-BP+BC-BP=BA+BC一一BQ,將雨+人^=函+耳人^^/二配一麗代入化簡(jiǎn)即

可.

【詳解】

________________________2___

PA+PC=BA-BP+BC-BP=BA+BC-BQ

______2______

^BA+BC--(BA+AQ)

=-BA+BC--x-AC

333

1—.—.2—?―-5—?7—?

=—BA+BC——(BC-BA)^-BA+-BC.

3999

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查平面向量基本定理的應(yīng)用，涉及到向量的線性運(yùn)算、數(shù)乘運(yùn)算，考查學(xué)生的運(yùn)算能力，是一道中檔題.

7.C

【解析】

設(shè)線段尸石的中點(diǎn)為A,判斷出A點(diǎn)的位置，結(jié)合雙曲線的定義，求得雙曲線的離心率.

【詳解】

設(shè)線段尸耳的中點(diǎn)為A,由于直線耳P的斜率是1,而圓O:/+,2=c2,所以A（O,c）.由于。是線段片工的中點(diǎn)，

所以|尸國(guó)=2|Q4|=2c,而忸耳|=2|A耳|=2x0c=2夜,根據(jù)雙曲線的定義可知|尸耳|-|尸閭=勿,即

2A2c=2e即一在T向I

本小題主要考查雙曲線的定義和離心率的求法，考查直線和圓的位置關(guān)系，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，屬于中檔

題.

8.B

【解析】

根據(jù)函數(shù)的對(duì)稱軸x=￡以及函數(shù)值，可得結(jié)果.

O

【詳解】

函數(shù)/（x）=2sin?x+°）+Z?（69＞。）,

若/心+x)=/(1—X),則/(X)的圖象關(guān)于x=J對(duì)稱，

888

冗

又/(一)=5,所以2+〃=5或-2+6=5,

8

所以》的值是7或3.

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查的是三角函數(shù)的概念及性質(zhì)和函數(shù)的對(duì)稱性問題，屬基礎(chǔ)題

9.B

【解析】

直線后-y+機(jī)=0的傾斜角為百，易得I必H”>l=c.設(shè)雙曲線C的右焦點(diǎn)為E,可得八位中，ZFAE=90,則

3

\AE\=y[3c,所以雙曲線C的離心率為e=抹l=6+1.故選B.

10.D

【解析】

先求函數(shù)在(1,4)上不單調(diào)的充要條件，即((x)=0在(1,4)上有解，即可得出結(jié)論.

【詳解】

lax1-4ax-1

f'M2ax-4a——=

xx

若.f(x)在(1,4)上不單調(diào)，^g(x)=2ax2-4ax-l,

則函數(shù)g(x)=2ax2-4ax-l對(duì)稱軸方程為x=1

在區(qū)間(1,4)上有零點(diǎn)(可以用二分法求得).

當(dāng)。=0時(shí)，顯然不成立；

a>0

當(dāng)時(shí)，只需，g(l)=-2。一1<0

g(4)=16a—1〉0

a<0

或,g⑴=-2a-1>0,解得〃〉-!_或

g(4)=16a-l<0I，

故選:D.

【點(diǎn)睛】

本題考查含參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性及充分不必要條件，要注意二次函數(shù)零點(diǎn)的求法，屬于中檔題.

11.D

【解析】

由已知等式求出z,再由共枕復(fù)數(shù)的概念求得2,即可得2的虛部.

【詳解】

TT,所以共物復(fù)數(shù)2=』+i,虛部為1

故選D.

【點(diǎn)睛】

本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算和共物復(fù)數(shù)的基本概念，屬于基礎(chǔ)題.

12.A

【解析】

將“化成以4為底的對(duì)數(shù)，即可判斷a,b的大小關(guān)系；由對(duì)數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，可判斷出4c與1的大小關(guān)

系，從而可判斷三者的大小關(guān)系.

【詳解】

依題意，由對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可得"=log23=log49>b=log47.

4

又因?yàn)閏=0.7<0.7°=1=log44<log47=b,故a>b>c.

故選:A.

【點(diǎn)睛】

本題考查了指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，考查了對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，考查了對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì).兩個(gè)對(duì)數(shù)型的數(shù)字比較大小時(shí)，底數(shù)相

同，則構(gòu)造對(duì)數(shù)函數(shù)，結(jié)合對(duì)數(shù)的單調(diào)性可判斷大?。蝗粽鏀?shù)相同，則結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像或者換底公式可判斷大小;

若真數(shù)和底數(shù)都不相同，則可與中間值如1,0比較大小.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

3

13.一

71

【解析】

求出圓內(nèi)接正十二邊形的面積和圓的面積，再用幾何概型公式求出即可.

【詳解】

半徑為1的圓內(nèi)接正十二邊形，可分割為12個(gè)頂角為2，腰為1的等腰三角形,

6

1冗

：.該正十二邊形的面積為5=12x-xlxlxsin-=3,

33

根據(jù)幾何概型公式，該點(diǎn)取自其內(nèi)接正十二邊形的概率為一萬

7TXrn

3

故答案為：一.

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查面積型幾何概型的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.

【解析】

TT1971

根據(jù)三角函數(shù)定義表示出3=cosa,由同角三角函數(shù)關(guān)系式結(jié)合cos(a+^)=--求得sin(a+2),而

4134

71

犬0=cosa-cos~，展開后即可由余弦差角公式求得飛的值.

【詳解】

點(diǎn)？(%，%)在單位圓。上，設(shè)NxQP=a，

由三角函數(shù)定義可知cosa=X),sina=y0,

E、Im3〃、7i{7i\

因?yàn)閍w(二，1-),則a+彳,4,

所以由同角三角函數(shù)關(guān)系式可得sin1-cos

所以％o=cosa=cosa-\-------

(乃、71.(

-cosa+—cos—+sina+?！.in?！?/p>

I4；4I4j4

12V25V2-70

=--------X----------1-------X--------=--------------

13213226

故答案為：二Z也.

26

【點(diǎn)睛】

本題考查了三角函數(shù)定義，同角三角函數(shù)關(guān)系式的應(yīng)用，余弦差角公式的應(yīng)用，屬于中檔題.

1

15.-

9

【解析】

根據(jù)定積分的計(jì)算，得到/9)=—±(1—2。9+4,令f=l,求得/(1)=!，即可得到答案.

18189

【詳解】

根據(jù)定積分的計(jì)算，可得

/(/)=J：(1—C；2x+C；4f-c；8d+Cjl28x7+C：256*公=￡(1-2x)8dx=--^(1-2x)91；

=-—(l-2?)9+—,

1818

令Ul，貝=一￡(>2x1)9+3=*，

即f(t)的展開式中各項(xiàng)系數(shù)和為1.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了定積分的應(yīng)用，以及二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，其中解答中根據(jù)定積分的計(jì)算和二項(xiàng)式定理求得/⑺的表示

是解答本題的關(guān)鍵，著重考查了運(yùn)算與求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

16.6y=±-立.x

5

【解析】

由題得，=5+4=9.?.c=3所以焦距2c=6,故第一個(gè)空填6.

由題得漸近線方程為y=±|犬=±半x.故第二個(gè)空填y=±竽x.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(1)單調(diào)增區(qū)間(0,2),單調(diào)減區(qū)間為(r。,0),(2,+8)；(2)有2個(gè)零點(diǎn)，證明見解析；(3)c<-

【解析】

(1)對(duì)函數(shù)/(X)求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)(X)的正負(fù)判斷函數(shù)/(X)的單調(diào)區(qū)間即可;

(2)函數(shù)g(x)=二-加,(x20)有2個(gè)零點(diǎn).根據(jù)函數(shù)的零點(diǎn)存在性定理即可證明；

ex

(3)記函數(shù)F(X)=/(x)-(尤-與=工-％+2/>0,求導(dǎo)后利用單調(diào)性求得F(l)-F(2)<0，由零點(diǎn)存在性定理及單

xexx

調(diào)性知存在唯一的X。6(1,2),使/(%)=0,求得〃(X)為分段函數(shù),求導(dǎo)后分情況討論：①當(dāng)X〉/時(shí)，利用函數(shù)的單

調(diào)性將問題轉(zhuǎn)化為2c<u(x)min的問題;②當(dāng)0<x<x°時(shí)，當(dāng)CW0時(shí),〃'(x)>0在(0,%)上恒成立，從而求得C的取

值范圍.

【詳解】

2x

,、,r,,、2x-e'-x-ex(2-x)_

(1)由題意知,/(x)=-----------=-------,列表如下：

(e*)-ex

X(-00,0)0(0,2)2(2,+oo)

/'(X)—0+0—

/(X)極小值T極大值

所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為(0,2),單調(diào)減區(qū)間為(—,0),(2,+8).

X9

(2)函數(shù)g(x)=——而,(x20)有2個(gè)零點(diǎn).證明如下：

ex

44

因?yàn)?<m<r時(shí)，所以g(2)=r-，〃>0,

ee

因?yàn)間(x)=X(2T)，所以g(x)>0在(0,2)恒成立,g(x)在(0,2)上單調(diào)遞增,

由g⑵>0,g(0)=r〃<(),且g(x)在(0,2)上單調(diào)遞增且連續(xù)知，

函數(shù)gQ)在(0,2)上僅有一個(gè)零點(diǎn)，

由⑴可得xNO時(shí)J(x)W〃2)=/(x)皿，

/4

即一故xNO時(shí)，

m

由得e赤〉巴，平方得e赤>為，所以8(名)<0,

因?yàn)間(x)=W^D,所以8(力<0在(2,48)上恒成立，

44

所以函數(shù)g(x)在(2,+8)上單調(diào)遞減，因?yàn)?<〃?<7,所以7募>2,

由g(2)>0,g(1)<0,且g(x)在(2,+8)上單調(diào)遞減且連續(xù)得

g(x)在(2,長(zhǎng)。)上僅有一個(gè)零點(diǎn)，

X~2

綜上可知：函數(shù)g(x)=——"(x20)有2個(gè)零點(diǎn).

e'

2

1X1

(3)記函數(shù)尸(x)=/(x)—(x—2)=二一x+上,x>0,下面考察尸(x)的符號(hào).

xeAx

求導(dǎo)得?(幻=當(dāng)3-1一人戶>0.

ex

當(dāng)xN2時(shí)/(幻<。恒成立.

當(dāng)0<x<2時(shí)，因?yàn)閤(2——%2=［,

2

所以F'(x)="Q、,')__^<0.

exx1ex2xx2

：.F'(x)<0在(0,+8)上恒成立，故尸(x)在(0,+8)上單調(diào)遞減.

143

VF(l)=->0,F(2)=-L-￡<0,/.F(l)-F(2)<0,又因?yàn)镕(x)在［1,2］上連續(xù),

ee22

所以由函數(shù)的零點(diǎn)存在性定理得存在唯一的/e(1,2),使F(4)=0,

：.xe(O,xo),F(x)>0;xe(無o，+oo),F(x)<0,

X----------CT2,。<X<X。

因?yàn)椤?x)|=，所以/?(x)=<X

2

X.2

---CX,X>XQ

14—z—2cXfO<xW玉)

x~

Ahf(x)=<

x(2-x)

-----------2cx,x>x0

/、1r2

因?yàn)楹瘮?shù)h(x)在(0,+?>)上單調(diào)遞增,F(x0)=%---------=0,

%oe

所以“(x)NO在(0,x0),(*0,+8)上恒成立.

①當(dāng)XX。時(shí)，蟲二2—2CXN0在(*0，+00)上恒成立，即2cW與在(x0,+oo)上恒成立.

ee

記?(x)=-~-,x>x0,貝!]/(x)=-----,x>x<),

exex

當(dāng)x變化時(shí)，u'(x),M(x)變化情況如下表：

X(%,3)3(3,+oo)

u\x)—0十

u(x)J極小值T

:."(X)min="(X)板"=?(3)=一小，

故2c<M(X)min=-/，即C4一^J?

②當(dāng)0<尤<九0時(shí)，〃'(X)=1+」7-2CX,當(dāng)cWO時(shí)，〃'0)>0在(0,%)上恒成立.

X

綜合(1)(2)知，實(shí)數(shù)C的取值范圍是CK-*.

【點(diǎn)睛】

本題考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極值、最值和利用零點(diǎn)存在性定理判斷函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)、利用分離參數(shù)法求參數(shù)

的取值范圍;考查轉(zhuǎn)化與化歸能力、邏輯推理能力、運(yùn)算求解能力;通過構(gòu)造函數(shù)/(x),利用零點(diǎn)存在性定理判斷其零

點(diǎn),從而求出函數(shù)〃(x)的表達(dá)式是求解本題的關(guān)鍵;屬于綜合型強(qiáng)、難度大型試題.

18.(1)Sn=2"-\(2)存在，4=0，±1，±2，±3,±4,±5,-6

【解析】

(1)由數(shù)列向｝為“H(l)數(shù)列”可得,S“=4+1—1,S,I=a?-l(n>2),兩式相減得an+i=2a,?(nN2),又4=2=2q,

利用等比數(shù)列通項(xiàng)公式即可求出an，進(jìn)而求出S“；

⑵由題意得，s?=an+2-2,S“_|=an+i-2(n>2),兩式相減得，an+2=an+x+a“,(n>2),

據(jù)此可得，當(dāng)〃23時(shí)一。,4,+2=一/)一進(jìn)而可得

I4/-《化+21=I*-％%|，S23),即數(shù)列｛舊2-*%|｝為常數(shù)列，進(jìn)而可得.2_卜W&聞,s之3),

結(jié)合%=%+%，得到關(guān)于的的不等式，再由〃=2時(shí)I%?-46|=|七2-3卜4(),且a2為整數(shù)即可求出符合題意的出

的所有值.

【詳解】

(1)因?yàn)閿?shù)列｛4｝為““⑴數(shù)列”，

所以S.=a”+「1,故S“T=4一Kn?2),

兩式相減得m=2q,,(nN2),

在S“=a“+iT中令〃=1，則可得％=2,故。2=2《

所以4=2,(weN*,〃21),

冊(cè)

所以數(shù)列｛4｝是以1為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列，

所以4=2"一，因?yàn)镾〃=a,用一1,

所以S“=2"-l.

(2)由題意得S.=a,.-2,故S,i=。,用-2(n>2),

兩式相減得”2=。，向+4,，(n22)

a

所以，當(dāng)〃N2時(shí),a3-《4+2=-%(4+1+%)=(??+in

又因?yàn)閍“+i-%=a._i，(nN3)

所以當(dāng)“23時(shí),一4%+2=%(%+「%)一a：=%%一

a

所以一切“+21=\n-%%|，(nU3)成立，

所以當(dāng)〃23時(shí)，數(shù)列《a：一-%]｝是常數(shù)列，

所以|%2一%%|=|%2-生4|，缶>3)

因?yàn)楫?dāng)〃=2時(shí),an+2=an+\+??成立,

所以%=%+%,

所以|42-4+1q-1卜|?32-a2a3一生21，(ni3)

在S“=4+2-2中令〃=1,

因?yàn)?=1,所以可得為=3,

所以|9_3生_0221V40,

由〃=2時(shí).一%蜀=,2-3|<40,且a2為整數(shù)，

可得％=。,±1,±2,±3,±4,±5,±6,

2

把％=0,±1,±2,±3,±4,±5,±6分別代入不等式|9-3a2-a2|<40

可得=0,±1,±2,±3,±4,±5,-6,

所以存在數(shù)列｛??｝符合題意,％的所有值為4=°，±L±2,±3,±4,±5,-6.

【點(diǎn)睛】

本題考查數(shù)列的新定義、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和數(shù)列遞推公式的運(yùn)用;考查運(yùn)算求解能力、邏輯推理能力和對(duì)新定義的

理解能力;通過反復(fù)利用遞推公式，得到數(shù)列—4.Mil｝為常數(shù)列是求解本題的關(guān)鍵;屬于綜合型強(qiáng)、難度大型試題.

19.(1)12;(2)5=12^+30

【解析】

(1)根據(jù)同角三角函數(shù)式可求得cosN84C=sinN3,結(jié)合正弦和角公式求得sinN3c4=sin(NB4C+N3),即

可求得N3C4=」TT，進(jìn)而由三角函數(shù)

2

(2)設(shè)4)=乂。。=',根據(jù)余弦定理及基本不等式，可求得口的最大值，結(jié)合三角形面積公式可求得的最大

值，即可求得四邊形ABC。面積的最大值.

【詳解】

(1)sinZBAC=cosZ.B=—,

13

則由同角三角函數(shù)關(guān)系式可得cosABAC=sinNB-Jl—(Vj=￡，

則sinZBCA=sin(ABAC+ZB)

sinZ.BAC-cosNB+cosNBA。sinZB

7T

則ZBCA=-

29

所以AC=AB-sinB=13xU=12.

13

(2)設(shè)AO=x,OC=y,

在ADAC中由余弦定理可得AC2=DA2+DC2-2DADC-cosZADC，代入可得

144=x+y+孫，

由基本不等式爐+,222孫可知144一沖22外，

即沖K48,當(dāng)且僅當(dāng)x=y=4>A時(shí)取等號(hào)，

由三角形面積公式可得S.oc=；^sin/AOC

<lx48x—=1273

22

SAACB=gxl2x5=30，

所以四邊形ABC。面積的最大值為S=12G+30.

【點(diǎn)睛】

本題考查了正弦和角公式化簡(jiǎn)三角函數(shù)式的應(yīng)用，余弦定理及不等式式求最值的綜合應(yīng)用，屬于中檔題.

3

20.(I)見解析(II)-

4

【解析】

(I)取R4中點(diǎn)G,連FG,GD,根據(jù)平行四邊形，可得EF//DG,進(jìn)而證得平面平面94。，利用面

面垂直的性質(zhì)，得DG，平面Q45,又由EF//DG,即可得到跖J_平面Q46.

(n)根據(jù)三棱錐的體積公式，利用等積法，即可求解.

【詳解】

(I)取小中點(diǎn)G,連/G,GD,

由FG//AB,FG^-AB,ED//AB,ED^-AB,可得FG//ED,FG=ED,

22

可得EDGF是平行四邊形，則瓦'//0G,

又PD_L平面ABCZ),.,.平面Q4￡>_L平面ABCD,

：718,4￡)=>718，平面24。，43匚平面阿8,，平面2鉆，平面24。，

,:PD=AD,G是24中點(diǎn)，則。G_LB4,而。Gu平面PLDnOG,平面Q43,

而瓦VADG,.??平面Q4B.

(D)根據(jù)三棱錐的體積公式，

==

得^P-AEFVB-AEF=^F-BAE]^P-BAE=耳'§'S^BAEXPD

=—x—x—x3xV3x^3=—.

2324

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了空間中線面位置關(guān)系的判定與證明，以及利用“等體積法”求解三棱錐的體積，其中解答中熟記線面

位置關(guān)系的判定定理和性質(zhì)定理，以及合理利用“等體積法”求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與論證能力，屬于

基礎(chǔ)題.

21.(1)(-5°]；(2)見解析

【解析】

(1)利用導(dǎo)數(shù)研究/(x)=xlnx的單調(diào)性，分析函數(shù)性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合，即得解；

(2)構(gòu)造函數(shù)g(x)=—x-xliir,/z(x)=」一(九一I)一xlnx可證得：-x>xlnx,-^―(x-1)>xlnxxe[-J]I,

e-le-1I\e))

分析直線y=_x,y=」一(x-l)與y=a

從左到右交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，/(%)在X=-3,1=1處的切線即得解.

【詳解】

(1)設(shè)函數(shù)/(x)=xlnx,

尸(x)=l+lnx,

令尸(x)>0,x>—,令/(1)<0,0<]<—

ee

故