淺談逆向思維在初中數(shù)學(xué)證明中的應(yīng)用 論文

2022年安徽省中小學(xué)教育教學(xué)論文評(píng)選淺談逆向思維在初中數(shù)學(xué)證明中的應(yīng)用摘要：綜合法與分析法是中學(xué)數(shù)學(xué)證明的兩種重要方法，綜合法是“由因求果”，分析法是“執(zhí)果索因”，它們的思維方向都是線性方向，前者是順向思維，后者是逆向思維。逆向思維是邏輯推理的一種重要思維方式，而邏輯推理是數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的重要組成部分。在處理數(shù)學(xué)問(wèn)題尤其是數(shù)學(xué)證明題的時(shí)候，采用逆向思維進(jìn)行推理分析，能夠準(zhǔn)確高效地捕捉到解題思路，有利于學(xué)生思維能力的提升。關(guān)鍵詞：逆向思維，數(shù)學(xué)證明，邏輯推理，核心素養(yǎng)。引言：數(shù)學(xué)證明是中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的重點(diǎn)，更是難點(diǎn)，有的學(xué)生對(duì)于數(shù)學(xué)證明一頭霧水，不能夠準(zhǔn)確高效地捕捉到證明思路。如何在數(shù)學(xué)教學(xué)中切實(shí)提高學(xué)生分析和解決數(shù)學(xué)證明問(wèn)題的能力，筆者認(rèn)為運(yùn)用數(shù)學(xué)的邏輯思維方式去解決問(wèn)題非常重要，其中逆向思維是數(shù)學(xué)證明的一種重要思維方法。在數(shù)學(xué)課程中，應(yīng)當(dāng)注重發(fā)展學(xué)生的推理能力。[1]數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)中包括邏輯推理，逆向思維是邏輯推理的一種重要思維方法。 正文：

綜合法與分析法是中學(xué)數(shù)學(xué)證明的兩種重要方法，綜合法是“由因求果”，分析法是“執(zhí)果索因”，不管是綜合法還是分析法，它們的思維方向都是線性方向，前者是順向思維，后者是逆向思維。逆向思維方法是與順向思維方法相對(duì)而言的。在分析和解決問(wèn)題時(shí)，順向思維是根據(jù)已知條件證明出結(jié)論，即“由因求果”；而逆向思維是根據(jù)結(jié)論去分析所需要的條件，進(jìn)而形成解題思路，即“執(zhí)果索因”?！坝梢蚯蠊比菀资箤W(xué)生產(chǎn)生發(fā)散思維，由一個(gè)條件寫(xiě)出很多無(wú)用的結(jié)論，證明效率較低?！皥?zhí)果索因”則目標(biāo)明確，要證什么只需證什么，需證什么則要證什么，環(huán)環(huán)相扣、層層遞進(jìn)，最終回歸到已知條件、基本事實(shí)、公理定理等，邏輯清晰，證明效率較高。 筆者以幾道數(shù)學(xué)證明題目為例，具體闡述逆向思維在初中數(shù)學(xué)證明問(wèn)題中的應(yīng)用。 例1、如圖，在正方形ABCD中，P是對(duì)角線BD上的一點(diǎn)，點(diǎn)E在AD的延長(zhǎng)線上，且PA=PE，PE交CD于點(diǎn)F。（1）證明：PC=PE;

（2）求∠CPE的度數(shù).12022年安徽省中小學(xué)教育教學(xué)論文評(píng)選本題第（1）問(wèn)，已知PA=PE，要證PC=PE，只需證PC=PA即可，結(jié)合圖形，要證PC=PA，可通過(guò)證明△PBA≌△PBC得出。因?yàn)樗倪呅蜛BCD為正方形，所以AB=CB，BD平分∠ABC，所以∠PBA=∠PBC，又PB=PB，所以△PBA≌△PBC（SAS），所以PC=PA，因?yàn)镻A=PE，所以PC=PE，得證。本題第（2）問(wèn)，逆向思考，從結(jié)果分析，觀察圖形可初步得出∠CPE是直角的猜想，為了證明∠CPE是直角，我們采用逆向思維來(lái)分析，即要證∠CPE是直角，只需要證∠PCF與∠CFP互余即可，從圖形可知∠CFP與∠EFD是對(duì)頂角，所以∠CFP=∠EFD，而∠EFD與∠E互余，故要證∠PCF與∠CFP互余，只要證∠PCF=∠E即可。因?yàn)镻A=PE，所以∠E=∠PAE，所以要證∠PCF=∠E，即證∠PCF=∠PAE。因?yàn)椤螾CF與∠PCB互余，∠PAE與∠PAB互余，所以要證∠PCF=∠PAE，即證∠PCB=∠PAB。由本題第（1）問(wèn)△PBA≌△PBC可得出∠PCB=∠PAB，進(jìn)而完成本題第（2）問(wèn)的證明。幾何證明需要學(xué)生有嚴(yán)密的邏輯思維，環(huán)環(huán)相扣的的問(wèn)題設(shè)計(jì)可以幫助學(xué)生形成這種思維方式，而在問(wèn)題設(shè)計(jì)時(shí)運(yùn)用“執(zhí)果索因”的逆向思維引導(dǎo)學(xué)生往往能達(dá)到事半功倍的效果。要證什么則需證什么，需證什么則要證什么，能夠高效準(zhǔn)確地捕捉到證明的思路與方法，尤其是對(duì)于條件較為復(fù)雜的證明問(wèn)題，能夠大大提高解題效率。我們?cè)賮?lái)看一道相對(duì)復(fù)雜一點(diǎn)的幾何證明題：例2、已知正方形ABCD，點(diǎn)M為邊AB的中點(diǎn)．如圖，點(diǎn)G為線段CM上的一點(diǎn)，且∠AGB=90o，延長(zhǎng)AG，BG分別與邊BC，CD交于點(diǎn)E，F(xiàn)。（1）證明：BE=CF;（2）求證：BE2=BCCE.22022年安徽省中小學(xué)教育教學(xué)論文評(píng)選本題第（1）問(wèn)，要證BE=CF，需證△ABE≌△BCF，由于全等三角形的證明條件中至少要有一組邊對(duì)應(yīng)相等，所以我們先從邊相等入手來(lái)尋找條件，因?yàn)樗倪呅蜛BCD為正方形，所以AB=BC，∠ABE=∠BCF，因?yàn)锽E=CF是要證明的結(jié)論，所以不能當(dāng)條件使用，那么“SAS”判定方法行不通，所以只能進(jìn)一步尋找角相等來(lái)進(jìn)行證明，下一步要么說(shuō)明∠BAE=∠CBF要么說(shuō)明∠BEA=∠CFB。由已知條件∠AGB=90o可知∠BAE與∠ABF互余，而∠CBF也與∠ABF互余，根據(jù)同角的余角相等易得出∠BAE=∠CBF，進(jìn)而根據(jù)“ASA”判定△ABE≌△BCF，從而得出BE=CF，完成本題第（1）問(wèn)的證明。同理也可以說(shuō)明∠BEA=∠CFB，根據(jù)“AAS”來(lái)判定△ABE≌△BCF，進(jìn)而得出BE=CF，完成本題第（1）問(wèn)的證明。本題第（1）問(wèn)采用逆向思維的方法，只要分析問(wèn)題的思路方向正確，那么找出條件來(lái)完成本題第（1）問(wèn)的證明并不難。本題第（2）問(wèn)，要證明等積式BE2=BCCE，從結(jié)論來(lái)看，出現(xiàn)BCCE，CE在△CEG中，BC對(duì)應(yīng)的在△CGB中，由此可聯(lián)想到證明△CEG∽△CGB，若△CEG∽△CGB，則可得CE CG=，即可得CG2=BCCE，出現(xiàn)BCCE，與要證的結(jié)論緊密CGBC相關(guān)，要證BE2=BCCE，只需證CG=BE即可。由第（1）問(wèn)可知BE=CF,所以要證CG=BE，即證CG=CF，只需證∠CFG=∠FGC，因?yàn)镃D∥AB，所以∠CFG=∠MBG，因?yàn)椤螰GC與∠MGB互為對(duì)頂角，所以∠FGC=∠MGB。故要證∠CFG=∠FGC，則證∠MBG=∠MGB，只需證MB=MG即可。已知M是AB中點(diǎn)，△AGB是直角三角形，根據(jù)直角三角形斜邊中線等于斜邊一半的性質(zhì)，即可得出MB=MG。這樣我們就能證明出CG=BE，再去分析△CEG∽△CGB?！鰿EG和△CGB中∠ECG與∠GCB是公共角，則它們相等，要證△CEG∽△CGB，在已知一組角對(duì)應(yīng)相等的情況下，要么通過(guò)兩邊對(duì)應(yīng)成比例且?jiàn)A角相等來(lái)判定相似，要么再找一組角對(duì)應(yīng)相等來(lái)判定相似。本題中CE CG=是需要得出的結(jié)論，不能當(dāng)作條件使用，故只能再找一組角對(duì)應(yīng)CGBC相等來(lái)判定△CEG∽△CGB。要么是∠CGE=∠CBG，要么是∠CEG=∠CGB。在已經(jīng)分32022年安徽省中小學(xué)教育教學(xué)論文評(píng)選析得出∠CFG=∠FGC的前提下，說(shuō)明∠CGE=∠CBG或者∠CEG=∠CGB都比較容易。因?yàn)椤螩FG=∠FGC，且∠CGE+∠FGC=90o，∠CBG+∠CFG=90o，根據(jù)等角的余角相等即可得出∠CGE=∠CBG?；蛘呤且?yàn)椤螩FG=∠FGC，且由△ABE≌△BCF可得∠CFG=∠AEB，所以∠FGC=∠AEB，因?yàn)椤螩EG+∠AEB=180o，∠CBG+∠FGC=180o，根據(jù)等角的補(bǔ)角相等即可得出∠CEG=∠CGB。綜上分析，最終可完成本題第（2）問(wèn)的證明。本題第（2）問(wèn)的核心要點(diǎn)是證明△CEG∽△CGB，而證明△CEG∽△CGB的思路啟發(fā)就是依據(jù)要證結(jié)論構(gòu)建BCCE，CE放在△CEG中，BC對(duì)應(yīng)的放在△CGB中，根據(jù)BCCE逆向思維猜想得出△CEG∽△CGB，從而CE CG=，進(jìn)而可得CGBCCG2=BCCE，再去證明CG=BE即可。如果不采用逆向思維進(jìn)行推理分析，由于本題結(jié)論中的線段關(guān)系較為間接、轉(zhuǎn)換較為靈活，所以不容易捕捉到正確而又清晰的證明思路，如果采用逆向思維進(jìn)行推理分析，就能夠較為簡(jiǎn)單高效地解決問(wèn)題。這兩道例題都運(yùn)用到逆向思維的分析方法，第一道例題比較簡(jiǎn)單清晰，第二道例題相對(duì)復(fù)雜繁瑣一些，不管是簡(jiǎn)單還是復(fù)雜的幾何證明題型，通過(guò)逆向思維進(jìn)行分析和推理，都能夠相對(duì)高效準(zhǔn)確地解決問(wèn)題。逆向思維的證明方法在需要添加輔助線的題型中也有應(yīng)用，我們來(lái)看一道跟添加輔助線有關(guān)的幾何證明題目：例3、如圖，Rt△ABC中，∠ACB=90o，AC=BC,P為△ABC內(nèi)部一點(diǎn)，且∠APB=∠BPC=135o。（1）求證：△PAB∽△PBC;42022年安徽省中小學(xué)教育教學(xué)論文評(píng)選（2）求證：PA=2PC.針對(duì)第（1）問(wèn)，采用逆向思維分析，要證△PAB∽△PBC，已知∠APB=∠BPC=135o，一組角對(duì)應(yīng)相等，要判定兩個(gè)三角形相似，只需再找一組角對(duì)應(yīng)相等即可，那么我們可以假定∠PAB=∠PBC，或者假定∠PBA=∠PCB，即可完成證明。如果我們假定∠PAB=∠PBC，由于△ABC是等腰直角三角形，所以∠PBC+∠PBA=∠ABC=45o，而在△PAB中，∠APB=135o，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，可得∠PAB+∠PBA=45o，從而可得∠PAB=∠PBC，進(jìn)而根據(jù)兩組角對(duì)應(yīng)相等可以證出△PAB∽△PBC。同理可采用∠PBA=∠PCB完成證明。第（2）問(wèn)可在第（1）問(wèn)的基礎(chǔ)上，運(yùn)用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例來(lái)完成證明。如果我們直接從第（2）問(wèn)要證的結(jié)論出發(fā)，采用逆向思維，添加輔助線，也可以較好地完成證明。在這里筆者提供兩種證明方法，由于要證PA=2PC，可以在PA上截取PD=PC，此時(shí)只要證出DA=PC即可；或者我們可以在PA上截取EA=PC，然后去證PE=PC即可。我們先來(lái)看第一種證法： 如圖，在PA上截取PD=PC，連接CD，要證PA=2PC，只需證DA=PC。要證DA=PC，可證△CDA≌△BPC，從邊入手易得BC=CA，其他邊是否對(duì)應(yīng)相等未知，故只能尋求角對(duì)應(yīng)相等來(lái)完成證明。根據(jù)△CPD是等腰直角三角形，可得∠CDA=135o=∠BPC，因?yàn)椤螩AD+∠ACD=180o-∠CDA=45o,且∠BCP+∠ACD=∠ACB-∠PCD=45o,所以∠CAD=∠BCP?；蛘吒鶕?jù)∠CAD、∠BCP都與∠ACP互余，也可得出∠CAD=∠BCP，最后根據(jù)“AAS”即可判定△CDA≌△BPC，得出DA=PC，進(jìn)而證明出PA=2PC。 我們?cè)賮?lái)看第二種證法;52022年安徽省中小學(xué)教育教學(xué)論文評(píng)選在PA上截取EA=PC，要證PA=2PC，只需證PE=PC。要證PE=PC，只需證△CPE是等腰直角三角形，要證△CPE是等腰直角三角形，只需證∠CEA=135o，要證∠CEA=135o，只需證∠CEA=∠BPC，要證∠CEA=∠BPC，需證△CEA≌△BPC。根據(jù)EA=PC、CA=BC可知兩組邊對(duì)應(yīng)相等，第三組邊CE與BP是否相等未知，故只能找∠CAE=∠BCP。因?yàn)椤螦CB=90o,∠APC=90o，所以∠CAE+∠ACP=90o，∠BCP+∠ACP=90o,所以∠CAE=∠BCP。從而根據(jù)“SAS”判定△CEA≌△BPC，得出∠CEA=∠BPC=135o，進(jìn)而說(shuō)明△CPE是等腰直角三角形，得出PE=PC，最終得出PA=2PC，完成本題的證明。逆向思維除了在幾何證明方面的運(yùn)用，在代數(shù)恒等式的證明問(wèn)題中也可以運(yùn)用。我們來(lái)看一道代數(shù)恒等式的證明題目：例4、已知分式a=ca+b=c+dbd，求證：a-bc-d。本題要證的等式相對(duì)于已知條件較為復(fù)雜，可以采用逆向思維進(jìn)行推理分析：要證a+b=c+d，+d，a-bc-dc)bd，即證(a+bc-d)=(a-b))(即證ac+bc-ad-bd=ac-bc+ad-即證2bc=2ad，即證bc=ad，a=c。即bd62022年安徽省中小學(xué)教育教學(xué)論文評(píng)選通過(guò)逆向思維推理分析，最終回歸到已知條件，從而完成本題的證明。由這道題目可以看出，在代數(shù)恒等式的相關(guān)證明中，從復(fù)雜形式到簡(jiǎn)單形式，采用逆向思維的分析方法，能夠高效準(zhǔn)確地完成證