兩個(gè)超導(dǎo)比特糾纏動(dòng)力學(xué)的反轉(zhuǎn)動(dòng)波效應(yīng)

PAGEPAGE1收稿日期：基金項(xiàng)目：國(guó)家自然科學(xué)基金(11174254)和浙江省自然科學(xué)基金（Z7080203）和浙江師范大學(xué)創(chuàng)新研究團(tuán)隊(duì)項(xiàng)目資助的課題．作者簡(jiǎn)介：錢(qián)雷(1987—)，男，碩士研究生，主要從事量子光學(xué)研究.*通信作者，Email：qhchen@.兩個(gè)超導(dǎo)比特糾纏動(dòng)力學(xué)的反轉(zhuǎn)動(dòng)波效應(yīng)*摘要：本文研究了兩個(gè)無(wú)相互作用的與各自量子振子耦合的超導(dǎo)量子比特的糾纏動(dòng)力學(xué)。數(shù)值嚴(yán)格結(jié)果證明在強(qiáng)耦合下,以往的轉(zhuǎn)動(dòng)波近似不再適用，非轉(zhuǎn)動(dòng)波效應(yīng)必須考慮?；谥耐茝V的轉(zhuǎn)動(dòng)波近似的解析結(jié)果,在目前實(shí)驗(yàn)上可實(shí)現(xiàn)的強(qiáng)耦合區(qū)域與嚴(yán)格數(shù)值結(jié)果有明顯差別。從我們近年來(lái)發(fā)展的轉(zhuǎn)動(dòng)波近似的一級(jí)校正，我們得到的結(jié)果更接近于精確數(shù)值解。該理論結(jié)果可激發(fā)基于近來(lái)可以實(shí)現(xiàn)超導(dǎo)比特的相關(guān)實(shí)驗(yàn)。關(guān)鍵詞：糾纏動(dòng)力學(xué);量子比特;比特-振子耦合;反轉(zhuǎn)動(dòng)波.QIANLei1,HEShu2,DUANLiwei2,CHENQinghu1,2*（1.CenterforStatisticalandTheoreticalCondensedMatterPhysics,ZhejiangNormalUniversity,Jinhua321004,China;2.DepartmentofPhysics,ZhejiangUniversity,Hangzhou310027,China)Title:EffectofCounter-RotatingtermontheentanglementdynamicsoftwosuperconductingqubitscouplingtoquantumoscillatorsAbstract:Inthispaper,weinvestigateentanglementdynamicsoftwonon-interactingsuperconductingqubitscoupledwiththeirownquantumoscillatorsbeyondtherotating-waveapproximation(RWA).Itisshowninthenumericallyexactstudiesthatinthestrongcouplingregime,theRWAisnotvalidandtheeffectofthecounter-rotatingwaveshouldbetakenintoaccount.Theanalyticresultsforentanglementbasedonthewell-knowngeneralizedRWAdeviatesfromthenumericaloneobviouslyinthepresent-dayexperimentallyaccessiblecouplingregime.Inthispaper,basedonourfirst-ordercorrectionstotheRWA,theanalyticresultsaremoveclosetothenumericalones.Itmaymotivatetherelevantexperimentsbasedonthesuperconductingqubitsrealizedrecently.KeyWords:Entanglementdynamics;qubits;qubit-oscillatorcoupling;Counter-rotatingwave.1引言超導(dǎo)比特作為量子信息科學(xué)的基礎(chǔ)和量子計(jì)算機(jī)的重要元件,在基礎(chǔ)研究和實(shí)際應(yīng)用中受到了廣泛的關(guān)注。近年來(lái)，二能級(jí)系統(tǒng)與LC諧振子耦合系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)研究在實(shí)驗(yàn)上取得重要進(jìn)展，對(duì)量子計(jì)算，量子相干性和量子邏輯門(mén)等領(lǐng)域的發(fā)展有較大的促進(jìn)。量子糾纏是一種典型的量子關(guān)聯(lián),描述了量子力學(xué)的本質(zhì)的非局域性質(zhì),根本性地區(qū)分了量子和經(jīng)典物理學(xué)。糾纏作為一種重要的量子信息資源,受到越來(lái)越多的重視，而由于與環(huán)境耦合導(dǎo)致退相干和糾纏突然死亡（糾纏在一段時(shí)間消失）等問(wèn)題是目前量子信息領(lǐng)域內(nèi)研究的熱點(diǎn)課題。Jaynes-Cummings（JC）模型【1】是光學(xué)腔量子電動(dòng)力學(xué)(CQED)系統(tǒng)中最簡(jiǎn)單的一類(lèi)模型,描述腔場(chǎng)中單個(gè)二能級(jí)原子和單模量子化的電磁場(chǎng)的相互作用問(wèn)題。在轉(zhuǎn)動(dòng)波近似下,該模型可以嚴(yán)格解析求解。超出轉(zhuǎn)動(dòng)波近似,閉合形式的解析解至今缺乏,各種近似的解析解相繼提出,其中最為著名的是推廣的轉(zhuǎn)動(dòng)波近似【6】.Yu等人研究了在轉(zhuǎn)動(dòng)波近似下兩個(gè)JC原子的量子糾纏動(dòng)力學(xué)【2，3】,并給出了相應(yīng)的解析表達(dá)式。陳等人利用數(shù)值方法研究了無(wú)轉(zhuǎn)動(dòng)波近似下的糾纏行為【4】,發(fā)現(xiàn)反轉(zhuǎn)動(dòng)波對(duì)糾纏有壓制效應(yīng)。至今，未見(jiàn)到反轉(zhuǎn)動(dòng)波下的糾纏動(dòng)力學(xué)的解析研究或近似解析研究。近期的超導(dǎo)量子比特與振子耦合系統(tǒng)的實(shí)驗(yàn)表明,當(dāng)其耦合強(qiáng)度達(dá)到g=0.1（這比量子光學(xué)系統(tǒng)里的二能級(jí)原子和腔耦合系統(tǒng)的耦合強(qiáng)度大3-6個(gè)數(shù)量級(jí)），轉(zhuǎn)動(dòng)波近似已被證明實(shí)效.因此,糾纏動(dòng)力學(xué)的反轉(zhuǎn)動(dòng)波的效應(yīng)的解析研究是十分必須的和值得的.在本文中，我們基于推廣轉(zhuǎn)動(dòng)波近似和轉(zhuǎn)動(dòng)波近似一級(jí)修正兩種方法解析研究雙JC原子的糾纏演化。通過(guò)與數(shù)值精確解【4】的比較，我們發(fā)現(xiàn)轉(zhuǎn)動(dòng)波近似一級(jí)修正相對(duì)于推廣轉(zhuǎn)動(dòng)波近似更加合適用來(lái)描述強(qiáng)耦合區(qū)間的行為。2理論模型與計(jì)算方法兩個(gè)獨(dú)立的超導(dǎo)量子比特與各自LC振子耦合系統(tǒng)可用下面哈密頓量表示(1)其中是二態(tài)的能級(jí)劈裂，是第k個(gè)量子比特的z方向的泡利算符，是從第k個(gè)LC振子的光子的產(chǎn)生算符，是相應(yīng)的湮滅算符，g是原子和LC振子的耦合強(qiáng)度,ω為光子的頻率。采用自然單位。為了研究在兩個(gè)無(wú)相關(guān)作用的JC系統(tǒng)的糾纏動(dòng)力學(xué),我們只需要給出單個(gè)二能級(jí)原子和光場(chǎng)耦合系統(tǒng)的本征波函數(shù)和能量。推廣的轉(zhuǎn)動(dòng)波近似方法(簡(jiǎn)稱(chēng)GRWA)【6】在很大耦合范圍內(nèi)給出的JC原子能譜與數(shù)值精確解符合很好，引起很多關(guān)注。我們簡(jiǎn)要回顧下GRWA求解的方法【6】。首先把單個(gè)JC哈密頓量繞y軸旋轉(zhuǎn)，得到(2)然后對(duì)上式做幺正變換.僅保留第一階激發(fā)項(xiàng)，可以得到GRWA下的哈密頓量，(3)這里的系數(shù)為(4)其中為拉蓋爾多項(xiàng)式，,。由于系統(tǒng)總粒子數(shù)在哈密頓量(3)下守恒，我們可以在基矢空間下和下對(duì)其對(duì)角化，得到它的本征能量(6)同時(shí)其相應(yīng)的本征波函數(shù)為(7)(8)基態(tài)為,基態(tài)能為(9)這樣我們通過(guò)GRWA方法獲得了單個(gè)JC模型的本征波函數(shù)和本征值。最近,我們提出了另一種更簡(jiǎn)潔的哈密頓量(3)的本征解.稱(chēng)為RWA的一級(jí)校正,簡(jiǎn)稱(chēng)CRWA[9].相應(yīng)的本征能量為(15)(16)其中,-,+對(duì)應(yīng)奇偶宇稱(chēng)，對(duì)應(yīng)的本征波函數(shù)為(17)(18)為了研究通常的糾纏演化,初態(tài)通常選為光子真空態(tài)、關(guān)聯(lián)或反關(guān)聯(lián)的Bell態(tài),這些演化只會(huì)涉及基態(tài)和低激發(fā)態(tài).3糾纏演化根據(jù)兩種近似解析方法給出的本征波函數(shù)和本征能量，我們就可以求出任意時(shí)刻的兩個(gè)無(wú)相互作用JC原子的約化密度矩陣。對(duì)于兩個(gè)獨(dú)立的JC原子，本征波函數(shù)在兩種方法下分別為(23)(24)所以整個(gè)系統(tǒng)的在任意時(shí)刻的波函數(shù)可以寫(xiě)成(25)(26)其中是由體系初始態(tài)確定的系數(shù)。這里我們選取原子的具有代表性地反關(guān)聯(lián)貝爾1態(tài)和關(guān)聯(lián)貝爾2態(tài)為初始態(tài)，(27)(28)而初始光子態(tài)為真空態(tài).系數(shù)由確定的。這樣就很容易獲得約化密度矩陣和。兩個(gè)比特態(tài)的糾纏可用并發(fā)(Concurrence)[10]來(lái)度量.根據(jù)并發(fā)的定義,先計(jì)算贗密度矩陣，可以得到并發(fā)的表達(dá)式為其中是的本征值且以遞減順序排列。圖1系統(tǒng)初態(tài)下糾纏隨時(shí)間演化，黑色線是數(shù)值嚴(yán)格解，藍(lán)色線是推廣的轉(zhuǎn)動(dòng)波近似，紅色是轉(zhuǎn)動(dòng)波近似的一級(jí)修正，綠色是轉(zhuǎn)動(dòng)波近似.其中Fig.1Concurrenceforatom-atomentanglementwiththeinitialatomicstatefor，theblackcurvesisthenumeriallyexactresults,thebluecurvesisGRWA,theredcurvesisthefirstcorrelationsofRWA,thegreencurvesisRWA,and圖2系統(tǒng)初態(tài)下糾纏隨時(shí)間演化，黑色線是數(shù)值嚴(yán)格解，藍(lán)色線是推廣的轉(zhuǎn)動(dòng)波近似，紅色是轉(zhuǎn)動(dòng)波近似一級(jí)修正，綠色是轉(zhuǎn)動(dòng)波近似.其中Fig.2Concurrenceforatom-atomentanglementwiththeinitialatomicstatefor，theblackcurvesisthenumeriallyexactresults,thebluecurvesisGRWA,theredcurvesisthefirstcorrelationsofRWA,thegreencurvesisRWA,and圖1給出了由反關(guān)聯(lián)Bell態(tài)出發(fā)的糾纏演化曲線，其中黑線是數(shù)值嚴(yán)格解，藍(lán)線是推廣的轉(zhuǎn)動(dòng)波近似，紅線是我們的轉(zhuǎn)動(dòng)波近似的一級(jí)修正，綠色是原先的轉(zhuǎn)動(dòng)波近似。由于轉(zhuǎn)動(dòng)波近似忽略了反旋波項(xiàng)和，所以在Bell反關(guān)聯(lián)初始態(tài)下可以得到t時(shí)刻的簡(jiǎn)潔的解析表達(dá)式【4】。在ＲＷＡ下，初態(tài)為反關(guān)聯(lián)的Bell態(tài)，隨時(shí)間的演化都不會(huì)出現(xiàn)糾纏突然死亡的現(xiàn)象，這個(gè)現(xiàn)象與耦合強(qiáng)度g的大小無(wú)關(guān)。然而,在耦合變強(qiáng)時(shí),考慮反旋項(xiàng)的數(shù)值嚴(yán)格解,GRWA以及轉(zhuǎn)動(dòng)波近似一級(jí)修正的糾纏演化都不同程度地出現(xiàn)糾纏突然死亡的現(xiàn)象。顯然反轉(zhuǎn)動(dòng)波項(xiàng)的效應(yīng)導(dǎo)致了原來(lái)不出現(xiàn)的的糾纏突然死亡。例如,對(duì)于g=0.1這個(gè)在目前超導(dǎo)比特的實(shí)驗(yàn)中可以實(shí)現(xiàn)的耦合強(qiáng)度，糾纏突然死亡非常明顯。非常有趣的是,轉(zhuǎn)動(dòng)波近似一級(jí)修正比GRWA更接近數(shù)值嚴(yán)格解。當(dāng)比特-腔腸耦合強(qiáng)度進(jìn)一步增大時(shí)（比如g=0.2和g=0.3）轉(zhuǎn)動(dòng)波近似一級(jí)修正仍然與數(shù)值嚴(yán)格解符合得很好。但是GRWA在整個(gè)耦合區(qū)間都明顯偏離數(shù)值嚴(yán)格解。這說(shuō)明GRWA沒(méi)有抓住反轉(zhuǎn)動(dòng)波的性質(zhì)，使得其描述一開(kāi)始就失效。而對(duì)于轉(zhuǎn)動(dòng)波近似一級(jí)修正的方法，只有當(dāng)耦合強(qiáng)度進(jìn)一步增大目前實(shí)驗(yàn)結(jié)果（g=0.1）的幾倍以上,才開(kāi)始失效。圖3旋轉(zhuǎn)波近似一級(jí)修正下平均聲子激發(fā)數(shù)隨著時(shí)間的演化.Fig.3.TheaveragenumberofphononexcitationsevolutionwithtimefromthefirstcorrelationsofRWA,and我們還研究以關(guān)聯(lián)貝爾態(tài)為初始態(tài)的糾纏動(dòng)力學(xué)演化，如圖(2)所示。當(dāng)g=0.1，與貝爾1態(tài)類(lèi)似，四種方法得到結(jié)果基本是一致的，反旋項(xiàng)的作用可以忽略。從g=0.2開(kāi)始，反轉(zhuǎn)動(dòng)波的作用開(kāi)始體現(xiàn)，通過(guò)與數(shù)值嚴(yán)格解比較，GRWA逐步開(kāi)始出現(xiàn)偏差。轉(zhuǎn)動(dòng)波近似一級(jí)修正下的糾纏演化一直到g=0.3還是基本和嚴(yán)格解保持一致。最后我們研究了基于旋轉(zhuǎn)波近似一級(jí)修正方法下初始態(tài)下的平均激發(fā)聲子數(shù)隨著時(shí)間的演化。我們發(fā)現(xiàn)即使在居間耦合區(qū)間，聲子的激發(fā)數(shù)仍舊呈現(xiàn)周期性的震蕩，且周期與糾纏突然死亡的周期一致，這說(shuō)明糾纏相對(duì)于平均聲子數(shù)而言，能夠更敏銳的捕捉到反轉(zhuǎn)動(dòng)波項(xiàng)對(duì)于系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)的影響。4結(jié)論在本文中，我們利用兩種解析近似計(jì)算方法探討了反轉(zhuǎn)動(dòng)波項(xiàng)對(duì)超導(dǎo)比特糾纏動(dòng)力學(xué)的影響，并與數(shù)值嚴(yán)格解進(jìn)行了系統(tǒng)的比較，以獲得近似方法適用的范圍。通過(guò)比較發(fā)現(xiàn)，旋轉(zhuǎn)波近似一級(jí)修正比GRWA能更好的描述非弱耦合區(qū)間內(nèi)反旋轉(zhuǎn)波引起的高階激發(fā)。表明GRWA的本征解沒(méi)有旋轉(zhuǎn)波近似一級(jí)修正更接近真實(shí)的本征解。進(jìn)一步的分析表明，光子數(shù)的激發(fā)是導(dǎo)致糾纏突然死亡的原因。本文的糾纏演化的理論預(yù)計(jì)可以在現(xiàn)有的超導(dǎo)比特的實(shí)驗(yàn)中檢驗(yàn)。在不久的將來(lái)，即使超導(dǎo)比特與振子耦合系統(tǒng)即使增加了數(shù)倍，比如說(shuō)4倍，我們的研究同樣適用，因?yàn)槠漶詈蠌?qiáng)度還在本文所描述的轉(zhuǎn)動(dòng)波一級(jí)近似的適用范圍之內(nèi)。參考文獻(xiàn)（References）:[1]JaynesETandCummingsFW,1963Proc.IEEE5189.[2]YuTandEberlyJH,2021Phys.Rev.B66193306.[3]YuTandEberlyJH,2021Phys.Rev.Lett.93140404.[4]Q.H.Chen,Y.Yang,T.Liu,andK.L.Wang,2021Phys.Rev.A82,052306.[5]M.Yonac,T.Yu,andJ.H.Eberly,2021J.Phys.B39,S621.[6]E.Irish,2021Phys.Rev.Lett.99,173601.[7]S.Swain,1973J.Math.Phys.6,1919.[8]S.He,Y.Y.Zhang,Q.H.Chen,X.Z.Ren,T.Liu,andK.L.Wang,2021ChinesePhysicsB22,064205.[9]S.He,Q.H.Chen,X.Z.Ren,T.Liu,andK.L.Wang,2021Phys.Rev.A86,033837.[10]W.K.Wootters,2021Phys.Rev.Lett.80,2245.

公司印章管理制度一、目的公司印章是公司對(duì)內(nèi)對(duì)外行使權(quán)力的標(biāo)志，也是公司名稱(chēng)的法律體現(xiàn)，因此，必須對(duì)印章進(jìn)行規(guī)范化、合理化的嚴(yán)格管理，以保證公司各項(xiàng)業(yè)務(wù)的正常運(yùn)作，由公司指定專(zhuān)人負(fù)責(zé)管理。二、印章的種類(lèi)公章，是按照政府規(guī)定，由主管部門(mén)批準(zhǔn)刻制的代表公司權(quán)力的印章。專(zhuān)用章，為