2018-2019學(xué)年高中數(shù)學(xué)第一章計(jì)數(shù)原理學(xué)業(yè)質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)檢測(cè)新人教A版選修2-3

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D．72[解析]記3位女性為a、b、c，其丈夫依次為A、B、C，當(dāng)3位女性都相鄰時(shí)可能情形有兩類：第一類男性在兩端(如BAabcC)，有2Aeq\o\al(3,3)種，第二類男性在一端(如BCAabc)，有2Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(3,3)種，共有Aeq\o\al(3,3)(2Aeq\o\al(2,2)＋2)＝36種，當(dāng)僅有兩位女性相鄰時(shí)也有兩類，第一類這兩人在一端(如abBACc)，第二類這兩人兩端都有其他人(如AabBCc)，共有4Aeq\o\al(2,3)＝24種，故滿足題意的坐法共有36＋24＝60種．4．(2018·全國(guó)卷Ⅱ理，5)如圖，小明從街道的E處出發(fā)，先到F處與小紅會(huì)合，再一起到位于G處的老年公寓參加志愿者活動(dòng)，則小明到老年公寓可以選擇的最短路徑條數(shù)為(B)A．24 B．18C．12 D．9[解析]由題意可知E→F共有6種走法，F(xiàn)→G共有3種走法，由乘法計(jì)數(shù)原理知，共有6×3＝18種走法，故選B．5．(2018·馬鞍山二模)二項(xiàng)式(eq\r(3)x＋eq\f(1,\r(3,x)))n的展開式中只有第11項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則展開式中x的指數(shù)為整數(shù)的項(xiàng)的個(gè)數(shù)為(D)A．3 B．5C．6 D．7[解析]根據(jù)(eq\r(3)x＋eq\f(1,\r(3,x)))n的展開式中只有第11項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，得n＝20；∴(eq\r(3)x＋eq\f(1,\r(3,x)))20展開式的通項(xiàng)為Tr＋1＝Ceq\o\al(r,20)·(eq\r(3)x)20－r·(eq\f(1,\r(3,x)))r＝(eq\r(3))20－r·Ceq\o\al(r,20)·x20－eq\f(4r,3)；要使x的指數(shù)是整數(shù)，需r是3的倍數(shù)，∴r＝0,3,6,9,12,15,18；∴x的指數(shù)是整數(shù)的項(xiàng)共有7項(xiàng)．故選D．6．從正方體六個(gè)面的對(duì)角線中任取兩條作為一對(duì)，其中所成的角為60°的共有(C)A．24對(duì) B．30對(duì)C．48對(duì) D．60對(duì)[解析]解法一：先找出正方體一個(gè)面上的對(duì)角線與其余面對(duì)角線成60°角的對(duì)數(shù)，然后根據(jù)正方體六個(gè)面的特征計(jì)算總對(duì)數(shù)．如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，與面對(duì)角線AC成60°角的面對(duì)角線有B1C、BC1、C1D、CD1、A1D、AD1、A1B、AB1共8條，同理與BD成60°角的面對(duì)角線也有8條，因此一個(gè)面上的對(duì)角線與其相鄰4個(gè)面的對(duì)角線，共組成16對(duì)，又正方體共有6個(gè)面，所有共有16×6＝96對(duì)．因?yàn)槊繉?duì)都被計(jì)算了兩次(例如計(jì)算與AC成60°角時(shí)，有AD1，計(jì)算與AD1成60°角時(shí)有AC，故AD1與AC這一對(duì)被計(jì)算了2次)，因此共有eq\f(1,2)×96＝48對(duì)．解法二：間接法．正方體的面對(duì)角線共有12條，從中任取2條有Ceq\o\al(2,12)種取法，其中相互平行的有6對(duì)，相互垂直的有12對(duì)，∴共有Ceq\o\al(2,12)－6－12＝48對(duì)．7．(2018·渭南一模)在(x＋eq\f(3,\r(x)))n的展開式中，各項(xiàng)系數(shù)與二項(xiàng)式系數(shù)和之比為64，則x3的系數(shù)為(C)A．15 B．45C．135 D．405[解析]令(x＋eq\f(3,\r(x)))n中x為1的各項(xiàng)系數(shù)和為4n，又展開式的各項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)和為2n，∵各項(xiàng)系數(shù)的和與各項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)的和之比為64，∴eq\f(4n,2n)＝64，解得n＝6，∴二項(xiàng)式的展開式的通項(xiàng)公式為Tr＋1＝Ceq\o\al(r,6)·3r·x6－eq\f(3,2)r，令6－eq\f(3,2)r＝3，求得r＝2，故開式中含x3項(xiàng)系數(shù)為Ceq\o\al(2,6)·32＝135，故選C．8．從0、1、2、3、4、5這六個(gè)數(shù)字中任取兩個(gè)奇數(shù)和兩個(gè)偶數(shù)，組成沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)的個(gè)數(shù)為(C)A．300 B．216C．180 D．162[解析]本小題主要考查排列組合的基礎(chǔ)知識(shí)．由題意知可分為兩類，(1)選“0”，共有Ceq\o\al(2,3)Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,3)Aeq\o\al(3,3)＝108，(2)不選“0”，共有Ceq\o\al(2,3)Aeq\o\al(4,4)＝72，∴由分類加法計(jì)數(shù)原理得72＋108＝180，故選C．9．(2018·柳州一模)某人設(shè)計(jì)一項(xiàng)單人游戲，規(guī)則如下：先將一棋子放在如圖所示正方形ABCD(邊長(zhǎng)為3個(gè)單位)的頂點(diǎn)A處，然后通過(guò)擲骰子來(lái)確定棋子沿正方形的邊按逆時(shí)針?lè)较蛐凶叩膯挝?，如果擲出的點(diǎn)數(shù)為i(i＝1,2，…6)，則棋子就按逆時(shí)針?lè)较蛐凶遡個(gè)單位，一直循環(huán)下去．則某人拋擲三次骰子后棋子恰好又回到點(diǎn)A處的所有不同走法共有(C)A．22種 B．24種C．25種 D．36種[解析]由題意知正方形ABCD(邊長(zhǎng)為3個(gè)單位)的周長(zhǎng)是12，拋擲三次骰子后棋子恰好又回到點(diǎn)A處表示三次骰子的點(diǎn)數(shù)之和是12，列舉出在點(diǎn)數(shù)中三個(gè)數(shù)字能夠使得和為12的有1,5,6；2,4,6；3,4,5；3,3,6；5,5,2；4,4,4；共有6種組合，前三種組合1,5,6；2,4,6；3,4,5；又可以排列出Aeq\o\al(3,3)＝6種結(jié)果，3,3,6；5,5,2；有6種結(jié)果，4,4,4；有1種結(jié)果．根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理知共有24＋1＝25種結(jié)果，故選C．10．若x∈R，n∈N＋，定義Meq\o\al(n,x)＝x(x＋1)(x＋2)…(x＋n－1)，例如Meq\o\al(5,－5)＝(－5)(－4)(－3)(－2)(－1)＝－120，則函數(shù)f(x)＝xMeq\o\al(19,x－9)的奇偶性為(A)A．是偶函數(shù)而不是奇函數(shù) B．既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)C．是奇函數(shù)而不是偶函數(shù) D．既不是奇函數(shù)又不是偶函數(shù)[解析]由題意知f(x)＝x(x－9)(x－8)…(x－9＋19－1)＝x2(x2－1)(x2－4)…(x2－81)故為偶函數(shù)而不是奇函數(shù)．11．(2018·石景山區(qū)一模)現(xiàn)有4種不同顏色對(duì)如圖所示的四個(gè)部分進(jìn)行涂色，要求有公共邊界的兩塊不能用同一種顏色，則不同的涂色方法共有(D)A．24種 B．30種C．36種 D．48種[解析]根據(jù)題意，設(shè)需要涂色的四個(gè)部分依次分①、②、③、④，對(duì)于區(qū)域①，有4種顏色可選，有4種涂色方法，對(duì)于區(qū)域②，與區(qū)域①相鄰，有3種顏色可選，有3種涂色方法，對(duì)于區(qū)域③，與區(qū)域①②相鄰，有2種顏色可選，有2種涂色方法，對(duì)于區(qū)域④，與區(qū)域②③相鄰，有2種顏色可選，有2種涂色方法，則不同的涂色方法有4×3×2×2＝48種；故選D．12．(2018·保山二模)一只小蜜蜂位于數(shù)軸上的原點(diǎn)處，小蜜蜂每一次具有只向左或只向右飛行一個(gè)單位或者兩個(gè)單位距離的能力，且每次飛行至少一個(gè)單位．若小蜜蜂經(jīng)過(guò)5次飛行后，停在數(shù)軸上實(shí)數(shù)3位于的點(diǎn)處，則小蜜蜂不同的飛行方式有多少種(D)A．5 B．25C．55 D．75[解析]根據(jù)題意，分4種情況討論：①，小蜜蜂向正方向飛行4次，負(fù)方向飛行1次，每次飛行1個(gè)單位，有Ceq\o\al(1,5)＝5種飛行方式，②，小蜜蜂向正方向飛行4次，有3次飛行1個(gè)單位，1次飛行2個(gè)單位，負(fù)方向飛行1次，飛行2個(gè)單位，有Ceq\o\al(1,5)Ceq\o\al(1,4)＝20種飛行方式，③，小蜜蜂向正方向飛行3次，有2次飛行2個(gè)單位，1次飛行1個(gè)單位，負(fù)方向飛行2次，每次飛行1個(gè)單位，有Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(1,3)＝30種飛行方式，④，小蜜蜂向正方向飛行3次，每次飛行2個(gè)單位，負(fù)方向飛行2次，1次飛行2個(gè)單位，1次飛行1個(gè)單位，有Ceq\o\al(3,5)Aeq\o\al(2,2)＝20種飛行方式，則一共有5＋20＋30＋20＝75種飛行方式，故選D．二、填空題(本大題共4個(gè)小題，每小題5分，共20分，把正確答案填在題中橫線上)13．(2018·河?xùn)|區(qū)二模)一共有5名同學(xué)參加《我的中國(guó)夢(mèng)》演講比賽，3名女生和2名男生，如果男生不排第一個(gè)演講，同時(shí)兩名男生不能相鄰演講，則排序方式有__36__種．(用數(shù)字作答)[解析]根據(jù)題意，分2步分析：①，將三名女生全排列，有Aeq\o\al(3,3)＝6種順序，②，排好后，有4個(gè)空位，男生不排第一個(gè)演講，除去第一個(gè)空位，有3個(gè)空位可用，在這三個(gè)空位中任選2個(gè)，安排2名男生，有Aeq\o\al(2,3)＝6種情況，則有6×6＝36種符合題意的排序方式。故答案為36．14．(2018·全國(guó)卷Ⅰ理，15)從2位女生，4位男生中選3人參加科技比賽，且至少有1位女生入選，則不同的選法共有__16__種．(用數(shù)字填寫答案)[解析]按參加的女生人數(shù)可分兩類：只有1位女生參加有Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(2,4)種，有2位女生參加有Ceq\o\al(2,2)Ceq\o\al(1,4)種．故共有Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(2,4)＋Ceq\o\al(2,2)Ceq\o\al(1,4)＝2×6＋4＝16(種)．15．(2018·浙江卷，14)二項(xiàng)式eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(3,x)＋\f(1,2x)))8的展開式的常數(shù)項(xiàng)是__7__．[解析]由題意，得Tr＋1＝Ceq\o\al(r,8)·(eq\r(3,x))8－r·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2x)))r＝Ceq\o\al(r,8)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))r·xeq\f(8－r,3)·x－r＝Ceq\o\al(r,8)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))r·xeq\f(8－4r,3)．令eq\f(8－4r,3)＝0，得r＝2．因此T3＝Ceq\o\al(2,8)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2＝eq\f(8×7,2)×eq\f(1,4)＝7．16．將5位志愿者分成3組，其中兩組各2人，另一組1人，分赴世博會(huì)的三個(gè)不同場(chǎng)館服務(wù)，不同的分配方案有__90__種．(用數(shù)字作答)[解析]本題考查了排列組合中的平均分組分配問(wèn)題，先分組eq\f(C\o\al(2,5)C\o\al(2,3)C\o\al(1,1),A\o\al(2,2))，再把三組分配乘以Aeq\o\al(3,3)得：eq\f(C\o\al(2,5)C\o\al(2,3)C\o\al(1,1),A\o\al(2,2))·Aeq\o\al(3,3)＝90種．三、解答題(本大題共6個(gè)大題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟)17．(本題滿分10分)已知A＝{x|1<log2x<3，x∈N*}，B＝{x||x－6|<3，x∈N*}，試問(wèn)：從集合A和B中各取一個(gè)元素作為直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的坐標(biāo)，共可得到多少個(gè)不同的點(diǎn)？[解析]A＝{3,4,5,6,7}，B＝{4,5,6,7,8}．從A中取一個(gè)數(shù)作為橫坐標(biāo)，從B中取一個(gè)數(shù)作為縱坐標(biāo)，有5×5＝25(個(gè))，而8作為橫坐標(biāo)的情況有5種，3作為縱坐標(biāo)且8不是橫坐標(biāo)的情況有4種，故共有5×5＋5＋4＝34個(gè)不同的點(diǎn)．18．(本題滿分12分)求證：對(duì)任何非負(fù)整數(shù)n,33n－26n－1可被676整除．[證明]當(dāng)n＝0時(shí)，原式＝0，可被676整除．當(dāng)n＝1時(shí)，原式＝0，也可被676整除．當(dāng)n≥2時(shí)，原式＝27n－26n－1＝(26＋1)n－26n－1＝(26n＋Ceq\o\al(1,n)·26n－1＋…＋Ceq\o\al(n－2,n)·262＋Ceq\o\al(n－1,n)·26＋1)－26n－1＝26n＋Ceq\o\al(1,n)26n－1＋…＋Ceq\o\al(n－2,n)·262．每一項(xiàng)都含262這個(gè)因數(shù)，故可被262＝676整除．綜上所述，對(duì)一切非負(fù)整數(shù)n,33n－26n－1可被676整除．19．(本題滿分12分)已知(1＋meq\r(x))n(m是正實(shí)數(shù))的展開式的二項(xiàng)式系數(shù)之和為256，展開式中含x項(xiàng)的系數(shù)為112．(1)求m，n的值；(2)求展開式中奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和；(3)求(1＋meq\r(x))n(1－x)的展開式中含x2項(xiàng)的系數(shù)．[解析](1)由題意可得2n＝256，解得n＝8．∴通項(xiàng)Tr＋1＝Ceq\o\al(r,8)mrxeq\f(r,2)，∴含x項(xiàng)的系數(shù)為Ceq\o\al(2,8)m2＝112，解得m＝2，或m＝－2(舍去)．故m，n的值分別為2,8．(2)展開式中奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為Ceq\o\al(1,8)＋Ceq\o\al(3,8)＋Ceq\o\al(5,8)＋Ceq\o\al(7,8)＝28－1＝128．(3)(1＋2eq\r(x))8(1－x)＝(1＋2eq\r(x))8－x(1＋2eq\r(x))8，所以含x2項(xiàng)的系數(shù)為Ceq\o\al(4,8)24－Ceq\o\al(2,8)22＝1008．20．(本題滿分12分)某班要從5名男生3名女生中選出5人擔(dān)任5門不同學(xué)科的課代表，請(qǐng)分別求出滿足下列條件的方法種數(shù)．(1)所安排的女生人數(shù)必須少于男生人數(shù)；(2)其中的男生甲必須是課代表，但又不能擔(dān)任數(shù)學(xué)課代表；(3)女生乙必須擔(dān)任語(yǔ)文課代表，且男生甲必須擔(dān)任課代表，但又不能擔(dān)任數(shù)學(xué)課代表．[解析](1)所安排的女生人數(shù)少于男生人數(shù)包括三種情況，一是2個(gè)女生，二是1個(gè)女生，三是沒有女生，依題意得(Ceq\o\al(5,5)＋Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(4,5)＋Ceq\o\al(2,3)Ceq\o\al(3,5))Aeq\o\al(5,5)＝5520種．(2)先選出4人，有Ceq\o\al(4,7)種方法，連同甲在內(nèi)，5人擔(dān)任5門不同學(xué)科的課代表，甲不擔(dān)任數(shù)學(xué)課代表，有Aeq\o\al(1,4)·Aeq\o\al(4,4)種方法，∴方法數(shù)為Ceq\o\al(4,7)·Aeq\o\al(1,4)·Aeq\o\al(4,4)＝3360種．(3)由題意知甲和乙兩人確定擔(dān)任課代表，需要從余下的6人中選出3個(gè)人，有Ceq\o\al(3,6)＝20種結(jié)果，女生乙必須擔(dān)任語(yǔ)文課代表，則女生乙就不需要考慮，其余的4個(gè)人，甲不擔(dān)任數(shù)學(xué)課代表，∴甲有3種選擇，余下的3個(gè)人全排列共有3Aeq\o\al(3,3)＝18；綜上可知共有20×18＝360種．21．(本題滿分12分)用0、1、2、3、4這五個(gè)數(shù)字，可以組成多少個(gè)滿足下列條件的沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)？(1)被4整除；(2)比21034大的偶數(shù)；(3)左起第二、四位是奇數(shù)的偶數(shù)．[解析](1)被4整除的數(shù)，其特征應(yīng)是末兩位數(shù)是4的倍數(shù)，可分為兩類：當(dāng)末兩位數(shù)是20、40、04時(shí)，其排列數(shù)為3Aeq\o\al(3,3)＝18，當(dāng)末兩位數(shù)是12、24、32時(shí)，其排列數(shù)為3Aeq\o\al(1,2)·Aeq\o\al(2,2)＝12.故滿足條件的五位數(shù)共有18＋12＝30(個(gè))．(2)①當(dāng)末位數(shù)字是0時(shí)，首位數(shù)字可以為2或3或4，滿足條件的數(shù)共有3×Aeq\o\al(3,3)＝18個(gè)．②當(dāng)末位數(shù)字是2時(shí)，首位數(shù)字可以為3或4，滿足條件的數(shù)共有2×Aeq\o\al(3,3)＝12個(gè)．③當(dāng)末位數(shù)字是4時(shí)，首位數(shù)字是3的有Aeq\o\al(3,3)＝6個(gè)，首位數(shù)字是2時(shí)，有3個(gè)，共有9個(gè)．綜上知，比21034大的偶數(shù)共有18＋12＋9＝39個(gè)．(3)解法一：可分為兩類：末位數(shù)是0，有Aeq\o\al(2,2)·Aeq\o\al(2,2)＝4(個(gè))；末位數(shù)是2或4，有Aeq\o\al(2,2)·Aeq\o\al(1,2)＝4(個(gè))；故共有Aeq\o\al(2,2)·Aeq\o\al(2,2)＋Aeq\o\al(2,2)·Aeq\o\al(1,2)＝8(個(gè))．解法二：第二、四位從奇數(shù)1,3中取，有Aeq\o\al(2,2)個(gè)；首位從2,4中取，有Aeq\o\al(1,2)個(gè)；余下的排在剩下的兩位，有Aeq\o\al(2,2)個(gè)，故共有Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(1,2)Aeq\o\al(2,2)＝8(個(gè))．22．(本題滿分12分)已知eq\b