怎樣幫助學生建立幾何形體概念

怎樣幫助學生建立幾何形體概念

一、幾何形體概念及其特點我們知道，概念是反映事物本質屬性和內(nèi)在聯(lián)系的思維形式，是思維的基本單位。邏輯學認為，概念最重要的內(nèi)容是它的內(nèi)涵（是什么）與外延（有哪些）。但從教學角度看，概念通常包括四個方面的內(nèi)容，即概念的名稱、概念的描述或定義、概念的例子和概念的屬性（特征）。以概念“正方形”為例，詞“正方形”是概念的名稱；“長寬相等的長方形叫做正方形”是它的定義；符合定義的具體圖形都是正方形的例子，成為正例，否則叫反例；正方形的屬性包括封閉的、對邊平行、四條邊相等、四個角都是直角，等等。幾何形體概念是從空間形式方面，用語言、符號、圖形來反映事物本質屬性和內(nèi)在聯(lián)系的思維形式。也就是說，幾何概念反映了事物在空間形式方面的本質屬性或內(nèi)在聯(lián)系。同其他數(shù)學概念類似，幾何形體概念具有以下特點。1.幾何形體概念的辯證性首先，幾何形體概念是抽象與具體的辯證統(tǒng)一。幾何形體概念的抽象“超脫”現(xiàn)實，這是顯而易見的。例如，現(xiàn)實世界中并不存在幾何概念中沒有大小的點，更找不到?jīng)]有粗細的、可以向兩端無限延長的直線。幾何形體概念的抽象性是學生獲取這些概念的困難源之一。這種困難，一是表現(xiàn)在它與兒童思維的形象性構成了一對矛盾，而且是貫穿小學數(shù)學教學始終的矛盾；二是表現(xiàn)為用語言媒體負載幾何概念的思想內(nèi)容時，小學生對語言媒體的接受，并不意味著他對概念的領會。比如，他能認識平行線定義里的每個字、詞，卻很可能沒有真正理解“同一平面”“永不相交”的含義。幾何形體概念又具有具體的一面。首先，形體概念的起源，離不開現(xiàn)實世界的具體材料。即形體概念源于經(jīng)驗的東西，是來自外部世界的。其次，思維的能動性所創(chuàng)造的很多幾何概念，盡管抽象，但還是能在現(xiàn)實世界里找到它們的模型，并得到應用。幾何形體概念的具體性、形象性為我們克服抽象性所帶來的困難，提供了廣闊途徑。事實上，小學數(shù)學里的幾何形體概念都能在兒童周圍找到現(xiàn)實原型，而且大多還有相關的生活體驗與感性認識。其次，幾何形體概念是一般與個別的辯證統(tǒng)一。幾何形體概念反映了同類事物所有對象的一般特征。但這種一般特征又是這類事物的每個對象的本質屬性。所以，幾何概念本身就是一般與個別的辯證統(tǒng)一體。例如，梯形的概念反映了等腰梯形、直角梯形以及其他一般梯形的共同本質屬性，反過來這種共同的本質屬性又表現(xiàn)在每個具體的梯形中。2.幾何概念的系統(tǒng)性幾何形體概念的系統(tǒng)性是由數(shù)學學科的特點所決定的。這種系統(tǒng)性早在《幾何原本》中就得到了充分的體現(xiàn)。為了適應兒童的認知特點，幾何初步知識的概念雖然沒有依據(jù)邏輯的要求構成嚴密的概念系統(tǒng)，但概念之間的前后聯(lián)系，如先前概念是后續(xù)概念的基礎，還是處處可見的。例如，有了角的概念，才能討論直線的垂直關系；掌握了“垂直”和“線段”的概念，才能理解“平行四邊形的高”的概念；有了底和高的概念，才能概括平行四邊形的面積公式。幾何形體概念的這一特性，要求我們在學習形體概念時必須環(huán)環(huán)相扣，循序漸進。比如，要讓學生掌握三角形高的畫法，首先應當在教學垂直時，幫助學生掌握過直線外一點畫已知直線的垂線。部分學生之所以不會看、畫三角形的高，主要原因之一就是垂線的概念不夠清晰，垂線的畫法掌握得不好。3.幾何概念的發(fā)展性在幾何學中，形體概念隨著客觀事物本身的發(fā)展變化和研究的深入不斷地發(fā)展、演變。幾何概念的發(fā)展性在小學數(shù)學中也有反映。它要求學生對形體概念的認識必須隨著學習的進展和程度的提高，由淺入深，逐步深化。這種認識的發(fā)展性既體現(xiàn)在不同的幾何教學階段之間，也體現(xiàn)在某一教學階段之中。例如，“高”的概念，在小學數(shù)學中具有以下的發(fā)展線索：三角形的高（點線距離）→平行四邊形、梯形的高（線線距離）→長方體的高（面面距離）→圓錐的高（點面距離）其中點線距離與線線距離在小學數(shù)學教材中是比較明確指出的，面面距離與點面距離一般不作介紹，只是針對圖形指認。二、幾何概念獲得的基本方式主要有兩種基本方式。1.概念形成就人類認識來說，概念形成是一種發(fā)現(xiàn)過程，也就是在對事物感知和分析、比較、抽象的基礎上，概括一類事物的本質屬性，不斷提出假設，驗證假設的過程。在教學條件下，是指從一定的具體例子出發(fā)，以學生的感性經(jīng)驗為基礎，形成表象，進而以歸納方式抽象概括出本質屬性，獲得概念的過程。幾何形體概念的形成過程，大致包括以下幾個階段：(1)辨別觀察具有典型意義的具體實例，比較辨別它們各自有哪些屬性。這是獲得概念過程的開端，也就是感知階段。(2)歸類將具體例子各自的非共同屬性撇開，按它們的共同屬性歸類。這在一定程度上由感知過渡到了表象，為進一步的抽象概括創(chuàng)造了條件。(3)抽象概括從一類事物的共同屬性中抽象出共同的本質屬性，并通過概括建立概念，給出概念的定義（包括符號）和描述。這是由表象到概念的過渡階段。(4)強化把新概念的本質屬性推廣到一切同類事物，明確概念的外延。通過對概念的肯定、否定例證的辨析，使新概念與原有的相關概念得以較精確的分化，從而強化對新概念的認識與掌握。2.概念同化所謂概念同化，是指利用學習者認知結構中原有的概念，以定義或描述的方式直接揭示新概念的本質屬性，進而獲得新概念的過程。也就是以間接經(jīng)驗為基礎，利用已掌握的概念去獲取新概念的過程。要成功地同化新概念，必須滿足有意義學習的條件。一是外部條件（外因），指學習的新概念與學生原有的有關概念存在實質性的邏輯聯(lián)系，并且建立這種聯(lián)系是學生學習能力所及的。二是內(nèi)部條件（內(nèi)因），指學生本身必須具備理解概念的條件和意向，也就是學生原有認知結構中具備同化新概念的適當概念或表象，以及學生具有理解學習材料的欲望。幾何形體概念的同化，大致包括以下幾個階段：(1)定義或描述直接用定義或描述形式刻畫幾何形體概念，揭示概念的本質屬性，給出名稱和符號。例如，由學生已掌握的梯形概念，引出兩腰相等的梯形、有兩個角是直角的梯形。事實上，通過復習已學概念，“由舊引新”認識新概念的學習過程，很大程度上就是概念同化的過程。(2)同化溝通新概念與原有認知結構中有關概念的聯(lián)系，明確它們的區(qū)別，使新概念與原概念得到精確分化和融會貫通。這樣，新概念被納入原認知結構，形成了內(nèi)容更為豐富也更為完善的新認知結構。例如，在學生已認識角和直角的基礎上，認識銳角、鈍角、平角、周角，使角的一般概念與常見的角的規(guī)定形成一個新的認知結構。(3)強化與概念形成過程的強化環(huán)節(jié)基本類似。在獲得幾何概念的兩種基本方式中，都有“強化”這一基本環(huán)節(jié)?！皬娀币部梢砸暈楦拍罱虒W的手段，那是指教師有目的地對學生的認知活動施行直接或間接干預的教學行為，目的是使某種形式呈現(xiàn)的刺激物與學生認識或行為之間建立起比較穩(wěn)固的聯(lián)系。幾何概念的強化方法很多，比較常用的如：①舉例強化法。即讓學生針對某一幾何概念舉出正例、特例或反例。②畫圖強化法。即讓學生畫出某一幾何概念的圖形。③關鍵信息強化法。即讓學生從某一幾何概念的描述或圖示中找出至關重要的詞語或畫法。④辨析強化法。即讓學生識別某一幾何概念不同敘述或不同圖形的正誤。⑤聯(lián)系強化法。即讓學生聯(lián)想有關的已學概念，使新舊概念組成一定的概念系統(tǒng)，從而加深對新學概念理解。⑥應用強化法。即讓學生通過對概念的應用，從不同角度獲得對概念內(nèi)涵的揭示，深化對概念的認識。3.概念形成與概念同化的區(qū)別兩種概念獲得方式既有聯(lián)系，又有區(qū)別。無論概念同化還是概念形成，都要求學生積極投入認知活動，多通道地獲得感性認識，有意義地建立概念。這是概念學習的共同要求。兩種概念學習方式的區(qū)別主要表現(xiàn)在以下幾方面：(1)建立概念的經(jīng)驗基礎不同概念形成以學生的直接經(jīng)驗為基礎，概念形成過程的開端是從具體例子積累起來的感性認識。概念同化以學生的間接經(jīng)驗為基礎，概念同化過程的開端是從已有知識經(jīng)驗引出的理性認識。(2)認知結構的變化不同概念形成與概念同化所依賴的經(jīng)驗基礎的不同，實質上就是學生原有認知結構在容納新概念方面的差異。這種差異制約著概念形成過程中認知結構以順應的方式變化，即原有認知結構發(fā)生部分改組；概念同化過程中認知結構以同化方式變化，即原有認知結構得到擴充。兩者的共同趨勢是新概念的獲得，都會促進認知結構的發(fā)展與完善。(3)學習形式的類屬不同概念形成，更接近于人類自發(fā)形成概念的方式。它要求學生在教師指導下以歸納的方式抽取出一類事物的本質屬性，比較費時。概念同化，更適合于系統(tǒng)接受間接經(jīng)驗的學習，它要求學生以演繹的方式理解教師解釋的概念的本質屬性，比較節(jié)省時間。以平行四邊形的認識為例。先出示實物圖，再由實物圖抽象出圖形，然后觀察多個平行四邊形的圖形概括出它們共同的本質特征，最后進行鞏固練習。這樣的教學過程就是比較典型的概念形成過程。如果在復習四邊形概念的基礎上，直接通過演示和描述得出：當四邊形的兩組對邊分別平行時，得到的四邊形叫做平行四邊形。然后再根據(jù)平行四邊形的概念，指出日常生活中哪些地方可以看到這種圖形，并進行鞏固練習。這樣的教學設計就是比較典型的概念同化過程。4.概念形成與概念同化的綜合運用不少教師喜歡這樣教學，給出許多各種形狀的四邊形，讓學生自己進行分類，接著引導學生根據(jù)對邊是否平行進行分類：第一類，兩組對邊都不平行；第二類，一組對邊平行，另一組對邊不平行；第三類，兩組對邊分別平行。然后由第三類圖形，引出平行四邊形的概念。這種教學過程，同時具有兩種概念學習方式的某些特征，實際上是概念形成與概念同化的綜合。小學幾何教學的實際情況是，概念形成的學習方式用得較多，單純的概念同化過程較少，一般以兩種方式結合起來使用居多。有的教材以長方形對邊平行為基礎，讓學生將兩條半透明的長方形紙帶交疊出許多四邊形，再概括出這些四邊形的共同特征是對邊分別平行。其實這也是概念同化與概念形成相結合的教學處理。圖1三、幫助學生建立幾何形體概念的教學要點建立幾何概念的重要標志是理解概念的內(nèi)涵、明確概念的外延，也就是在幾何概念的名稱、描述、圖形和例子，以及它的特征之間建立正確的聯(lián)系。前面在探討怎樣培養(yǎng)和發(fā)展學生的空間觀念時，我們得出的很多策略，如引導觀察、指導畫圖、加強實驗操作，以及適時抽象概括、適當刻畫圖形特征等等，都是幫助學生理解概念內(nèi)涵，建立幾何形體概念的常用教學策略。這里，再就一般情況進一步討論若干教學要點。1.變機械學習為有意義學習在數(shù)學概念學習中，有意義學習是指學生不僅能記住所學概念的定義、描述或符號，而且理解它們的內(nèi)在涵義，了解與相關數(shù)學概念的實質性聯(lián)系。機械學習是指學生僅能記住數(shù)學概念的定義或描述、符號，卻不理解它們的內(nèi)在涵義，更不理解與有關概念的非人為的實質性聯(lián)系。引導小學生獲得概念實質性意義的主要手段，一是借助直觀，二是利用學生的生活經(jīng)驗。例如，為了幫助學生理解“兩條永不相交的直線，只有當它們在同一平面內(nèi)，才是平行線”，可以通過教具的直觀演示，使學生看到，不在同一平面內(nèi)的兩條直線，不相交，也不平行。還可以給出上下交錯的電線圖片，調動學生的生活經(jīng)驗，幫助學生理解。2.變孤立學習為系統(tǒng)學習幾何概念具有很強的系統(tǒng)性，這是有意義學習的重要外部條件。同時，幾何概念的這一特點，要求我們應著力在數(shù)學概念系統(tǒng)的背景下展開新概念的學習，注意適時、適當?shù)亟沂靖拍铋g的“來龍去脈”、區(qū)別與聯(lián)系。這種符合小學生認知特點與水平的系統(tǒng)學習也是理解概念、精確分化概念的需要。例如，為建立互相垂直的概念，可以先引出兩條直線相交的情況，并讓學生指出交點。然后觀察兩條直線相交所組成的四個角，一般情況不都相等，再引導學生思考：如果其中一個角是直角時，其余三個角將是什么角？可以讓學生量一量，也可以引導學生利用求兩角差的方法推算，在此基礎上由一般到特殊地引出兩直線相交的特例——兩直線互相垂直的概念：又如，學了三角形按角分類并認識了等腰、等邊三角形之后，給出各種不同的三角形（至少7個，即非等腰、等腰、等邊的銳角三角形，非等腰、等腰的直角三角形，非等腰、等腰的鈍角三角形），讓學生放入圖2的集合圈內(nèi)，再現(xiàn)三角形按角分類，然后在圖2的集合圈內(nèi)疊上等腰三角形的集合圈，如圖3，讓學生再次放入各種不同的三角形，使他們清晰地看到：等腰三角形可能是銳角三角形、鈍角三角形，也可能是直角三角形；反過來銳角三角形、鈍角三角形和直角三角形都可能是等腰三角形，也可能不是。圖2圖3當然還可以在圖3內(nèi)進一步疊上等邊三角形的集合圈，如圖4，使學生直觀認識等邊三角形包含在等腰三角形內(nèi)，并且只能是銳角三角形。圖4這樣，學生通過自己多次擺放、移動三角形的圖形，逐步構建起有關三角形的概念系統(tǒng)，三角形角、邊的特征，各種三角形的外延及其相互關系，也一目了然地呈現(xiàn)在自己面前。3.適當提供正反例證和變式圖形教學一個新概念，在引入階段所創(chuàng)設的問題情境或實例中，通常以概念的正例為主，有時也會包含反例。例如，給出各種圖形，讓學生找出四邊形，再對四邊形分類，實際上就是不斷剔除反例的過程。除此之外，還應隨著認知活動的展開及時提供一些顯示新概念本質屬性的肯定例證，讓學生觀察。有時還可酌情提供一些從反面突出本質屬性的否定例證，讓學生比較正反例證的基本屬性，用自己的語言來描述，使概念得以鞏固。例如，教學梯形的認識，設計如下判斷練習：下面哪些圖形不是梯形，說明理由。學生一般都能根據(jù)梯形的概念，說出否定的理由，如：第①個圖形不是四邊形，第②個圖形沒有一組對邊平行，第③個圖形兩組對邊都平行了，等等。適當運用變式圖形，對于幾何概念教學也是非常重要的。前面在論述小學生空間觀念形成特點時，已經(jīng)探討了標準圖形與變式圖形的關系及其使用要點，這里再舉一例?？紤]到小學生在日常生活中接觸到的“垂直”現(xiàn)象，都是與水平線垂直的鉛垂線，為使學生認識垂直的本質，是指兩條直線的相互位置關系，可以出示分別畫在四張黑紙上的四組相交直線，讓學生辨別并用三角板驗證得出其中①、③兩組的直線互相垂直，②、④兩組的直線不垂直。然后轉動這四張黑紙，再讓學生判斷哪幾組直線互相垂直，從而使學生得出，四組直線無論怎樣隨著黑紙轉動，各組兩條直線之間的角的大小不變，所以它們的互相位置關系也不變。4.適當展開形體概念的應用練習概念的應用練習是概念強化的主要手段之一。不少幾何概念的認識與理解，可以通過聯(lián)系實際的應用得以實現(xiàn)。有時圍繞著一個概念可以設計多種情境的應用問題，讓學生從多角度、多層次上進行思考，先鞏固性應用，后綜合性應用，在應用中達到切實掌握數(shù)學概念的目的。以角的認識為例：(1)3時整、6時整，時針與分針所成的角各是什么角？(2)體育課，小明聽口令做“向右轉”“向后轉”，他分別旋轉了多少度？兩題情境不同，答案卻是相同的。(3)鐘面上分針從指向12開始先旋轉90°，分針指向了幾？再繼續(xù)旋轉180°，這時分針指向了幾？(4)體育課，小明聽口令做“向右轉”或“向后轉”，已知小明一共旋轉了360°，他可能做了幾次“向右轉”或“向后轉”？(5)分針長5厘米，分針從指向12開始旋轉到指向4，分針所經(jīng)過的鐘面面積大約是多少平方厘米？（保留整數(shù)平方厘米）顯然，還是時鐘、體育課的情境，但問題的綜合性不斷有所加大，從而促進學生的感性認識向理性認識轉化和理性認識向遷移應用轉化。5.把握幾何概念教學的階段性與連續(xù)性小學數(shù)學中的幾何概念，大多采用螺旋式編排，以便于學生逐步深化認識。因此，教師必須恰如其分把握各教學階段的教學要求，既不宜隨意拔高要求、超前教學，以免難點集中，增添學習困難；又應當不失時機地引導學生不斷加深理解，使相關概念的認識逐漸趨于深入、全面。例如，長方形、正方形的認識，初次接觸時，只要求能識別，知道它們都有四條邊，長方形“面對面”的邊相等，正方形的四條邊都相等。學習了直角之后，再認識長方形、正方形的四個角都是直角；學習了平行與平行四邊形之后，再認識長方形、正方形的對邊平行，它們都是特殊的平行四邊形；學習了梯形之后，則進一步通過“只有一組對邊平行”與“兩組對邊分別平行”的比較，深入理解對邊分別平行的含義；學習了軸對稱之后，又認識了它們都是軸對稱圖形，長方形有兩條對稱軸、正方形有四條對稱軸。這些都是發(fā)生在小學階段螺旋上升的認識。以后到了中學，還要進一步認識長方形、正方形對角線的性質，以及中心對稱的性質等等。即：研究邊（長短關系）→研究角→研究邊（位置關系）→研究對稱性（小學）→研究對角線→研究……（中學）又如，首次學習射線、直線時，小學生很難體會為什么要規(guī)定射線可以向一端無限延