怎樣幫助學(xué)生建立幾何形體概念

怎樣幫助學(xué)生建立幾何形體概念

一、幾何形體概念及其特點(diǎn)我們知道，概念是反映事物本質(zhì)屬性和內(nèi)在聯(lián)系的思維形式，是思維的基本單位。邏輯學(xué)認(rèn)為，概念最重要的內(nèi)容是它的內(nèi)涵（是什么）與外延（有哪些）。但從教學(xué)角度看，概念通常包括四個(gè)方面的內(nèi)容，即概念的名稱、概念的描述或定義、概念的例子和概念的屬性（特征）。以概念“正方形”為例，詞“正方形”是概念的名稱；“長寬相等的長方形叫做正方形”是它的定義；符合定義的具體圖形都是正方形的例子，成為正例，否則叫反例；正方形的屬性包括封閉的、對(duì)邊平行、四條邊相等、四個(gè)角都是直角，等等。幾何形體概念是從空間形式方面，用語言、符號(hào)、圖形來反映事物本質(zhì)屬性和內(nèi)在聯(lián)系的思維形式。也就是說，幾何概念反映了事物在空間形式方面的本質(zhì)屬性或內(nèi)在聯(lián)系。同其他數(shù)學(xué)概念類似，幾何形體概念具有以下特點(diǎn)。1.幾何形體概念的辯證性首先，幾何形體概念是抽象與具體的辯證統(tǒng)一。幾何形體概念的抽象“超脫”現(xiàn)實(shí)，這是顯而易見的。例如，現(xiàn)實(shí)世界中并不存在幾何概念中沒有大小的點(diǎn)，更找不到?jīng)]有粗細(xì)的、可以向兩端無限延長的直線。幾何形體概念的抽象性是學(xué)生獲取這些概念的困難源之一。這種困難，一是表現(xiàn)在它與兒童思維的形象性構(gòu)成了一對(duì)矛盾，而且是貫穿小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)始終的矛盾；二是表現(xiàn)為用語言媒體負(fù)載幾何概念的思想內(nèi)容時(shí)，小學(xué)生對(duì)語言媒體的接受，并不意味著他對(duì)概念的領(lǐng)會(huì)。比如，他能認(rèn)識(shí)平行線定義里的每個(gè)字、詞，卻很可能沒有真正理解“同一平面”“永不相交”的含義。幾何形體概念又具有具體的一面。首先，形體概念的起源，離不開現(xiàn)實(shí)世界的具體材料。即形體概念源于經(jīng)驗(yàn)的東西，是來自外部世界的。其次，思維的能動(dòng)性所創(chuàng)造的很多幾何概念，盡管抽象，但還是能在現(xiàn)實(shí)世界里找到它們的模型，并得到應(yīng)用。幾何形體概念的具體性、形象性為我們克服抽象性所帶來的困難，提供了廣闊途徑。事實(shí)上，小學(xué)數(shù)學(xué)里的幾何形體概念都能在兒童周圍找到現(xiàn)實(shí)原型，而且大多還有相關(guān)的生活體驗(yàn)與感性認(rèn)識(shí)。其次，幾何形體概念是一般與個(gè)別的辯證統(tǒng)一。幾何形體概念反映了同類事物所有對(duì)象的一般特征。但這種一般特征又是這類事物的每個(gè)對(duì)象的本質(zhì)屬性。所以，幾何概念本身就是一般與個(gè)別的辯證統(tǒng)一體。例如，梯形的概念反映了等腰梯形、直角梯形以及其他一般梯形的共同本質(zhì)屬性，反過來這種共同的本質(zhì)屬性又表現(xiàn)在每個(gè)具體的梯形中。2.幾何概念的系統(tǒng)性幾何形體概念的系統(tǒng)性是由數(shù)學(xué)學(xué)科的特點(diǎn)所決定的。這種系統(tǒng)性早在《幾何原本》中就得到了充分的體現(xiàn)。為了適應(yīng)兒童的認(rèn)知特點(diǎn)，幾何初步知識(shí)的概念雖然沒有依據(jù)邏輯的要求構(gòu)成嚴(yán)密的概念系統(tǒng)，但概念之間的前后聯(lián)系，如先前概念是后續(xù)概念的基礎(chǔ)，還是處處可見的。例如，有了角的概念，才能討論直線的垂直關(guān)系；掌握了“垂直”和“線段”的概念，才能理解“平行四邊形的高”的概念；有了底和高的概念，才能概括平行四邊形的面積公式。幾何形體概念的這一特性，要求我們?cè)趯W(xué)習(xí)形體概念時(shí)必須環(huán)環(huán)相扣，循序漸進(jìn)。比如，要讓學(xué)生掌握三角形高的畫法，首先應(yīng)當(dāng)在教學(xué)垂直時(shí)，幫助學(xué)生掌握過直線外一點(diǎn)畫已知直線的垂線。部分學(xué)生之所以不會(huì)看、畫三角形的高，主要原因之一就是垂線的概念不夠清晰，垂線的畫法掌握得不好。3.幾何概念的發(fā)展性在幾何學(xué)中，形體概念隨著客觀事物本身的發(fā)展變化和研究的深入不斷地發(fā)展、演變。幾何概念的發(fā)展性在小學(xué)數(shù)學(xué)中也有反映。它要求學(xué)生對(duì)形體概念的認(rèn)識(shí)必須隨著學(xué)習(xí)的進(jìn)展和程度的提高，由淺入深，逐步深化。這種認(rèn)識(shí)的發(fā)展性既體現(xiàn)在不同的幾何教學(xué)階段之間，也體現(xiàn)在某一教學(xué)階段之中。例如，“高”的概念，在小學(xué)數(shù)學(xué)中具有以下的發(fā)展線索：三角形的高（點(diǎn)線距離）→平行四邊形、梯形的高（線線距離）→長方體的高（面面距離）→圓錐的高（點(diǎn)面距離）其中點(diǎn)線距離與線線距離在小學(xué)數(shù)學(xué)教材中是比較明確指出的，面面距離與點(diǎn)面距離一般不作介紹，只是針對(duì)圖形指認(rèn)。二、幾何概念獲得的基本方式主要有兩種基本方式。1.概念形成就人類認(rèn)識(shí)來說，概念形成是一種發(fā)現(xiàn)過程，也就是在對(duì)事物感知和分析、比較、抽象的基礎(chǔ)上，概括一類事物的本質(zhì)屬性，不斷提出假設(shè)，驗(yàn)證假設(shè)的過程。在教學(xué)條件下，是指從一定的具體例子出發(fā)，以學(xué)生的感性經(jīng)驗(yàn)為基礎(chǔ)，形成表象，進(jìn)而以歸納方式抽象概括出本質(zhì)屬性，獲得概念的過程。幾何形體概念的形成過程，大致包括以下幾個(gè)階段：(1)辨別觀察具有典型意義的具體實(shí)例，比較辨別它們各自有哪些屬性。這是獲得概念過程的開端，也就是感知階段。(2)歸類將具體例子各自的非共同屬性撇開，按它們的共同屬性歸類。這在一定程度上由感知過渡到了表象，為進(jìn)一步的抽象概括創(chuàng)造了條件。(3)抽象概括從一類事物的共同屬性中抽象出共同的本質(zhì)屬性，并通過概括建立概念，給出概念的定義（包括符號(hào)）和描述。這是由表象到概念的過渡階段。(4)強(qiáng)化把新概念的本質(zhì)屬性推廣到一切同類事物，明確概念的外延。通過對(duì)概念的肯定、否定例證的辨析，使新概念與原有的相關(guān)概念得以較精確的分化，從而強(qiáng)化對(duì)新概念的認(rèn)識(shí)與掌握。2.概念同化所謂概念同化，是指利用學(xué)習(xí)者認(rèn)知結(jié)構(gòu)中原有的概念，以定義或描述的方式直接揭示新概念的本質(zhì)屬性，進(jìn)而獲得新概念的過程。也就是以間接經(jīng)驗(yàn)為基礎(chǔ)，利用已掌握的概念去獲取新概念的過程。要成功地同化新概念，必須滿足有意義學(xué)習(xí)的條件。一是外部條件（外因），指學(xué)習(xí)的新概念與學(xué)生原有的有關(guān)概念存在實(shí)質(zhì)性的邏輯聯(lián)系，并且建立這種聯(lián)系是學(xué)生學(xué)習(xí)能力所及的。二是內(nèi)部條件（內(nèi)因），指學(xué)生本身必須具備理解概念的條件和意向，也就是學(xué)生原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中具備同化新概念的適當(dāng)概念或表象，以及學(xué)生具有理解學(xué)習(xí)材料的欲望。幾何形體概念的同化，大致包括以下幾個(gè)階段：(1)定義或描述直接用定義或描述形式刻畫幾何形體概念，揭示概念的本質(zhì)屬性，給出名稱和符號(hào)。例如，由學(xué)生已掌握的梯形概念，引出兩腰相等的梯形、有兩個(gè)角是直角的梯形。事實(shí)上，通過復(fù)習(xí)已學(xué)概念，“由舊引新”認(rèn)識(shí)新概念的學(xué)習(xí)過程，很大程度上就是概念同化的過程。(2)同化溝通新概念與原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中有關(guān)概念的聯(lián)系，明確它們的區(qū)別，使新概念與原概念得到精確分化和融會(huì)貫通。這樣，新概念被納入原認(rèn)知結(jié)構(gòu)，形成了內(nèi)容更為豐富也更為完善的新認(rèn)知結(jié)構(gòu)。例如，在學(xué)生已認(rèn)識(shí)角和直角的基礎(chǔ)上，認(rèn)識(shí)銳角、鈍角、平角、周角，使角的一般概念與常見的角的規(guī)定形成一個(gè)新的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。(3)強(qiáng)化與概念形成過程的強(qiáng)化環(huán)節(jié)基本類似。在獲得幾何概念的兩種基本方式中，都有“強(qiáng)化”這一基本環(huán)節(jié)?！皬?qiáng)化”也可以視為概念教學(xué)的手段，那是指教師有目的地對(duì)學(xué)生的認(rèn)知活動(dòng)施行直接或間接干預(yù)的教學(xué)行為，目的是使某種形式呈現(xiàn)的刺激物與學(xué)生認(rèn)識(shí)或行為之間建立起比較穩(wěn)固的聯(lián)系。幾何概念的強(qiáng)化方法很多，比較常用的如：①舉例強(qiáng)化法。即讓學(xué)生針對(duì)某一幾何概念舉出正例、特例或反例。②畫圖強(qiáng)化法。即讓學(xué)生畫出某一幾何概念的圖形。③關(guān)鍵信息強(qiáng)化法。即讓學(xué)生從某一幾何概念的描述或圖示中找出至關(guān)重要的詞語或畫法。④辨析強(qiáng)化法。即讓學(xué)生識(shí)別某一幾何概念不同敘述或不同圖形的正誤。⑤聯(lián)系強(qiáng)化法。即讓學(xué)生聯(lián)想有關(guān)的已學(xué)概念，使新舊概念組成一定的概念系統(tǒng)，從而加深對(duì)新學(xué)概念理解。⑥應(yīng)用強(qiáng)化法。即讓學(xué)生通過對(duì)概念的應(yīng)用，從不同角度獲得對(duì)概念內(nèi)涵的揭示，深化對(duì)概念的認(rèn)識(shí)。3.概念形成與概念同化的區(qū)別兩種概念獲得方式既有聯(lián)系，又有區(qū)別。無論概念同化還是概念形成，都要求學(xué)生積極投入認(rèn)知活動(dòng)，多通道地獲得感性認(rèn)識(shí)，有意義地建立概念。這是概念學(xué)習(xí)的共同要求。兩種概念學(xué)習(xí)方式的區(qū)別主要表現(xiàn)在以下幾方面：(1)建立概念的經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)不同概念形成以學(xué)生的直接經(jīng)驗(yàn)為基礎(chǔ)，概念形成過程的開端是從具體例子積累起來的感性認(rèn)識(shí)。概念同化以學(xué)生的間接經(jīng)驗(yàn)為基礎(chǔ)，概念同化過程的開端是從已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)引出的理性認(rèn)識(shí)。(2)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的變化不同概念形成與概念同化所依賴的經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)的不同，實(shí)質(zhì)上就是學(xué)生原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)在容納新概念方面的差異。這種差異制約著概念形成過程中認(rèn)知結(jié)構(gòu)以順應(yīng)的方式變化，即原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)發(fā)生部分改組；概念同化過程中認(rèn)知結(jié)構(gòu)以同化方式變化，即原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)得到擴(kuò)充。兩者的共同趨勢是新概念的獲得，都會(huì)促進(jìn)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的發(fā)展與完善。(3)學(xué)習(xí)形式的類屬不同概念形成，更接近于人類自發(fā)形成概念的方式。它要求學(xué)生在教師指導(dǎo)下以歸納的方式抽取出一類事物的本質(zhì)屬性，比較費(fèi)時(shí)。概念同化，更適合于系統(tǒng)接受間接經(jīng)驗(yàn)的學(xué)習(xí)，它要求學(xué)生以演繹的方式理解教師解釋的概念的本質(zhì)屬性，比較節(jié)省時(shí)間。以平行四邊形的認(rèn)識(shí)為例。先出示實(shí)物圖，再由實(shí)物圖抽象出圖形，然后觀察多個(gè)平行四邊形的圖形概括出它們共同的本質(zhì)特征，最后進(jìn)行鞏固練習(xí)。這樣的教學(xué)過程就是比較典型的概念形成過程。如果在復(fù)習(xí)四邊形概念的基礎(chǔ)上，直接通過演示和描述得出：當(dāng)四邊形的兩組對(duì)邊分別平行時(shí)，得到的四邊形叫做平行四邊形。然后再根據(jù)平行四邊形的概念，指出日常生活中哪些地方可以看到這種圖形，并進(jìn)行鞏固練習(xí)。這樣的教學(xué)設(shè)計(jì)就是比較典型的概念同化過程。4.概念形成與概念同化的綜合運(yùn)用不少教師喜歡這樣教學(xué)，給出許多各種形狀的四邊形，讓學(xué)生自己進(jìn)行分類，接著引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)對(duì)邊是否平行進(jìn)行分類：第一類，兩組對(duì)邊都不平行；第二類，一組對(duì)邊平行，另一組對(duì)邊不平行；第三類，兩組對(duì)邊分別平行。然后由第三類圖形，引出平行四邊形的概念。這種教學(xué)過程，同時(shí)具有兩種概念學(xué)習(xí)方式的某些特征，實(shí)際上是概念形成與概念同化的綜合。小學(xué)幾何教學(xué)的實(shí)際情況是，概念形成的學(xué)習(xí)方式用得較多，單純的概念同化過程較少，一般以兩種方式結(jié)合起來使用居多。有的教材以長方形對(duì)邊平行為基礎(chǔ)，讓學(xué)生將兩條半透明的長方形紙帶交疊出許多四邊形，再概括出這些四邊形的共同特征是對(duì)邊分別平行。其實(shí)這也是概念同化與概念形成相結(jié)合的教學(xué)處理。圖1三、幫助學(xué)生建立幾何形體概念的教學(xué)要點(diǎn)建立幾何概念的重要標(biāo)志是理解概念的內(nèi)涵、明確概念的外延，也就是在幾何概念的名稱、描述、圖形和例子，以及它的特征之間建立正確的聯(lián)系。前面在探討怎樣培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的空間觀念時(shí)，我們得出的很多策略，如引導(dǎo)觀察、指導(dǎo)畫圖、加強(qiáng)實(shí)驗(yàn)操作，以及適時(shí)抽象概括、適當(dāng)刻畫圖形特征等等，都是幫助學(xué)生理解概念內(nèi)涵，建立幾何形體概念的常用教學(xué)策略。這里，再就一般情況進(jìn)一步討論若干教學(xué)要點(diǎn)。1.變機(jī)械學(xué)習(xí)為有意義學(xué)習(xí)在數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)中，有意義學(xué)習(xí)是指學(xué)生不僅能記住所學(xué)概念的定義、描述或符號(hào)，而且理解它們的內(nèi)在涵義，了解與相關(guān)數(shù)學(xué)概念的實(shí)質(zhì)性聯(lián)系。機(jī)械學(xué)習(xí)是指學(xué)生僅能記住數(shù)學(xué)概念的定義或描述、符號(hào)，卻不理解它們的內(nèi)在涵義，更不理解與有關(guān)概念的非人為的實(shí)質(zhì)性聯(lián)系。引導(dǎo)小學(xué)生獲得概念實(shí)質(zhì)性意義的主要手段，一是借助直觀，二是利用學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)。例如，為了幫助學(xué)生理解“兩條永不相交的直線，只有當(dāng)它們?cè)谕黄矫鎯?nèi)，才是平行線”，可以通過教具的直觀演示，使學(xué)生看到，不在同一平面內(nèi)的兩條直線，不相交，也不平行。還可以給出上下交錯(cuò)的電線圖片，調(diào)動(dòng)學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)，幫助學(xué)生理解。2.變孤立學(xué)習(xí)為系統(tǒng)學(xué)習(xí)幾何概念具有很強(qiáng)的系統(tǒng)性，這是有意義學(xué)習(xí)的重要外部條件。同時(shí)，幾何概念的這一特點(diǎn)，要求我們應(yīng)著力在數(shù)學(xué)概念系統(tǒng)的背景下展開新概念的學(xué)習(xí)，注意適時(shí)、適當(dāng)?shù)亟沂靖拍铋g的“來龍去脈”、區(qū)別與聯(lián)系。這種符合小學(xué)生認(rèn)知特點(diǎn)與水平的系統(tǒng)學(xué)習(xí)也是理解概念、精確分化概念的需要。例如，為建立互相垂直的概念，可以先引出兩條直線相交的情況，并讓學(xué)生指出交點(diǎn)。然后觀察兩條直線相交所組成的四個(gè)角，一般情況不都相等，再引導(dǎo)學(xué)生思考：如果其中一個(gè)角是直角時(shí)，其余三個(gè)角將是什么角？可以讓學(xué)生量一量，也可以引導(dǎo)學(xué)生利用求兩角差的方法推算，在此基礎(chǔ)上由一般到特殊地引出兩直線相交的特例——兩直線互相垂直的概念：又如，學(xué)了三角形按角分類并認(rèn)識(shí)了等腰、等邊三角形之后，給出各種不同的三角形（至少7個(gè)，即非等腰、等腰、等邊的銳角三角形，非等腰、等腰的直角三角形，非等腰、等腰的鈍角三角形），讓學(xué)生放入圖2的集合圈內(nèi)，再現(xiàn)三角形按角分類，然后在圖2的集合圈內(nèi)疊上等腰三角形的集合圈，如圖3，讓學(xué)生再次放入各種不同的三角形，使他們清晰地看到：等腰三角形可能是銳角三角形、鈍角三角形，也可能是直角三角形；反過來銳角三角形、鈍角三角形和直角三角形都可能是等腰三角形，也可能不是。圖2圖3當(dāng)然還可以在圖3內(nèi)進(jìn)一步疊上等邊三角形的集合圈，如圖4，使學(xué)生直觀認(rèn)識(shí)等邊三角形包含在等腰三角形內(nèi)，并且只能是銳角三角形。圖4這樣，學(xué)生通過自己多次擺放、移動(dòng)三角形的圖形，逐步構(gòu)建起有關(guān)三角形的概念系統(tǒng)，三角形角、邊的特征，各種三角形的外延及其相互關(guān)系，也一目了然地呈現(xiàn)在自己面前。3.適當(dāng)提供正反例證和變式圖形教學(xué)一個(gè)新概念，在引入階段所創(chuàng)設(shè)的問題情境或?qū)嵗校ǔＲ愿拍畹恼秊橹?，有時(shí)也會(huì)包含反例。例如，給出各種圖形，讓學(xué)生找出四邊形，再對(duì)四邊形分類，實(shí)際上就是不斷剔除反例的過程。除此之外，還應(yīng)隨著認(rèn)知活動(dòng)的展開及時(shí)提供一些顯示新概念本質(zhì)屬性的肯定例證，讓學(xué)生觀察。有時(shí)還可酌情提供一些從反面突出本質(zhì)屬性的否定例證，讓學(xué)生比較正反例證的基本屬性，用自己的語言來描述，使概念得以鞏固。例如，教學(xué)梯形的認(rèn)識(shí)，設(shè)計(jì)如下判斷練習(xí)：下面哪些圖形不是梯形，說明理由。學(xué)生一般都能根據(jù)梯形的概念，說出否定的理由，如：第①個(gè)圖形不是四邊形，第②個(gè)圖形沒有一組對(duì)邊平行，第③個(gè)圖形兩組對(duì)邊都平行了，等等。適當(dāng)運(yùn)用變式圖形，對(duì)于幾何概念教學(xué)也是非常重要的。前面在論述小學(xué)生空間觀念形成特點(diǎn)時(shí)，已經(jīng)探討了標(biāo)準(zhǔn)圖形與變式圖形的關(guān)系及其使用要點(diǎn)，這里再舉一例?？紤]到小學(xué)生在日常生活中接觸到的“垂直”現(xiàn)象，都是與水平線垂直的鉛垂線，為使學(xué)生認(rèn)識(shí)垂直的本質(zhì)，是指兩條直線的相互位置關(guān)系，可以出示分別畫在四張黑紙上的四組相交直線，讓學(xué)生辨別并用三角板驗(yàn)證得出其中①、③兩組的直線互相垂直，②、④兩組的直線不垂直。然后轉(zhuǎn)動(dòng)這四張黑紙，再讓學(xué)生判斷哪幾組直線互相垂直，從而使學(xué)生得出，四組直線無論怎樣隨著黑紙轉(zhuǎn)動(dòng)，各組兩條直線之間的角的大小不變，所以它們的互相位置關(guān)系也不變。4.適當(dāng)展開形體概念的應(yīng)用練習(xí)概念的應(yīng)用練習(xí)是概念強(qiáng)化的主要手段之一。不少幾何概念的認(rèn)識(shí)與理解，可以通過聯(lián)系實(shí)際的應(yīng)用得以實(shí)現(xiàn)。有時(shí)圍繞著一個(gè)概念可以設(shè)計(jì)多種情境的應(yīng)用問題，讓學(xué)生從多角度、多層次上進(jìn)行思考，先鞏固性應(yīng)用，后綜合性應(yīng)用，在應(yīng)用中達(dá)到切實(shí)掌握數(shù)學(xué)概念的目的。以角的認(rèn)識(shí)為例：(1)3時(shí)整、6時(shí)整，時(shí)針與分針?biāo)傻慕歉魇鞘裁唇牵?2)體育課，小明聽口令做“向右轉(zhuǎn)”“向后轉(zhuǎn)”，他分別旋轉(zhuǎn)了多少度？兩題情境不同，答案卻是相同的。(3)鐘面上分針從指向12開始先旋轉(zhuǎn)90°，分針指向了幾？再繼續(xù)旋轉(zhuǎn)180°，這時(shí)分針指向了幾？(4)體育課，小明聽口令做“向右轉(zhuǎn)”或“向后轉(zhuǎn)”，已知小明一共旋轉(zhuǎn)了360°，他可能做了幾次“向右轉(zhuǎn)”或“向后轉(zhuǎn)”？(5)分針長5厘米，分針從指向12開始旋轉(zhuǎn)到指向4，分針?biāo)?jīng)過的鐘面面積大約是多少平方厘米？（保留整數(shù)平方厘米）顯然，還是時(shí)鐘、體育課的情境，但問題的綜合性不斷有所加大，從而促進(jìn)學(xué)生的感性認(rèn)識(shí)向理性認(rèn)識(shí)轉(zhuǎn)化和理性認(rèn)識(shí)向遷移應(yīng)用轉(zhuǎn)化。5.把握幾何概念教學(xué)的階段性與連續(xù)性小學(xué)數(shù)學(xué)中的幾何概念，大多采用螺旋式編排，以便于學(xué)生逐步深化認(rèn)識(shí)。因此，教師必須恰如其分把握各教學(xué)階段的教學(xué)要求，既不宜隨意拔高要求、超前教學(xué)，以免難點(diǎn)集中，增添學(xué)習(xí)困難；又應(yīng)當(dāng)不失時(shí)機(jī)地引導(dǎo)學(xué)生不斷加深理解，使相關(guān)概念的認(rèn)識(shí)逐漸趨于深入、全面。例如，長方形、正方形的認(rèn)識(shí)，初次接觸時(shí)，只要求能識(shí)別，知道它們都有四條邊，長方形“面對(duì)面”的邊相等，正方形的四條邊都相等。學(xué)習(xí)了直角之后，再認(rèn)識(shí)長方形、正方形的四個(gè)角都是直角；學(xué)習(xí)了平行與平行四邊形之后，再認(rèn)識(shí)長方形、正方形的對(duì)邊平行，它們都是特殊的平行四邊形；學(xué)習(xí)了梯形之后，則進(jìn)一步通過“只有一組對(duì)邊平行”與“兩組對(duì)邊分別平行”的比較，深入理解對(duì)邊分別平行的含義；學(xué)習(xí)了軸對(duì)稱之后，又認(rèn)識(shí)了它們都是軸對(duì)稱圖形，長方形有兩條對(duì)稱軸、正方形有四條對(duì)稱軸。這些都是發(fā)生在小學(xué)階段螺旋上升的認(rèn)識(shí)。以后到了中學(xué)，還要進(jìn)一步認(rèn)識(shí)長方形、正方形對(duì)角線的性質(zhì)，以及中心對(duì)稱的性質(zhì)等等。即：研究邊（長短關(guān)系）→研究角→研究邊（位置關(guān)系）→研究對(duì)稱性（小學(xué)）→研究對(duì)角線→研究……（中學(xué)）又如，首次學(xué)習(xí)射線、直線時(shí)，小學(xué)生很難體會(huì)為什么要規(guī)定射線可以向一端無限延