2021年吉林省長春市解放中學 高三數學文期末試題含解析

2021年吉林省長春市解放中學高三數學文期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知函數f(x)=2sinx(>0)在區(qū)間[,]上的最小值是－2，則的最小值等于A． B．

C．2

D．3參考答案：答案:B2.若雙曲線的一條漸近線與圓至多有一個交點，則雙曲線離心率的取值范圍是A.

B.

C.

D.參考答案：A3.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，如果輸入的a，b分別為56，140，則輸出的a=（）A．0 B．7 C．14 D．28參考答案：D【考點】程序框圖．【分析】模擬執(zhí)行程序框圖，依次寫出每次循環(huán)得到的a，b的值，當a=28，b=28時，不滿足條件a≠b，退出循環(huán)，輸出a的值．【解答】解：模擬程序的運行，可得a=56，b=140，滿足條件a≠b，不滿足條件a＞b，b=140﹣56=84，滿足條件a≠b，不滿足條件a＞b，b=84﹣56=28，滿足條件a≠b，滿足條件a＞b，a=56﹣28=28，不滿足條件a≠b，退出循環(huán)，輸出a的值為28．故選：D．【點評】本題主要考查了循環(huán)結構的程序框圖，正確依次寫出每次循環(huán)得到的a，b的值是解題的關鍵，屬于基本知識的考查．4.如圖，半徑為的扇形的圓心角為，點在上，且，若，則(

).（A）

（B）

（C）

（D）參考答案：A5.在△ABC中，sin2A≤sin2B+sin2C﹣sinBsinC，則A的取值范圍是（）A．（0，] B．（0，] C．[，π） D．[，π）參考答案：B【考點】余弦定理；正弦定理．【專題】計算題；解三角形．【分析】利用正弦定理化簡已知的不等式，再利用余弦定理表示出cosA，將得出的不等式變形后代入表示出的cosA中，得出cosA的范圍，由A為三角形的內角，根據余弦函數的圖象與性質即可求出A的取值范圍．【解答】解：利用正弦定理化簡sin2A≤sin2B+sin2C﹣sinBsinC得：a2≤b2+c2﹣bc，變形得：b2+c2﹣a2≥bc，∴cosA=≥=，又∵A為三角形的內角，∴A的取值范圍是（0，]．故選：B．【點評】此題考查了正弦、余弦定理，特殊角的三角函數值，以及余弦函數的圖象與性質，熟練掌握正弦、余弦定理是解本題的關鍵，屬于基礎題．6.下列函數中，滿足f（xy）=f（x）+f（y）的單調遞增函數是(

) A．f（x）=log2x B．f（x）=x2 C．f（x）=2x D．f（x）=x參考答案：A考點：抽象函數及其應用．專題：函數的性質及應用．分析：根據指數函數對數函數冪函數的圖象和性質，判斷函數的單調性，再利用對數和指數的運算性質即可得到答案解答： 解：根據對數函數的圖象和性質，可知A為單調遞增函數，D為單調遞減函數，根據指數函數的圖象和性質，可知C為單調遞增函數，根據冪函數的圖象和性質，可知B：f（x）=x2（﹣∞，0）為單調減函數，在（0，+∞）為單調遞減函數，因為2x+2y≠2xy，故不滿足f（xy）=f（x）+f（y），f（x）+f（y）=log2x+log2y=f（x）=log2xy=f（xy），故選：A點評：本題考查了指數函數對數函數冪函數的圖象和性質，屬于基礎題．7.半徑為2的球的內接三棱錐，則三棱錐的高為A. B. C. D.3參考答案：D【分析】在三棱錐P﹣ABC中，過點p作PM⊥平面ABC的垂足為M，則球心O在PM所在直線上，在三角形PBO中利用余弦定理可得∠BPM，然后求出∠PBM＝60°，進一步算出PM．【詳解】解：三棱錐P﹣ABC中，PA＝PB＝PC＝2，AB＝AC＝BC，如圖，過點p作PM⊥平面ABC的垂足為M，則球O的內接三棱錐P﹣ABC的球心O在PM所在直線上，∵球O的半徑為2，∴OB＝OP＝2，∴由余弦定理得cos∠BPM＝＝∴∠BPM＝30°，∴在Rt△PMB中，∠PBM＝60°，∴PM＝PBsin∠PBM＝3．故選：D．【點睛】本題考查了球的內接三棱錐問題，考查了空間想象能力與邏輯思維能力，屬基礎題．8.如圖，是一個幾何體的正視圖、側視圖、俯視圖，且正視圖、側視圖都是矩形，則該幾何體的體積是（

）A．24

B．12

C．8

D．4

參考答案：B略9.已知雙曲線（a＞0，b＞0）的一條漸近線經過點（，），則該雙曲線的離心率為A．2B．C．3D．參考答案：A10.我們知道：在平面內，點（x0，y0）到直線Ax+By+C=0的距離公式為d=，通過類比的方法，可求得：在空間中，點（2，4，1）到平面x+2y+3z+3=0的距離為（）A．3 B．5 C． D．3參考答案：C【考點】類比推理．【分析】類比點P（x0，y0）到直線Ax+By+C=0的距離d=，可知在空間中，d==．【解答】解：類比點P（x0，y0）到直線Ax+By+C=0的距離d=，可知在空間中，點（2，4，1）到平面x+2y+3z+3=0的距離d==．故選C．【點評】類比推理的一般步驟是：（1）找出兩類事物之間的相似性或一致性；（2）用一類事物的性質去推測另一類事物的性質，得出一個明確的命題（猜想）．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.設向量，且，則=

．參考答案：因為，所以，即，，所以。12.(選修4—1幾何證明選講）若直角的內切圓與斜邊相切于點,且,則的面積為_________.參考答案：213.若logxy=﹣2，則x2+y的值域為

．參考答案：（2，+∞）考點：基本不等式在最值問題中的應用．專題：函數的性質及應用；不等式的解法及應用．分析：利用指數與對數的互化，化簡所求表達式，利用基本不等式求解最值即可．解答： 解：logxy=﹣2，可得y=x﹣2，x＞0且x≠1，x2+y=x2+x﹣2=x2+＞2=2．所以x2+y的值域為：（2，+∞）；故答案為：（2，+∞）．點評：本題考查函數的值域，基本不等式的應用，對數與指數的互化，考查計算能力．14.已知變量x，y滿足，則的最小值為．參考答案：【考點】7C：簡單線性規(guī)劃．【分析】畫出滿足條件的平面區(qū)域，求出角點的坐標，結合的幾何意義求出最小值即可．【解答】解：畫出滿足條件的平面區(qū)域，如圖示：，由，解得A（1，3），而求的最小值即為求的最大值，的幾何意義表示平面區(qū)域內的點與B（0，﹣1）的直線的斜率，而KAB==4，故的最小值是：，故答案為：．【點評】本題考查了簡單的線性規(guī)劃問題，考查數形結合思想，是一道中檔題．15.下列命題中所有真命題的序號是________________．①“a>b”是“a2>b2”的充分條件；②“|a|>|b|”是“a2>b2”的必要條件；③“a>b”是“a＋c>b＋c”的充要條件．參考答案：②③略16.若點Q（2a+b，a﹣2b）在不等式組表示的平面區(qū)域內，則z=a2+b2的最大值為．參考答案：【考點】簡單線性規(guī)劃．【分析】根據點與不等式組的關系代入建立關于a，b的不等式組，作出不等式組對應的平面區(qū)域，利用目標函數的幾何意義進行求解即可．【解答】解：∵Q（2a+b，a﹣2b）在不等式組表示的平面區(qū)域內，∴，即，作出不等式組對應的平面區(qū)域如圖：z=a2+b2的幾何意義是區(qū)域內的點到原點的距離的平方，由圖象知A到原點的距離最大，由得，即A（，），則z的最大值為z=（）2+（）2=故答案為：【點評】本題主要考查線性規(guī)劃的應用，作出不等式組對應的平面區(qū)域，利用線性規(guī)劃的知識是解決本題的關鍵．17.拋物線的頂點在原點，焦點在x軸上，拋物線上的點P(－2,a)到焦點的距離為3，則a=

．參考答案：設拋物線方程為，因為拋物線上的點到焦點的距離為3，所以，所以三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.某網絡營銷部門隨機抽查了某市200名網友在2013年11月11日的網購金額，所得數據如下表：已知網購金額不超過3千元與超過3千元的人數比恰為3：2（1）試確定x，y，p，q的值，并補全頻率分布直方圖（如圖）．（2）該營銷部門為了了解該市網友的購物體驗，從這200網友中，用分層抽樣的方法從網購金額在（1，2]和（4，5]的兩個群體中確定5人中進行問卷調查，若需從這5人中隨機選取2人繼續(xù)訪談，則此2人來自不同群體的概率是多少？參考答案：略19.設數列{an}的前n項和為Sn，已知ban﹣2n=（b﹣1）Sn（Ⅰ）證明：當b=2時，{an﹣n?2n﹣1}是等比數列；（Ⅱ）求{an}的通項公式．參考答案：【考點】數列的應用．【分析】（Ⅰ）當b=2時，由題設條件知an+1=2an+2n．由此可知an+1﹣（n+1）?2n=2an+2n﹣（n+1）?2n=2（an﹣n?2n﹣1），所以{an﹣n?2n﹣1}是首項為1，公比為2的等比數列．（Ⅱ）當b=2時，由題設條件知an=（n+1）2n﹣1；當b≠2時，由題意得=，由此能夠導出{an}的通項公式．【解答】解：（Ⅰ）當b=2時，由題意知2a1﹣2=a1，解得a1=2，且ban﹣2n=（b﹣1）Snban+1﹣2n+1=（b﹣1）Sn+1兩式相減得b（an+1﹣an）﹣2n=（b﹣1）an+1即an+1=ban+2n①當b=2時，由①知an+1=2an+2n于是an+1﹣（n+1）?2n=2an+2n﹣（n+1）?2n=2（an﹣n?2n﹣1）又a1﹣1?20=1≠0，所以{an﹣n?2n﹣1}是首項為1，公比為2的等比數列．（Ⅱ）當b=2時，由（Ⅰ）知an﹣n?2n﹣1=2n﹣1，即an=（n+1）2n﹣1當b≠2時，由①得==因此=即所以．20.如圖，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，側棱垂直底面，∠ACB=90°，AC=BC=AA1，D是棱AA1的中點．（Ⅰ）證明：平面BDC1⊥平面BDC（Ⅱ）平面BDC1分此棱柱為兩部分，求這兩部分體積的比．參考答案：【分析】（Ⅰ）由題意易證DC1⊥平面BDC，再由面面垂直的判定定理即可證得平面BDC1⊥平面BDC；（Ⅱ）設棱錐B﹣DACC1的體積為V1，AC=1，易求V1=××1×1=，三棱柱ABC﹣A1B1C1的體積V=1，于是可得（V﹣V1）：V1=1：1，從而可得答案．【解答】證明：（1）由題意知BC⊥CC1，BC⊥AC，CC1∩AC=C，∴BC⊥平面ACC1A1，又DC1?平面ACC1A1，∴DC1⊥BC．由題設知∠A1DC1=∠ADC=45°，∴∠CDC1=90°，即DC1⊥DC，又DC∩BC=C，∴DC1⊥平面BDC，又DC1?平面BDC1，∴平面BDC1⊥平面BDC；（2）設棱錐B﹣DACC1的體積為V1，AC=1，由題意得V1=××1×1=，又三棱柱ABC﹣A1B1C1的體積V=1，∴（V﹣V1）：V1=1：1，∴平面BDC1分此棱柱兩部分體積的比為1：1．【點評】本題考查平面與平面垂直的判定，著重考查線面垂直的判定定理的應用與棱柱、棱錐的體積，考查分析，表達與運算能