連續(xù)介質(zhì)力學(xué)第二講

（優(yōu)選）連續(xù)介質(zhì)力學(xué)第二講現(xiàn)在是1頁(yè)\一共有35頁(yè)\編輯于星期日現(xiàn)在是2頁(yè)\一共有35頁(yè)\編輯于星期日現(xiàn)在是3頁(yè)\一共有35頁(yè)\編輯于星期日2．第一類P-K(Piola-Kirchhoff)應(yīng)力P又稱名義應(yīng)力即時(shí)構(gòu)形中的面元矢量對(duì)應(yīng)于參考構(gòu)形中的面元矢量P稱為第一類P-K應(yīng)力根據(jù)Nanson公式:令:其中:注意內(nèi)力不是真正作用在面元上.其中:也是兩點(diǎn)張量現(xiàn)在是4頁(yè)\一共有35頁(yè)\編輯于星期日3.Kirchhoff應(yīng)力張量Kirchhoff應(yīng)力張量與Cauchy應(yīng)力張量一樣,也是對(duì)稱張量根據(jù)定義有:分量形式:同理:定義在即時(shí)構(gòu)形中的張量現(xiàn)在是5頁(yè)\一共有35頁(yè)\編輯于星期日4．第二類P-K應(yīng)力T定義:根據(jù)定義:所以:可證如果Cauchy應(yīng)力（或Kirchhoff應(yīng)力張量)為對(duì)稱張量,則第二類P-K應(yīng)力也是對(duì)稱張量。由于:分量形式現(xiàn)在是6頁(yè)\一共有35頁(yè)\編輯于星期日現(xiàn)在是7頁(yè)\一共有35頁(yè)\編輯于星期日有:作用于即時(shí)構(gòu)形中面元上的內(nèi)力通常有三種表示方法:現(xiàn)在是8頁(yè)\一共有35頁(yè)\編輯于星期日現(xiàn)在是9頁(yè)\一共有35頁(yè)\編輯于星期日現(xiàn)在是10頁(yè)\一共有35頁(yè)\編輯于星期日現(xiàn)在是11頁(yè)\一共有35頁(yè)\編輯于星期日現(xiàn)在是12頁(yè)\一共有35頁(yè)\編輯于星期日現(xiàn)在是13頁(yè)\一共有35頁(yè)\編輯于星期日四、連續(xù)介質(zhì)力學(xué)基本方程1、質(zhì)量守恒以

與

各表示初始構(gòu)形與即時(shí)構(gòu)形中的質(zhì)量密度根據(jù)質(zhì)量守恒率:所以:其中:對(duì)方程兩邊求物質(zhì)導(dǎo)數(shù):可證明:所以:率形式的質(zhì)量守恒律現(xiàn)在是14頁(yè)\一共有35頁(yè)\編輯于星期日證明:引理:設(shè)矩陣a的行列式為:,

元素的代數(shù)余子式記作將行列式看作它的9個(gè)元素的函數(shù)，則有:

則有:而:所以:現(xiàn)在是15頁(yè)\一共有35頁(yè)\編輯于星期日現(xiàn)在把J看作其9個(gè)元素的函數(shù)，對(duì)時(shí)間求物質(zhì)導(dǎo)數(shù)

而:所以:現(xiàn)在是16頁(yè)\一共有35頁(yè)\編輯于星期日現(xiàn)在是17頁(yè)\一共有35頁(yè)\編輯于星期日現(xiàn)在是18頁(yè)\一共有35頁(yè)\編輯于星期日現(xiàn)在是19頁(yè)\一共有35頁(yè)\編輯于星期日現(xiàn)在是20頁(yè)\一共有35頁(yè)\編輯于星期日2.

動(dòng)量方程（Balanceoflinearmomentum

）在即時(shí)構(gòu)形中，任意取一個(gè)域，體積元記為

對(duì)此域運(yùn)用動(dòng)量定理:由GREEN公式:由于域是任意的:對(duì)于體積力為零的靜力學(xué)問(wèn)題:2.1以前的推導(dǎo)現(xiàn)在是21頁(yè)\一共有35頁(yè)\編輯于星期日2.2第二種方法引理：在即時(shí)構(gòu)型上體積分的物質(zhì)導(dǎo)數(shù)所以：動(dòng)量矩定理:現(xiàn)在是22頁(yè)\一共有35頁(yè)\編輯于星期日現(xiàn)在是23頁(yè)\一共有35頁(yè)\編輯于星期日現(xiàn)在是24頁(yè)\一共有35頁(yè)\編輯于星期日3.

角動(dòng)量方程（Balanceofangularmomentum

）所以：現(xiàn)在是25頁(yè)\一共有35頁(yè)\編輯于星期日4.守恒率的一般形式如果采用歐拉描述，上述三個(gè)守恒率可表達(dá)為：現(xiàn)在是26頁(yè)\一共有35頁(yè)\編輯于星期日固體力學(xué)常采用拉格朗日描述：其中：拉格朗日描述中，體元體積不變：現(xiàn)在是27頁(yè)\一共有35頁(yè)\編輯于星期日對(duì)物質(zhì)坐標(biāo)求散度現(xiàn)在是28頁(yè)\一共有35頁(yè)\編輯于星期日5.能量平衡律在即時(shí)構(gòu)型中任意v域內(nèi)的總能量P由動(dòng)能K與內(nèi)能E組成，即

根據(jù)熱力學(xué)第一定律，總能量P的物質(zhì)導(dǎo)數(shù)，即對(duì)時(shí)間的變化率等于作用于v域的外力功率與每單位時(shí)間從v域外部所加的熱：式中h表示熱流矢量（或稱熱通量），即每單位時(shí)間每單位面積的熱流，k表示每單位質(zhì)量接受外部的熱（稱為熱源）現(xiàn)在是29頁(yè)\一共有35頁(yè)\編輯于星期日而其中K為動(dòng)能.動(dòng)能其中由質(zhì)量守恒知:的物質(zhì)導(dǎo)數(shù)為零所以:又根據(jù)平衡方程:而所以:現(xiàn)在是30頁(yè)\一共有35頁(yè)\編輯于星期日又:其中:為變形率張量旋率張量反對(duì)稱所以:由于上式對(duì)任意域成立,所以有:微分形式的熱力學(xué)第一定律積分形式的熱力學(xué)第一定律其中:為即時(shí)構(gòu)形中單位體積的內(nèi)力功率現(xiàn)在是31頁(yè)\一共有35頁(yè)\編輯于星期日定義變形功率w為

它表示參考構(gòu)形中每單位體積（也就是即時(shí)構(gòu)形中單位體積的J倍)的變形功率.引理1:設(shè)a與b為二階張量,則:即:引理2:即:可以推廣于多個(gè)二階張量點(diǎn)積的情況，例如

現(xiàn)在是32頁(yè)\一共有35頁(yè)\編輯于星期日的其它表達(dá)形式由于:有:我們稱:和為一對(duì)功共軛的應(yīng)力應(yīng)變張量.現(xiàn)在是33頁(yè)\一共有35頁(yè)\編輯于星期日微分形式的熱力學(xué)第一定律Reddy書現(xiàn)在是34頁(yè)\一共有35頁(yè)\編輯于星期日6.熵不等式,熵平衡律(熱力學(xué)第二定律）以η表示每單位質(zhì)量的熵,則在即時(shí)構(gòu)形中,v域的總熵為:以θ表示溫度（絕對(duì)溫度,θ＞0），