統(tǒng)計梳理講解總結(jié),統(tǒng)計的高考題型解析及答案

考點55成機抽雜、用雜律

估奸總體

【命題解讀】

隨機抽樣、用樣本估計總體在高考中是出題頻率比較高，其中抽樣方法容易出選擇題,

頻率分布直方圖考的比較多，常結(jié)合樣本的數(shù)字特征出題，這部分出題比較靈活，多結(jié)合目

前的實際問題出題，考查分析問題的能力，以及處理數(shù)據(jù)的能力。

【命題預(yù)測】

預(yù)計2021年的高考隨機抽樣還會出題，出題形式可以是選擇、填空，也可以是解答，

在解答題中常與概率等聯(lián)合出題，考查分析問題能力和計算能力。

【復(fù)習(xí)建議】

1.掌握各種抽樣方法，理解頻率分布直方圖；

2.理解樣本的數(shù)字特征，并會計算數(shù)字特征。

考向一隨機抽樣的方法

1.簡單隨機抽樣

(1)抽取方式:逐個不放回抽取；

(2)每個個體被抽到的概率相等；

(3)常用方法：抽簽法和隨機數(shù)法.

2.分層抽樣

(1)定義:在抽樣時，將總體分成互不交叉的層，然后按照一定的比例，從各層獨立地抽取一定數(shù)

量的個體，將各層取出的個體合在一起作為樣本，這種抽樣方法是一種分層抽樣.

(2)分層抽樣的應(yīng)用范圍：

當(dāng)總體是由差異明顯的幾個部分組成時,往往選用分層抽樣.

典例制折

1.12020全國高三專題練習(xí)】某人從一魚池中捕得120條魚，做了記號后再放回池中，經(jīng)

過一段時間后，再從該魚池中捕得100,經(jīng)過發(fā)現(xiàn)有記號的魚有10條(假定該魚池中魚的

數(shù)量既不減少也不增加)則池中大約有魚()

A.120B.1000條C.130條D.1200條

【答案】D

【解析】設(shè)池中有大魚約x條，則由題意可知?=超，解得X=1200,故池中大魚約

100x

有1200條.

故選：D.

2.12020全國高三專題練習(xí)】某地區(qū)有高中生2400人，初中生有9600人，小學(xué)生12000

人，此地區(qū)教育部門為了了解本地區(qū)中小學(xué)生的近視情況及形成原因，要從本地區(qū)的中小學(xué)

生中抽取部分學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，已知抽取的高中生人數(shù)為12人，則該地區(qū)教育部門共抽取了

人進(jìn)行調(diào)查()

A.108B.48

C.60D.120

【答案】D

【解析】由地區(qū)高中生2400人，初中生有9600人，小學(xué)生12()00人，設(shè)共抽取了x人,

若抽取的高中生人數(shù)為12人，

2400_12

根據(jù)分層抽樣知:解之得x=12(),

2400+9600+12000

故選：D

考向二樣本的數(shù)字特征

1.作頻率分布直方圖的步驟

(1)求極差(即一組數(shù)據(jù)中最大值與最小值的差);

(2)決定組距與組數(shù)；

(3)將數(shù)據(jù)分組；

(4)列頻率分布表；

(5)畫頻率分布直方圖.

2.頻率分布折線圖和總體密度曲線

(1)頻率分布折線圖:連接頻率分布直方圖中各小長方形上端的中點，就得到頻率分布折線圖.

(2)總體密度曲線:隨著樣本容量的增加，作圖時所分的組數(shù)增加，組距減小，相應(yīng)的頻率折線

圖會越來越接近于一條光滑曲線,統(tǒng)計中稱這條光滑曲線為總體密度曲線.

3.樣本的數(shù)字特征

(1)眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)

數(shù)字特征定義與求法優(yōu)點與缺點

眾數(shù)通常用于描述變量的值出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)，但

一組數(shù)據(jù)中重復(fù)出現(xiàn)次數(shù)

眾數(shù)它對其他數(shù)據(jù)信息的忽視比較明顯，使它無法客觀

最多的數(shù)

地反映總體特征

把一組數(shù)據(jù)按從小到大的

中位數(shù)等分樣本數(shù)據(jù)所占頻率，它不受少數(shù)幾個極

順序排列，處在中間位置的

中位數(shù)端值的影響，這在某些情況下是優(yōu)點,但它對極端值

一個數(shù)據(jù)(或兩個數(shù)據(jù)的平

的不敏感有時也會成為缺點

均數(shù))

平均數(shù)與每一個樣本數(shù)據(jù)有關(guān)，可以反映出更多的

如果有n個數(shù)據(jù)為幽,

關(guān)于樣本數(shù)據(jù)全體的信息，但平均數(shù)受數(shù)據(jù)中的極

平均數(shù)那么這n個數(shù)的平均數(shù)

端值的影響較大，使平均數(shù)在估計總體時可靠性降

-_Xi+X24-...+Xn

n低

(2)標(biāo)準(zhǔn)差、方差

①標(biāo)準(zhǔn)差：樣本數(shù)據(jù)到平均數(shù)的一種平均距離，一般用s表示，s=

J；[(必-又)2+(如-盼2+…+Qn&)2],其中即G=1,2,3,…,〃)是樣本數(shù)據(jù),〃是樣本容量，元是樣本

平均數(shù).

②方差:標(biāo)準(zhǔn)差的平方$2.

2222

5=^[(X1-X)+(X2-X)+...+(XM-X)].

典例劇折

1.【2020全國高三專題練習(xí)】為了評估某家快遞公司的服務(wù)質(zhì)量，某評估小組進(jìn)行了客戶滿

意度調(diào)查，從該公司參與調(diào)查的客戶中隨機抽取500名客戶的評分，評分均在區(qū)間[50,1(X)]

上，分組為[50,60）,[60,70）,[70,80）,[80,90）,[90,100],其頻率分布直方圖如圖

所示.規(guī)定評分在60分以下表示對該公司的服務(wù)質(zhì)量不滿意，則這500名客戶中對該公司的

服務(wù)質(zhì)量不滿意的客戶的人數(shù)為（）

A.15B.16C.17D.18

【答案】A

【解析】由頻率分布直方圖可知，評分在區(qū)間[50,60）上的頻率為

1-（0.007+0.02+0.03+0.04）x10=0.03,

所以評分在區(qū)間[50,60）上的客戶有0.03x500=15（人），

即對該公司的服務(wù)質(zhì)量不滿意的客戶有15人.

故選：A

2.12020天津耀華中學(xué)高一期末】已知一組數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖如圖所示，則眾數(shù)、中

位數(shù)、平均數(shù)分別為（）

A.63,64,66B.65,65,67C.55,64,66D.64,65,64

【答案】B

【解析】由頻率分布直方圖可知,

60+70

眾數(shù)為=65；

2

由10x0.03+5x0.04=0.5,所以面積相等的分界線為65,即中位數(shù)為65；

平均數(shù)為55x0.3+65x0.4+75x0.15+85x0.1+95x0.05=67.

故選:B.

3.【2020全國高三專題練習(xí)】演講比賽共有10位評委分別給出某選手的原始評分，評定該

選手的成績時，從10個原始評分中去掉1個最高分、1個最低分，得到8個有效評分.8

個有效評分與10個原始評分相比，不變的數(shù)字特征是（）.

A.中位數(shù)B.平均數(shù)C.方差D.極差

【答案】A

【解析】設(shè)10位評委評分按從小到大排列為x,<x2<x3<x4---<x8<^<xl0,

則①原始中位數(shù)為““,去掉最低分再，最高分4）,后剩余乙4%…4%，

中位數(shù)仍為巴土幺，二A正確.

2

—1

②原始平均數(shù)%=元（3+為2+X3+*4…+*8+*9+內(nèi)0），后來平均數(shù)

7=+七+$…+4+/），平均數(shù)受極端值影響較大，

8

二X與X,不一定相同，B不正確；

@s2=^r（x,-x）2+（%-x）2

2+…+（%0_可-

s'？="［（/_?。?+—+（/—亍）［由②易知，c不正確.

④原極差=%0-不，后來極差=%-/可能相等可能變小，D不正確.

故選：A.

舉檢測訓(xùn)練

題組一（真題在線）

1.【2020年高考全國HI卷文數(shù)】設(shè)一組樣本數(shù)據(jù)XI,X2,…，X"的方差為0.01,則數(shù)據(jù)10X1,

10X2,…，lOx”的方差為

A.0.01B.0.1C.ID.10

2.【2020年高考江蘇】已知一組數(shù)據(jù)4,2a,3-a,5,6的平均數(shù)為4,則。的值是.

3.【2020年高考天津】從一批零件中抽取80個，測量其直徑(單位：mm),將所得數(shù)據(jù)

分為9組：[5.31,5.33),[5.33,5.35),…，[5.45,5.47),[5.47,5.49],并整理得到如下頻率分

C.20D.36

4.【2020年高考全國山卷理數(shù)】在一組樣本數(shù)據(jù)中，1,2,3,4出現(xiàn)的頻率分別為月,外,03,小，

且之P,=l，則下面四種情形中，對應(yīng)樣本的標(biāo)準(zhǔn)差最大的一組是

/=!

A.p、=p*=0.1,P[=P3=0.4B.p、=P4=0.4,P2=P3=0.1

C.P[=p4=0.2,P2=P3=0.3D.p、=P4=0.3,P2=P3=0-2

5.【2020年高考浙江】盒中有4個球，其中1個紅球，1個綠球，2個黃球.從盒中隨機取

球，每次取1個，不放回，直到取出紅球為止.設(shè)此過程中取到黃球的個數(shù)為&，則尸4=0)=

,E?)=.

6.【2019年高考全國HI卷文數(shù)】《西游記》《三國演義》《水滸傳》和《紅樓夢》是中國古典

文學(xué)瑰寶，并稱為中國古典小說四大名著.某中學(xué)為了解本校學(xué)生閱讀四大名著的情況，隨

機調(diào)查了100位學(xué)生，其中閱讀過《西游記》或《紅樓夢》的學(xué)生共有90位，閱讀過《紅

樓夢》的學(xué)生共有80位，閱讀過《西游記》且閱讀過《紅樓夢》的學(xué)生共有60位，則該校

閱讀過《西游記》的學(xué)生人數(shù)與該校學(xué)生總數(shù)比值的估計值為

A.0.5B.0.6

C.0.7D.0.8

7.【2019年高考江蘇卷】已知一組數(shù)據(jù)6,7,8,8,9,10,則該組數(shù)據(jù)的方差是.

8.【2019年高考全國HI卷文數(shù)】為了解甲、乙兩種離子在小鼠體內(nèi)的殘留程度，進(jìn)行如下

試驗：將200只小鼠隨機分成A,B兩組，每組100只，其中A組小鼠給服甲離子溶液，B

組小鼠給服乙離子溶液.每只小鼠給服的溶液體積相同、摩爾濃度相同.經(jīng)過一段時間后用

某種科學(xué)方法測算出殘留在小鼠體內(nèi)離子的百分比.根據(jù)試驗數(shù)據(jù)分別得到如下直方圖：

記C為事件：“乙離子殘留在體內(nèi)的百分比不低于5.5”，根據(jù)直方圖得到P（C）的估計

值為0.70.

（1）求乙離子殘留百分比直方圖中人的值；

（2）分別估計甲、乙離子殘留百分比的平均值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為

代表）.

9.[2020年高考全國I卷文數(shù)】某廠接受了一項加工業(yè)務(wù)，加工出來的產(chǎn)品（單位：件）按

標(biāo)準(zhǔn)分為A,B,C,D四個等級.加工業(yè)務(wù)約定：對于A級品、B級品、C級品，廠家每件

分別收取加工費90元，50元，20元；對于D級品，廠家每件要賠償原料損失費50元.該廠

有甲、乙兩個分廠可承接加工業(yè)務(wù).甲分廠加工成本費為25元/件，乙分廠加工成本費為20

元/件.廠家為決定由哪個分廠承接加工業(yè)務(wù)，在兩個分廠各試加工了100件這種產(chǎn)品，并統(tǒng)

計了這些產(chǎn)品的等級，整理如下：

甲分廠產(chǎn)品等級的頻數(shù)分布表

等級ABCD

頻數(shù)40202020

乙分廠產(chǎn)品等級的頻數(shù)分布表

等級ABCD

頻數(shù)28173421

（1）分別估計甲、乙兩分廠加工出來的一件產(chǎn)品為A級品的概率；

（2）分別求甲、乙兩分廠加工出來的100件產(chǎn)品的平均利潤，以平均利潤為依據(jù)，/

家應(yīng)選哪個分廠承接加工業(yè)務(wù)？

10.【2019年高考浙江卷［復(fù)數(shù)z=」（i為虛數(shù)單位），則|z|=.

1+1

11.【2019年高考江蘇卷】己知復(fù)數(shù)（a+2i）（l+i）的實部為0,其中i為虛數(shù)單位，則實數(shù)

〃的值是.

題組二

1.12020四川內(nèi)江市高三三?！繛榱藢δ痴n題進(jìn)行研究，用分層抽樣方法從三所高校4,B,

C的相關(guān)人員中，抽取若干人組成研究小組有關(guān)數(shù)據(jù)見表（單位：人）

高校相關(guān)人數(shù)抽取人數(shù)

A18X

B362

C54y

若從高校B、C抽取的人中選2人作專題發(fā)言，則這二人都來自高校C的概率為（）

1313

A.-B.—C.—D.一

510105

2.12020河北滄州市高三期中】2020年10月1日是中秋節(jié)和國慶節(jié)雙節(jié)同慶，很多人外

出旅行或回家探親，因此交通比較擁堵.某交通部門為了解從4城到B城實際通行所需時

間，隨機抽取了n臺車輛進(jìn)行統(tǒng)計，結(jié)果顯示這些車輛的通行時間（單位：分鐘）都在［30,55］

內(nèi)，按通行時間分為［30,35）,［35,40）,［40,45）,［45,50）,［50,55］五組，頻率分布直

方圖如圖所示，其中通行時間在［30,35）內(nèi)的車輛有235臺，則通行時間在［45,50）內(nèi)的車

輛臺數(shù)是（)

A.450B.325C.470D.500

3.12020全國高二某?！扛叨昙壒灿?00名學(xué)生參加了數(shù)學(xué)測驗（滿分150分），已知

這800名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績均不低于90分，將這800名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績分組如：[90,l（X））,

[100,110）,[110,120）,[130,140）,[140,150）,得到的頻率分布直方圖如圖所示，則

下列說法中正確的是（）

①。=0.045：②這800名學(xué)生中數(shù)學(xué)成績在110分以下的人數(shù)為160：③這800名學(xué)生數(shù)

學(xué)成績的中位數(shù)約為121.4；④這800名學(xué)生數(shù)學(xué)成績的平均數(shù)為125.

4.12020全國高三專題練習(xí)】某網(wǎng)站為了了解某“跑團(tuán)”每月跑步的平均里程，收集并整理

了2019年1月至2019年11月期間該“跑團(tuán)”每月跑步的平均里程（單位：公里）的數(shù)據(jù)，

繪制了下面的折線圖.根據(jù)折線圖，下列結(jié)論正確的是（）

A.月跑步平均里程的中位數(shù)為6月份對應(yīng)的里程數(shù)

B.月跑步平均里程逐月增加

C.月跑步平均里程高峰期大致在8.9月份

D.1月至5月的月跑步平均里程相對于6月至11月，波動性更小，變化比較平穩(wěn)

5.12020全國高三專題練習(xí)（理）】設(shè)樣本數(shù)據(jù)占，%2,匕，…，蒼9，々o的均值和方差

分別為2和8,若y=2%+〃？（陽為非零常數(shù)，i=1,2,3,…,19,20）,則%,y2,%，…，

必9＞的均值和標(biāo)準(zhǔn)差為（）

A.2+m,32B.4+m,472C.2+m,4萬D.4+m,32

6.【2020全國高三專題練習(xí)（理）】甲、乙、丙、丁四名同學(xué)在某次軍訓(xùn)射擊測試中，各射

擊10次.四人測試成績對應(yīng)的條形圖如下：

以下關(guān)于四名同學(xué)射擊成績的數(shù)字特征判斷不亞碰的是（）

A.平均數(shù)相同B.中位數(shù)相同C.眾數(shù)不完全相同D.丁的方差最大

7.12020吉林市第二中學(xué)高三期中】已知樣本%,當(dāng)，工，…，毛方差$2=1，則樣本

2%,+1,+1,X+1,…,X+1的方差為.

2X2232“

8.【2020全國高三專題練習(xí)】為了考察某校各班參加課外書法小組的人數(shù)，在全校隨機抽

取5個班級，把每個班級參加該小組的認(rèn)為作為樣本數(shù)據(jù).已知樣本平均數(shù)為7,樣本方差為

4,且樣本數(shù)據(jù)互相不相同，則樣本數(shù)據(jù)中的最大值為

9.【2020齊齊哈爾市第八中學(xué)校高二期中（理）】如表是某位同學(xué)連續(xù)5次周考的數(shù)學(xué)、物

理的成績，結(jié)果如下:

周次12345

數(shù)學(xué)（X分）7981838587

物理（y分）7779798283

參考公式：泊上x,y表示樣本均值.

￡2a=y-bx>

/-I

（1）求該生5次月考數(shù)學(xué)成績的平均分和物理成績的方差;

（2）-一般來說，學(xué)生的數(shù)學(xué)成績與物理成績有較強的線性相關(guān)關(guān)系，根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù),

求兩個變量X、y的線性回歸方程.

10.【2020全國高三月考】從某市的一次高三模擬考試中，抽取3000名考生的數(shù)學(xué)成績（單

位：分),并按[75,85),[85,105),[105,115),[115,125),[125,135),[135,145]

分成7組，制成頻率分布直方圖，如圖所示.

（I）估計這3000名考生數(shù)學(xué)成績的平均數(shù)最和方差52（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的

中點值作代表)；

(II)由直方圖可認(rèn)為該市考生數(shù)學(xué)成績X服從正態(tài)分布N(〃,c/),其中M,分別為

(I)估中的［和方差S2,據(jù)此估計該市10000名考生中數(shù)學(xué)成績不低于122分的人數(shù)(結(jié)

果精確到整數(shù)).附：V6?2.4,若X~N(〃Q2),則P(〃一b<X<n+b)=0.6827.

不答案解析

題組一

1.C

【解析】因為數(shù)據(jù)ax,+a(i=l,2,L,〃)的方差是數(shù)據(jù)外,(j=l,2,L,〃)的方差的/倍，

所以所求數(shù)據(jù)方差為102x0.01=1

故選：C

2.2

［解析】?；數(shù)據(jù)4,2a,3-5,6的平均數(shù)為4

4+2a+3-a+5+6=20,即a=2.

故答案為：2.

3.B

【解析】根據(jù)直方圖，直徑落在區(qū)間［5.43,5.47)之間的零件頻率為：

(6.25+5.00)x0.02=0.225,

則區(qū)間［5.43,5.47)內(nèi)零件的個數(shù)為：80x0.225=18.

故選：B.

4.B

【解析】對于A選項，該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為>=(1+4)X0.1+(2+3)X0.4=2.5,

方差為s；=(1-2.5『X().1+(2-2.5)2X().4+(3—2.5)2X0.4+(4-x()J=065.

對于B選項，該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為K=(1+4)X0.4+(2+3)X0.1=2.5,

方差為4=(1-2.5『x0.4+(2—2.5)2x().1+(3-2.5『x0.1+(4—x()4=185.

對于C選項，該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為％=(1+4)X0.2+(2+3)X0.3=2.5,

方差為祐=(1-2.5)2x().2+(2—2.5『x().3+(3-2.5)2x0.3+(4—2.5『x0.2=1.05；

對于D選項，該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為焉=(1+4)X0.3+(2+3)X0.2=2.5,

方差為.4=(1—2.5『x0.3+(2—2.5『x().2+(3—2.5)2x().2+(4-2.5)2x0.3=1.45.

因此，B選項這一組標(biāo)準(zhǔn)差最大.

故選：B.

5.—jl

3

【解析】因為4=0對應(yīng)事件為第一次拿紅球或第一次拿綠球，第二次拿紅球,

所以PC=0)=，+Lx1=1,

4433

隨機變量4=0』,2,

°“八212111211

434324323

尸(自=2)=1—』一[=」，

333

所以EC)=0xg+lxg+2xg=l.

故答案為：-U-

6.C

【解析】由題意得，閱讀過《西游記》的學(xué)生人數(shù)為90-80+60=70,

則其與該校學(xué)生人數(shù)之比為70+100=0.7.故選C.

5

7.-

3

【解析】由題意，該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為6+7+8+8+9+10=8,

6

所以該組數(shù)據(jù)的方差是

-[(6-8)2+(7-8)2+(8-8)2+(8-8)2+(9-8)2+(10-8)2]=-.

63

8.見解析

【解析】(1)由已知得0.70=。+0.20+0.15,故a=0.35.

/?=1-0.05-0.15-0.70=0.10.

(2)甲離子殘留百分比的平均值的估計值為

2x0.15+3x0.20+4x0.30+5x0.20+6x0.10+7x0.05=4.05.

乙離子殘留百分比的平均值的估計值為

3x0.05+4x0.10+5x0.15+6x0.35+7x0.20+8x0.15=6.00.

9.見解析

【解析】（1）由試加工產(chǎn)品等級的頻數(shù)分布表知，

甲分廠加工出來的一件產(chǎn)品為A級品的概率的估計值為a=0.4;

100

乙分廠加工出來的一件產(chǎn)品為A級品的概率的估計值為9=0.28.

100

（2）由數(shù)據(jù)知甲分廠加工出來的100件產(chǎn)品利潤的頻數(shù)分布表為

利潤6525-5-75

頻數(shù)40202020

因此甲分廠加工出來的100件產(chǎn)品的平均利潤為

65x40+25x20-5x20-75x20,

----------------------------=1：

100

由數(shù)據(jù)知乙分廠加工出來的100件產(chǎn)品利潤的頻數(shù)分布表為

利潤70300-70

頻數(shù)28173421

因此乙分廠加工出來的100件產(chǎn)品的平均利潤為

70x28+30x17+0x34-70x21,八

----------------------------=10.

100

比較甲乙兩分廠加工的產(chǎn)品的平均利潤，應(yīng)選甲分廠承接加工業(yè)務(wù).

題組二

LB【解析】由題意可得一=上，解得丫=3,所以從高校。中抽取3人，

3654

記從高校3抽取的2人為白，打，從高校。抽取的3人為q,c2,。3，

則從高校3,C抽取的5人中選2人作專題發(fā)言的基本事件有：伍也），（偽,cj,伍,G），

（4,。3）,（人2，。1）,低電）,92,q）,（。，。2），（。。3），（。2，。3），共種，

選中的2人都來自高校C的基本事件有億勺），（c?c3）,（c2,c3）,共3種，

3

故所求概率P=一.

10

故選：B.

2.C【解析】因為[30,35),[35,40),[40,45),[50,55]四組通行時間的頻率分別是0.1,

0.25,0.4,0.05,

所以通行時間在145,50)內(nèi)的頻率是1—0.1—0.25—0.4—0.05=0.2,

通過的車輛臺數(shù)是235x2=47().

故選：C.

3.B【解析】由題意(0.005+0.01+0.01+0.015+0.025+4)x10=1,解得。=0.035,①

錯；

110分以下的人數(shù)為(0.01+0.01)x10x800=160,②正確;

120分以下的頻率是(0.01+0.01+0.025)x10=0.45，設(shè)中位數(shù)為x,則士圖=竺范,

100.035

X?121.4,③正確；

總均分為95x0.1+105x0.1+115x0.25+125x0.35+135x0.15+145x0.05=120,④錯.

故選：B.

4.D【解析】由折線圖可知月跑步平均里程比6月份高的只有9,10,11,共3個月，低的有

1,2,3,4,5,7,8共7個月,

故6月份對應(yīng)里程數(shù)不是中位數(shù)，因此A不正確；

月跑步平均里程在1月到2月，7月到8月，10月到11都是減少的，故不是逐月增加，

因此B不正確；

月跑步平均里程高峰期大致在9,10,11三個月，8月份是相對較低的，因此C不正確；

從折線圖來看，1月至5月的跑步平均里程相對于6月至11月，波動性更小，變化比較平

穩(wěn)，因此D正確.

故選:D.

5.B

【解析】設(shè)樣本數(shù)據(jù)為的均值為；，方程為52,標(biāo)準(zhǔn)差為S,則新樣本＞；=2%+能的均值

為21+加，方差為22s2，標(biāo)準(zhǔn)差為2s,所以y=2x+%=4+m，52=8,所以標(biāo)準(zhǔn)差為

s=2近，所以2s=2x20=4&，

故選：B.

6.D

【解析】由圖的對稱性可知，平均數(shù)都為5；

由圖易知，四組數(shù)據(jù)的眾數(shù)不完全相同，中位數(shù)相同；

記甲、乙、丙、丁圖所對應(yīng)的方差分別為則

s；=（4-5）2XO.5+（6-5）2XO.5=1,

5-2=（4-5）2x0.3+（5-5）2x0.4+（6-5）2x0.3=0.6,

s；=（3-5）2X0.3+（4-5）2X0.1+（5-5）2X0.2+（6-5）2X0.1+（7-5）2X0.3=2.6,

s：=（2-5）2x0.1+（4-5『x0.3+（5-5『x0.2+（6-5）2x0.3+（8-5『x0.1=2.4,

所以丙的方差最大.

故選：D.

7.4

【解析】由題意，樣本數(shù)據(jù)％,孫玉，的方差$2=1,

設(shè)樣本2項+1,2%+1,2七+1,…,2x“+l的方差為,則S：=2?xs2=22x1=4.

故答案為：4.

8.10

【解析】設(shè)樣本數(shù)據(jù)為：%,々，七，％4，七二（玉+工2+毛+%+/）+5=7

/=[（西-7）2+…+（Z-7『+5=4

.,.（X]—7）—+???+（/—7）~=20,Xy+%2+W+/+*5=35

若樣本數(shù)據(jù)中的最大值為11,不妨設(shè)毛=11,由于樣本數(shù)據(jù)互不相同，與

（m-7）2+--+（毛—7）2=20這是不可能成立的，若樣本數(shù)據(jù)為4,6,7,8,10,代入驗

證知兩式均成立，此時樣本數(shù)據(jù)中的最大值為10

9.見解析

【解析】⑴數(shù)學(xué)成績的平均分為7=（（79+81+83+85+87）=83,

因為物理成績的平均分為9=g（77+79+79+82+83）=80,所以物理成績的方差

22

=1[(77-80)2+(79—goy+(79_80)2+(82-80)+(83-80)]=4.8；

55§

(2)由己知數(shù)據(jù)得2(%一方)(％一產(chǎn))=30,2(%一元)2=40,所以務(wù)=了，所以

/=li=l4

4=80-3x83=17.75,

4

3

所以兩個變量x、y的線性回歸方程為y==x+17.75.

4

10.見解析

【解析】(I)由題意知：

x=80x0.02+90x0.09+100x0.22+110x0.33+120x0.24

+130x0.08+14()x0.02=11(),

222

5=(一30)2X002+(_20『X0.09+(-10)X0.22+0x0.33+10x0.24

+202x0.08+3O2x0.02=150.

(H)由(I)可知，〃=x=110,cr=J150=5"\/6?12'

所以X~N(110,122),

而尸(〃—cr<X<M+b)=P(98<X<122)=0.6827,

所以P(X..122)=1-0,27=015865,

因此估計該市10000名考生中數(shù)學(xué)成績不低于122分的人數(shù)為0.15865x100(X)*1587.

考點56變量間的相關(guān)關(guān)系、

疫料案例

【命題解讀】

變量間相關(guān)關(guān)系、統(tǒng)計案例是近幾年高考出題率比較高的知識點，這部分知識與實際

結(jié)合比較密切，常與概率相結(jié)合，出題難度適中，關(guān)鍵是考查對題目的閱讀分析，對數(shù)據(jù)的

處理，因此能力要求方面還是比較高。

【命題預(yù)測】

預(yù)計2021年的變量間的相關(guān)關(guān)系、統(tǒng)計案例一如既往的出解答題的可能性比較大，考

查分析問題和處理數(shù)據(jù)的能力。

【復(fù)習(xí)建議】

1.了解變量間的相關(guān)關(guān)系，掌握回歸直線和獨立性檢驗；

2.會求回歸直線和獨立性檢驗。

考向一回歸分析

1.兩個變量的線性相關(guān)

(1)正相關(guān)

在散點圖中,點散布在從左下角到右上角的區(qū)域，對于兩個變量的這種相關(guān)關(guān)系，我們將它稱

為正相關(guān).

(2)負(fù)相關(guān)

在散點圖中,點散布在從左上角到右下角的區(qū)域，兩個變量的這種相關(guān)關(guān)系稱為負(fù)相關(guān).

(3)線性相關(guān)關(guān)系、回歸直線

如果散點圖中點的分布從整體上看大致在一條直線附近，就稱這兩個變量之間具有線性相關(guān)

關(guān)系，這條直線叫作回歸直線.

2.回歸方程

(1)最小二乘法

求回歸直線,使得樣本數(shù)據(jù)的點到它的距離的平方和最小的方法叫作最小二乘法.

(2)回歸方程

方程>=以+&是兩個具有線性相關(guān)關(guān)系的變量的一組數(shù)據(jù)(M，V),(X2,)<2),…,(4加)的回歸方

程，其中B是待定參數(shù).

亍)(/-9)

b=--------

,￡(七-可2

/=!

a=y-bx

3.回歸分析

（1）定義:對具有相關(guān)關(guān)系的兩個變量進(jìn)行統(tǒng)計分析的一種常用方法.

（2）樣本點的中心

對于一組具有線性相關(guān)關(guān)系的數(shù)據(jù)（孫），|）,（尤2,竺）”..,。",），〃）,其中叵,刃稱為樣本點的中心.

（3）相關(guān)系數(shù)

當(dāng)/>0時，表明兩個變量正相關(guān)；

當(dāng)r<0時，表明兩個變量負(fù)相關(guān).

/?的絕對值越接近于1,表明兩個變量的線性相關(guān)性越強J的絕對值越接近于0,表明兩個變量

之間幾乎不存在線性相關(guān)關(guān)系.通常H大于0.75時，認(rèn)為兩個變量有很強的線性相關(guān)性.

典例制折

1.【2020全國高三專題練習(xí)（理）】在一組樣本數(shù)據(jù)（%,%）,（W，%），…，（X,，%）（〃一2,

再，馬，…x“不全相等）的散點圖中，若所有樣本點（苦，%）（i=l,2,…，，。都在直線

>=—工％+2上，則這組樣本數(shù)據(jù)的樣本相關(guān)系數(shù)為（）

3

1

A.-1B.0C.一一D.1

3

【答案】A

【解析】因為回歸直線方程是y=—；x+2,

所以這兩個變量是負(fù)相關(guān)，故這組樣本數(shù)據(jù)的樣本相關(guān)系數(shù)為負(fù)值，

又所有樣本點（若，=2,…，〃）都在直線上，

所以上|=1,

所以相關(guān)系數(shù)廠=—1.

故選：A.

2.【2020全國高三專題練習(xí)】（多選題）下列說法正確的是（）

A.在回歸直線方程9=-O.85x+2.3中，當(dāng)解釋變量x每增加1個單位時，預(yù)報變量9平

均減少2.3個單位

B.兩個具有線性相關(guān)關(guān)系的變量，當(dāng)相關(guān)指數(shù)店的值越接近于0,則這兩個變量的相關(guān)性

就越強

C.若兩個變量的相關(guān)指數(shù)收=0.88,則說明預(yù)報變量的差異有88%是由解釋變量引起的

D.在回歸直線方程9=-0.85%+2.3中，相對于樣本點(1,1.2)的殘差為-0.25

【答案】CD

【解析】對于A，根據(jù)回歸直線方程，當(dāng)解釋變量x每增加1個單位時，預(yù)報變量3平均

減少0.85個單位，A錯誤；

對于8,當(dāng)相關(guān)指數(shù)*的值越接近于1，兩個變量的相關(guān)性就越強，8錯誤；

對于C,由相關(guān)指數(shù)代的意義可知c正確；

對于。，當(dāng)解釋變量x=l時，預(yù)報變量$=1.45,則樣本點(1,1.2)的殘差為-0.25,。正

確.

故選：CD.

考向二獨立性檢驗

獨立性檢驗

(1)分類變量:變量的不同"值''表示個體所屬的不同類別，像這樣的變量稱為分類變量.

(2)列聯(lián)表:列出的兩個分類變量的頻數(shù)表，稱為列聯(lián)表.假設(shè)有兩個分類變量X和匕它們的可

能取值分別為｛xi眼｝和回淇樣本頻數(shù)列聯(lián)表(稱為2x2列聯(lián)表)為

2x2列聯(lián)表

總計

X1aba+b

X2Cdc+d

總計a+cb+da+b+c+d

構(gòu)造個隨機變量、皿黑，其中n=a+b+c+d為樣本容量.

(3)獨立性檢驗

利用隨機變量K2來判斷“兩個分類變量有關(guān)系的方法稱為獨立性檢驗.

典例制折

1.【2020全國高三專題練習(xí)(理)】通過隨機詢問50名性別不同的大學(xué)生是否愛好某項運

動，得到如下的列聯(lián)表，計算得理=""（""」一1（卜5）°8333?參照臨界值表，得

30x20x25x25

到的正確結(jié)論是（）

愛好不愛好合計

男生20525

女生101525

合計302050

0.0100.0050.001

P（K2>k）

K6.6357.87910.828

A.有99.5%以上的把握認(rèn)為“是否愛好該項運動與性別有關(guān)”

B.有99.5%以上的把握認(rèn)為“是否愛好該項運動與性別無關(guān)”

C.有99.9%以上的把握認(rèn)為“是否愛好該項運動與性別有關(guān)”

D.有99.9%以上的把握認(rèn)為“是否愛好該項運動與性別無關(guān)”

【答案】A

【解析】由8.333>7.879,結(jié)合臨界值表可得有99.5%以上的把握認(rèn)為“是否愛好該項運動

與性別有關(guān)”，或在犯錯誤的概率不超過0.5%的前提下，認(rèn)為“是否愛好該項運動與性別有

關(guān)”，

故選：A.

2.12020湖南長沙市長郡中學(xué)高三月考】針對當(dāng)下的“抖音熱”，某校團(tuán)委對“學(xué)生性別和喜

歡抖音是否有關(guān)'’作了一次調(diào)查，其中被調(diào)查的男女生人數(shù)相同，男生喜歡抖音的人數(shù)占男

43

生人數(shù)的1，女生喜歡抖音的人數(shù)占女生人數(shù)的g，若有95%的把握認(rèn)為是否喜歡抖音和

性別有關(guān)，則調(diào)查人數(shù)中男生可能有（）

附表：

P(K2"o)0.0500.010

k。3.8416.635

附：K、_______Md)，___

(a+Z?)(c+d)(a+c)(〃+d)

A.25B.45C.60D.40

【答案】BC

【解析】設(shè)男生的人數(shù)為5〃(“eN*),根據(jù)題意列出2x2列聯(lián)表如下表所示:

男生女生合計

喜歡抖音4〃3〃7〃

不喜歡抖音n2〃3n

合計5〃5n10〃

1Onx(4〃x2〃一3〃x10〃

5〃x5〃x7〃x3〃21

由于有95%的把握認(rèn)為是否喜歡抖音和性別有關(guān)，則3.841<片v6.632,

即3.841<—<6.632,得8.0661<n<13.9272，

21

?.,neN：則”的可能取值有9、10、11、12.

因此，調(diào)查人數(shù)中男生人數(shù)的可能值為45或60.

故選：BC.

學(xué)檢測訓(xùn)練

—J4^

題組一(真題在線)

1.[2020年高考全國I卷理數(shù)】某校一個課外學(xué)習(xí)小組為研究某作物種子的發(fā)芽率y和溫

度x(單位：℃)的關(guān)系，在20個不同的溫度條件下進(jìn)行種子發(fā)芽實驗，由實驗數(shù)據(jù)

y)(i=1,2,-,20)得到下面的散點圖：

100%

溫度X的回歸方程類型的是

A.y=a+bxB.y=a+bx2

C.y=a+be'D.y=a+b\nx

2.【2019年高考全國III卷理數(shù)】《西游記》《三國演義》《水滸傳》和《紅樓夢》是中國古典

文學(xué)瑰寶，并稱為中國古典小說四大名著.某中學(xué)為了解本校學(xué)生閱讀四大名著的情況，隨

機調(diào)查了100位學(xué)生，其中閱讀過《西游記》或《紅樓夢》的學(xué)生共有90位，閱讀過《紅

樓夢》的學(xué)生共有80位，閱讀過《西游記》且閱讀過《紅樓夢》的學(xué)生共有60位，則該校

閱讀過《西游記》的學(xué)生人數(shù)與該校學(xué)生總數(shù)比值的估計值為

A.0.5B.0.6

C.0.7D.0.8

3.【2019年高考全國II卷理數(shù)】我國高鐵發(fā)展迅速，技術(shù)先進(jìn).經(jīng)統(tǒng)計，在經(jīng)停某站的高

鐵列車中，有10個車次的正點率為0.97,有20個車次的正點率為0.98,有10個車次的正

點率為0.99,則經(jīng)停該站高鐵列車所有車次的平均正點率的估計值為.

4.【2020年高考全國I卷理數(shù)】某沙漠地區(qū)經(jīng)過治理，生態(tài)系統(tǒng)得到很大改善，野生動物

數(shù)量有所增加.為調(diào)查該地區(qū)某種野生動物的數(shù)量，將其分成面積相近的200個地塊，從這

些地塊中用簡單隨機抽樣的方法抽取20個作為樣區(qū)，調(diào)查得到樣本數(shù)據(jù)（知》）?=1,2,

20）,其中方和9分別表示第，個樣區(qū)的植物覆蓋面積（單位：公頃）和這種野生動物的數(shù)量,

20202020

并計算得=60，Zx=1200，￡（七一元）2=80,2（%一刃2=9000,

/=!/=!/=1z=l

20

Z（七一君（/一用=80。-

（1）求該地區(qū)這種野生動物數(shù)量的估計值（這種野生動物數(shù)量的估計值等于樣區(qū)這種

野生動物數(shù)量的平均數(shù)乘以地塊數(shù)）；

（2）求樣本（月，M）（i=l,2,...?20）的相關(guān)系數(shù)（精確到0.01）；

（3）根據(jù)現(xiàn)有統(tǒng)計資料，各地塊間植物覆蓋面積差異很大.為提高樣本的代表性以獲

得該地區(qū)這種野生動物數(shù)量更準(zhǔn)確的估計，請給出一種你認(rèn)為更合理的抽樣方法，并說

明理由.

SU,-x）（y,-7）

附：相關(guān)系數(shù)「=I「"，血=1.414.

住（七—君藝（%―刃2

V1=1/=1

5.[2020年高考全國III卷理數(shù)】某學(xué)生興趣小組隨機調(diào)查了某市100天中每天的空氣質(zhì)量

等級和當(dāng)天到某公園鍛煉的人次，整理數(shù)據(jù)得到下表（單位：天）：

鍛煉人次

^人次

[0,200](200,400](400,600]

空氣質(zhì)量等

1（優(yōu)）21625

2（良）51012

3（輕度污染）678

4（中度污染）720

（1）分別估計該市一天的空氣質(zhì)量等級為1,2,3,4的概率;

（2）求一天中到該公園鍛煉的平均人次的估計值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點

值為代表）；

（3）若某天的空氣質(zhì)量等級為1或2,則稱這天“空氣質(zhì)量好”；若某天的空氣質(zhì)量等

級為3或4,則稱這天“空氣質(zhì)量不好”.根據(jù)所給數(shù)據(jù)，完成下面的2x2列聯(lián)表，并根

據(jù)列聯(lián)表，判斷是否有95%的把握認(rèn)為一天中到該公園鍛煉的人次與該市當(dāng)天的空氣

質(zhì)量有關(guān)？

人次“00人次＞400

空氣質(zhì)量好

空氣質(zhì)量不好

P(心/)0.0500.010

(a+b)c+d)(a+c)9+d)

0.001

k3.8416.635

10.828

6.【2020年高考山東】為加強環(huán)境保護(hù)，治理空氣污染，環(huán)境監(jiān)測部門對某市空氣質(zhì)量進(jìn)

行調(diào)研，隨機抽查了100天空氣中的PM2.5和SO?濃度（單位：Mg/m3））得下表:

[0,50](50,150]