極坐標和參數(shù)方程基礎(chǔ)知識及重點題型

y：，即據(jù)角三y：，即據(jù)角三函數(shù)定T幾何意義是有向線段的數(shù)量；)（一）基礎(chǔ)知識

高中數(shù)學(xué)回歸課校教24參數(shù)極坐標1.極坐標定義是平面上一點表示長度

序?qū)崝?shù)實數(shù)對(,叫極徑極角；一般地，

[0,2

，2.常見的曲線的極坐標程（1）直線過點M

(,)

,傾斜角常見等量關(guān)系：正弦定理

OPOM

，OMP

；（2）圓心P

(,)

半徑為R極坐標方程的等量關(guān)系：勾股定理或余弦定理；（3錐曲線極坐標

1cos

程表示雙曲線程表示拋物線

0時，方程表示橢.醒極點是焦點，一般不是直角坐標下的坐標原點。極坐標方程是雙曲線

表示的曲線3.數(shù)方程（1圓(x)

)

的參數(shù)方程：rcos

xrsin

（2）橢圓

的參數(shù)方程：sina（3）直線過點M

(,y)

,傾斜角為

的參數(shù)方程：

yyy即sin

，xyytt中t線l上以定點(，y)M量M000點M在M的上t點M在，0.024拋物線2p的參數(shù)方程為pt

2

(t為參數(shù)．由于，因此參數(shù)的幾何意義是拋物線上的點與拋物的頂點連線斜率的倒數(shù)t如：將參數(shù)方程

sinsin

為參數(shù)化為普通方程為y

將sin

代入

即可，但是sin

4.極坐標和直角坐標化公式：或，θ的象限由點(x,y)所在象限確定(0)（1）它們互化的條件則是：極點與原點重合，極軸與正半軸重合（2）將點(

變成直角坐標(

cos

，也可以根據(jù)幾何意義和三角函數(shù)的定義獲得。5.極坐標的幾個意點：（1極坐標和直角坐標轉(zhuǎn)化的必要條件是具有共同的坐標原點點)如已知圓參數(shù)方程為

（

為參數(shù)

是圓

與

軸正半軸的交點，以圓心

為極點，

軸的正半軸為極軸建立極坐標系，求過點

的圓

的切線的極坐標方程。

5

)如：知拋物線

x

，以焦點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，求拋物線的極坐標方程。即

21cos

。（2對極坐標中的極徑和參數(shù)方程中的參數(shù)的幾何意義認識不足

1如：知橢圓的長軸長6，焦FF42,橢圓左焦點F作一直，交橢圓于兩M，設(shè)1

,α為何值時，MN與圓短軸長相等

6

或

56（3）直角坐標和極標一般不要混合使用如已知某曲線的極坐標方程為

2

4

)

）將上述曲線方程化為普通方程2）若點

(x,)

是該曲線上任意點，求

y

的取值范圍。

[22,22]（二）基計算求點的坐標有序?qū)崝?shù)實數(shù)對(,極徑，叫極角；如：點)提示kkZ都是的極坐標3

M

的直角坐標是(，則點M的極坐標為2.求曲線軌跡的程步驟：（1建立坐系在曲線上一點P

(

出等式根據(jù)

幾何意義

表示上述式，并化簡注意x

驗證如長a的線段，其端點軸Oy軸正方向上滑動，從原點作這條線段的垂線，垂足為M，求M的跡的極坐標方程Ox軸為極軸化為直角坐標方程解：設(shè)點M的極坐標(OBMAOM|OAaOA|cosasin∴點

M的軌跡的極坐標方程為2)由sin2∴(x)2axy其直角坐標方程為(xy)(x0,.

2a

cos

3.軌跡方程的常用方法：⑴直接法：直接通過建立之間的關(guān)系，構(gòu)成

F(xy)

,求軌跡最基本的方法.⑵待定系數(shù)法：可先根據(jù)條件設(shè)所求曲線的方程由條件確定其待定系數(shù),回方程⑶代入法(相關(guān)點法或轉(zhuǎn)移法).如極點作a弦,求各弦中點軌跡方程.:設(shè)所求曲線上的動M的極坐標為(

圓acos的動點的極坐標為(

由題設(shè)可知,

,將其代入圓的方程:

).2⑷定義法：如果能夠確定動點軌跡滿足某已知曲線定義可由曲線定義直接寫出方程.⑸交軌法(參數(shù)法)當動點

P,

坐標之間的關(guān)系不易直接找到,也沒有相關(guān)動點可用時,考慮將、y均用一中間變量(參數(shù))示,參數(shù)方程消去參數(shù)得普通方程.4.數(shù)和極徑幾何意義的運用：

表示長度；T幾何義是有向段MP的數(shù)量知過P3)的線l與x軸正半軸、軸正半軸分別交于AB點，則最小值為

83提示：設(shè)

cos3

傾斜角為則AB或AB=

|t|t|

，t

9cos

3,t

則l

99sin，lcossin

令l

，

39(

所以tan

1,3

150o

93l

注意：本題可以傾斜角的補角為如過拋物線y

焦點F作傾斜角為

的直線拋物線于,B兩點線的長度.解拋物線ep，所以拋物線的極坐標方程為

41cos

，,B兩點的極坐標分別為和|FA44

，

2)

，|FB.∴段的長度為5.數(shù)方程的應(yīng)用----求最值：已知(xy)

是圓x

y

上的動點2的取值范圍）恒成立，求實數(shù)a取值范圍[55.xy

[

.如：在橢圓

y上找一點，使這一點到直線xy的距離的最小解：設(shè)橢圓的參數(shù)方程為16

x4cosy3sin

，d

5

44cos3sin)55

當

5)，3

時，d，此min時所求點(2,

1121，故求的圓的極坐標方程為cos(1121，故求的圓的極坐標方程為cos(C.選4–4參數(shù)方與極坐已極標的點直坐系原重極與軸的半重若線C方程為

sin

，cos曲C2的程數(shù)sin（1）C的方化為角標程（2）C上的Q應(yīng)參為．提（1）xyy

34

，為C上的點求PQ的最值（）

34

Q(QC13．

PA

B在坐系，經(jīng)三O(0，，(2，B2，)的圓極標方．

O

x解設(shè)P

是求圓上的任意一點，則OP

(圖)))4

．已極標的點直坐系原重，軸軸正軸合若直l的極坐方為)

（1）直

l

的坐方化直坐系程（2）知

為圓

:

y2169

上點已曲C的數(shù)程

4cos

到線

l

的距的大.解1直線l的坐標方程

24

22，則2

2，即sin

所以直線l的角坐標方程為xy（2）P為圓C:

22上點，設(shè)P

3sin

，中[0,2，則P到直線l的離d

|4cos|2

，其中cos

所以當cos(時d的大值為

112

2

354354在坐系，的程2)，極為標原，軸x軸的正軸立面角標4系直l的數(shù)程

x,yt

（

為數(shù)判直l和C的位關(guān)．解消去參數(shù)t

，得直線l的直角坐標方程為yx；

4

)

即2(sin

，兩邊同乘以

，得⊙C的角坐標方程為：(,圓心C到線l距離

|2

25

2，以直線l和C相．已曲C的極標方是2sin

，線l

xt2,的數(shù)程（參．t5（1）曲極標程為角標程（2）直l與軸的點M,

N

是線上一點求的最值解1曲線的坐標方程可化為又y

所以曲線的角坐標方程為x（2）直線l的參數(shù)方程化為直角坐標方,得(3令,2即M點坐標為2,0).又曲線為，圓的心坐標(1,0)，半徑r則所以MNMCr在極坐標系中，已知(線：)4rrQ在線段上，且滿足求點Q的軌跡方程，并指出軌是什么圖形．

，解析x軸為2線方為m為線離d

|2m2

所以P(4

),Q0

則

1

.①

0弓形陰影部分10弓形陰影部分因為點P(在直線l上所r)②①代入②，得sin()，41即sin(．就是的跡程24化為直角坐標方程為

22)y)2因點的跡是(，)為圓，為徑圓8844變式訓(xùn)練(2010浙江卷)如圖在極坐標系O中，知曲線：:)；2:或

．C，圍成的區(qū)域的面積；設(shè)M，，N，射線)與4曲線C分別交于，(不同于極點O)兩點．若線段2的中點恰好在直線上求tan．11解析由已知，以S2

2

，1故所求面積

2

(

ONG意知，

sin

ONOG在中，