高考數(shù)學真題專題訓練 14數(shù)列綜合（含解析）

專題14數(shù)列綜合1.（新課標Ⅰ）設是公比不為1的等比數(shù)列，為，的等差中項．（1）求的公比；（2）若，求數(shù)列的前項和．【答案】（1）-2；（2）.【解析】（1）設的公比為，為的等差中項，，；（2）設的前項和為，，，①，②①②得，，.2.（新課標Ⅲ）設數(shù)列{an}滿足a1=3，．（1）計算a2，a3，猜想{an}的通項公式并加以證明；（2）求數(shù)列{2nan}的前n項和Sn．【答案】（1），，，證明見解析；（2）.【解析】（1）由題意可得，，由數(shù)列的前三項可猜想數(shù)列是以為首項，2為公差的等差數(shù)列，即，證明如下：當時，成立；假設時，成立.那么時，也成立.則對任意的，都有成立；（2）由（1）可知，，①，②由①②得：，即.3.（北京卷）已知是無窮數(shù)列．給出兩個性質：①對于中任意兩項，在中都存在一項，使；②對于中任意項，在中都存在兩項．使得．(Ⅰ)若，判斷數(shù)列是否滿足性質①，說明理由；(Ⅱ)若，判斷數(shù)列是否同時滿足性質①和性質②，說明理由；(Ⅲ)若是遞增數(shù)列，且同時滿足性質①和性質②，證明：為等比數(shù)列.【答案】(Ⅰ)詳見解析；(Ⅱ)詳解解析；(Ⅲ)證明詳見解析.【解析】(Ⅰ)不具有性質①；(Ⅱ)具有性質①；具有性質②；(Ⅲ)【解法一】首先，證明數(shù)列中的項數(shù)同號，不妨設恒為正數(shù)：顯然，假設數(shù)列中存在負項，設，第一種情況：若，即，由①可知：存在，滿足，存在，滿足，由可知，從而，與數(shù)列的單調性矛盾，假設不成立.第二種情況：若，由①知存在實數(shù)，滿足，由的定義可知：，另一方面，，由數(shù)列的單調性可知：，這與的定義矛盾，假設不成立.同理可證得數(shù)列中的項數(shù)恒為負數(shù).綜上可得，數(shù)列中的項數(shù)同號.其次，證明：利用性質②：取，此時，由數(shù)列的單調性可知，而，故，此時必有，即，最后，用數(shù)學歸納法證明數(shù)列為等比數(shù)列：假設數(shù)列的前項成等比數(shù)列，不妨設，其中，（的情況類似）由①可得：存在整數(shù)，滿足，且（*）由②得：存在，滿足：，由數(shù)列的單調性可知：，由可得：（**）由（**）和（*）式可得：，結合數(shù)列的單調性有：，注意到均為整數(shù)，故，代入（**）式，從而.總上可得，數(shù)列的通項公式為：.即數(shù)列為等比數(shù)列.【解法二】假設數(shù)列中的項數(shù)均為正數(shù)：首先利用性質②：取，此時，由數(shù)列的單調性可知，而，故，此時必有，即，即成等比數(shù)列，不妨設，然后利用性質①：取，則，即數(shù)列中必然存在一項的值為，下面我們來證明，否則，由數(shù)列的單調性可知，在性質②中，取，則，從而，與前面類似的可知則存在，滿足，若，則：，與假設矛盾；若，則：，與假設矛盾；若，則：，與數(shù)列的單調性矛盾；即不存在滿足題意的正整數(shù)，可見不成立，從而，同理可得：，從而數(shù)列為等比數(shù)列，同理，當數(shù)列中的項數(shù)均為負數(shù)時亦可證得數(shù)列為等比數(shù)列.由推理過程易知數(shù)列中的項要么恒正要么恒負，不會同時出現(xiàn)正數(shù)和負數(shù).從而題中的結論得證，數(shù)列為等比數(shù)列.4.（江蘇卷）已知數(shù)列的首項a1=1，前n項和為Sn．設λ與k是常數(shù)，若對一切正整數(shù)n，均有成立，則稱此數(shù)列為“λ–k”數(shù)列．（1）若等差數(shù)列是“λ–1”數(shù)列，求λ的值；（2）若數(shù)列是“”數(shù)列，且an＞0，求數(shù)列的通項公式；（3）對于給定的λ，是否存在三個不同的數(shù)列為“λ–3”數(shù)列，且an≥0?若存在，求λ的取值范圍；若不存在，說明理由，【答案】（1）1（2）（3）【解析】（1）（2），（3）假設存在三個不同的數(shù)列為數(shù)列.或或∵對于給定的，存在三個不同的數(shù)列為數(shù)列，且或有兩個不等的正根.可轉化為，不妨設，則有兩個不等正根，設.①當時，，即，此時，，滿足題意.②當時，，即，此時，，此情況有兩個不等負根，不滿足題意舍去.綜上，5.（山東卷）已知公比大于的等比數(shù)列滿足．（1）求的通項公式；（2）求.【答案】（1）；（2）【解析】(1)設等比數(shù)列的公比為q(q>1)，則，整理可得：，，數(shù)列的通項公式為：.(2)由于：，故：.6.（天津卷）已知為等差數(shù)列，為等比數(shù)列，．（Ⅰ）求和的通項公式；（Ⅱ）記的前項和為，求證：；（Ⅲ）對任意的正整數(shù)，設求數(shù)列的前項和．【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）證明見解析；（Ⅲ）.【解析】(Ⅰ)設等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為q.由，，可得d=1.從而的通項公式為.由，又q≠0，可得，解得q=2，從而的通項公式為.(Ⅱ)證明：由(Ⅰ)可得，故，，從而，所以.(Ⅲ)當n奇數(shù)時，，當n為偶數(shù)時，，對任意的正整數(shù)n，有，和①由①得②由①②得，由于，從而得：.因此，.所以，數(shù)列的前2n項和為.7.（浙江卷）已知數(shù)列{an}，{bn}，{cn}中，．（Ⅰ）若數(shù)列{bn}為等比數(shù)列，且公比，且，求q與an的通項公式；（Ⅱ）若數(shù)列{bn}為等差數(shù)列，且公差，證明：．【答案】（I）；（II）證明見解析.【解析】（I）依題意，而，即，由于，所以解得，所以.所以，故，所以數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，所以.所以（）.所以（II）依題意設，由于，所以，故.所以.由于，所以，所以.即，.1．【高考全國II卷理數(shù)】已知數(shù)列{an}和{bn}滿足a1=1，b1=0，，.（I）證明：{an+bn}是等比數(shù)列，{an–bn}是等差數(shù)列；（II）求{an}和{bn}的通項公式.【答案】（I）見解析；（2），.【解析】（1）由題設得，即．又因為a1+b1=l，所以是首項為1，公比為的等比數(shù)列．由題設得，即．又因為a1–b1=l，所以是首項為1，公差為2的等差數(shù)列．（2）由（1）知，，．所以，．2．【高考北京卷理數(shù)】已知數(shù)列{an}，從中選取第i1項、第i2項、…、第im項（i1<i2<…<im），若，則稱新數(shù)列為{an}的長度為m的遞增子列．規(guī)定：數(shù)列{an}的任意一項都是{an}的長度為1的遞增子列．（Ⅰ）寫出數(shù)列1，8，3，7，5，6，9的一個長度為4的遞增子列；（Ⅱ）已知數(shù)列{an}的長度為p的遞增子列的末項的最小值為，長度為q的遞增子列的末項的最小值為．若p<q，求證：<；（Ⅲ）設無窮數(shù)列{an}的各項均為正整數(shù)，且任意兩項均不相等．若{an}的長度為s的遞增子列末項的最小值為2s–1，且長度為s末項為2s–1的遞增子列恰有2s-1個（s=1，2，…），求數(shù)列{an}的通項公式．【答案】(Ⅰ)1,3,5,6（答案不唯一）；(Ⅱ)見解析；(Ⅲ)見解析.【解析】（Ⅰ）1，3，5，6.（答案不唯一）（Ⅱ）設長度為q末項為的一個遞增子列為.由p<q，得.因為的長度為p的遞增子列末項的最小值為，又是的長度為p的遞增子列，所以.所以·（Ⅲ）由題設知，所有正奇數(shù)都是中的項.先證明：若2m是中的項，則2m必排在2m?1之前（m為正整數(shù)）.假設2m排在2m?1之后.設是數(shù)列的長度為m末項為2m?1的遞增子列，則是數(shù)列的長度為m+1末項為2m的遞增子列.與已知矛盾.再證明：所有正偶數(shù)都是中的項.假設存在正偶數(shù)不是中的項，設不在中的最小的正偶數(shù)為2m.因為2k排在2k?1之前（k=1，2，…，m?1），所以2k和不可能在的同一個遞增子列中.又中不超過2m+1的數(shù)為1，2，…，2m?2，2m?1，2m+1，所以的長度為m+1且末項為2m+1的遞增子列個數(shù)至多為.與已知矛盾.最后證明：2m排在2m?3之后（m≥2為整數(shù)）.假設存在2m（m≥2），使得2m排在2m?3之前，則的長度為m+1且末項為2m+l的遞增子列的個數(shù)小于.與已知矛盾.綜上，數(shù)列只可能為2，1，4，3，…，2m?3，2m，2m?1，….經(jīng)驗證，數(shù)列2，1，4，3，…，2m?3，2m，2m?1，…符合條件.所以3．【高考天津卷理數(shù)】設是等差數(shù)列，是等比數(shù)列．已知．（Ⅰ）求和的通項公式；（Ⅱ）設數(shù)列滿足其中．（i）求數(shù)列的通項公式；（ii）求．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）（i）（ii）【解析】（Ⅰ）設等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為．依題意得解得故．所以，的通項公式為的通項公式為．（Ⅱ）（i）．所以，數(shù)列的通項公式為．（ii）．4．【高考江蘇卷】定義首項為1且公比為正數(shù)的等比數(shù)列為“M－數(shù)列”.（1）已知等比數(shù)列{an}滿足：，求證:數(shù)列{an}為“M－數(shù)列”；（2）已知數(shù)列{bn}滿足:，其中Sn為數(shù)列{bn}的前n項和．①求數(shù)列{bn}的通項公式；②設m為正整數(shù)，若存在“M－數(shù)列”{cn}，對任意正整數(shù)k，當k≤m時，都有成立，求m的最大值．【答案】（1）見解析；（2）①bn=n；②5.【解析】解：（1）設等比數(shù)列{an}的公比為q，所以a1≠0，q≠0.由，得，解得．因此數(shù)列為“M—數(shù)列”.（2）①因為，所以．由，得，則.由，得，當時，由，得，整理得．所以數(shù)列{bn}是首項和公差均為1的等差數(shù)列.因此，數(shù)列{bn}的通項公式為bn=n.②由①知，bk=k，.因為數(shù)列{cn}為“M–數(shù)列”，設公比為q，所以c1=1，q>0.因為ck≤bk≤ck+1，所以，其中k=1，2，3，…，m.當k=1時，有q≥1；當k=2，3，…，m時，有．設f（x）=，則．令，得x=e.列表如下：xe(e，+∞)+0–f（x）極大值因為，所以．取，當k=1，2，3，4，5時，，即，經(jīng)檢驗知也成立．因此所求m的最大值不小于5．若m≥6，分別取k=3，6，得3≤q3，且q5≤6，從而q15≥243，且q15≤216，所以q不存在.因此所求m的最大值小于6.綜上，所求m的最大值為5．5．【高考浙江卷】設等差數(shù)列的前n項和為，，，數(shù)列滿足：對每個成等比數(shù)列．（I）求數(shù)列的通項公式；

（II）記證明：【答案】（I），；（II）證明見解析.【解析】（I）設數(shù)列的公差為d，由題意得，解得．從而．所以，由成等比數(shù)列得．解得．所以．（II）．我們用數(shù)學歸納法證明．（i）當n=1時，c1=0<2，不等式成立；（ii）假設時不等式成立，即．那么，當時，．即當時不等式也成立．根據(jù)（i）和（ii），不等式對任意成立．1.（浙江卷）已知等比數(shù)列{an}的公比q>1，且a3+a4+a5=28，a4+2是a3，a5的等差中項．數(shù)列{bn}滿足b1=1，數(shù)列{（bn+1?bn）an}的前n項和為2n2+n．（Ⅰ）求q的值；（Ⅱ）求數(shù)列{bn}的通項公式．【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）由是的等差中項得，所以，解得.由得，因為，所以.（Ⅱ）設，數(shù)列前n項和為.由解得.由（Ⅰ）可知，所以，故，.設，所以，因此，又，所以.2.（天津卷）設是等比數(shù)列，公比大于0，其前n項和為，是等差數(shù)列.已知，，，.（I）求和的通項公式；（II）設數(shù)列的前n項和為，（i）求；（ii）證明.【答案】(Ⅰ)，；(Ⅱ)（i）.（ii）證明見解析.【解析】（I）設等比數(shù)列的公比為q.由可得.因為，可得，故.設等差數(shù)列的公差為d，由，可得由，可得從而故所以數(shù)列的通項公式為，數(shù)列的通項公式為（II）（i）由（I），有，故.（ii）因為，所以3.（江蘇卷）設是首項為，公差為d的等差數(shù)列，是首項為，公比為q的等比數(shù)列．（1）設，若對均成立，求d的取值范圍；（2）若，證明：存在，使得對均成立，并求的取值范圍（用表示）．【答案】（1）d的取值范圍為．（2）d的取值范圍為，證明見解析?！窘馕觥浚?）由條件知：．因為對n=1，2，3，4均成立，即對n=1，2，3，4均成立，即11，1d3，32d5，73d9，得．因此，d的取值范圍為．（2）由條件知：．若存在d，使得（n=2，3，···，m+1）成立，即，即當時，d滿足．因為，則，從而，，對均成立．因此，取d=0時，對均成立．下面討論數(shù)列的最大值和數(shù)列的最小值（）．①當時，，當時，有，從而．因此，當時，數(shù)列單調遞增，故數(shù)列的最大值為．②設，當x>0時，，所以單調遞減，從而<f（0）=1．當時，，因此，當時，數(shù)列單調遞減，故數(shù)列的最小值為．因此，d的取值范圍為．4.（江蘇卷）設，對1，2，···，n的一個排列，如果當s<t時，有，則稱是排列的一個逆序，排列的所有逆序的總個數(shù)稱為其逆序數(shù)．例如：對1，2，3的一個排列231，只有兩個逆序(2，1)，(3，1)，則排列231的逆序數(shù)為2．記為1，2，···，n的所有排列中逆序數(shù)為k的全部排列的個數(shù)．（1）求的值；（2）求的表達式(用n表示)．【答案】（1）25（2）n≥5時，【解析】（1）記為排列abc的逆序數(shù)，對1，2，3的所有排列，有，所以．對1，2，3，4的排列，利用已有的1，2，3的排列，將數(shù)字4添加進去，4在新排列中的位置只能是最后三個位置．因此，．（2）對一般的n（n≥4）的情形，逆序數(shù)為0的排列只有一個：12…n，所以．逆序數(shù)為1的排列只能是將排列12…n中的任意相鄰兩個數(shù)字調換位置得到的排列，所以．為計算，當1，2，…，n的排列及其逆序數(shù)確定后，將n+1添加進原排列，n+1在新排列中的位置只能是最后三個位置．因此，．當n≥5時，，因此，n≥5時，．5.（全國Ⅱ卷理數(shù)）記為等差數(shù)列的前項和，已知，．（1）求的通項公式；（2）求，并求的最小值．【答案】（1）an=2n–9，（2）Sn=n2–8n，最小值為–16．【解析】（1）設{an}的公差為d，由題意得3a1+3d=–15．由a1=–7得d=2．所以{an}的通項公式為an=2n–9．（2）由（1）得Sn=n2–8n=（n–4）2–16．所以當n=4時，Sn取得最小值，最小值為–16．12.（全國Ⅲ卷理數(shù)）等比數(shù)列中，．（1）求的通項公式；（2）記為的前項和．若，求．【答案】（1）或（2）【解析】（1）設的公比為，由題設得．由已知得，解得（舍去），或．故或．（2）若，則．由得，此方程沒有正整數(shù)解．若，則．由得，解得．綜上，．1.【2017山東，理19】已知{xn}是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，且x1+x2=3，x3-x2=2（Ⅰ）求數(shù)列{xn}的通項公式；（Ⅱ）如圖，在平面直角坐標系xOy中，依次連接點P1(x1,1)，P2(x2,2)…Pn+1(xn+1,n+1)得到折線P1P2…Pn+1，求由該折線與直線y=0，所圍成的區(qū)域的面積.【答案】(I)（II）（II）過……向軸作垂線，垂足分別為……,由(I)得記梯形的面積為.由題意，所以……+=……+=1\*GB3①又……+=2\*GB3②=1\*GB3①-=2\*GB3②得=所以2.【2017北京，理20】設和是兩個等差數(shù)列，記，其中表示這個數(shù)中最大的數(shù)．（Ⅰ）若，，求的值，并證明是等差數(shù)列；（Ⅱ）證明：或者對任意正數(shù)，存在正整數(shù)，當時，；或者存在正整數(shù)，使得是等差數(shù)列．【答案】（1）見解析（2）見解析【解析】（Ⅰ）分別代入求，觀察規(guī)律，再證明當時，，所以關于單調遞減.所以，從而得證；（Ⅱ）首先求的通項公式，分三種情況討論證明.試題解析：（Ⅰ），.當時，，所以關于單調遞減.所以.所以對任意，于是，所以是等差數(shù)列.（Ⅱ）設數(shù)列和的公差分別為，則.所以①當時，取正整數(shù)，則當時，，因此.此時，是等差數(shù)列.②當時，對任意，此時，是等差數(shù)列.③當時，當時，有.所以對任意正數(shù)，取正整數(shù)，故當時，.3.【2017天津，理18】已知為等差數(shù)列，前n項和為，是首項為2的等比數(shù)列，且公比大于0，,，.（Ⅰ）求和的通項公式；（Ⅱ）求數(shù)列的前n項和.【答案】（1）..（2）.【解析】（I）設等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為.由已知，得，而，所以.又因為，解得.所以，.由，可得①.由，可得②，聯(lián)立①②，解得，，由此可得.所以，數(shù)列的通項公式為，數(shù)列的通項公式為.（II）解：設數(shù)列的前項和為，由，，有，故，，上述兩式相減，得得.所以，數(shù)列的前項和為.4.【2017江蘇，19】對于給定的正整數(shù),若數(shù)列滿足對任意正整數(shù)總成立，則稱數(shù)列是“數(shù)列”.（1）證明：等差數(shù)列是“數(shù)列”;（2）若數(shù)列既是“數(shù)列”，又是“數(shù)