人教版數(shù)學(xué) 中考專(zhuān)題復(fù)習(xí) 勾股定理（共3講）

勾股定理概念及應(yīng)用（第1講）教學(xué)目標(biāo):1.掌握勾股定理的內(nèi)容及證明方法，能夠熟練地運(yùn)用勾股定理由已知直角三角形中的兩條邊長(zhǎng)求出第三條邊長(zhǎng)．2.掌握勾股定理，能夠運(yùn)用勾股定理解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題，會(huì)運(yùn)用方程思想解決問(wèn)題．3.熟練應(yīng)用勾股定理解決直角三角形中的問(wèn)題，進(jìn)一步運(yùn)用方程思想解決問(wèn)題．知識(shí)點(diǎn)01勾股定理直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.如果直角三角形的兩直角邊長(zhǎng)分別為，斜邊長(zhǎng)為，那么.勾：直角三角形較短的直角邊股：直角三角形較長(zhǎng)的直角邊弦：斜邊注意：（1）勾股定理揭示了一個(gè)直角三角形三邊之間的數(shù)量關(guān)系.（2）利用勾股定理，當(dāng)設(shè)定一條直角邊長(zhǎng)為未知數(shù)后，根據(jù)題目已知的線(xiàn)段長(zhǎng)可以建立方程求解，這樣就將數(shù)與形有機(jī)地結(jié)合起來(lái)，達(dá)到了解決問(wèn)題的目的.（3）理解勾股定理的一些變式：，，.，，知識(shí)點(diǎn)02勾股定理的證明方法一：將四個(gè)全等的直角三角形拼成如圖所示的正方形.右圖中：，，方法二：將四個(gè)全等的直角三角形拼成如圖所示的正方形.右圖中：，，化簡(jiǎn)可證方法三：右圖所示，將兩個(gè)直角三角形拼成直角梯形.，，化簡(jiǎn)得證；知識(shí)點(diǎn)03勾股定理的作用（1）已知直角三角形的任意兩條邊長(zhǎng)，求第三邊；（2）用于解決帶有平方關(guān)系的證明問(wèn)題；（3）利用勾股定理，作出長(zhǎng)為的線(xiàn)段.類(lèi)型一、勾股定理例1.若直角三角形的三邊長(zhǎng)分別為6，8，m，則m的值為（

）A．10 B．2 C．28 D．10或2變式1-1若直角三角形的一條直角邊和斜邊的比為，另一條直角邊長(zhǎng)為，則直角三角形的斜邊長(zhǎng)為（

）A．3 B．6 C． D．變式1-2已知直角三角形的兩邊長(zhǎng)分別為3、4．則第三邊長(zhǎng)為_(kāi)_______．重點(diǎn)點(diǎn)撥：重點(diǎn)點(diǎn)撥：已知直角三角形的兩邊，利用勾股定理求第三邊時(shí)，已知的兩邊可能都是直角邊，也可能是一直角邊與斜邊，若題中沒(méi)有明確說(shuō)明，則應(yīng)分類(lèi)討論．類(lèi)型二、用勾股定理理解直角三角形 例2．《九章算術(shù)》是我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著，書(shū)中有下列問(wèn)題：“今有戶(hù)高多于廣六尺八寸，兩隅相去適一丈．問(wèn)戶(hù)高、廣各幾何？”其意思為：今有一門(mén)，高比寬多6尺8寸，門(mén)對(duì)角線(xiàn)距離恰好為1丈．問(wèn)門(mén)高、寬各是多少？（1丈＝10尺，1尺＝10寸）如圖，設(shè)門(mén)高為尺，根據(jù)題意，可列方程為_(kāi)_______．變式2-1在中，，若，則的長(zhǎng)是________．變式2-2若直角三角形其中兩條邊的長(zhǎng)分別為3，4，則該直角三角形斜邊上的高的長(zhǎng)為_(kāi)_______．類(lèi)型三、兩點(diǎn)距離公式 例3．在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，，當(dāng)線(xiàn)段最短時(shí)，的值為（）A．5 B．3 C．4 D．0變式3-1如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A(4，0)，B(0，3)，以點(diǎn)A為圓心，AB長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交x軸的負(fù)半軸于點(diǎn)C，則點(diǎn)C坐標(biāo)為()A．(1，0) B．(﹣5，0) C．(0，1) D．(﹣1，0)變式3-2點(diǎn)P（－3，4）到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離是（）A．3 B．4 C．－4 D．5類(lèi)型四、利用勾股定理求線(xiàn)段長(zhǎng)例4.已知一直角三角形兩直角邊的長(zhǎng)分別為6cm和8cm，則第三邊上的高為_(kāi)_______.變式4-1如圖，在和中，，點(diǎn)在上．若，，，則__________．變式4-2如圖，在四邊形ABCD中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，CD=5，DA=，則BD的長(zhǎng)為_(kāi)_________.（變式4-1圖）（變式4-2圖）重點(diǎn)點(diǎn)撥：重點(diǎn)點(diǎn)撥：利用勾股定理求幾何圖形中的相關(guān)線(xiàn)段，在解決此類(lèi)問(wèn)題時(shí)，需要找準(zhǔn)直角三角形，再利用勾股定理解決問(wèn)題，注意當(dāng)沒(méi)有給出具體圖形時(shí)，要進(jìn)行分類(lèi)討論類(lèi)型五、勾股數(shù) 例5．下列四組數(shù)中，是勾股數(shù)的是（）A．5，12，13 B．，， C．1，， D．7，24，26變式5-1下列五組數(shù)：①4、5、6；②0.6、0.8、1；③7、4、25；④8、15、17；⑤9、40、41，其中是勾股數(shù)的組數(shù)為（）A．2 B．3 C．4 D．5變式5-2下列各組數(shù)中，勾股數(shù)是（）A．32，42，52 B．1，， C．0.6，0.8，1 D．5，12，13類(lèi)型六、勾股樹(shù)中的面積問(wèn)題 例6．如圖，由兩個(gè)直角三角形和三個(gè)正方形組成的圖形，其中陰影部分面積是（）A．3 B．9 C．16 D．25變式6-1小李同學(xué)在學(xué)習(xí)“2.7探索勾股定理”時(shí)發(fā)現(xiàn)，公式中的、、可以看成以、、為邊的正方形面積，利用面積之間的等量關(guān)系，驗(yàn)證了勾股定理，他對(duì)這個(gè)發(fā)現(xiàn)進(jìn)一步進(jìn)行思考，如果分別以這三邊向外構(gòu)造等邊三角形、等腰直角三角形、等腰三角形（、、為底）、半圓，其中不滿(mǎn)足這個(gè)關(guān)系的是（）A．B．C． D．變式6-2如圖，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，分別以△ABC的三邊為邊作正方形ABDE，正方形BCFG，正方形ACHI，AI交CF于點(diǎn)J．三個(gè)正方形沒(méi)有重疊的部分為陰影部分，設(shè)四邊形BGFJ的面積為S1，四邊形CHIJ的面積為S2，若S1﹣S2＝12，S△ABC＝4，則正方形BCFG的面積為（）重點(diǎn)點(diǎn)撥：求圖形中幾個(gè)部分的面積和或不規(guī)則圖形的面積時(shí)，通常通過(guò)勾股定理找到已知與未知的聯(lián)系，將面積轉(zhuǎn)化為直角三角形面積的和或差或其他易求得的圖形面積進(jìn)行計(jì)算A．16 B．18 C．20 重點(diǎn)點(diǎn)撥：求圖形中幾個(gè)部分的面積和或不規(guī)則圖形的面積時(shí)，通常通過(guò)勾股定理找到已知與未知的聯(lián)系，將面積轉(zhuǎn)化為直角三角形面積的和或差或其他易求得的圖形面積進(jìn)行計(jì)算類(lèi)型七、勾股定理解決網(wǎng)格問(wèn)題 例7．如圖所示的2×4的正方形網(wǎng)格中，△ABC的頂點(diǎn)都在小正方形的格點(diǎn)上，這樣的三角形稱(chēng)為格點(diǎn)三角形，則點(diǎn)A到BC的距離等于（）A． B．2 C． D．變式7-1在3×3的正方形方格中，∠1和∠2的位置和大小分別如圖所示，則∠1+∠2＝（）A．30° B．45° C．60° D．75°變式7-2如圖，網(wǎng)格線(xiàn)的交點(diǎn)稱(chēng)為格點(diǎn)，任取個(gè)格點(diǎn)構(gòu)成等腰三角形，則下列可以作為腰長(zhǎng)的是（）A． B． C． D．類(lèi)型八、勾股定理與折疊問(wèn)題 例8．如圖所示，折疊長(zhǎng)方形的一邊，使點(diǎn)落在邊的點(diǎn)處，已知，，求的長(zhǎng)．難點(diǎn)點(diǎn)撥：勾股定理在折疊問(wèn)題中應(yīng)用時(shí)，主要是結(jié)合長(zhǎng)方形，直角三角形等知識(shí)，考查運(yùn)用勾股定理解決折疊問(wèn)題，注意折疊中不變的量以及出現(xiàn)的直角三角形，從而運(yùn)用勾股定理求解變式8-1如圖直角三角形紙片中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝8，AC＝6，沿點(diǎn)B的直線(xiàn)折疊這個(gè)三角形，使點(diǎn)C在AB邊上的點(diǎn)E處，折痕為BD難點(diǎn)點(diǎn)撥：勾股定理在折疊問(wèn)題中應(yīng)用時(shí)，主要是結(jié)合長(zhǎng)方形，直角三角形等知識(shí)，考查運(yùn)用勾股定理解決折疊問(wèn)題，注意折疊中不變的量以及出現(xiàn)的直角三角形，從而運(yùn)用勾股定理求解（1）求△ADE的周長(zhǎng)；（2）求DE的長(zhǎng)．變式8-2如圖，有一張直角三角形紙片，兩直角邊AC＝6cm，BC＝8cm，將△ABC折疊，使點(diǎn)B與點(diǎn)A重合，折痕為DE，求CD的長(zhǎng)．方法點(diǎn)撥：方法點(diǎn)撥：勾股定理在解決折疊問(wèn)題的關(guān)鍵是設(shè)出適當(dāng)?shù)木€(xiàn)段的長(zhǎng)度為x，然后用含有x的式子表示其他線(xiàn)段，然后在直角三角形中利用勾股定理列方程解答．.類(lèi)型九、用勾股定理求最值問(wèn)題 例9．如圖是一個(gè)長(zhǎng)方體盒子，用一根細(xì)線(xiàn)繞側(cè)面綁在點(diǎn)A、B處，不計(jì)結(jié)頭，細(xì)線(xiàn)最短長(zhǎng)度為_(kāi)_____．方法點(diǎn)撥：立體圖形展開(kāi)轉(zhuǎn)化成平面圖形，然后構(gòu)造直角三角形，最短路徑為其斜邊長(zhǎng)，已指定路線(xiàn)：直接求斜邊長(zhǎng)；未指定路線(xiàn)：先分類(lèi)討論再取最短的斜邊方法點(diǎn)撥：立體圖形展開(kāi)轉(zhuǎn)化成平面圖形，然后構(gòu)造直角三角形，最短路徑為其斜邊長(zhǎng)，已指定路線(xiàn)：直接求斜邊長(zhǎng)；未指定路線(xiàn)：先分類(lèi)討論再取最短的斜邊變式9-1如圖，一只螞蟻從正方體的下底面點(diǎn)沿著側(cè)面爬到上底面點(diǎn)，正方體棱長(zhǎng)為3cm，則螞蟻所走過(guò)的最短路徑是______cm．【變式2】已知點(diǎn)，，點(diǎn)在軸上，且最短，則這個(gè)最短距離是___．類(lèi)型十、勾股定理的證明 例10．1876年，美國(guó)總統(tǒng)伽菲爾德（JamesAbramGarfield）利用如圖驗(yàn)證了勾股定理，你能利用它驗(yàn)證勾股定理嗎？請(qǐng)寫(xiě)出證明過(guò)程．方法點(diǎn)撥：方法點(diǎn)撥：當(dāng)遇到涉及線(xiàn)段之間的平方關(guān)系的問(wèn)題時(shí)，通常尋找或構(gòu)造合適的直角三角形，利用勾股定理將所求的線(xiàn)段聯(lián)系起來(lái).變式10-1如圖是由4個(gè)全等的直角三角形拼成的大正方形，直角三角形的兩條直角邊分別為，斜邊為c，中間是正方形，請(qǐng)你利用這個(gè)圖來(lái)驗(yàn)證勾股定理．方法點(diǎn)撥：當(dāng)遇到涉及線(xiàn)段之間的平方關(guān)系的問(wèn)題時(shí)，通常尋找或構(gòu)造合適的直角三角形，利用勾股定理將所求的線(xiàn)段聯(lián)系起來(lái).方法點(diǎn)撥：當(dāng)遇到涉及線(xiàn)段之間的平方關(guān)系的問(wèn)題時(shí)，通常尋找或構(gòu)造合適的直角三角形，利用勾股定理將所求的線(xiàn)段聯(lián)系起來(lái).1．等腰三角形的底邊和腰長(zhǎng)分別是10和12，則底邊上的高是（）A．13 B．8 C． D．2．我國(guó)是最早了解勾股定理的國(guó)家之一.下面四幅圖中，不能用來(lái)證明勾股定理的是（）A． B． C． D．3．在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝1，AC＝2，則AB的長(zhǎng)是()A．1 B． C．2 D．4．已知中，，BD是AC邊上的高線(xiàn)，，那么BD等于（）A．2 B．4 C．6 D．85．如圖，長(zhǎng)為8cm的橡皮筋放置在數(shù)軸上，固定兩端A和B，然后把中點(diǎn)C向上拉升3cm到D點(diǎn)，則橡皮筋被拉長(zhǎng)了（）A．3cm B．2cm C．4cm D．2.5cm 6．在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（－2，5），點(diǎn)B（1，1），則線(xiàn)段AB的長(zhǎng)度為（）A．2 B．3 C．4 D．57．已知點(diǎn)及點(diǎn)，P是x軸上一動(dòng)點(diǎn)，連接，，則的最小值是（）A． B． C．5 D．4 8．有下列各組數(shù)：①，，；②，，；③，，；④，，．其中勾股數(shù)有（）A．組 B．組 C．組 D．組9．如圖，以的三邊為直徑分別向外作半圓，若斜邊，則圖中陰影部分的面積為（）A． B． C． D．10．觀察圖形，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1，估計(jì)陰影正方形的邊長(zhǎng)的值在哪兩個(gè)整數(shù)之間（）A．1和2 B．2和3 C．3和4 D．4和511．如圖，一張直角三角形紙片，兩直角邊AC=4cm，BC=8cm，將△ABC折疊，點(diǎn)B與點(diǎn)A重合，折痕為DE，則DE的長(zhǎng)為（）．A． B． C． D．512．如圖，長(zhǎng)方形紙片ABCD中，AB=3cm，AD=9cm，將此長(zhǎng)方形紙片折疊，使點(diǎn)D與點(diǎn)B重合，點(diǎn)C落在點(diǎn)H的位置，折痕為EF，則△ABE的面積為（）A．6cm2 B．8cm2 C．10cm2 D．12cm213．如圖所示，小明準(zhǔn)備測(cè)量一段河水的深度，他把一根竹竿豎直插到離岸邊1.5m遠(yuǎn)的水底，竹竿高出水面0.5m，把竹竿的頂端拉向岸邊，竿頂和岸邊的水面剛好相齊，則河水的深度為（）A．2m B．2.25m C．2.5m D．3m14．如圖，在筆直的公路AB旁有一座山，為方便運(yùn)輸貨物現(xiàn)要從公路AB上的D處開(kāi)鑿隧道通一條公路到C處，已知點(diǎn)C與公路上的停靠站A的距離為3km，與公路上另一?？空綛的距離為4km，且AC⊥BC，CD⊥AB．（1）求修建的公路CD的長(zhǎng)；（2）若公路CD建成后，一輛貨車(chē)由C處途經(jīng)D處到達(dá)B處的總路程是多少km？15．已知，點(diǎn)A（﹣2，1）和點(diǎn)B（4，3）．（1）在坐標(biāo)平面內(nèi)描出點(diǎn)A和點(diǎn)B的位置．（2）連接AB并計(jì)算AB的長(zhǎng)度．（3）若點(diǎn)C（a﹣1，2b+3）與點(diǎn)B（4，3）關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，求a﹣b的值．16．如圖，在長(zhǎng)方形ABCD中，點(diǎn)E在邊AB上，把長(zhǎng)方形ABCD沿著直線(xiàn)DE折疊，點(diǎn)A落在邊BC上的點(diǎn)F處，若AE＝5，BF＝3．求：（1）AB的長(zhǎng)；（2）△CDF的面積．17．如圖，某測(cè)量員測(cè)量公園內(nèi)一棵樹(shù)的高度，他們?cè)谶@棵樹(shù)左側(cè)一斜坡上端點(diǎn)A處測(cè)得樹(shù)頂端D的仰角為，朝著這棵樹(shù)的方向走到臺(tái)階下的點(diǎn)C處，測(cè)得樹(shù)頂端D的仰角為．已知A點(diǎn)的高度為3米，臺(tái)階的坡度為（即），且B、C、E三點(diǎn)在同一條直線(xiàn)上．（1）求斜坡的長(zhǎng)；（2）請(qǐng)根據(jù)以上條件求出樹(shù)的高度．（側(cè)傾器的高度忽略不計(jì)）18．如圖所示，已知某學(xué)校點(diǎn)A到直線(xiàn)河流BD的距離為600米，且與該河流上一個(gè)取水站點(diǎn)D相距1000米，現(xiàn)要在河邊新建一個(gè)取水站點(diǎn)C，使之與學(xué)校點(diǎn)A及取水站點(diǎn)D的距離相等，則學(xué)校點(diǎn)A與取水站點(diǎn)C的距離是多少米？

勾股定理的應(yīng)用（第2講）教學(xué)目標(biāo)：1.掌握勾股定理的應(yīng)用2.熟練運(yùn)用勾股定理類(lèi)型十一、勾股定理與無(wú)理數(shù) 例11．如圖，△ABC的邊BC在數(shù)軸上，點(diǎn)B對(duì)應(yīng)的數(shù)字是1，點(diǎn)C對(duì)應(yīng)的數(shù)字是2，∠ACB＝90°，AC＝2，以點(diǎn)B為圓心，AB為半徑的圓弧交數(shù)軸于點(diǎn)D，則點(diǎn)D所表示的數(shù)為_(kāi)________．變式11-1為了比較與+1的大小，可以構(gòu)造如圖所示的圖形進(jìn)行推算，其中∠C＝90°，BC＝4，D在BC上，且CD＝3，AC＝1．通過(guò)計(jì)算可得__+1．（填“＞”或“＜”或“＝”）變式11-2如圖，為原點(diǎn)，點(diǎn)，分別表示，2，以為底邊在數(shù)軸上方作等腰三角形，連接，以為圓心，長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交數(shù)軸正半軸于點(diǎn)，若，則點(diǎn)表示的實(shí)數(shù)為_(kāi)_________．類(lèi)型十二、求梯子滑落的高度（勾股定理的應(yīng)用） 例12．如圖，斜靠在一面墻上的一根竹竿，它的頂端距離地面的距離為，底端遠(yuǎn)離墻的距離為，當(dāng)它的頂端下滑時(shí)，底端在地面上水平滑行的距離是______.變式12-1生活經(jīng)驗(yàn)表明，靠墻擺放梯子時(shí)，若梯子底端離墻的距離約為梯子長(zhǎng)度的，則梯子比較穩(wěn)定，如圖，AB為一長(zhǎng)度為6米的梯子．（1）當(dāng)梯子穩(wěn)定擺放時(shí)，它的頂端能達(dá)到5.7米高的墻頭嗎？（溫馨提示：≈1.414）（2）如圖2，若梯子底端向左滑動(dòng)使OD=3米，那么梯子頂端將下滑多少米？（結(jié)果保留1位小數(shù)）變式12-2如圖，一架梯子AB斜靠在一豎直的墻OA上，這時(shí)AO＝3m，∠OAB＝30°，梯子頂端A沿墻下滑至點(diǎn)C，使∠OCD＝60°，同時(shí)，梯子底端B也外移至點(diǎn)D．求BD的長(zhǎng)度．（結(jié)果保留根號(hào)）[補(bǔ)充：直角三角形中，30°所對(duì)的直角邊是斜邊的一半]類(lèi)型十三、求小鳥(niǎo)飛行的距離（勾股定理的應(yīng)用） 例13．有一只喜鵲在一棵3m高的小樹(shù)上覓食，它的巢筑在距離該樹(shù)24m的一棵大樹(shù)上，大樹(shù)高14m，且巢離樹(shù)頂部1m．當(dāng)它聽(tīng)到巢中幼鳥(niǎo)的叫聲，立即趕過(guò)去，如果它飛行的速度為5m/s，那它至少需要多少時(shí)間才能趕回巢中？變式13-1如圖，有兩棵樹(shù)，一棵高6m，另一棵高2m，兩樹(shù)相距5m．一只小鳥(niǎo)從一棵樹(shù)的樹(shù)梢飛到另一棵樹(shù)的樹(shù)梢，至少飛了多少米？（結(jié)果精確到0.1m）變式13-2如圖，校園內(nèi)有兩棵樹(shù)，相距8米，一棵樹(shù)樹(shù)高米，另一棵樹(shù)高米，一只小鳥(niǎo)從一棵樹(shù)的頂端飛到另一棵樹(shù)的頂端，小鳥(niǎo)至少要飛多少米？類(lèi)型十四、求大樹(shù)折斷前的高度（勾股定理的應(yīng)用） 例14．《九章算術(shù)》是我國(guó)古代第一部數(shù)學(xué)專(zhuān)著，它的出現(xiàn)標(biāo)志中國(guó)古代數(shù)學(xué)形成了完整的體系，“折竹抵地”問(wèn)題源自《九章算術(shù)》中：“今有竹高一丈，去本四尺，問(wèn)折者高幾何？”翻譯成數(shù)學(xué)問(wèn)題是：如圖所示，∠ACB＝90°，AC+AB＝10尺，BC=4尺，求AC的長(zhǎng)．變式14-1如圖，馬路一邊有一根長(zhǎng)的電線(xiàn)桿被一輛貨車(chē)從離地面處撞斷裂，倒下的電線(xiàn)桿頂部是否會(huì)落在離它底部遠(yuǎn)的快車(chē)道上？說(shuō)明理由．變式14-2如圖，在一棵大樹(shù)AB的10m高的D處有兩只猴子，它們同時(shí)發(fā)現(xiàn)地面上的點(diǎn)C處有一根香蕉，一只猴子從點(diǎn)D處上爬到樹(shù)頂點(diǎn)A處，利用拉在點(diǎn)A處的滑繩AC，滑到點(diǎn)C處，另一只猴子從點(diǎn)D處滑到地面點(diǎn)B處，再由點(diǎn)B跑到點(diǎn)C，已知兩只猴子所經(jīng)過(guò)的路程都是15m，那么這棵樹(shù)有多高？類(lèi)型十五、解決水杯中筷子問(wèn)題（勾股定理的應(yīng)用） 例15．如圖，將一根長(zhǎng)30cm的筷子，置于底面直徑為10cm，高24cm的裝滿(mǎn)水的無(wú)蓋圓柱形水杯中，設(shè)筷子浸沒(méi)在杯子里面的長(zhǎng)度為hcm，則h的取值范圍是（）A． B． C． D．變式15-1如圖，有一個(gè)水池，水面是一個(gè)邊長(zhǎng)為10尺的正方形，在水池正中央有一根蘆葦，它高出水面1尺，如果把這根蘆葦拉向水池邊，它的頂端恰好到達(dá)池邊的水面，求水的深度是（）尺A．8 B．10 C．13 D．12變式15-2如圖在平靜的湖面上，有一支紅蓮，高出水面的部分為1米，一陣風(fēng)吹來(lái)，紅蓮被吹到一邊，花朵齊及水面（即），已知紅蓮移動(dòng)的水平距離為3米，則湖水深為（）A．米 B．3米 C．4米 D．12米類(lèi)型十六、解決航海問(wèn)題（勾股定理的應(yīng)用） 例16．如圖所示，甲漁船以8海里/時(shí)的速度離開(kāi)港口O向東北方向航行，乙漁船以6海里/時(shí)的速度離開(kāi)港口O向西北方向航行，他們同時(shí)出發(fā)，一個(gè)半小時(shí)后，甲、乙兩漁船相距（）A．12海里 B．13海里 C．14海里 D．15海里變式16-1如圖，在一次測(cè)繪活動(dòng)中，某同學(xué)站在點(diǎn)A的位置觀測(cè)停放于B，C兩處的小船，測(cè)得船B在點(diǎn)A北偏東75°方向900米處，船C在點(diǎn)A南偏東15°方向1200米處，則船B與船C之間的距離為（）A．1500m B．1200m C．1000m D．800m變式16-2如圖，一艘輪船以的速度從港口出發(fā)，向東北方向航行，另一艘輪船以的速度同時(shí)從港口出發(fā)，向東南方向航行，出發(fā)后，兩船的距離是（）A． B． C． D．類(lèi)型十七、求河寬（勾股定理的應(yīng)用） 例17．如圖，池塘邊有兩點(diǎn)A，B，點(diǎn)C是與BA方向成直角的AC方向上的點(diǎn)，測(cè)得BC=25m，AC=15m，則A，B兩點(diǎn)間的距離是____m．變式17-1如圖，為修鐵路需鑿?fù)ㄋ淼繠C，測(cè)得∠C＝90°，AB＝5km，AC＝4km，若每天鑿隧道0.3km，則需_____天才能把隧道鑿?fù)ǎ兪?7-2如圖，某人欲從點(diǎn)A處入水橫渡一條河，由于水流的影響，他實(shí)際上岸的地點(diǎn)C偏離欲到達(dá)的地點(diǎn)B200m，結(jié)果他在水中實(shí)際游了250m，求該河流的寬度為_(kāi)_______m.（變式17-1圖）（變式17-2圖）類(lèi)型十八、求臺(tái)階上地毯的長(zhǎng)度（勾股定理的應(yīng)用） 例18．某小區(qū)樓梯如圖所示，欲在樓梯上鋪設(shè)紅色地毯，已知這種地毯每平方米售價(jià)為20元，樓梯寬為2m，則購(gòu)買(mǎi)這種地毯至少需要______元．變式18-1如圖，臺(tái)階階梯每一層高，寬，長(zhǎng)．一只螞蟻從點(diǎn)爬到點(diǎn)，最短路程是____________．變式18-2一座樓梯的示意圖如圖所示，BC是鉛垂線(xiàn)，CA是水平線(xiàn)，AB，AC的夾角為θ（θ=30°）．要在樓梯上鋪一條地毯，已知CA=cm，樓梯寬1cm，則地毯的面積至少需要______平方米．（變式18-1圖）（變式18-2圖）類(lèi)型十九、判斷是否受臺(tái)風(fēng)影響（勾股定理的應(yīng)用） 例19．臺(tái)風(fēng)是一種自然災(zāi)害，它以臺(tái)風(fēng)中心為圓心在周?chē)习偾椎姆秶鷥?nèi)形成極端氣候，有極強(qiáng)的破壞力，如圖，有一臺(tái)風(fēng)中心沿東西方向由行駛向，已知點(diǎn)為海港，并且點(diǎn)與直線(xiàn)上的兩點(diǎn)，的距離分別為，，又，以臺(tái)風(fēng)中心為圓心周?chē)?50km以?xún)?nèi)為受影響區(qū)域．（1）求的度數(shù)；（2）海港受臺(tái)風(fēng)影響嗎？為什么？變式19-1如圖，在甲村到乙村的公路一旁有一塊山地正在開(kāi)發(fā)．現(xiàn)A處需要爆破，已知點(diǎn)A與公路上的停靠站B，C的距離分別為400m和300m，且ACAB．為了安全起見(jiàn)，如果爆破點(diǎn)A周?chē)霃?60m的區(qū)域內(nèi)不能有車(chē)輛和行人，問(wèn)在進(jìn)行爆破時(shí)，公路BC段是否需要暫時(shí)封閉？為什么?變式19-2為了積極宣傳防疫知識(shí)，某社區(qū)采用了移動(dòng)車(chē)進(jìn)行廣播．如圖，小明家在南街這條筆直公路MN的一側(cè)點(diǎn)A處，小明家到公路MN的距離AB為600米，假使廣播車(chē)P周?chē)?000米以?xún)?nèi)能聽(tīng)到廣播宣傳，廣播車(chē)P以400米/分的速度在公路MN上沿PN方向行駛時(shí)，假如小明此時(shí)在家，他是否能聽(tīng)到廣播宣傳？若能，請(qǐng)求出他總共能夠聽(tīng)到多長(zhǎng)時(shí)間的廣播宣傳？若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．類(lèi)型二十、選扯到兩點(diǎn)距離相等（勾股定理的應(yīng)用） 例20．鐵路上A、B兩站（視為直線(xiàn)上的兩點(diǎn)）相距25km，C，D為兩村莊（視為兩個(gè)點(diǎn)），于點(diǎn)A，于點(diǎn)B（如圖）．已知，，現(xiàn)在要在鐵路AB上建一個(gè)土特產(chǎn)收購(gòu)站E，使得C，D兩村莊到收購(gòu)站E的直線(xiàn)距離相等，請(qǐng)求出收購(gòu)站E到A站的距離．變式20-111世紀(jì)的一位阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)家曾提出一個(gè)“鳥(niǎo)兒捉魚(yú)”問(wèn)題：小溪邊長(zhǎng)著兩課棕櫚樹(shù)，恰好隔岸相望，一棵棕櫚樹(shù)CD高是6米，另外一棵AB高4米；AB與CD樹(shù)干間的距離是10米．每棵樹(shù)的樹(shù)頂上都停著一只鳥(niǎo)．忽然，兩只鳥(niǎo)同時(shí)看見(jiàn)棕櫚樹(shù)間的水面上游出一條魚(yú)，它們立刻以相同的速度飛去抓魚(yú)，并且同時(shí)到達(dá)目標(biāo)E．問(wèn)：這條魚(yú)出現(xiàn)的地方離比較高的棕櫚樹(shù)的樹(shù)根C有多遠(yuǎn)？變式20-2小渝和小川是一對(duì)好朋友，如圖，小渝家住A，小川家住B．兩家相距10公里，小渝家A在一條筆直的公路AC邊上，小川家到這條公路的距離BC為6公里，兩人相約在公路D處見(jiàn)面，且兩家到見(jiàn)面地點(diǎn)D的距離相等，求小渝家A到見(jiàn)面地點(diǎn)D的距離．方法點(diǎn)撥：當(dāng)遇到涉及線(xiàn)段之間的平方關(guān)系的問(wèn)題時(shí)，通常尋找或構(gòu)造合適的直角三角形，利用勾股定理將所求的線(xiàn)段聯(lián)系起來(lái).方法點(diǎn)撥：當(dāng)遇到涉及線(xiàn)段之間的平方關(guān)系的問(wèn)題時(shí)，通常尋找或構(gòu)造合適的直角三角形，利用勾股定理將所求的線(xiàn)段聯(lián)系起來(lái).1.如圖，長(zhǎng)方體的長(zhǎng)為15寬為10，高為20，點(diǎn)B離點(diǎn)C的距離為5，一只螞蟻如果要沿著長(zhǎng)方體的表面從點(diǎn)A爬到點(diǎn)B，需要爬行的最短距離是A．20 B．25 C．30 D．322．如圖，在高為3米，斜坡長(zhǎng)為5米的樓梯臺(tái)階上鋪地毯，則地毯的長(zhǎng)度至少要（）A．4米 B．5米 C．6米 D．7米3．如圖，有一塊直角三角形紙片，兩直角邊，．現(xiàn)將直角邊沿直線(xiàn)折疊，使它落在斜邊上，且與重合，則等于（）A． B． C． D．4．如圖，已知ABCD是長(zhǎng)方形紙片，，在CD上存在一點(diǎn)E，沿直線(xiàn)AE將折疊，D恰好落在BC邊上的點(diǎn)F處，且，則的面積是（）．A． B． C． D．5.如圖所示：數(shù)軸上點(diǎn)A所表示的數(shù)為a，則a的值是（）A．+1 B．-1 C．-+1 D．--16．如圖是一個(gè)三級(jí)臺(tái)階，它的每一級(jí)的長(zhǎng)、寬和高分別為20dm,3dm,2dm，A和B是這個(gè)臺(tái)階兩個(gè)相對(duì)的端點(diǎn)，A點(diǎn)有一只螞蟻，想到B點(diǎn)去吃可口的食物，則螞蟻沿著臺(tái)階面爬到B點(diǎn)的最短路程是__________dm.7．在△ABC中，AB=，AC=5，若BC邊上的高等于3，則BC邊的長(zhǎng)為_(kāi)____．8．在平面直角坐標(biāo)系中，若點(diǎn)M（1，3）與點(diǎn)N（x，3）之間的距離是5，則x的值是____________．9．如圖，把長(zhǎng)方形紙片沿折疊，使點(diǎn)落在邊上的點(diǎn)處，點(diǎn)落在點(diǎn)處.（1）試說(shuō)明；（2）設(shè)，，，試猜想，，之間的關(guān)系，并說(shuō)明理由.10.如圖，把長(zhǎng)方形沿AE對(duì)折后點(diǎn)D落在BC邊的點(diǎn)F處，BC＝5cm，AB＝4cm，求：（1）CF的長(zhǎng)；（2）EF的長(zhǎng)．11．如圖，△AOB，△COD是等腰直角三角形，點(diǎn)D在AB上，（1）求證：△AOC≌△BOD；（2）若AD=3，BD=1，求CD．12．如圖，公路MN和公路PQ在點(diǎn)P處交會(huì)，公路PQ上點(diǎn)A處有學(xué)校，點(diǎn)A到公路MN的距離為80m，現(xiàn)有一拖拉機(jī)在公路MN上以18km/h的速度沿PN方向行駛，拖拉機(jī)行駛時(shí)周?chē)?00m以?xún)?nèi)都會(huì)受到噪音的影響，試問(wèn)該校受影響的時(shí)間為多長(zhǎng)？

勾股定理逆定理及應(yīng)用（第3講）教學(xué)目標(biāo)：1.掌握勾股定理的逆定理及其應(yīng)用．理解原命題與其逆命題，原定理與其逆定理的概念及它們之間的關(guān)系．2.能利用勾股定理的逆定理，由三邊之長(zhǎng)判斷一個(gè)三角形是否是直角三角形.3.能夠理解勾股定理及逆定理的區(qū)別與聯(lián)系，掌握它們的應(yīng)用范圍.知識(shí)點(diǎn)01勾股定理的逆定理如果三角形的三條邊長(zhǎng)，滿(mǎn)足，那么這個(gè)三角形是直角三角形.注意：（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一個(gè)三角形是否是直角三角形.（2）勾股定理的逆定理是把“數(shù)”轉(zhuǎn)為“形”，是通過(guò)計(jì)算來(lái)判定一個(gè)三角形是否為直角三角形.知識(shí)點(diǎn)02如何判定一個(gè)三角形是否是直角三角形首先確定最大邊（如）.驗(yàn)證與是否具有相等關(guān)系.若，則△ABC是∠C=90°的直角三角形；若，則△ABC不是直角三角形.注意：當(dāng)時(shí)，此三角形為鈍角三角形；當(dāng)時(shí)，此三角形為銳角三角形，其中為三角形的最大邊.知識(shí)點(diǎn)03互逆命題如果兩個(gè)命題的題設(shè)與結(jié)論正好相反，則稱(chēng)它們?yōu)榛ツ婷}.如果把其中一個(gè)叫原命題，則另一個(gè)叫做它的逆命題.注意：原命題正確，逆命題未必正確；原命題不正確，其逆命題也不一定錯(cuò)誤；正確的命題我們稱(chēng)為真命題，錯(cuò)誤的命題我們稱(chēng)它為假命題.知識(shí)點(diǎn)04勾股數(shù)滿(mǎn)足不定方程的三個(gè)正整數(shù)，稱(chēng)為勾股數(shù)（又稱(chēng)為高數(shù)或畢達(dá)哥拉斯數(shù)），顯然，以為三邊長(zhǎng)的三角形一定是直角三角形.熟悉下列勾股數(shù)，對(duì)解題會(huì)很有幫助：3、4、5；②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41……如果是勾股數(shù)，當(dāng)為正整數(shù)時(shí)，以為三角形的三邊長(zhǎng)，此三角形必為直角三角形.注意：（1）（是自然數(shù)）是直角三角形的三條邊長(zhǎng)；（2）（是自然數(shù)）是直角三角形的三條邊長(zhǎng)；（3）（是自然數(shù)）是直角三角形的三條邊長(zhǎng)；導(dǎo)學(xué)一：勾股定理逆定理重點(diǎn)1勾股定理的逆定理例1.滿(mǎn)足下列條件的△ABC不是直角三角形的是（）A．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 B．BC＝1，AC＝2，AB＝C．BC：AC：AB＝3：4：5 D．BC＝1，AC＝2，AB＝變式1如圖，正方形網(wǎng)格中的，若小方格邊長(zhǎng)為，則的形狀為（

）A．直角三角形 B．銳角三角形C．鈍角三角形 D．以上答案都不對(duì)重點(diǎn)點(diǎn)撥：重點(diǎn)點(diǎn)撥：利用勾股定理的逆定理判定直角三角形的步驟：（1）定最長(zhǎng)邊；（2）計(jì)算最長(zhǎng)邊的平方與另兩邊的平方和；（3）比較計(jì)算結(jié)果，若相等，則是直角三角形；若不相等，則不是直角三角形重點(diǎn)2勾股數(shù)例2.下列幾組數(shù)中，是勾股數(shù)的一組是（

）A．1.5，2，3.5B．21，45，51C．一3，-4，-5D．8，15，17變式2下列各組數(shù)中，是勾股數(shù)的是（

）A．9，16，25 B．1，1， C．1，，2 D．8，15，17重點(diǎn)點(diǎn)撥：重點(diǎn)點(diǎn)撥：判斷一組數(shù)是否為勾股數(shù)的一般步驟：（1）“判”：判斷這組數(shù)是否都是正整數(shù)；（2）“找”：找最大數(shù)；（3）“算”：算出最大數(shù)的平方與另外兩個(gè)數(shù)的平方和；（4）“比”：比較算得的兩個(gè)結(jié)果是否相等重點(diǎn)3互逆命題與互逆定理例3.寫(xiě)出下列命題的逆命題，并判斷其真假：（1）同位角相等，兩直線(xiàn)平行；（2）如果，那么；（3）等腰三角形兩底角相等；（4）全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等．（5）對(duì)頂角相等．（6）線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)上的點(diǎn)到線(xiàn)段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等．變式3（1）下列命題：①兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形；②兩直線(xiàn)平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；③菱形的對(duì)角線(xiàn)互相垂直；④對(duì)角線(xiàn)相等的四邊形是矩形，其逆命題是真命題的有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)（2）下列定理中，有逆定理的個(gè)數(shù)是（）①有兩邊相等的三角形是等腰三角形；②若三角形三邊滿(mǎn)足，則該三角形是直角三角形；③全等三角形對(duì)應(yīng)角相等；④若，則．A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)重點(diǎn)點(diǎn)撥：重點(diǎn)點(diǎn)撥：判斷一個(gè)命題是真命題，需要給出證明；判斷一個(gè)命題是假命題，只要給出反例即可重點(diǎn)4利用勾股定理的逆定理判斷三角形形狀例4.已知a、b、c是三角形的三邊長(zhǎng)，若滿(mǎn)足，則這個(gè)三角形的形狀是（

）A．等腰三角形 B．等邊三角形 C．銳角三角形 D．直角三角形變式4若的三邊長(zhǎng)a、b、c滿(mǎn)足，那么是（

）A．等腰三角形B．直角三角形C．銳角三角形D．鈍角三角形重點(diǎn)點(diǎn)撥：重點(diǎn)點(diǎn)撥：由等式判斷三角形的形狀，就是根據(jù)乘法公式、非負(fù)數(shù)的性質(zhì)等化簡(jiǎn)等式，然后根據(jù)化簡(jiǎn)結(jié)果，得出三角形的三邊關(guān)系后再判斷三角形的形狀重點(diǎn)5利用勾股定理逆定理求線(xiàn)段長(zhǎng)例5.在如圖的網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1，A、B、C三點(diǎn)均在正方形格點(diǎn)上，若是的高，則的長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．2變式5如圖，P是等邊三角形ABC中的一個(gè)點(diǎn)，PA=2，PB=2

，PC=4，則三角形ABC的邊長(zhǎng)為_(kāi)_______

重點(diǎn)點(diǎn)撥：重點(diǎn)點(diǎn)撥：當(dāng)三角形的三邊長(zhǎng)已知時(shí)，常用勾股定理的逆定理判斷這個(gè)三角形是否是直角三角形，如果是直角三角形，再根據(jù)勾股定理求其他線(xiàn)段的長(zhǎng)重點(diǎn)6利用勾股定理逆定理求面積例6.如圖，四邊形ABCD中，AB＝3cm，AD＝4cm，BC＝13cm，CD＝12cm，且∠A＝90°，則四邊形ABCD的面積為（

）A．12cm2 B．18cm2 C．22cm2 D．36cm2變式6如圖，一塊鐵皮（圖中陰影部分），測(cè)得，，，，．求陰影部分的面積．方法點(diǎn)撥：方法點(diǎn)撥：在求不規(guī)則圖形的面積時(shí)，常常通過(guò)割補(bǔ)的方法將其轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形的面積來(lái)求解重點(diǎn)7利用勾股定理逆定理求角度例7.如圖，是的中線(xiàn)，把沿著直線(xiàn)對(duì)折，點(diǎn)落在點(diǎn)處．如果，則________．變式7如圖，點(diǎn)P是等邊△ABC內(nèi)的一點(diǎn)，PA＝6，PB＝8，PC＝10，若點(diǎn)P′是△ABC外的一點(diǎn)，且△P′AB≌△PAC，則∠APB的度數(shù)為_(kāi)__．方法點(diǎn)撥：當(dāng)題目中出現(xiàn)的已知線(xiàn)段比較多時(shí)，我們優(yōu)先考慮利用勾股定理及其逆定理求線(xiàn)段和角度方法點(diǎn)撥：當(dāng)題目中出現(xiàn)的已知線(xiàn)段比較多時(shí)，我們優(yōu)先考慮利用勾股定理及其逆定理求線(xiàn)段和角度重點(diǎn)1勾股定理的逆定理的應(yīng)用我市某中學(xué)有一塊四邊形的空地ABCD，如圖所示，為了綠化環(huán)境，學(xué)校計(jì)劃在空地上種植草皮，經(jīng)測(cè)量∠A=90°，AB=3m，DA=4m，BC=12m，CD=13m．（1）求出空地ABCD的面積．（2）若每種植1平方米草皮需要200元，問(wèn)總共需投入多少元？變式1在一條東西走向河的一側(cè)有一村莊C，河邊原有兩個(gè)取水點(diǎn)A，B，其中AB＝AC，由于種種原因，由C到A的路現(xiàn)在已經(jīng)不通了，某村為方便村民取水決定在河邊新建一個(gè)取水點(diǎn)H（A，H，B在一條直線(xiàn)上），并新修一條路CH，測(cè)得CB＝3千米，CH＝2.4千米，HB＝1.8千米．（1）問(wèn)CH是不是從村莊C到河邊的最近路，請(qǐng)通過(guò)計(jì)算加以說(shuō)明；（2）求原來(lái)的路線(xiàn)AC的長(zhǎng)．重點(diǎn)點(diǎn)撥：重點(diǎn)點(diǎn)撥：解決實(shí)際問(wèn)題的步驟：構(gòu)建幾何模型(從整體到局部)；標(biāo)注有用信息,明確已知和所求；應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)求解.重點(diǎn)2運(yùn)用勾股定理的逆定理解決方位角問(wèn)題如圖，MN是公園勞動(dòng)湖邊一段東西走向的筆直湖岸，A，B是岸邊兩建筑物，一小艇在點(diǎn)C處，與MN的距離CE＝60米的，小艇向北偏西30°方向行駛100米到達(dá)點(diǎn)D，此時(shí)，小艇上的人測(cè)量A在小艇的南偏西60°方向，B在南偏西30°方向，求A、B兩建筑物之間的距離．變式2臺(tái)風(fēng)是一種自然災(zāi)害，它以臺(tái)風(fēng)中心為圓心在周?chē)锨椎姆秶鷥?nèi)形成極端氣候，有極強(qiáng)的破壞力，有一臺(tái)風(fēng)中心沿東西方向AB由點(diǎn)A行駛向點(diǎn)B，已知點(diǎn)C為一海港，且點(diǎn)C與直線(xiàn)AB上兩點(diǎn)A、B的距離分別為300km和400km，又AB＝