小學數(shù)學教學中常見的問題與思考-2

千里之行，始于足下讓知識帶有溫度。第第2頁/共2頁精品文檔推薦小學數(shù)學教學中常見的問題與思考甲數(shù)比乙數(shù)多幾分之幾，是指甲數(shù)比乙數(shù)多的部分占乙數(shù)的幾分之幾，是以乙數(shù)為標準數(shù)的；而乙數(shù)比甲數(shù)少幾分之幾，是指乙數(shù)比甲數(shù)少的部分占甲數(shù)的幾分之幾，是以甲數(shù)為標準數(shù)的。兩者的標準數(shù)不同，因此答案也不一樣。

分子不變，還是1，假如是問少幾分之幾，分母就是原分母與分子的和，假如是問多幾分之幾，分母就是原分母與分子的差。

4.X÷12＝7……3是方程嗎？

等式是表示兩個數(shù)（或兩個代數(shù)式）相等的算式，而代數(shù)式是用“＋”“－”“×”“÷”、乘方、開方以及括號等表示運算法則或挨次的符號聯(lián)結數(shù)字或字母得到的式子。

“……”并不表示7與3之間的某種運算關系，也不表示運算挨次，因此“7……3”不是代數(shù)式，“X÷12＝7……3”不是等式。等式應滿足傳遞性和對稱性

①按照87÷12＝7……3，73÷10＝7……3，無法得出87÷12＝73÷10

②將87÷12＝7……3變成7……3＝87÷12，就毫無意義。

5.比值能否用百分數(shù)表示？

百分數(shù)是分數(shù)的一種特別狀況，只表示兩個同類量的倍比關系，而不表示詳細的數(shù)量。

比值表示兩個數(shù)量的倍比關系，可分為同類量的倍比關系和不同類量的倍比關系。表示同類量的倍比關系可以用百分數(shù)來表示。如“甲車速度與乙車速度的比值是2”可以說成“甲車速度與乙車速度的比

是200%”。表示不同類量的倍比關系不能用百分數(shù)表示。如按照“一輛汽車3小時行了180千米”，可得這輛汽車行駛的路程和時光的比值是60千米/時，此處路程和時光的比值不能用百分數(shù)表示。一分為二地考慮。

6.互為倒數(shù)的兩個數(shù)成反比例嗎？

“兩個數(shù)”可以表示兩個確定的數(shù)，也可以表示兩個變量?？梢钥闯觥皟蓚€數(shù)”可以指詳細的數(shù)也可以指變量是不爭的事實，因此，互為倒數(shù)的兩個數(shù)成反比例。

7.正方體的體積一定，底面積和高成什么比例？

正方體的體積一定，底面積和高不成比例。由于，當正方體的體積一定時，底面積和高都是固定的，不行變。為什么部分同學會認為正方體的體積一定，底面積和高成反比例呢？

人教版六年級上冊第42頁是這樣描述的：“假如用字母x、y表示兩種相關聯(lián)的量，用k表示它們的乘積（一定），反比例關系可以用下面的式子表示：x×y=k(一定)?！辈糠滞瑢W可能將這句話簡化成“積一定，成反比”（部分老師教學時，也講“商一定，成正比；積一定，成反比”），關注的是“積一定”，而忽視了兩種相關聯(lián)的量必需是變量這一重要條件。

如何讓同學深刻理解正、反比例關系中的“變量”呢？

以人教版教材為例，老師可充分利用第42頁教材中將相同體積的水倒入不同杯子的試驗及得到的底面積與高的數(shù)據(jù)表，讓同學充分感知底面積與高的變化邏輯，熟悉到反比例關系必需建立在“變量”的

基礎上。成比例的兩個量必需是變量。

8.在同一個圓中，能說圓面積和周長的比是2分之r嗎？

比可分為同類量的比和不同類量的比.同類量的比，是在兩個相同單位的量之間舉行的比，比值表示“一個數(shù)是另一個數(shù)的幾倍（或幾分之幾）”，如在同一個圓中周長與直徑的比；不同類量的比，是在兩個單位不同但相關的量之間舉行的，如汽車行駛的路程和時光的比。我們認為，在同一個圓中面積與周長的比為2分之r，揭示了同圓中面積與周長的數(shù)量關系，是圓的一種重要數(shù)學特征。另外，通過不同類量的比來討論事物的現(xiàn)象普遍存在。因此，我們認為在同一個圓中，既可以舉行同類量的比，如直徑和半徑的比，也可以舉行不同類量的比，如面積與周長的比。

9.有12個蘋果，要平均分到若干個盤子里，可以怎樣分？

有同學說可以分在1個盤子里，行嗎？“平均分”隱含“分成幾部分”、“各部分一樣多”。綜觀教材中涉及“平均分”的內容，都是至少分成2份。

我們建議大家注重以下問題：

①除法算式并不等于分法。首先，一個算式能表示2種分法；第二，本題應當按照分法寫算式，而不是按照算式確定分法。②生活中的“放法”不等于數(shù)學中“分法”。“分法”是將整體分成幾個部分，強調“分”。而“放法”可以分開放到幾處，也可以集中放在一起。

將12個蘋果放到1個盤子里，沒有體現(xiàn)“分”的特點，只能算1種放法，而不能算1種分法。

10.用0、1、2組成的最大小數(shù)是20.1還是21.0？

小數(shù)是十進制分數(shù)的特別表現(xiàn)形式。從小數(shù)意義的角度看，把單位“1”平均分成10份、100份、1000份……表示這樣的非常之幾、百分之幾、千分之幾等的數(shù)（如0.1、0.36、0.854）都是小數(shù)。21.0中的0在非常位上，起了占位的作用。從小數(shù)的結構看，每個小數(shù)都是由整數(shù)部分、小數(shù)點和小數(shù)部分組成。21.0徹低符合小數(shù)的基本結構。無論是從小數(shù)的意義還是小數(shù)的結構看，都不能認為可以化成整數(shù)的小數(shù)就不是小數(shù)，因此，毫無疑問，用0、1、2組成最大的小數(shù)應當是21.0。

11.是真分數(shù)嗎？

?各種教材中對分數(shù)的定義基本上都是“把單位‘1’平均分成若干

份，表示這樣的一份或幾份的數(shù)叫做分數(shù)?！?/p>

?從這里的定義看，教材中分數(shù)的分子、分母都是非零自然數(shù)。

?人教版五年級下冊第69頁寫道：“分子比分母小的分數(shù)叫真分

數(shù)?！?/p>

?北師大版五年級上冊第34頁寫道：“像，，，，……這

樣的分數(shù)叫真分數(shù)。”

按照教材中關于分數(shù)和真分數(shù)的定義，我們認為真分數(shù)的分子和分母

都是非零自然數(shù)，所以不是一個真分數(shù)。

12.乙數(shù)是甲數(shù)的，甲、乙兩數(shù)和的倒數(shù)除以甲數(shù)，商是多少？

解答本題時，多數(shù)老師會按照“乙數(shù)是甲數(shù)的”設乙數(shù)為

1，甲數(shù)為2，得到“商是”。

可是，假如設甲數(shù)為1，乙數(shù)為，則最后的結果為。

這里用的是“依比設數(shù)法”，學校階段解決與比（或分數(shù)）

有關的題時，多數(shù)狀況下此法很“管用”。

如：“A、B兩個正方形的邊長比是1︰2，求它們的面積比?！痹OA、B的邊長分離為1、2，它們的面積比是1︰4，再設A、B的邊長為符合1︰2條件的其他數(shù)值，它們的面積比仍然為1︰4。

為何用依比設數(shù)法，有時結果唯一，有時浮現(xiàn)多個結果？

我們不妨從代數(shù)的角度舉行分析：

假如設正方形A、B的邊長分離為x、2x，它們的面

積比是︰=1︰4，結果為定值；

假如設甲、乙兩數(shù)分離為2x、x，則有÷2x=

，最后的結果中仍然含有未知數(shù)，即結果隨著x值的不同

而不同。

嚴格來說，以上兩例都要用代數(shù)辦法解答。但是考慮到學校生的學問

現(xiàn)狀，教材中浮現(xiàn)的與比有關的題幾乎所有是屬于“結果為定值”的狀況，即都可以通過依比設數(shù)法“解答”。建議教學時，既要讓同學用依比設數(shù)的辦法解答類似的題目，又要讓同學學會用不同的數(shù)去驗證結果是否為定值。在設置題目時，要避開結果不唯一的狀況浮現(xiàn)。

對于一些學有余力的同學，要鼓舞他們盡可能用代數(shù)學問解答這類題目，加強中學、學校學問的連接，為同學的后續(xù)進展打下堅實基礎。

13.抓住本質，揭開謎霧

?“30÷8=60÷（）。”30÷8、60÷18的結果都是商3余6，但

為什么括號里不能填18？

?等式的傳遞性和商不變的性質都是數(shù)學中的重要性質，他們應

該和睦統(tǒng)一，而不是互相沖突的。

浮現(xiàn)沖突的根源在于：

?第一，教材中的“商”可以分為“全商”和“半商”。

“全商”，如“6÷3=2”、“30÷8=3.75”中的2和3.75，是除法運算的終于結果，是一個詳細的數(shù)值，離開詳細的除法環(huán)境仍然故意義?！鞍肷獭?，如“30÷8=3……6”、“60÷18=3……6”中的3，惟獨和余6結合起來，才干表示除法的結果?！?……6”不是一個詳細的數(shù)，也不是通常意義下的運算式，而是一個組合體（其中3和6的意義不一樣），脫離了詳細的除法算式，它的意義不明確。

?其次，等式的傳遞性是對數(shù)或能算出詳細數(shù)值的式而言的。

如由12÷6=2、1÷0.5=2、300÷150=2可得到12÷6=1÷0.5=300÷150=2?！?……6”只是為了便于理解而采納的一種表達形式，本身并不是一個數(shù)，也不是通常意義下的式，所以盡管30÷8、60÷18的結果寫成帶余數(shù)的形式都是“3……6”，但不能按照等式的傳遞性推出30÷8=60÷18。

14.產品合格率一定，不合格產品數(shù)和合格產品數(shù)成正比例嗎？為什么？

?假如合格率是100%（或0%），那么不合格產品數(shù)（或合格產品數(shù)）為0，不是變量，不能說它們成正比例。

?假如合格率不為0%或100%，不妨設合格率為k(0＜k＜1，且k為定值）。若總產品數(shù)為x件，則合格產品y=kx，x=。設不合格產品為z，則z=x－y=－y=(－1)y，其中－1為定

值，不妨記為a，則有z=ay(a為定值且不為0)，即不合格產品和合格產品成正比例。

?為避開浮現(xiàn)合格率為0%或100%時同學理解困難，甚至鉆牛角尖，建議原題附上合格率范圍“0＜k＜1”。

15、

省略億后面的尾數(shù)求近似值是還是100億？

?約有45%的老師認為和100億相等，都行。

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人教版四年級上冊第15頁例題“12756≈10000=1萬”邊旁注：“是‘舍’還是‘入’，要看省略的尾數(shù)部分的最高位是小于5還是等于或大于5”；第22頁習題“≈億”邊旁注“不是整億數(shù)的用四舍五入法省略億位后面的尾數(shù)”，可見“省略億位后面的尾數(shù)”是按“四舍五入”取近似值，保留到億位。

和100億雖然相等，但作為近似數(shù)時，精確到個位，有11個有效數(shù)字；而100億是精確到億位，惟獨3個有效數(shù)字。因此，本題的答案是100億。

17、直觀閱歷有時并不行靠

把一塊長方體木塊削成圓柱體，以最大的面為

底面削成的圓柱體是不是能削成的圓柱體中體積

最大的？

教師“論證”的辦法主要有兩類：

①按照閱歷說理。若長方體有一組面是正方形，則以正方形的面為底削成的最大圓柱體的體積是能削成的圓柱體中體積最大的（記為閱歷A）；若長方體中沒有正方形的面，則以棱長最臨近的兩棱所在的面為底削成的最大圓柱體是能削成的圓柱體中體積最大的（記為閱歷B）。這種“論證”受“正方形內剪出的面積最大的圓是面積相等的四邊形中能剪出的圓中面積最大的”、“長方形的兩鄰邊相差越小越接愛正方形”等直觀閱歷的影響。

②舉例論證。如有老師以長5米、寬4米、高9米的長方體為例，算出以長、寬所在