2022-2023學年九年級數學專家點撥-相似的綜合提高

PAGE一、考點突破相似是中考考查的重點內容，在選擇題和填空題中，多為考查圖形相似的性質、相似三角形的性質和判定、位似圖形的性質，題目難度一般不大；在解答題中，常與方程、函數、圓等內容相結合，綜合性強，難度較大。在中考中主要考查以下幾點：（1）相似圖形的特點以及相似比的意義；（2）用平行線分線段成比例定理解決一些幾何證明和幾何計算題；（3）綜合利用相似三角形的判定定理和性質解決問題；（4）位似圖形的定義、作圖及在平面直角坐標系中點的坐標的變化規(guī)律。二、重難點提示重點：相似三角形的性質和判定定理的應用，位似圖形的應用。難點：利用圖形的相似解決實際問題。能力提升類例1手工制作課上，小紅利用一些花布的邊角料，剪裁后裝飾手工畫，下面四個圖案是她剪裁出的空心不等邊三角形、等邊三角形、正方形、矩形花邊，其中，每個圖案花邊的寬度都相等，那么，每個圖案中花邊的內外邊緣所圍成的幾何圖形不相似的是（）一點通：根據相似圖形的定義，結合圖形，對選項一一分析，排除錯誤答案。解：A：形狀相同，符合相似圖形的定義，故選項錯誤；B：形狀相同，符合相似圖形的定義，故選項錯誤；C：形狀相同，符合相似圖形的定義，故選項錯誤；D：兩個矩形，雖然四個角對應相等，但邊的比不對應相等，故選項正確；故選D。點評：本題考查的是相似圖形的定義，聯(lián)系圖形，即形狀相同，大小不一定相同的圖形叫做相似形。全等形是相似形的一個特例。例2如圖所示，正方形OEFG和正方形ABCD是位似圖形，點F的坐標為（－1，1），點C的坐標為（－4，2），則這兩個正方形位似中心的坐標是。一點通：兩個位似圖形的主要特征是：每對位似對應點與位似中心共線；不經過位似中心的對應線段平行。則位似中心就是兩對對應點的延長線的交點，本題分兩種情況討論即可。解：①當兩個位似圖形在位似中心同旁時，位似中心就是CF與x軸的交點，設直線CF的解析式為y=kx＋b，將點C（－4，2），F（－1，1）代入，得解得即，令y=0得x=2，∴位似中心的坐標是（2，0）；②當位似中心在兩個正方形之間時，可求直線OC的解析式為，直線DE的解析式為，聯(lián)立，解得，即位似中心的坐標為（，）。故本題答案為：（2，0）或（，）。點評：本題主要考查位似圖形的性質，難度中等，注意掌握每對位似對應點與位似中心共線，另外解答本題注意分情況討論，避免漏解。綜合運用類例3如圖，Rt△ABC的直角邊BC在x軸正半軸上，斜邊AC邊上的中線BD反向延長線交y軸負半軸于E，函數的圖象經過點A，若S△BEC=8，求k的值。一點通：先根據題意證明△BOE∽△CBA，根據相似比及面積公式得出BO×AB的值即為|k|的值，再由函數所在的象限確定k的值。解：∵BD為Rt△ABC的斜邊AC上的中線，∴BD=DC，∠DBC=∠ACB，又∠DBC=∠EBO，∴∠EBO=∠ACB，又∠BOE=∠CBA=90°，∴△BOE∽△CBA，∴，即BC×OE=BO×AB。又∵S△BEC=8，即BC×OE=16=BO×AB=|k|。又由于反比例函數的圖象在第一象限，k＞0。所以k等于16。點評：本題考查了反比例函數中的幾何意義，即過雙曲線上任意一點引x軸、y軸垂線，所得矩形面積為||，這是經?？疾榈囊粋€知識點；這里體現了數形結合的思想。例4如圖，四邊形ABCD為一梯形紙片，AB∥CD，AD=BC。翻折紙片ABCD，使點A與點C重合，折痕為EF。已知CE⊥AB。（1）求證：EF∥BD；（2）若AB=7，CD=3，求線段EF的長。一點通：（1）過C點作CH∥BD，交AB的延長線于點H；連接AC，交EF于點K，則AK=CK。通過證明四邊形CDBH是平行四邊形，△ACH是等腰三角形，根據等腰三角形的性質，底邊上的高是底邊上的中線得到EK是△AHC的中位線。EK∥CH?？傻肊F∥BD。（2）由AB=7，CD=3，得AH=10。由折疊的性質知AE=CE，∴AE=CE=EH=5。在等腰直角三角形CHE中，由勾股定理得，CH==BD。由于△AFE∽△ADB。即。從而求得EF的值。解：（1）證明：過C點作CH∥BD，交AB的延長線于點H；連接AC，交EF于點K，則AK=CK。∵AB∥CD，∴四邊形CDBH是平行四邊形，∴BH=CD，BD=CH。∵AD=BC，∴AC=BD=CH?！逤E⊥AB，∴AE=EH。∴EK是△AHC的中位線。∴EK∥CH。∴EF∥BD。（2）解：由（1）得BH=CD，EF∥BD。∴∠AEF=∠ABD。∵AB=7，CD=3，∴AH=10。∵AE=CE，AE=EH，∴AE=CE=EH=5。∵CE⊥AB，∴CH==BD?！摺螮AF=∠BAD，∠AEF=∠ABD，∴△AFE∽△ADB?！唷！唷｜c評：本題利用了：1.折疊的性質：折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，根據軸對稱的性質，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應邊和對應角相等；2.平行線的性質，三角形中位線的性質，等腰直角三角形的性質，勾股定理，相似三角形的判定和性質求解。思維拓展類例5如圖，在中，，AB=6米，BC=8米，動點P以2米/秒的速度從A點出發(fā)，沿AC向點C移動，同時，動點Q以1米/秒的速度從C點出發(fā)，沿CB向點B移動。當其中有一點到達終點時，它們都停止移動。設移動的時間為秒。（1）求的面積（平方米）關于時間t（秒）的函數解析式；（2）以P為圓心，PA為半徑的圓與以Q為圓心，QC為半徑的圓相切時，求出t的值。一點通：（1）過Q點作QE⊥AC，證明△QEC∽△ABC，列比例式求出QE的長，利用三角形面積公式即可求出其函數表達式；（2）以P為圓心，PA為半徑的圓與以Q為圓心，QC為半徑的圓相切時，分為兩圓外切和內切兩種情況進行討論。在直角△PFQ中利用勾股定理即可得到關于t的方程，從而求解。解：在Rt△ABC中，AB=6米，BC=8米∴AC=10米由題意得：AP=2t，CQ=t則PC=10－2t（1）過點Q作QE⊥PC于點E，∴∠ABC=∠QEC=90°，∠QCE=∠ACB，∴Rt∽Rt∴，∴∴S==(10－2t)=；（2）過點P作PF⊥BC于點F，則有∽∴，即，∴，則在Rt中，當圓P與圓Q外切時，有，此時整理得：，解得：，（舍去）故，當圓P與圓Q外切時，（秒）；當圓P與圓Q內切時，有，此時整理得：，解得：，故，當圓P與圓Q內切時，秒，或秒。點評：本題主要考查了相似三角形的性質，以及圓和圓的位置關系，正確把圖形之間的位置關系轉化為線段之間的相等關系是解題的關鍵。1.在找相似三角形的對應關系時，要注意結合圖形觀察。2.在研究相似多邊形的有關性質時是通過把多邊形轉化為三角形來研究的，當求線段長度時，要根據已知轉化為通過相似建立未知線段的比例關系式，從而求出所求的線段。3.利用相似三角形的知識解題經常會遇到多解問題，在沒有指明對應關系的情況下，必須考慮不同的情況加以討論，以防造成解題不嚴密的錯誤。4.在解決問題時，關鍵是對問題的閱讀與理解，通過讀題找出題目中的條件信息，建立關系式，利用函數知識解決。5.在求線段的長或者圖形的周長、面積時，經常根據相似三角形的對應邊成比例，列比例式解決問題。問題一塊直角三角形木板的一條直角邊AB為1.5m，面積為1.5m2，要把它加工成一個面積最大的正方形桌面，小明打算按圖1形狀進行加工，小華準備按圖2形狀的加工方案符合要求。一點通：根據題意必須首先求得正方形的邊長。圖1中，根據相似三角形對應邊的比相等即可求得；圖2中，根據相似三角形對應高的比等于相似比即可求得。解：小明的方案中：設正方形BFED的邊長為x（m），則，∴BC=2（m），由DE∥AB，得△CDE∽△CBA，∴，小華的方案中：設正方形的邊長為y（m），AC上的高BH交DE于M，由勾股定理AB2+BC2=AC2，∴AC=（m），由，得，∵DE∥AC，∴△BDE∽△BAC，∴，∴，∴y=（m），∵x＞y，∴x2＞y2。故采用小明的方案加工出的桌面的面積最大。點評：首先根據勾股定理求得直角三角形的直角邊，再找出相似的三角形，然后根據對應邊成比例列出方程，建立適當的數學模型來解決問題。（答題時間：50分鐘）1.如圖，修筑同樣寬的兩條“之”字路，余下的部分作為耕地，若要使耕地的面積為540米2，那么道路的寬應是多少米？2.如圖①和②，在20×20的等距網格（每格的寬和高均為1個單位長）中，從點A與點M重合的位置開始，以每秒1個單位長的速度先向下平移，當BC邊與網格的底部重合時，繼續(xù)以同樣的速度向右平移，當點C與點P重合時，停止移動。設運動時間為x秒，的面積為y。（1）以O為位似中心，在圖中畫出△A′B′C′，使△A′B′C′和△ABC位似，且位似比為1：2；（2）如圖②，在向下平移的過程中，請你求出y與x的函數關系式，并說明當x分別取何值時，y取最大值和最小值？最大值和最小值分別是多少？（3）在向右平移的過程中，請你說明當x取何值時，y取得最大值和最小值？最大值和最小值分別是多少？為什么？3.如圖，在邊長為1個單位長度的小正方形組成的網格中，按要求畫出△A1B1C1和△A2B2C（1）把△ABC先向右平移4個單位，再向上平移1個單位，得到△A1B1C1（2）以圖中的O為位似中心，將△A1B1C1作位似變換且放大到原來的兩倍，得到△A2B2C4.如圖，請借助直尺按要求畫圖：（1）平移方格紙中左下角的圖形，使點P1平移到點P2處；（2）將點P1平移到點P3處，并畫出將原圖放大為兩倍的圖形。5.將一矩形紙片OABC放在直角坐標系中，O為原點，C在x軸上，OA=6，OC=10。（1）如圖①，在OA上取一點E，將沿EC折疊，使O點落在AB邊上的D點，求E點的坐標；（2）如圖②，在OA、OC邊上選取適當的點、F，將沿折疊，使O點落在AB邊上的點，過作軸，交于T點，交OC于G點，求證：。（3）在（2）的條件下，設，①探求：y與x之間的函數關系式；②指出自變量x的取值范圍。（4）如圖③，如果將矩形OABC變?yōu)槠叫兴倪呅危?，邊上的高等?，其他條件均不變，探求：這時的坐標y與x之間是否仍然滿足（3）中所得的函數關系式？若滿足，請說明理由；若不滿足，寫出你認為正確的函數關系式。6.已知△ABC中，∠ACB=90o，CD⊥AB于D，AD∶BD=2∶3且CD=6.求：（1）AB的長；（2）AC的長。7.已知△ABC中，∠ACB=90o，CH⊥AB，HE⊥BC，HF⊥AC.求證：（1）△HEF≌△EHC；（2）△HEF∽△HBC.8.如圖1，在等邊△ABC中，點D是邊AC的中點，點P是線段DC上的動點(點P與點C不重合)，連接BP.將△ABP繞點P按順時針方向旋轉α角（0°＜α＜180°），得到△A1B1P,連接AA1，射線AA1分別交射線PB、射線B1B于點E、F.（1）如圖1，當0°＜α＜60°時，在α角變化過程中，△BEF與△AEP始終存在_____關系（填“相似”或“全等”），并說明理由；（2）如圖2，設∠ABP＝β.當60°＜α＜180°時，在α角變化過程中，是否存在△BEF與△AEP全等？若存在，求出α與β之間的數量關系；若不存在，請說明理由；（3）如圖3，當α＝60°時，點E、F與點B重合.已知AB＝4，設DP＝x，△A1BB1的面積為S，求出S關于x的函數關系式.

1.解：將橫向道路位置平移至最下方，將縱向道路位置平移至最左方，設道路寬為x米，則有，整理，得，∴，∴（不合題意，舍去），?！嗟缆穼拺獮?米。2.分析：（1）解本題的關鍵是排除網格的干擾，能抽象出網格中的四邊形、三角形；對于（2）；對于（3），應注意自變量的取值范圍，在其約束條件下求函數最值。解：（1）略．（2），（≤≤）由一次函數的性質知：當時，；當時，。（3）當≤≤時，，所以（≤≤）由一次函數的性質知：當時，；當時，。3.解：4.解：5.解：（1）方法1：設OE=m或E（0，m），則，由勾股定理得，則，在中，由勾股定理得，解得，所以。方法2：設或，則，由勾股定理得，則，由，得，所以∽，故，解得，所以。（2）連接交于P，由折疊可知垂直平分，即，由，所以得出，所以。（3）①連接，由（2）可得，由勾股定理可得，整理，得。②結合（1）可得。最大，即x最大，此時G點與F點重合，四邊形為正方形，所以x最大為6，即≤，所以，≤≤。（4）y與x之間仍然滿足（3）中所得函數關系式，理由如下：連接，仍然可得，即，所以，（3）中所得的函數關系式仍然成立。6.分析：設AD=2k，BD=3k.根據直角三角形和它斜邊上的高，可知△ABC∽△ACD∽△CBD.通過相似三角形對應邊成比例求出其中k的大?。坏侨绻鶕溆岸ɡ恚敲淳涂梢灾苯佑嬎愠鰇的大小.解：（1）設AD=2k，BD=3k（k>0）.∵∠ACB=90o，CD⊥AB.∴CD2=AD?BD，∴62=2k?3k，∴k=.∴AB=.（2）∵AC2=AD·AB，∴AC=.7.分析：