2022-2023學(xué)年杭州市重點(diǎn)中學(xué)數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末綜合測(cè)試試題含解析

2022-2023高二下數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知函數(shù)有三個(gè)不同的零點(diǎn)（其中），則的值為()A． B． C． D．12．設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，的圖象如圖所示，則的圖象最有可能的是()A． B．C． D．3．如果函數(shù)的圖象如下圖，那么導(dǎo)函數(shù)的圖象可能是（）A． B． C． D．4．從5名男公務(wù)員和4名女公務(wù)員中選出3人，分別派到西部的三個(gè)不同地區(qū)，要求3人中既有男公務(wù)員又有女公務(wù)員，則不同的選派議程種數(shù)是（）A．70 B．140 C．420 D．8405．如圖，在空間直角坐標(biāo)系中有直三棱柱,且，則直線與直線夾角的余弦值為（）A． B． C． D．6．轉(zhuǎn)化為弧度數(shù)為（）A． B． C． D．7．針對(duì)時(shí)下的“抖音熱”，某校團(tuán)委對(duì)“學(xué)生性別和喜歡抖音是否有關(guān)”作了一次調(diào)查，其中被調(diào)查的女生人數(shù)是男生人數(shù)的12，男生喜歡抖音的人數(shù)占男生人數(shù)的16，女生喜歡抖音的人數(shù)占女生人數(shù)23，若有99%參考公式：KP0.100.050.0250.0100.0050.001k2.7063.8415.0246.6357.87910.828A．12人 B．18人 C．24人 D．30人8．在一組樣本數(shù)據(jù)為，，，（，，，，，不全相等）的散點(diǎn)圖中，若所有樣本點(diǎn)都在直線上，則這組樣本數(shù)據(jù)的相關(guān)系數(shù)為（）A． B． C．1 D．-19．已知是定義在上的奇函數(shù)，對(duì)任意，，都有，且對(duì)于任意的，都有恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．10．設(shè)向量與，且，則（）A． B． C． D．11．現(xiàn)有黨員6名，從中任選2名參加黨員活動(dòng)，則不同選法的種數(shù)為（）A．15 B．14 C．13 D．1212．若三角形的兩內(nèi)角α，β滿足sinαcosβ＜0，則此三角形必為()A．銳角三角形 B．鈍角三角形C．直角三角形 D．以上三種情況都可能二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．?dāng)?shù)列的前n項(xiàng)和記為，則__________.14．已知復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)是，且，則的虛部是__________．15．在直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸建立極坐標(biāo)系，若曲線的極坐標(biāo)方程為，則曲線的直角坐標(biāo)方程為___.16．設(shè)函數(shù)可導(dǎo)，若，則__________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）隨著社會(huì)的進(jìn)步與發(fā)展，中國(guó)的網(wǎng)民數(shù)量急劇增加.下表是中國(guó)從年網(wǎng)民人數(shù)及互聯(lián)網(wǎng)普及率、手機(jī)網(wǎng)民人數(shù)（單位：億）及手機(jī)網(wǎng)民普及率的相關(guān)數(shù)據(jù).年份網(wǎng)民人數(shù)互聯(lián)網(wǎng)普及率手機(jī)網(wǎng)民人數(shù)手機(jī)網(wǎng)民普及率2009201020112012201320142015201620172018（互聯(lián)網(wǎng)普及率（網(wǎng)民人數(shù)/人口總數(shù)）×100%；手機(jī)網(wǎng)民普及率（手機(jī)網(wǎng)民人數(shù)/人口總數(shù)）×100%）（Ⅰ）從這十年中隨機(jī)選取一年，求該年手機(jī)網(wǎng)民人數(shù)占網(wǎng)民總?cè)藬?shù)比值超過80%的概率；（Ⅱ）分別從網(wǎng)民人數(shù)超過6億的年份中任選兩年，記為手機(jī)網(wǎng)民普及率超過50%的年數(shù)，求的分布列及數(shù)學(xué)期望；（Ⅲ）若記年中國(guó)網(wǎng)民人數(shù)的方差為，手機(jī)網(wǎng)民人數(shù)的方差為，試判斷與的大小關(guān)系.（只需寫出結(jié)論）18．（12分）已知函數(shù),.（Ⅰ）若是函數(shù)的一個(gè)極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的值及在內(nèi)的最小值；（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，求證：函數(shù)存在唯一的極小值點(diǎn)，且.19．（12分）已知，且滿足.（1）求；（2）若，，求的取值范圍.20．（12分）設(shè)集合，其中.（1）寫出集合中的所有元素；（2）設(shè)，證明“”的充要條件是“”（3）設(shè)集合，設(shè)，使得，且，試判斷“”是“”的什么條件并說明理由.21．（12分）已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求不等式的解集；（2）設(shè)函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，求的取值范圍.22．（10分）設(shè)為關(guān)于的方程的虛根，虛數(shù)單位．（1）當(dāng)時(shí)，求、的值；（2）若，在復(fù)平面上，設(shè)復(fù)數(shù)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，復(fù)數(shù)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，試求的取值范圍．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】

令y=，從而求導(dǎo)y′=以確定函數(shù)的單調(diào)性及取值范圍，再令=t，從而化為t2+（a﹣1）t+1﹣a=0有兩個(gè)不同的根，從而可得a＜﹣3或a＞1，討論求解即可．【詳解】令y=，則y′=，故當(dāng)x∈（0，e）時(shí)，y′＞0，y=是增函數(shù)，當(dāng)x∈（e，+∞）時(shí)，y′＞0，y=是減函數(shù)；且=﹣∞，=，=0；令=t，則可化為t2+（a﹣1）t+1﹣a=0，故結(jié)合題意可知，t2+（a﹣1）t+1﹣a=0有兩個(gè)不同的根，故△=（a﹣1）2﹣4（1﹣a）＞0，故a＜﹣3或a＞1，不妨設(shè)方程的兩個(gè)根分別為t1，t2，①若a＜﹣3，t1+t2=1﹣a＞4，與t1≤且t2≤相矛盾，故不成立；②若a＞1，則方程的兩個(gè)根t1，t2一正一負(fù)；不妨設(shè)t1＜0＜t2，結(jié)合y=的性質(zhì)可得，=t1，=t2，=t2，故（1﹣）2（1﹣）（1﹣）=（1﹣t1）2（1﹣t2）（1﹣t2）=（1﹣（t1+t2）+t1t2）2又∵t1t2=1﹣a，t1+t2=1﹣a，∴（1﹣）2（1﹣）（1﹣）=1；故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用及轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，考查了函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，考查了分類討論思想的應(yīng)用．2、C【解析】

根據(jù)導(dǎo)函數(shù)圖象，確定出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值，從而可得結(jié)論.【詳解】根據(jù)的圖象可知，當(dāng)或時(shí)，，所以函數(shù)在區(qū)間和上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，由此可知函數(shù)在和處取得極值，并且在處取得極大值，在處取得極小值，所以的圖象最有可能的是C.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性、極值的關(guān)系，考查數(shù)形結(jié)合思想和分析能力.解決此類問題，要根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的圖象確定原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值，一定要注意極值點(diǎn)兩側(cè)導(dǎo)數(shù)的符號(hào)相反.3、A【解析】試題分析：的單調(diào)變化情況為先增后減、再增再減因此的符號(hào)變化情況為大于零、小于零、大于零、小于零，四個(gè)選項(xiàng)只有A符合，故選A.考點(diǎn)：1、函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系；2、函數(shù)圖象的應(yīng)用.【方法點(diǎn)晴】本題通過對(duì)多個(gè)圖象的選擇考查函數(shù)的解析式、定義域、值域、單調(diào)性，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及數(shù)學(xué)化歸思想，屬于難題.這類題型也是近年高考常見的命題方向，該題型的特點(diǎn)是綜合性較強(qiáng)較強(qiáng)、考查知識(shí)點(diǎn)較多，但是并不是無路可循.解答這類題型可以從多方面入手，根據(jù)函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、特殊點(diǎn)以及時(shí)函數(shù)圖象的變化趨勢(shì)，利用排除法，將不合題意選項(xiàng)一一排除.4、C【解析】

試題分析：先分組：“個(gè)男個(gè)女”或“個(gè)女個(gè)男”，第一種方法數(shù)有，第二種方法數(shù)有.然后派到西部不同的地區(qū)，方法數(shù)有種.考點(diǎn)：排列組合.5、A【解析】

設(shè)CA＝2，則C(0,0,0)，A(2,0,0)，B(0,0,1)，C1(0,2,0)，B1(0,2,1)，可得＝(－2,2,1)，＝(0,2，－1)，由向量的夾角公式得cos〈，〉＝6、D【解析】已知180°對(duì)應(yīng)弧度，則轉(zhuǎn)化為弧度數(shù)為.本題選擇D選項(xiàng).7、B【解析】

設(shè)男生人數(shù)為x，女生人數(shù)為x2，完善列聯(lián)表，計(jì)算K2【詳解】設(shè)男生人數(shù)為x，女生人數(shù)為x喜歡抖音不喜歡抖音總計(jì)男生1656x女生1316x總計(jì)xx32K男女人數(shù)為整數(shù)故答案選B【點(diǎn)睛】本題考查了獨(dú)立性檢驗(yàn)，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和應(yīng)用能力.8、D【解析】

根據(jù)回歸直線方程可得相關(guān)系數(shù)．【詳解】根據(jù)回歸直線方程是yx+2，可得這兩個(gè)變量是負(fù)相關(guān)，故這組樣本數(shù)據(jù)的樣本相關(guān)系數(shù)為負(fù)值，且所有樣本點(diǎn)（xi，yi）（i＝1，2，…，n）都在直線上，則有|r|＝1，∴相關(guān)系數(shù)r＝﹣1．故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了由回歸直線方程求相關(guān)系數(shù)，熟練掌握回歸直線方程的回歸系數(shù)的含義是解題的關(guān)鍵．9、B【解析】

由可判斷函數(shù)為減函數(shù)，將變形為，再將函數(shù)轉(zhuǎn)化成恒成立問題即可【詳解】，又是定義在上的奇函數(shù)，為R上減函數(shù)，故可變形為，即，根據(jù)函數(shù)在R上為減函數(shù)可得，整理后得，在為減函數(shù)，為增函數(shù)，所以在為增函數(shù)，為減函數(shù)在恒成立，即，當(dāng)時(shí)，有最小值所以答案選B【點(diǎn)睛】奇偶性與增減性結(jié)合考查函數(shù)性質(zhì)的題型重在根據(jù)性質(zhì)轉(zhuǎn)化函數(shù)，學(xué)會(huì)去“”；本題還涉及恒成立問題，一般通過分離參數(shù)，處理函數(shù)在某一區(qū)間恒成立問題10、B【解析】

利用列方程，解方程求得的值，進(jìn)而求得的值.【詳解】由于，所以，即，而，故，故選B.【點(diǎn)睛】本小題主要考查向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，考查二倍角公式，考查特殊角的三角函數(shù)值，屬于基礎(chǔ)題.11、A【解析】分析：直接利用組合數(shù)求解即可．詳解：現(xiàn)有黨員6名，從中任選2名參加黨員活動(dòng)，則不同選法的種數(shù)為故選A點(diǎn)睛：本題考查組合的應(yīng)用，屬基礎(chǔ)題..12、B【解析】

由于為三角形內(nèi)角，故，所以，即為鈍角，三角形為鈍角三角形，故選B.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】試題分析：由可得：，所以,則數(shù)列是等比數(shù)列，首項(xiàng)為3，公比為3，所以?？键c(diǎn)：數(shù)列求通項(xiàng)公式。14、【解析】

設(shè)復(fù)數(shù)，代入等式得到答案.【詳解】設(shè)復(fù)數(shù)故答案為【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)的化簡(jiǎn)，共軛復(fù)數(shù)，復(fù)數(shù)的模，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和對(duì)復(fù)數(shù)知識(shí)的靈活運(yùn)用.15、【解析】

轉(zhuǎn)化為，由于，即可得解.【詳解】又由于即故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化，考查了學(xué)生概念理解，轉(zhuǎn)化劃歸的能力，屬于基礎(chǔ)題.16、3【解析】

根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義求解.【詳解】因?yàn)?，所以，即，?【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的定義.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（Ⅰ）；（Ⅱ）分布列見解析，；（Ⅲ）【解析】

（Ⅰ）由表格得出手機(jī)網(wǎng)民人數(shù)占網(wǎng)民總?cè)藬?shù)比值超過的年份，由概率公式計(jì)算即可；（Ⅱ）由表格得出的可能取值，求出對(duì)應(yīng)的概率，列出分布列，計(jì)算數(shù)學(xué)期望即可；（Ⅲ）觀察兩組數(shù)據(jù)，可以發(fā)現(xiàn)網(wǎng)民人數(shù)集中在之間的人數(shù)多于手機(jī)網(wǎng)民人數(shù)，則網(wǎng)民人數(shù)比較集中，而手機(jī)網(wǎng)民人數(shù)較為分散，由此可得出.【詳解】解：（Ⅰ）設(shè)事件：“從這十年中隨機(jī)選取一年，該年手機(jī)網(wǎng)民人數(shù)占網(wǎng)民總?cè)藬?shù)比值超過”.由題意可知：該年手機(jī)網(wǎng)民人數(shù)占網(wǎng)民總?cè)藬?shù)比值超過80%的年份為，共6個(gè)則.（Ⅱ）網(wǎng)民人數(shù)超過6億的年份有共六年，其中手機(jī)網(wǎng)民普及率超過的年份有這年.所以的取值為.所以，，.隨機(jī)變量的分布列為.（Ⅲ）.【點(diǎn)睛】本題主要考查了計(jì)算古典概型的概率，離散型隨機(jī)變量的分布列，數(shù)學(xué)期望等，屬于中檔題.18、（Ⅰ）；（Ⅱ）見解析【解析】

（Ⅰ）由已知條件的導(dǎo)函數(shù)，以及，從而求出實(shí)數(shù)的值，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)在內(nèi)的單調(diào)性，從而得到在內(nèi)的最小值（Ⅱ）由題可得,令，要證函數(shù)存在唯一的極小值點(diǎn)，即證只有唯一根，利用導(dǎo)數(shù)求出的單調(diào)區(qū)間與值域即可，且由零點(diǎn)定理可知，由，可得，代入中，利用導(dǎo)數(shù)求出在內(nèi)的最值即可證明?！驹斀狻浚á瘢┯深}可得：，則，是函數(shù)的一個(gè)極值點(diǎn)，，即，解得：，經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)時(shí)，是函數(shù)的一個(gè)極值點(diǎn)；；當(dāng)時(shí)，，令，解得：或，當(dāng)時(shí)，、的變化如下表：所以當(dāng)時(shí)，有最小值，（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，，令，，則，由于恒成立，所以恒大于零，則在上單調(diào)遞增，由于，，根據(jù)零點(diǎn)定理，可得存在唯一的，使得，令，解得：，，當(dāng)或時(shí)，，即的單調(diào)增區(qū)間為，，當(dāng)時(shí)，，即的單調(diào)減區(qū)間為，函數(shù)存在唯一的極小值點(diǎn)，且，，則；，則，令，解得：或，當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減，則，，所以【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)在函數(shù)最值以及極值中的運(yùn)用，考查學(xué)生轉(zhuǎn)化的思想，綜合性較強(qiáng)，有一定難度。19、（1）；（2）.【解析】

分析：（1）利用復(fù)數(shù)模的定義、互為共軛復(fù)數(shù)的意義及復(fù)數(shù)相等的定義即可解出；

（2）利用復(fù)數(shù)模的計(jì)算公式即可證明．詳解：（1）設(shè)，則由得利用復(fù)數(shù)相等的定義可得，解得或．或．（2）當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，|綜上可得：.點(diǎn)睛：熟練掌握復(fù)數(shù)模的定義、互為共軛復(fù)數(shù)的意義及復(fù)數(shù)相等的定義是解題的關(guān)鍵．20、（1），，，；（2）證明見解析；（3）充要條件.【解析】

（1）根據(jù)題意，直接列出即可（2）利用的和的符號(hào)和最高次的相同，利用排除法可以證明。（3）利用（2）的結(jié)論完成（3）即可?！驹斀狻浚?）中的元素有，，，。（2）充分性：當(dāng)時(shí)，顯然成立。必要性：若=1，則若=，則若的值有個(gè)1，和個(gè)。不妨設(shè)2的次數(shù)最高次為次，其系數(shù)為1，則，說明只要最高次的系數(shù)是正的，整個(gè)式子就是正的，同理，只要最高次的系數(shù)是負(fù)的，整個(gè)式子就是負(fù)的，說明最高次的系數(shù)只能是0，就是說，即綜上“”的充要條件是“”（3）等價(jià)于等價(jià)于由（2）得“=”的充要條件是“”即“=”是“”的充要條件【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)列遞推關(guān)系等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求和公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．21、（1）（2）【解析】

（1）將代入不等式，討論范圍去絕對(duì)值符號(hào)解得不等式.（2）利用絕對(duì)值三角不等式得到答案.【詳解】(1)當(dāng)時(shí)，綜上(2)恒成立恒成立解不等式可得【點(diǎn)睛