2022-2023學年吉林省長春市數(shù)學高二第二學期期末統(tǒng)考模擬試題含解析

2022-2023高二下數(shù)學模擬試卷注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區(qū)域內。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．下列結論錯誤的是（）A．命題“若p，則q”與命題“若￢q，則￢p”互為逆否命題B．命題p：，，命題q：，，則“”為真C．“若，則”的逆命題為真命題D．命題P：“，使得”的否定為￢P：“，2．已知函數(shù)，如果，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．3．函數(shù)的一個單調增區(qū)間是（）A． B． C． D．4．已知復數(shù)(為虛數(shù)單位)，則（）A． B． C． D．5．()A． B． C． D．6．設，滿足約束條件則的最大值為（）A． B． C． D．7．已知，，，則下列說法正確是（）A． B．C．與的夾角為 D．8．等差數(shù)列{an}中，a1+a5=10,a4=7,則數(shù)列{an}的公差為A．1 B．2 C．3 D．49．隨機變量的概率分布為，其中是常數(shù)，則（）A． B． C． D．10．如圖為某幾何體的三視圖，則該幾何體的體積為（）A． B． C． D．11．拋物線上的一點M到焦點的距離為1，則點M的縱坐標是A． B． C． D．12．已知一系列樣本點…的回歸直線方程為若樣本點與的殘差相同，則有()A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．三棱錐中，平面，，則三棱錐外接球的體積為_____.14．如圖所示，在圓錐中，為底面圓的兩條直徑，，且,，為的中點，則異面直線與所成角的正切值為__________.15．空間直角坐標系中，兩平面α與β分別以（2，1，1）與（0，2，1）為其法向量，若α∩β＝l，則直線l的一個方向向量為_____．（寫出一個方向向量的坐標）16．正方體中，異面直線和所成角的大小為________三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知集合M＝{x|x<－3，或x>5}，P＝{x|(x－a)·(x－8)≤0}．(1)求M∩P＝{x|5<x≤8}的充要條件；(2)求實數(shù)a的一個值，使它成為M∩P＝{x|5<x≤8}的一個充分但不必要條件．18．（12分）已知定義在上的偶函數(shù)滿足：當時，.（1）求函數(shù)的解析式；（2）設函數(shù)，若對于任意的，都有成立，求實數(shù)的取值范圍.19．（12分）在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且．（1）判斷△ABC的形狀；（2）若，求的取值范圍．20．（12分）設，（為自然對數(shù)的底數(shù))．（1）記①討論函數(shù)單調性；②證明當時，恒成立.（2）令設函數(shù)有兩個零點，求參數(shù)的取值范圍.21．（12分）已知函數(shù)，，.（1）討論函數(shù)的單調性；（2）證明：，恒成立.22．（10分）已知函數(shù)（，e為自然對數(shù)的底數(shù)）.（1）若，求的最大值；（2）若在R上單調遞減，①求a的取值范圍；②當時，證明：.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】

由逆否命題的定義即可判斷A；由指數(shù)函數(shù)的單調性和二次函數(shù)的值域求法，可判斷B；由命題的逆命題，可得m＝0不成立，可判斷C；運用命題的否定形式可判斷D．【詳解】解：命題“若p則q”與命題“若￢q則￢p”互為逆否命題，故A正確；命題，，由，可得p真；命題，，由于，則q假，則“”為真，故B正確；“若，則”的逆命題為“若，則”錯誤，如果，不成立，故C不正確；命題P：“，使得”的否定為￢P：“，”，故D正確．故選：C．【點睛】本題考查四種命題和命題的否定，考查判斷能力和運算能力，屬于基礎題．2、A【解析】

由函數(shù)，求得函數(shù)的單調性和奇偶性，把不等式，轉化為，即可求解．【詳解】由函數(shù)，可得，所以函數(shù)為單調遞增函數(shù)，又由，所以函數(shù)為奇函數(shù)，因為，即，所以，解得，故選A．【點睛】本題主要考查了函數(shù)的單調性與奇偶性的應用，其中解答中熟練應用函數(shù)的單調性與函數(shù)的奇偶性，合理轉化不等式是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題．3、B【解析】

對函數(shù)在每個選項的區(qū)間上的單調性進行逐一驗證，可得出正確選項.【詳解】對于A選項，當時，，所以，函數(shù)在區(qū)間上不單調；對于B選項，當時，，所以，函數(shù)在區(qū)間上單調遞增；對于C選項，當時，，所以，函數(shù)在區(qū)間上單調遞減；對于D選項，當時，，所以，函數(shù)在區(qū)間上單調遞減.故選：B.【點睛】本題考查正弦型函數(shù)在區(qū)間單調性的判斷，一般利用驗證法進行判斷，即求出對象角的取值范圍，結合正弦函數(shù)的單調性進行判斷，考查推理能力，屬于中等題.4、D【解析】分析：化簡復，利用復數(shù)模的公式求解即可.詳解：因為，所以=，故選D.點睛：復數(shù)是高考中的必考知識，主要考查復數(shù)的概念及復數(shù)的運算．要注意對實部、虛部的理解，掌握純虛數(shù)、共軛復數(shù)這些重要概念，復數(shù)的運算主要考查除法運算，通過分母實數(shù)化轉化為復數(shù)的乘法，運算時特別要注意多項式相乘后的化簡，防止簡單問題出錯，造成不必要的失分.5、C【解析】

根據(jù)定積分的運算公式，可以求接求解.【詳解】解:，故選C.【點睛】本題考查了定積分的計算，熟練掌握常見被積函數(shù)的原函數(shù)是解題的關鍵.6、C【解析】

作出不等式對應的平面區(qū)域，利用目標函數(shù)的幾何意義，求目標函數(shù)的最大值即可．【詳解】畫出約束條件所表示的平面區(qū)域，如圖所示，由得到，平移直線，當過A時直線截距最小，最大，由得到，所以的最大值為，故選：C．【點睛】本題主要考查簡單線性規(guī)劃求解目標函數(shù)的最值問題．其中解答中正確畫出不等式組表示的可行域，利用“一畫、二移、三求”，確定目標函數(shù)的最優(yōu)解是解答的關鍵，著重考查了數(shù)形結合思想，及推理與計算能力，屬于基礎題．7、D【解析】

根據(jù)向量運算和向量夾角公式，向量模依次判斷每個選項得到答案.【詳解】，故，故錯誤；，故錯誤；，故，故，錯誤；，故，正確.故選：.【點睛】本題考查了向量數(shù)量積，向量夾角，向量模，意在考查學生的計算能力.8、B【解析】∵a1＋a5＝10，a4＝7，∴2a1＋9、B【解析】分析：由已知得可得a值，在求出期望算方差即可.詳解：因為隨機變量的概率分布為，故得，故E（X）=,又，而,故=，選B點睛：考查分布列的性質和期望、方差的計算，熟悉公式即可，屬于基礎題.10、A【解析】

根據(jù)三視圖得出幾何體為一個圓柱和一個長方體組合而成，由此求得幾何體的體積.【詳解】由三視圖可知，該幾何體由圓柱和長方體組合而成，故體積為，故選A.【點睛】本小題主要考查三視圖還原原圖，考查圓柱、長方體體積計算，屬于基礎題.11、B【解析】

由拋物線方程化標準方程為，再由焦半徑公式，可求得?！驹斀狻繏佄锞€為，由焦半徑公式，得。選B.【點睛】拋物線焦半徑公式：拋物線，的焦半徑公式。拋物線，的焦半徑公式。拋物線，的焦半徑公式。拋物線，的焦半徑公式。12、C【解析】

分別求得兩個殘差，根據(jù)殘差相同列方程，由此得出正確選項.【詳解】樣本點的殘差為，樣本點的殘差為，依題意，故，所以選C.【點睛】本小題主要考查殘差的計算，考查方程的思想，屬于基礎題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

畫出示意圖，根據(jù)“球心與任意小圓面的圓心的連線垂直于小圓圓面、球心與弦中點的連線垂直于弦”確定外接球的球心所在位置，最后計算出體積.【詳解】如圖所示：為等腰直角三角形，所以的外接圓圓心即為中點，過作一條直線，平面，則圓心在直線上，過的中點作，垂足為，此時可知：，故即為球心，所以球的半徑，所以球的體積為：.【點睛】本題考查外接球的體積計算,難度一般.求解外接球、內切球的有關問題，第一步先確定球心，第二步計算相關值.其中球心的確定有兩種思路：（1）將幾何體放到正方體或者長方體中直接確定球心；（2）根據(jù)球心與小圓面的圓心、弦中點等的位置關系確定球心.14、【解析】

由于與是異面直線，所以需要平移為相交直線才能找到異面直線與所成角，由此連接OP再利用中位線的性質得到異面直線與所成角為,并求出其正切值．【詳解】連接，則，即為異面直線與所成的角，又，，，平面，，即，為直角三角形，.【點睛】本題考查了異面直線所成角的計算，關鍵是利用三角形中位線的性質使異面直線平移為相交直線．15、（，1，﹣2）【解析】

設直線l的一個方向向量為，根據(jù)，列式可得答案.【詳解】設直線l的一個方向向量為，依題意可知，所以，令，則，，所以.故答案為：.【點睛】本題考查了平面的法向量，考查了求直線的方向向量，屬于基礎題.16、.【解析】分析：連接，三角形是直角三角形，根據(jù)正方形的性質得到線面垂直進而得到線線垂直.詳解：連接，三角形是直角三角形，根據(jù)正方形的性質得到，，而于點，故垂直于面，進而得到.故兩者夾角為.故答案為.點睛：這個題目考查的是異面直線的夾角的求法；常見方法有：將異面直線平移到同一平面內，轉化為平面角的問題；或者證明線面垂直進而得到面面垂直，這種方法適用于異面直線垂直的情況.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)；(2)【解析】

（1）根據(jù)兩個集合的交集為，可知，即充要條件就是.（2）由（1）可知，要找充分不必要條件，即是在找一個值，都是符合題意的值.【詳解】(1)由M∩P＝{x|5<x≤8}，得－3≤a≤5，因此M∩P＝{x|5<x≤8}的充要條件是－3≤a≤5；(2)求實數(shù)a的一個值，使它成為M∩P＝{x|5<x≤8}的一個充分但不必要條件，就是在集合{a|－3≤a≤5}中取一個值，如取a＝0，此時必有M∩P＝{x|5<x≤8}；反之，M∩P＝{x|5<x≤8}未必有a＝0，故a＝0是M∩P＝{x|5<x≤8}的一個充分不必要條件．【點睛】本小題主要考查利用集合的交集來求解參數(shù)的取值范圍，考查找充分不必要條件的方法，屬于中檔題.18、（1）；（2）.【解析】

試題分析：（1）當時，，從而，再根據(jù)函數(shù)為偶函數(shù)可得在上的解析式，進而可得在上的解析式．（2）將問題轉化為處理．由于為偶函數(shù)，故只可求出當時的最小值即可，可得．又，由，得，即為所求．試題解析：（1）設，則，∴，∵定義在偶函數(shù)，∴∴．（2）由題意得“對任意，都有成立”等價于“”．又因為是定義在上的偶函數(shù).所以在區(qū)間和區(qū)間上的值域相同.當時，.設，則令，則當時，函數(shù)取得最小值，所以．又由，解得，因此實數(shù)的取值范圍為.點睛：（1）利用偶函數(shù)的性質可求函數(shù)的解析式，對于偶函數(shù)的值域根據(jù)其對稱性只需求在y軸一側的值域即可，體現(xiàn)了轉化的思想在解題中的應用．（2）本題中，將“對任意，都有成立”轉化為“”來處理，是數(shù)學中常用的解題方法，這一點要好好體會和運用．（3）形如的函數(shù)的值域問題，可根據(jù)換元法轉化為二次函數(shù)的值域問題求解．19、(1)△ABC為的直角三角形．(2).【解析】

分析：（1）由已知條件結合正弦定理對已知化簡可求得角的值，進而可判斷三角形的形狀；（2）由輔助角公式對已知函數(shù)先化簡，然后代入可求得，結合（1）中的角求得角的范圍，然后結合正弦函數(shù)的性質，即可求解．【詳解】（1）因為，由正弦定理可得，即，所以．因為在△ABC中，，所以又，所以，．所以△ABC為的直角三角形．（2）因為=．所以．因為△ABC是的直角三角形，所以，且，所以當時，有最小值是．所以的取值范圍是．點睛：本題主要考查了利用正弦定理和三角函數(shù)的恒等變換求解三角形問題，對于解三角形問題，通常利用正弦定理進行“邊轉角”尋求角的關系，利用“角轉邊”尋求邊的關系，利用余弦定理借助三邊關系求角，利用兩角和差公式及二倍角公式求三角函數(shù)值.利用正、余弦定理解三角形問題是高考高頻考點，經常利用三角形內角和定理，三角形面積公式，結合正、余弦定理解題.20、（1）①在為減函數(shù)，在上為增函數(shù)②見證明；（2）【解析】

（1）①對函數(shù)求導，判斷其單調性即可。②轉化成證明的問題，從而證明在時的最小值大于0。（2）首先對求導數(shù)，討論其單調性，結合圖像即可得到有兩個零點時的取值范圍?！驹斀狻浚?）①由題意得所以因為所以當時為增函數(shù)，當時為減函數(shù)②證明:當時,恒成立,等價于證明當時,恒成立。因為，因為，則。因為，所以，所以在上為增函數(shù)。因為，所以在上為增函數(shù)。又因為，所以（2）當時，為增函數(shù)。，為減函數(shù)。有兩個零點當時，令當時在和上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)。此時有三個零點（舍棄）當同理可得有三個零點（舍棄）當時，，此時有兩個零點。綜上所述【點睛】本題主要考查了根據(jù)導數(shù)判斷單調性以及函數(shù)恒成立問題，在解決第二問函數(shù)零點問題時，轉化成判斷函數(shù)單調性以及極值的問題。屬于難題。21、（1）當時，在上單調遞增，在上單調遞減；當時，在和上單調遞增，在上單調遞減；當時，在上單調遞增；當時，在和上單調遞增，在上單調遞減；（2）證明見解析【解析】

（1）可求得，分別在、、、四種情況下討論導函數(shù)的符號，從而得到原函數(shù)的單調性；（2）將不等式轉化為：，令，，利用導數(shù)求得和，可證得，從而證得結論.【詳解】（1），①當時，時，；時，在上單調遞增，在上單調遞減②當時，和時，；時，在和上單調遞增，在上單調遞減③當時，在上恒成立在上單調遞增④當