2013年北京高考理科數(shù)學試題及答案

#絕密★啟封前機密★使用完畢前2013年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學〔理〕〔北京卷〕本試卷共5頁，150分，考試時長120分鐘，考生務(wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無效．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．第一部分〔選擇題共40分〕、選擇題共8小題，每題5分，共40分．在每題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項．〔1〕已知集合A={-1,0,l},要求的一項．〔1〕已知集合A={-1,0,l},B={%I-1W%<l},則AQB=A. {0} B. {-1,0} C {0, 1} D. {-1, 0,1}〔2〕在復平面內(nèi)，復數(shù)（2-i）對應(yīng)的點位于〔 〕A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限〔3〕“中=n”是“曲線y=sin（2%+9）過坐標原點”的〔 〕A.充分而不必要條件C.充分必要條件B.D.必要而不充分條件既不充分也不必要條件〔4〕執(zhí)行如下圖的程序框圖，輸出的S值為2A.1B.23C.1321D.610987〔5〕函數(shù)f（%）的圖象向右平移1個單位長度，所得圖象與曲線y=e%關(guān)于y軸對稱，則e%+1ee%+1e%-1e-%+1e-%-1〔6〕假設(shè)雙曲線上-22=1的離心率為，,；3，則其漸近線方程為a2b2_ - _ 1 2A.y=±2%B.y=±、2% C.y=±-A.y=±2%2 2〔7〕直線l過拋物線C:%2=4y的焦點且與y軸垂直，則l與C所圍成的圖形的面積等于A.B.A.B.2 C.-16V22x-y+1〉0,〔8〕設(shè)關(guān)于x,y的不等式組L+m<0, 表示的平面區(qū)域內(nèi)存在點P(x,y),滿足0 0y—m〉0x—2y=2,求得m的取值范圍是00A.一8B.337C.( 5\D. —8,—-V 37第二部分〔非選擇題共110分〕A.一8B.337C.( 5\D. —8,—-V 37第二部分〔非選擇題共110分〕二、填空題共6小題，每題5分，共30分.，一一一..(nJ一 …一一〔9〕在極坐標系中，點2,n到直線psin0=2的距離等于 .V67〔10〕假設(shè)等比數(shù)列｛a｝滿足a+a=20,a+a=40，則公比q=n 2 4 3 5項和s=.nA〔11〕如圖，AB為圓O的直徑，PA為圓O的切線，PB與圓O相交于D,假設(shè)PA=3,PD:DB=9:16，貝UPD=,AB=.〔12〕將序號分別為1，2，3，4，5的5張參觀券全部分給4人，每人至少1張，如果分給同一人的2張參觀券連號，那么不同的分法種數(shù)是.〔13〕向量a,b,c在正方形網(wǎng)格中的位置如下圖，假設(shè)％=3^(X,eR),則屋.Nc〔14〕如圖，在棱長為2的正方體ABCD—ABCD中，E為BC的中點，點P1111在線段DE上，點P到直線CC的距離的最小值為i 1DCAABC1三、解答題共6小題，共50分.解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟〔15〕本小題共〔13分〕在△ABC中，a=3,b=2<6,ZB=2ZA.〔I〕求cosA的值;〔II〕求c的值.〔16〕〔本小題共13分〕下列圖是某市3月1日至14日的空氣質(zhì)量指數(shù)趨勢圖，空氣質(zhì)量指數(shù)小于100表示空氣質(zhì)量優(yōu)良，空氣質(zhì)量指數(shù)大于200表示空氣重度污染．某人隨機選擇3月1日至3月15日中的某一天到達該市，并停留2天．空氣質(zhì)量指數(shù)空氣質(zhì)量指數(shù)〔I〕求此人到達當日空氣重度污染的概率；〔II〕設(shè)X是此人停留期間空氣質(zhì)量優(yōu)良的天數(shù)，求X的分布列與數(shù)學期望；〔山〕由圖判斷從哪天開始連續(xù)三天的空氣質(zhì)量指數(shù)方差最大？〔結(jié)論不要求證明〕〔17〕〔本小題共14分〕如圖，在三棱柱ABC-ABC中，AACC是邊長為4的正方形.平面ABC±111 11C1Ai B平面AACC,AB=3,BCC1Ai B11〔I〕求證：AA±平面ABC；1〔I〕求證二面角A-BC-B的余弦值；1 11〔111〕證明：在線段BC上存在點D,使得AD±AB，并求BD的值.1 1 BC1〔18〕〔本小題共13分〕設(shè)l為曲線C:y=lnx在點(1,0)處的切線.x〔I〕求l的方程；〔I〕證明：除切點(1,0)之外，曲線C在直線l的下方.〔19〕〔本小題共14分〕已知AB,C是橢圓W:=+y2=1上的三個點，0是坐標原點.4〔I〕當點B是W的右頂點，且四邊形0ABC為菱形時，求此菱形的面積；〔II〕當點B不是W的頂點時，判斷四邊形0ABC是否可能為菱形，并說明理由.〔20〕〔本小題共13分〕已知｛a｝是由非負整數(shù)組成的無窮數(shù)列，該數(shù)列前n項的最大值記為A,第n項之后nn各項a,a…的最小值記為B,d=A-B.n+1n+2 nnnn〔I〕假設(shè)｛a｝為2,1,4,3,2,1,4,3…，是一個周期為4的數(shù)列〔即對任意neN*,na=a］，寫出d,d,d,d的值；n+4n 1234〔II〕設(shè)d是非負整數(shù)，證明：d=-d(n=1,2,3…)的充分必要條件為｛a｝是公差為dn n的等差數(shù)列；〔m〕證明：假設(shè)a=2,d=1(n=1,2,3，…)，則｛a｝的項只能是1或者2,且有無窮1 n n多項為1.2013北京高考數(shù)學感解析一?答窠：一?答窠：B答案；D解析：解析：[a—y答案:A=4-4]+ir=3.-4i,?對應(yīng)的復平面內(nèi)點坐標為自T）解析：/=方時，『=sin但￡+乃.=-sin2廠，過原點；:.但是函數(shù)過原點的時候中可以取其他值4、答案：記i80I1;232（跳出）13275、答案:D依題意，手付向右平移T單位之后得到的函數(shù)應(yīng)該是『=。1于是/付相當于/=電工句左平移一個單位的結(jié)果，所以汽工）=比-】由離心率為有，可知-=/口，.所以我們有白=也.，漸近線方程為『=±?]=士衣].K答案：C?的方程是『=1，.所求面積相當于一個矩形面積減去一個積分值:"4-公=4一或120;3；答案:C本題線?性規(guī)劃圖示:要使可行域存在，必有m<-2m+l,要求可行域

1 … ,內(nèi)包含直線丁=5，-1上的點，只要邊界點（一m,1—2m）在直線y=-X-1上方，且（-m,m）在直線y=2X-1下方，解不等式組<1-2m>-二.填空題I1解析；極坐標系中點⑵;）對應(yīng)直角坐標系中坐標為（屈D,極坐標系直綾9siii?=J對應(yīng)&直角坐標系中直線方程為『=2，所以距離為1, 3￡=2"耳—2H解析；的時=鼠附十4J代A弱守=2,再根據(jù)為十%=/守十噸了=20箱%=2所以&=2〉，利用求和公式可以得到Sn=2'"41-2?.3.45,解析；由于陽；w=g；i氐強陽=購座=1儲,根據(jù)切割線遴有網(wǎng),=四有口=；-，所以胤？=；,在直用APE4中，有四=4.96解析：5張參觀券分為4雄，有2個聯(lián)號有4種分法，然后三種拄列有4種方法第2頁

所以總皴是4￡.4解析：以向量口和廟1寡點為原盧儆直角坐標系，則占電-口）/=9,幻）=[-1,學根據(jù)匚=否?+而=>g,?3=用一1,1）+判（仇④有-汨~6〃=L次十孫=-5j所以』=q"=-^則入.硬5解析：遲尸做咫垂苴上底面以鳥心以，過￡作直綴￡羯垂直底面4E0區(qū)叫在緘段鳥以上況到線段的距離二WCJ當點H在線段胃馬運動時,最小值為G到線段回當?shù)母咚宰頳嘴就是ACRi瓦的芭】為卓三WS&.在MBG中』討=3/=2瓜B=2A（1「樂?？凇旯さ闹调枨笮牡闹到馕觯?in由條件口以宥出，已知兩肉美系.軍國，明顯應(yīng)用止弦定理解決問題.1_b3_2# 3_ 2奉 = ::' sin/IsingsinAsin'2Asin月.2dnXcos/l引」cosA=巫3⑵由已知兩邊和角求第三邊？所以我們應(yīng)用余弦定理求解

cP=9十三-2加cos月二■于=（2.而『十欣-2#2#吾袋4-那產(chǎn)-岳十Lg=0所以u=5， c=3（舍）

電卜圖是某市3月1日至14日的空氣質(zhì)量指數(shù)趨勢圖，空氣質(zhì)量指戴小十100表不空氣質(zhì)量優(yōu)良,空氣質(zhì)量指既于前口表示空氣重度污染.某人隨機幡3月1日至3月13H質(zhì)量優(yōu)良,空氣質(zhì)量指數(shù)中的某一天到達該市，并停鎧2空氣質(zhì)量指數(shù)天.（1）求此411達當日空氣重度污染的概率m（II）設(shè)Y是此人停留期I間空氣質(zhì)量優(yōu)良的天數(shù)，求丫的分布列與數(shù)學期望；（III）由圖判斷從哪天開始連綾三天的空氣質(zhì)量指數(shù)方差最大？《結(jié)論不要求證明:2解析；⑴P=—13X012P34IT413￡（了）二口13X—+1X—+2K—￡（了）二口1313 13 13⑶5.6.了三大17.如圖，在三棱柱四4-同用G中，MQC是邊長大4的正方形.平面平面71Ml/^=3,BC=5.（I）求證：A\_L平面抽C；（II）求證二ffi角A-百G-用的余弦值？

U11）證明,在線段EC】上存在點.Q,庾得也，身小開樂繪的值.2_兒?](.1)4木媽是正方形(.1)4木媽是正方形n期

平面」4呂（7_1平面片,4cl；nn一一，n“_L平面工9CAC=4'](2)AC=4'](2)由5C=5}n_4C_L施.也=3」12、建立如圖所示的空司直角坐標系達-月CB44（0A4）;坑口3口）0巴口用一，4（0X4）存=[4月⑼，9=[口3一4）喊嚏密時,F耳=（0.乩4）設(shè)平面“G的法向量為的對打電），平面呈明的法向量為均（初幾句）"FT

n

4

n"FT

n

4

n「13）設(shè)點。的豎軸坐標為【（口<?4）,在平面ECC聲中作DE_LB7十即根據(jù)比例關(guān)系可知D0：（4—1“]（0<t<4）（3- :：.AD=工彳（4—力）4.=[□,%-4）義’.,工6_L耳月O,1?_.（4-f]-4t=02翦25._DE_9''西一西Fis.e本小題共■分）.設(shè)j為畸6/二旦在點心口）處的切線.田正1的方程；⑵-證明'除切點。⑶之外，的C在直線1國卜方.解；⑴『:三1/，十是川一=1,因此?的方程為『=三-人⑵只需要證明心K口且工旦時門一1二叱.設(shè)了他"工口_1）-由工,.工>口|則為此以0在@1）上單調(diào)遞漏在（1,+S）單調(diào)遞增.進而了卜"/口）=口，即原命題得證.19.G本小題共14銖）.第白頁巳知凡瓦日是幃局部.I+/=I上的三個點，0是坐標原點.口當點6是部的右頂點，且四邊形皿（7：為菱形時，求此菱形的面積；⑵當點B不是部的頂點P九判斷四邊形miBb是否可能為菱形，并說明理由.解，⑴線段o萬的垂亙平分線興工=1,因此,pq=i,進而菱形面積為=—2-1=1.劇四邊形口物（？不可能是菱形.只需要證明若。4=。2,則黃點與D點的橫坐標相等或互為相反數(shù).設(shè)辦=國=『，則用、色為圓廣一產(chǎn)=尸與桶［圓印.亍十尸=1的交點.哈—于是結(jié)論得證.第尸頁20.已知是由非負整數(shù)組成的無第數(shù)列，度數(shù)列前H項的最大值大耳，第拜項之后各項叫Mr金田…的最小值記為與，4=4-凡?D.若｛引為2J4,上2J4,3、…是T周期為4的數(shù)列，寫出公力，2為值；?設(shè)d是非負蹴，證明工4=-+5=1,2$…)的充分必要條件是｛%是公差為d的等差數(shù)列m期證明F若q=T，J=15=L2,3,，C,貝”q｝啊項R總院1或者■?，且有尢分多期為屋解：⑴由-r.j=o!%=工，血=2；|充分性：若他｝為公差為d的等差數(shù)列，則4=/+(>-1)共于是兒=6=可十自一1./巨=%也=碉+.，兇四出”=凡一及=—d(m=l,2,3,…).必要性；谷4=-厘；Eh=112J,…〕，假諛外是第一個使得"c口列項，則4=A一4=%1—&二三鼻［—%>■口r與4=—hgo;丁■■盾-田此吃是不遍的顆例.進而d=月—E=M—口舊=—心即以