《彈性力學(xué)》試題參考答案

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《彈性力學(xué)》試題參考答案（答題時間：100分鐘）

一、填空題（每小題4分）

1．最小勢能原理等價于彈性力學(xué)基本方程中：平衡微分方程，應(yīng)力邊界條件。2．一組可能的應(yīng)力分量應(yīng)滿足：平衡微分方程，相容方程（變形協(xié)調(diào)條件）。3．等截面直桿扭轉(zhuǎn)問題中，2截面內(nèi)的扭矩M。

4．平面問題的應(yīng)力函數(shù)解法中，Airy應(yīng)力函數(shù)?在邊界上值的物理意義為邊界上某一點（基準點）到任一點外力的矩。

5．彈性力學(xué)平衡微分方程、幾何方程的張量表示為：

??D?dxdy?M的物理意義是桿端截面上剪應(yīng)力對轉(zhuǎn)軸的矩等于桿?ij,j?Xi?0，?ij?1(ui,j?uj,i)。

2二、簡述題（每小題6分）

1．試簡述力學(xué)中的圣維南原理，并說明它在彈性力學(xué)分析中的作用。

圣維南原理：如果物體的一小部分邊界上的面力變換為分布不同但靜力等效的面力（主矢與主矩相同），則近處的應(yīng)力分布將有顯著的改變，但遠處的應(yīng)力所受影響可以忽略不計。作用：（1）將次要邊界上復(fù)雜的面力（集中力、集中力偶等）作分布的面力代替。

（2）將次要的位移邊界條件轉(zhuǎn)化為應(yīng)力邊界條件處理。

2．圖示兩楔形體，試分別用直角坐標(biāo)和極坐標(biāo)寫出其應(yīng)力函數(shù)?的分離變量形式。

題二（2）圖

??(x,y)?ax2?bxy?cy2??(x,y)?ax3?bx2y?cxy2?dy3（a）?（b）?23?(r,?)?rf(?)?(r,?)?rf(?)??3．圖示矩形彈性薄板，沿對角線方向作用一對拉力P，板的幾何尺寸如圖，材料的彈性模量E、泊松比?已知。試求薄板面積的改變量?S。

1

題二（3）圖

設(shè)當(dāng)各邊界受均布壓力q時，兩力作用點的相對位移為?l。由??1(1??)q得，

Eqa2?b2?l??a?b?(1??)

E22設(shè)板在力P作用下的面積改變?yōu)?S，由功的互等定理有：

q??S?P??l

將?l代入得：

?S?1??Pa2?b2E顯然，?S與板的形狀無關(guān)，僅與E、?、l有關(guān)。

4．圖示曲桿，在r?b邊界上作用有均布拉應(yīng)力q，在自由端作用有水平集中力P。試寫出其邊界條件（除固定端外）。

題二（4）圖

（1）?r（2）?r（3）

r?b?q,?r??0,?r?r?b?0；?0

bar?ar?a?ba??dr??Pcos???r?dr?Psin?

ba

s???rdr??Pco?a?b

25．試簡述拉甫（Love）位移函數(shù)法、伽遼金（Galerkin）位移函數(shù)法求解空間彈性力學(xué)問題的基本思想，并指出各自的適用性

Love、Galerkin位移函數(shù)法求解空間彈性力學(xué)問題的基本思想：

（1）變求多個位移函數(shù)u(x,y),v(x,y),w(x,y)或ur(r,?),u?(r,?)為求一些特殊函數(shù)，如調(diào)和函

數(shù)、重調(diào)和函數(shù)。

（2）變求多個函數(shù)為求單個函數(shù)（特殊函數(shù)）。

適用性：Love位移函數(shù)法適用于求解軸對稱的空間問題；Galerkin位移函數(shù)法適用于求解非軸對稱的空間問題。

三、計算題

2

1．圖示半無限平面體在邊界上受有兩等值反向，間距為d的集中力作用，單位寬度上集中力的值為P，設(shè)間距d很小。試求其應(yīng)力分量，并討論所求解的適用范圍。（提示：取應(yīng)力函數(shù)為

??Asin2??B?）（13分）

題三（1）圖

解：?d很小，?M?Pd，可近似視為半平面體邊界受一集中力偶M的情形。

將應(yīng)力函數(shù)?(r,?)代入，可求得應(yīng)力分量：

?r?1??r?r?1?2?r2??2??4?2?r2Asin2?；????r2?0；?????r?????r?1?r?????1r2(2Acos2??B)邊界條件：

（1）????0?0,??0；??????0,??????0

r?0r???0r?0r?0rr?0代入應(yīng)力分量式，有

1r2(2A?B)?0或2A?B?0（1）

（2）取一半徑為r的半圓為脫離體，邊界上受有：?r,?r?，和M=Pd

由該脫離體的平衡，得

??22???r?rd??M?0

2將?r?代入并積分，有

??22??12r2(2Acos2??B)rd??M?0Asin2???B2???M?0得B??M?0（2）

2聯(lián)立式（1）、（2）求得：

B??M???Pd?，A?Pd2?

代入應(yīng)力分量式，得

3

22Pdsin?。2Pdsin2???0；；?r????r????22??rr結(jié)果的適用性：由于在原點附近應(yīng)用了圣維南原理，故此結(jié)果在原點附近誤差較大，離原點較遠

處可適用。2．圖示懸臂梁，受三角形分布載荷作用，若梁的正應(yīng)力?x由材料力學(xué)公式給出，試由平衡微分方程求出?xy,?y，并檢驗該應(yīng)力分量能否滿足應(yīng)力表示的相容方程。

（12分）

題三（2）圖

解：（1）求橫截面上正應(yīng)力?x

任意截面的彎矩為M??q06lx3，截面慣性矩為I?h312，由材料力學(xué)計算公式有?Myx?I??2q0lh3x3y（2）由平衡微分方程求?xy、?y

????x???xy?X?0平衡微分方程：???x?y(2)?????

yxy???x??y?Y?0(3)其中，X?0,Y?0。將式（1）代入式（2），有

??xy6q02?y?lh3xy積分上式，得

?3q0xy?lh3x2y2?f1(x)利用邊界條件：?xyy??h?0，有

23q04lh3x2h2?f3q0221(x)?0即f1(x)??4lh3xh1）4

（

?xy?將式（4）代入式（3），有

3q02212x(y?h)（4）

4lh36q021h2)???y?0或??y??6q0x(y2?1h2)x(y?33lh4?y?ylh4積分得

?6q0y??lh3x(y33?14h2y)?f2(x)利用邊界條件：

?0yy??h??qlx，?y2y??h?0

2得：

???6q0h31h3)??lh3x(?24?8f2(x)??q0lx

???6q03lh3x(h24?18h3)?f2(x)?0由第二式，得

f2(x)??q02lx將其代入第一式，得

?q02lx?q0q2lx??0lx自然成立。將f2(x)代入?y的表達式，有

?6qy??0y312qlh3x(3?4hy)?02lx所求應(yīng)力分量的結(jié)果：

?x?MyI??2q0lh3x3y?