2022-2023學(xué)年北京五中數(shù)學(xué)高二下期末綜合測試試題含解析

2022-2023高二下數(shù)學(xué)模擬試卷考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知為正整數(shù)用數(shù)學(xué)歸納法證明時(shí)，假設(shè)時(shí)命題為真，即成立，則當(dāng)時(shí)，需要用到的與之間的關(guān)系式是()A． B．C． D．2．從某高中隨機(jī)選取5名高三男生，其身高和體重的數(shù)據(jù)如下表所示：根據(jù)上表可得回歸直線方程y=0.56x+a，據(jù)此模型預(yù)報(bào)身高為A．70.09kg B．70.12kg C．70.553．已知，是的導(dǎo)數(shù)，若的展開式中的系數(shù)小于的展開式中的系數(shù)，則的取值范圍是（）A． B．C． D．4．下列函數(shù)中既是奇函數(shù)又在區(qū)間（﹣∞，0）上單調(diào)遞增的函數(shù)是（）A．y＝ B．y＝x2+1 C．y＝ D．y＝5．如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗實(shí)線畫出的是某幾何體的三視圖，該幾何體由一平面將一圓柱截去一部分后所得，則該幾何體的體積為A． B． C． D．6．設(shè)，，，則()A． B． C． D．7．函數(shù)y=sin2x的圖象可能是A． B．C． D．8．已知復(fù)數(shù)滿足，則（）A．1 B． C．2 D．39．從名男生和名女生中選出名學(xué)生參加一項(xiàng)活動(dòng)，要求至少一名女生參加，不同的選法種數(shù)是（）A． B． C． D．10．已知命題對，，成立，則在上為增函數(shù)；命題，，則下列命題為真命題的是（）A． B． C． D．11．已知函數(shù)f(x)=lnx+ln(a-x)的圖象關(guān)于直線A．0 B．1 C．lna D．12．直線被橢圓截得的弦長是()A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知點(diǎn)P(0，1)，橢圓+y2=m(m>1)上兩點(diǎn)A，B滿足=2，則當(dāng)m=___________時(shí)，點(diǎn)B橫坐標(biāo)的絕對值最大．14．5本不同的書全部分給4個(gè)學(xué)生，每個(gè)學(xué)生至少一本，不同的分法種數(shù)為______.15．已知全集，集合，，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______.16．，，則__________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；（2）當(dāng)時(shí)，若恒成立，求的取值范圍．18．（12分）已知函數(shù)是定義在上的不恒為零的函數(shù)，對于任意非零實(shí)數(shù)滿足，且當(dāng)時(shí)，有.（Ⅰ）判斷并證明的奇偶性；（Ⅱ）求證：函數(shù)在上為增函數(shù)，并求不等式的解集.19．（12分）設(shè)函數(shù)的部分圖象如圖所示.（1）求函數(shù)的解析式；（2）當(dāng)時(shí)，求的取值范圍.20．（12分）如圖，在四棱錐中，平面平面，，，，，，.（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）求直線與平面所成角的正弦值.21．（12分）設(shè)函數(shù)，.（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）已知，若存在使得，求實(shí)數(shù)的取值范圍.22．（10分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓O:x2+y2=4，橢圓C:x24+y2=1，A為橢圓右頂點(diǎn)．過原點(diǎn)O且異于坐標(biāo)軸的直線與橢圓C交于B,C兩點(diǎn)，直線AB與圓O的另一交點(diǎn)為P，直線PD（1）求k1（2）記直線PQ,BC的斜率分別為kPQ,kBC，是否存在常數(shù)λ，使得（3）求證：直線AC必過點(diǎn)Q．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】分析：先根據(jù)條件確定式子，再與相減得結(jié)果.詳解：因?yàn)?，所以，所?選C.點(diǎn)睛：本題考查數(shù)學(xué)歸納法，考查數(shù)列遞推關(guān)系.2、B【解析】試題分析：由上表知x=170，y=69，所以a=y=0.56×172-26.2=70.12，所以男生體重約為70.12kg考點(diǎn)：線性回歸方程．3、B【解析】

由展開式中的系數(shù)是，又，所以的展開式中的系數(shù)是，得到，繼而解得結(jié)果．【詳解】由題意，函數(shù)展開式中的系數(shù)是，又，所以的展開式中x的系數(shù)是，依題意得，解得．故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，以及導(dǎo)數(shù)的計(jì)算，其中解答熟記導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算公式和二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于中檔試題．4、A【解析】

由函數(shù)的奇偶性的定義和常見函數(shù)的單調(diào)性，即可得到符合題意的函數(shù)．【詳解】對于A，y＝f（x）＝2x﹣2﹣x定義域?yàn)镽，且f（﹣x）＝﹣f（x），可得f（x）為奇函數(shù)，當(dāng)x＜0時(shí)，由y＝2x，y＝﹣2﹣x遞增，可得在區(qū)間（﹣∞，0）上f（x）單調(diào)遞增，故A正確；y＝f（x）＝x2+1滿足f（﹣x）＝f（x），可得f（x）為偶函數(shù)，故B不滿足條件；y＝f（x）＝（）|x|滿足f（﹣x）＝f（x），可得f（x）為偶函數(shù)，故C不滿足題意；y為奇函數(shù)，且在區(qū)間（﹣∞，0）上f（x）單調(diào)遞減，故D不滿足題意．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性的判斷，注意運(yùn)用常見函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，考查判斷能力，屬于基礎(chǔ)題．5、B【解析】由題意，該幾何體是由高為6的圓柱截取一半后的圖形加上高為4的圓柱，故其體積為，故選B.點(diǎn)睛:（1）解答此類題目的關(guān)鍵是由多面體的三視圖想象出空間幾何體的形狀并畫出其直觀圖．（2）三視圖中“正側(cè)一樣高、正俯一樣長、俯側(cè)一樣寬”，因此，可以根據(jù)三視圖的形狀及相關(guān)數(shù)據(jù)推斷出原幾何圖形中的點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系及相關(guān)數(shù)據(jù)．6、C【解析】

分別求出，，的范圍，從而得到答案．【詳解】根據(jù)指數(shù)函數(shù)圖像可得，，；由于，則，則；所以；故答案選C【點(diǎn)睛】本題考查指數(shù)、對數(shù)值的大小比較，解題的關(guān)鍵利用指數(shù)對數(shù)的運(yùn)算法則求出值的范圍，屬于中檔題．7、D【解析】分析:先研究函數(shù)的奇偶性，再研究函數(shù)在上的符號(hào)，即可判斷選擇.詳解：令，因?yàn)椋詾槠婧瘮?shù)，排除選項(xiàng)A,B;因?yàn)闀r(shí)，，所以排除選項(xiàng)C，選D.點(diǎn)睛：有關(guān)函數(shù)圖象的識(shí)別問題的常見題型及解題思路：（1）由函數(shù)的定義域，判斷圖象的左、右位置，由函數(shù)的值域，判斷圖象的上、下位置；（2）由函數(shù)的單調(diào)性，判斷圖象的變化趨勢；（3）由函數(shù)的奇偶性，判斷圖象的對稱性；（4）由函數(shù)的周期性，判斷圖象的循環(huán)往復(fù)．8、B【解析】分析：利用復(fù)數(shù)的除法求出，進(jìn)而得到.詳解：由題故選B.點(diǎn)睛：本題考查復(fù)數(shù)逇除法運(yùn)算及復(fù)數(shù)的模，屬基礎(chǔ)題.9、B【解析】

從反面考慮，從名學(xué)生中任選名的所有選法中去掉名全是男生的情況，即為所求結(jié)果．【詳解】從名學(xué)生中任選名，有種選法，其中全為男生的有種選法，所以選出名學(xué)生，至少有名女生的選法有種.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查組合問題，也可以直接考慮，分類討論，在出現(xiàn)“至少”的問題時(shí)，利用正難則反的方法求解較為簡單，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.10、B【解析】

根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)分別判斷命題的真假再判斷各選項(xiàng)的真假即可.【詳解】命題當(dāng)時(shí),因?yàn)楣?；?dāng)時(shí),因?yàn)楣?；故隨的增大而增大.故命題為真.命題,因?yàn)?故命題為假命題.故為真命題.故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查了命題真假的判定與函數(shù)的性質(zhì)運(yùn)用,屬于基礎(chǔ)題.11、A【解析】

利用對稱列方程解得a，從而求出f(1)。【詳解】由題意得x1+xf所以f(x)=lnx+【點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)對稱軸的問題，即在函數(shù)上任意兩點(diǎn)x1,x2關(guān)于直線12、A【解析】

直線y＝x+1代入，得出關(guān)于x的二次方程，求出交點(diǎn)坐標(biāo)，即可求出弦長．【詳解】將直線y＝x+1代入，可得，即5x2+8x﹣4＝0，∴x1＝﹣2，x2，∴y1＝﹣1，y2，∴直線y＝x+1被橢圓x2+4y2＝8截得的弦長為故選A．【點(diǎn)睛】本題查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查弦長的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、5【解析】分析:先根據(jù)條件得到A,B坐標(biāo)間的關(guān)系，代入橢圓方程解得B的縱坐標(biāo)，即得B的橫坐標(biāo)關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系，最后根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)確定最值取法.詳解：設(shè)，由得因?yàn)锳,B在橢圓上,所以，與對應(yīng)相減得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取最大值.點(diǎn)睛：解析幾何中的最值是高考的熱點(diǎn)，在圓錐曲線的綜合問題中經(jīng)常出現(xiàn)，求解此類問題的一般思路為在深刻認(rèn)識(shí)運(yùn)動(dòng)變化的過程之中，抓住函數(shù)關(guān)系，將目標(biāo)量表示為一個(gè)(或者多個(gè))變量的函數(shù)，然后借助于函數(shù)最值的探求來使問題得以解決.14、240.【解析】

先把5本書取出兩本看做一個(gè)元素，這一元素和其他的三個(gè)元素分給四個(gè)同學(xué)，相當(dāng)于在四個(gè)位置全排列，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理即可得出結(jié)果.【詳解】從5本書中取出兩本看做一個(gè)元素共有種不同的取法，這一元素與其他三個(gè)元素分給四個(gè)同學(xué)共有種不同的分法，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，共有種不同的分法.故答案為：240【點(diǎn)睛】本題主要考查了排列組合的綜合應(yīng)用，分步乘法計(jì)數(shù)原理，屬于中檔題.15、【解析】

求出集合A的補(bǔ)集，結(jié)合，即可確定實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】與B必有公共元素即【點(diǎn)睛】本題主要考查了集合間的交集和補(bǔ)集運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.16、2【解析】分析：由，可得，直接利用對數(shù)運(yùn)算法則求解即可得，計(jì)算過程注意避免計(jì)算錯(cuò)誤.詳解：由，可得，則，故答案為.點(diǎn)睛：本題主要考查指數(shù)與對數(shù)的互化以及對數(shù)的運(yùn)算法則，意在考查對基本概念與基本運(yùn)算掌握的熟練程度.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）見解析（2）【解析】

（1）先求得函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，然后根據(jù)三種情況，討論的單調(diào)性.（2）由題可知在上恒成立，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究的單調(diào)性和最值，對分成兩種進(jìn)行分類討論，根據(jù)在上恒成立，求得的取值范圍.【詳解】（1），當(dāng)時(shí)，令，得，令，得或，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增．當(dāng)時(shí)，令，得，令，得或，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．（2）由題可知在上恒成立，令，則，令，則，所以在上為減函數(shù)，．當(dāng)時(shí)，，即在上為減函數(shù)，則，所以，即，得．當(dāng)時(shí)，令，若，則，所以，所以，又，所以在上有唯一零點(diǎn)，設(shè)為，在上，，即單調(diào)遞增，在上，，即單調(diào)遞減，則的最大值為，所以恒成立．由，得，則．因?yàn)椋?，由，得．記，則，所以在上是減函數(shù)，故．綜上，的取值范圍為．【點(diǎn)睛】本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問題，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，屬于難題.18、(1)見解析;(2).【解析】分析：⑴先求出，繼而，令代入得⑵構(gòu)造，然后利用已知代入證明詳解：（Ⅰ）是偶函數(shù)由已知得，∴，，∴，即，所以是偶函數(shù).（Ⅱ）設(shè)，則，∴所以，所以在上為增函數(shù).因?yàn)?，又是偶函?shù)，所以有，解得∴不等式的解集為.點(diǎn)睛：本題證明了抽象函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，在解答此類題目時(shí)方法要掌握，按照基本定義來證明，先求出和的值，然后配出形式，單調(diào)性要構(gòu)造，然后按照已知法則來證明。19、(1)；(2).【解析】試題分析：(1)由題意結(jié)合三角函數(shù)的周期可得，結(jié)合，則，函數(shù)的解析式為.(2)由函數(shù)的定義域可得，則函數(shù)的值域?yàn)?試題解析：（1）由圖象知，即.又，所以，因此.又因?yàn)辄c(diǎn)，所以，即，又，所以，即.（2）當(dāng)時(shí)，，所以，從而有.20、（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）．【解析】分析：（1）先證明，，再證明平面.(2)利用向量方法求直線與平面所成角的正弦值.詳解：（Ⅰ）因?yàn)?，平面平面，，所以平面，所以，又因?yàn)?，所以平面；（Ⅱ）取的中點(diǎn)，連結(jié)，，因?yàn)椋?又因?yàn)槠矫?，平面平面，所以平?因?yàn)槠矫妫?因?yàn)?，所?如圖建立空間直角坐標(biāo)系，由題意得，，，，，.設(shè)平面的法向量為，則，即，令，則，.所以.又，所以.所以直線與平面所成角的正弦值為.點(diǎn)睛：（1）本題主要考查線面位置關(guān)系的證明，考查直線和平面所成的角的求法，意在考查學(xué)生對這些知識(shí)的掌握水平和空間想象轉(zhuǎn)化能力.(2)直線和平面所成的角的求法方法一：（幾何法）找作（定義法）證（定義）指求（解三角形），其關(guān)鍵是找到直線在,平面內(nèi)的射影作出直線和平面所成的角和解三角形.方法二：（向量法），其中是直線的方向向量，是平面的法向量，是直線和平面所成的角.21、（1）答案不唯一，具體見解析（2）【解析】

（1）求導(dǎo)數(shù)，討論的不同范圍得到單調(diào)區(qū)間.（2）設(shè)函數(shù)，，函數(shù)單調(diào)遞增推出，解得答案.【詳解】（1）的定義域?yàn)?，，則.當(dāng)時(shí)，則，在單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，有兩個(gè)根，，不妨設(shè)，則，，由，，所以.所以時(shí)，，單調(diào)遞減；，或，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，方程的，則，在單調(diào)遞增；綜上所述：當(dāng)時(shí)，的減區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，的減區(qū)間為，增區(qū)間為和.當(dāng)時(shí)，的增區(qū)間為.（2），，，所以在單調(diào)遞增，，，要使得在有解，當(dāng)且僅當(dāng)，解得：.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，存在性問題，構(gòu)造，判斷是解題的關(guān)鍵.22、（1）k1k2【解析】試題分析：（1）設(shè)，則，代入橢圓方程，運(yùn)用直線的斜率公式，化簡即可得到