人教課標(biāo)實(shí)驗(yàn)版八年級(jí)下冊(cè)第十六章分式章復(fù)習(xí)

重點(diǎn)、難點(diǎn)例題解析【例1

】下列各分式，當(dāng)x取何值時(shí)，分式有意義？當(dāng)x取何值時(shí)，分式的值為零？令x－2=0，得x=2又當(dāng)x=2時(shí)，3x+5≠0（2）令x2－1=0，得x1=1，x2=－1令x2－x－2=0，得x1=2，x2=－1又當(dāng)x=2時(shí)，x2－1≠0，當(dāng)x=－1時(shí)，x2－1=0[注]（1）分式的有無(wú)意義取決于分母中字母的取值，所以只需討論分母中字母的取值情況，討論分式的值必須在分式有意義的前提下進(jìn)行，因此在討論何時(shí)分式的值為零時(shí)須同時(shí)考慮以下兩點(diǎn)：①字母取值使得分子值為零；②字母取值使得分母值不為零．（2）求分式中字母的取值范圍時(shí)，切不可將原分式的分子，分母進(jìn)行約分，否則字母的取值范圍可能會(huì)被擴(kuò)大．如：當(dāng)x取何值時(shí)，分式令x+6=0，得x=－6∴當(dāng)x≠－6時(shí)，分式有意義．在上面的解題過(guò)程中，分子、分母約去了（x+1），原分式變形為【例2】不改變分式的值，求解．?dāng)?shù)；[分析]本題都是有關(guān)分式的恒等變形，不改變分式的值是變形的前提與關(guān)鍵，變形的依據(jù)是分式的基本性質(zhì)和符號(hào)法則，在運(yùn)用符號(hào)法則時(shí)要注意，一個(gè)分式三處有符號(hào)（分式本身、分子、分母），要同時(shí)改變兩處的符號(hào)，才能保證分式的值不變．【例3

】約分．解：（1）[分析]此分式的分子、分母均為單項(xiàng)式，約去分子、分母中相同字母的最低次冪，系數(shù)約去最大公約數(shù)．（2）分析：可以把（x+y）、（a－b）看做一個(gè)整體．（3）分析：當(dāng)分式的分子、分母是多項(xiàng)式時(shí)，需通過(guò)因式分解將其轉(zhuǎn)化為因式乘積的形式，再進(jìn)行約分，且約分的結(jié)果可以是整式．[注]一個(gè)分式的最后形式必須是最簡(jiǎn)分式．【例4】通分．解：（1）∵最簡(jiǎn)公分母是60a3b2c（2）把各分母因式分解，得x2+2x+1=（x+1）2，x2+x=x（x+1），x2－1=（x+1）（x－1）∴最簡(jiǎn)公分母是x（x－1）（x+1）2[注]進(jìn)行分式的通分時(shí)，若分母是單項(xiàng)式，取各分母系數(shù)的最小公倍數(shù)與各字母因式的最高次冪的乘積，作為公分母，這樣的公分母即最簡(jiǎn)公分母，公分母除以原分母所得的商即為分子、分母所要乘的因式．若分母是多項(xiàng)式，應(yīng)先把各分母分解因式，以確定最簡(jiǎn)公分母．同約分一樣，分式的通分也是對(duì)分式進(jìn)行恒等變形，它的依據(jù)是分式的基本性質(zhì)，通分前后的分式值不變．【例5

】計(jì)算．[分析]分式的乘除法要注意運(yùn)算順序，要按照從左到右的順序進(jìn)行；遇到除法運(yùn)算要轉(zhuǎn)化為乘法運(yùn)算；運(yùn)算的關(guān)鍵是約分，當(dāng)分子、分母是多項(xiàng)式時(shí)，一般先因式分解，再約分，使運(yùn)算簡(jiǎn)化，注意計(jì)算結(jié)果應(yīng)為最簡(jiǎn)分式（或整式）．【例6

】計(jì)算．[分析]分式的乘方依據(jù)分式乘方的法則，在運(yùn)算中要注意符號(hào)，另外不要忘記系數(shù)也要乘方．【例7

】

計(jì)算．[分析]分式的加減法運(yùn)算，首先要判斷分母是否相同，若是同分母分式相加減，分母不變，把分子相加減，分子是多項(xiàng)式時(shí)，合并成一個(gè)分式后，原來(lái)的分子要添括號(hào)．若各分母不全相同，則應(yīng)通過(guò)通分將其化為同分母分式的加減法，注意運(yùn)算的結(jié)果應(yīng)是最簡(jiǎn)分式（或整式）．【例8】

計(jì)算．解：（1）分析：如果四個(gè)分式一起通分，每個(gè)分子都將是三個(gè)整式的乘積，運(yùn)算量較大，不妨適當(dāng)分組，兩兩組合，通分化簡(jiǎn)后再計(jì)算，較為簡(jiǎn)單．（2）[分析]觀察每個(gè)分母，發(fā)現(xiàn)（x－y）（x+y）=x2－y2，而（x2－y2）（x2+y2）=x4－y4，（x4－y4）（x4+y4）=x8－y8，所以不妨從左到右依次通分．將其拆成兩個(gè)分式，可與前兩個(gè)分式合并，以簡(jiǎn)化原式．（4）[分析]可先將每個(gè)分式化簡(jiǎn)，再計(jì)算，可將每個(gè)分式化成一可使運(yùn)算更簡(jiǎn)便．【例9】

計(jì)算．[分析]分式的混合運(yùn)算中，要注意運(yùn)算順序，對(duì)于每個(gè)分式，能約分時(shí)要先約分，可使后面的運(yùn)算較為簡(jiǎn)單．【例10】化簡(jiǎn)下列繁分式．[分析]在分子或分母中含有分式的分式叫做繁分式，繁分式的化簡(jiǎn)實(shí)際上就是分式的混合運(yùn)算．化簡(jiǎn)繁分式一般采取兩種方法：①可以將繁分式轉(zhuǎn)化為除法進(jìn)行化簡(jiǎn)，利用這種方法，要注意分?jǐn)?shù)線的兩個(gè)作用——除號(hào)和括號(hào)的作用；②可以根據(jù)分式的基本性質(zhì)約去分子或分母中的分母，將其化為一般分式再進(jìn)一步化簡(jiǎn)．【例11

】

化簡(jiǎn)求值．∵a=2，b=3【例1

2】已知：a+b=3，ab=1∵a+b=3，ab=1∵a+b=3，ab=1【例13】解下列關(guān)于x的方程．（1）m（x－m）=n（x－n）（m≠n）[分析]解含有字母系數(shù)的一元一次方程，注意不能用等于零的含字母的式子去乘或除方程的兩邊，對(duì)于字母的取值，通常會(huì)在已知條件中直接或間接地給出，如（2）題，除題目告訴的a≠b這一條件外，隱含有a≠0，b≠0的條件．解：（1）原方程變形為（m－n）x=m2－n2∵m≠n

∴m－n≠0（2）去分母，得ab+ax=bx－ab+ab整理，得（a－b）x=－ab∵a≠b

∴a－b≠0【例1

4】解：方程兩邊同乘以RR1R2，得R1R2=RR2+RR1R1R2－RR1=RR2R1（R2－R）=RR2∵R≠R2，∴R2－R≠0[說(shuō)明]（1）此題是把一個(gè)公式從一種形式變成另一種形式，叫做公式變形．（2）公式變形的實(shí)質(zhì)就是解含字母系數(shù)的方程，這里，R、R2是已知數(shù)，R1是未知數(shù)，此方程可以看做是關(guān)于R1的分式方程，解時(shí)要注意分母不能為零．【例15

】

解方程．[分析]解分式方程的思路是：用最簡(jiǎn)公分母乘方程的兩邊，從而將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程，再解這個(gè)整式方程，注意分式方程的根一定要檢驗(yàn)．解：（1）方程兩邊都乘以（x+1）（x－1）（x+1）（x－1）（x－1）2－（x+1）=4整理，得x2－3x－4=0（x+1）（x－4）=0∴x1=－1，x2=4檢驗(yàn)：當(dāng)x1=－1時(shí)，（x+1）（x－1）=0當(dāng)x2=4時(shí)，（x+1）（x－1）=5×3=15≠0∴x=4是原方程的根．兩邊乘以（x－1）（x－2）（x－4）（x－5）（x－4）（x－5）=（x－1）（x－2）x2－9x+20=x2－3x+2－6x=－18x=3檢驗(yàn)：當(dāng)x=3時(shí)，（x－1）（x－2）（x－4）（x－5）≠0∴x=3是原方程的根．【例1

6】甲、乙兩隊(duì)合作一項(xiàng)工程，原計(jì)劃12天完成，他們共同合作了6天之后，乙隊(duì)被調(diào)走，甲隊(duì)又單