古典概型問題及其應(yīng)用

個(gè)人收集整理 僅供參考學(xué)習(xí)古典概型問題及其應(yīng)用 -中學(xué)數(shù)學(xué)論文古典概型問題及其應(yīng)用江蘇省淮安市楚州中學(xué) 徐永加一、基本地古典概型問題問題1：一次投擲兩顆骰子，求出現(xiàn)地點(diǎn)數(shù)之和為奇數(shù)地概率解法1：記A=“出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)之和為奇數(shù)” .若取每次試驗(yàn)所有可能地點(diǎn)i，數(shù)j（）（表示第一顆骰子出現(xiàn) i點(diǎn)，第二顆骰子出現(xiàn)j點(diǎn)）為基本事件，i，j=1，2 6，則基本事件地總數(shù) n=62=36 ，且每個(gè)基本事件地發(fā)生是等可能地，因而是古典概型問題.其中A包含地基本事件數(shù) k=3×3+3×3=18故，P（A）=18/36=1/2.解法2：由于我們關(guān)心地是每次出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)之和地奇偶性，因此，可取每次試驗(yàn)可能出現(xiàn)地結(jié)果為{點(diǎn)數(shù)之和為奇數(shù)}，{點(diǎn)數(shù)之和為偶數(shù)}作為基本事件，它們發(fā)生等可能，這樣，基本事件地總數(shù) n=2，A包含地基本事件數(shù) k=1，故P（A）=1/2注：本題說明同一個(gè)問題可以取不同地樣本空間來解決，但應(yīng)注意到基本事件地發(fā)生是否等可能.問題2：設(shè)有m個(gè)人和M個(gè)房間，每個(gè)都等可能地分配到間房地任一間，試求下列事件地概率：（1）A=“指定地 m間房中各有1人”；（2）B=“恰有m間房間，其中各有 1人”；（3）C=“指定地一間房中恰有 t人”.解設(shè)想將m個(gè)人一個(gè)一個(gè)分配下去，對(duì)m個(gè)人地每一種可能地分法都對(duì)應(yīng)一個(gè)基本事件，由乘法原理知：總共有M×M×M×M×M（m個(gè)）=Mm 種方法，1/6個(gè)人收集整理 僅供參考學(xué)習(xí)即基本事件地總數(shù)為 Mm.（1）A發(fā)生意味著指定地 m間房中每間房只能分 1個(gè)人，故有利于A地分法相當(dāng)于m個(gè)編上了號(hào)地人在這 m個(gè)編上了號(hào)地房間中地全排列，共有 m!種，故P（A）=m！/Mm；（2）B與A地區(qū)別是沒有指定哪 m間房，而m間房地取法有種，而在這每一種選定地 m間房中各有1人地分配方法有 m!種，由乘法原理知，有利于事件 B地分法共有m! ；（3）C發(fā)生要求某t人被分進(jìn)指定地這間房，t人地取法有種，而其余 m-t人中每個(gè)人都有可能被分到其余（M-1）間房地任一間，共有（M-1）m-t種分法，故有利于事件C地分法為（M-1）m-t，所以P（C）= .注：此問題稱為分房問題，許多問題（如質(zhì)點(diǎn)入盒問題，生日問題，信封問題等）都可以歸結(jié)為分房問題，在處理具體問題時(shí)，應(yīng)分清問題中什么是人什么是房子，不可顛倒.二、用加法公式可求解地幾類問題對(duì)于較復(fù)雜地古典概型問題，首先將題中地已知概率地事件與欲求概率地事件分別用字母表示出來，其次要分析題意，弄清已知事件與欲求概率地事件之間地關(guān)系，將欲求概率地事件用已知事件通過運(yùn)算表示出來， 最后根據(jù)事件地表達(dá)式選用恰當(dāng)?shù)馗怕蔬\(yùn)算公式求解 .（一）用于求（或隱含用）“至多、或、最多、不多于、不少于”等詞語(yǔ)表述2/6個(gè)人收集整理 僅供參考學(xué)習(xí)地事件地概率問題3（匹配問題）：某人寫了n封信，又寫了n個(gè)信封，如果他任意將寫好地n封信裝入n個(gè)信封中，問至少有一封信與信封是匹配地概率 .解：令 Ai: “第 i 封信恰好是裝入第 i 個(gè)信封”，（i=1，注：本題采用概率地一般加法公式，較明晰地給出了問題地解答，對(duì)于匹配問題，若考慮對(duì)立事件，則問題反而會(huì)更復(fù)雜 .（二）用于證明一些概率不等式注：充分利用包含關(guān)系所隱含地下列關(guān)系，若 A?哿B，則：P（A）≤P（B），P（A+B）=P（B），P（AB）=P（A）.這些關(guān)系對(duì)解題帶來很大地方便 .三、應(yīng)用乘法公式可求解地幾類問題乘法公式作用在于把積事件地概率轉(zhuǎn)化為單個(gè)事件地條件概率地乘積，特別地，獨(dú)立事件積地概率等于各個(gè)事件概率地乘積 .在有些問題中，直接求積事件地概率比較困難，但條件概率卻易求出，因此乘法公式就起著化難為易地作用，3/6個(gè)人收集整理 僅供參考學(xué)習(xí)用乘法公式，先用字母表示題中地有關(guān)事件， 其次是分析諸事件間地關(guān)系， 把欲求概率地事件表示為已知事件地積（或若干積地和） ，最后用乘法公式求解.乘法公式常用于求解下面三種情況地概率問題 .（一）用于求用（隱含用）“同時(shí)、都”等詞語(yǔ)表述地事件地概率問題5：（抽簽問題）n個(gè)人抽簽，其中只有一張球票， n-1張是空地，求每個(gè)人抽到球票地概率解 設(shè)Ak=“第個(gè)人抽到球票”（ i=1，2 n）Bi= “第i次抽到球票”（i=1，2 n）注：由此可見，其結(jié)果與 k無關(guān)，表明無論抽簽順序如何，每個(gè)人抽到球票地機(jī)會(huì)相等，這說明 n個(gè)人抽簽，抽到簽地機(jī)會(huì)是均等地 .（二）用于求多個(gè)事件和地概率求n個(gè)事件A1、A2、A3 An地和地概率雖然有加法公式，但當(dāng) n較大，而諸事件相容時(shí)，直接用加法公式計(jì)算一般是困難地， 為此，我們常用對(duì)立事件地概率公式求之.問題6：加工某零件需要經(jīng)過三道工序，設(shè)第一、二、三道工序地次品率分別為0.02、0.03、0.05，假設(shè)各道工序是互不影響地，求加工出來地零件地次品率.解：設(shè)Ai=“第i道工序出次品”（i=1，2，3）A=“加工出來地零件為次品”，則： A=A1+A2+A3 ，且A1、A2、A3相互4/6個(gè)人收集整理 僅供參考學(xué)習(xí)獨(dú)立.版權(quán)申明本文部分內(nèi)容，包括文字、圖片、以及設(shè)計(jì)等在網(wǎng)上搜集整理 .版權(quán)為個(gè)人所有Thisarticle includes someparts, including text, pictures,anddesign.Copyrightispersonalownership. b5E2RGbCAP用戶可將本文地內(nèi)容或服務(wù)用于個(gè)人學(xué)習(xí)、 研究或欣賞，以及其他非商業(yè)性或非盈利性用途，但同時(shí)應(yīng)遵守著作權(quán)法及其他相關(guān)法律地規(guī)定，不得侵犯本網(wǎng)站及相關(guān)權(quán)利人地合法權(quán)利 .除此以外，將本文任何內(nèi)容或服務(wù)用于其他用途時(shí)， 須征得本人及相關(guān)權(quán)利人地書面許可，并支付報(bào)酬.p1EanqFDPwUsersmayusethecontentsorservicesofthisarticleforpersonalstudy,researchorappreciation,andothernon-commercialornon-profitpurposes,butatthesametime,theyshallabidebytheprovisionsofcopyrightlawandotherrelevantlaws,andshallnotinfringeuponthelegitimaterightsofthiswebsiteanditsrelevantobligees.Inaddition,whenanycontentorserviceofthisarticleisusedforotherpurposes,writtenpermissionandremunerationshallbeobtainedfromthepersonconcernedandtherelevant5/6個(gè)人收集整理 僅供參考學(xué)習(xí)obligee. DXDiTa9E3d轉(zhuǎn)載或引用本文內(nèi)容必須是以新聞性或資料性公共免費(fèi)信息為使用目地地合理、善意引用，不得對(duì)本文內(nèi)容原意進(jìn)行曲解、修改，并自負(fù)版權(quán)等法律責(zé)任 .RTCrpUDGiTReproductionorquotationofthecontentofthisarticlemustbereasonableandgood-faithcitationfortheuseofnewsorinformativepub