2023屆河北省石家莊市晉州一中實驗班高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測模擬試題含解析

2022-2023高二下數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．函數(shù)是定義在區(qū)間上的可導(dǎo)函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為，且滿足，則不等式的解集為（）A． B．C． D．2．已知向量，若，則（）A．1 B． C．2 D．33．利用數(shù)學(xué)歸納法證明“1+a+a2+…+an+1=，（a≠1，nN）”時，在驗證n=1成立時，左邊應(yīng)該是（）A．1 B．1+a C．1+a+a2 D．1+a+a2+a34．“”是“方程表示焦點在軸上的雙曲線”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件5．已知線段所在的直線與平面相交于點，且與平面所成的角為，，，為平面內(nèi)的兩個動點，且，，則，兩點間的最小距離為（）A． B．1 C． D．6．設(shè)函數(shù)，其中，，存在使得成立，則實數(shù)的值為（）A．B．C．D．7．過雙曲線的一個焦點向其一條漸近線作垂線，垂足為，為坐標原點，若的面積為1，則的焦距為（）A． B．3 C． D．58．若關(guān)于x的方程|x4－x3|＝ax在R上存在4個不同的實根，則實數(shù)a的取值范圍為()A． B． C． D．9．平面與平面平行的條件可以是（）A．內(nèi)有無窮多條直線都與平行B．內(nèi)的任何直線都與平行C．直線，直線，且D．直線，且直線不在平面內(nèi)，也不在平面內(nèi)10．若函數(shù)為偶函數(shù)，則（）A．-1 B．1 C．-1或1 D．011．如圖所示十字路口來往的車輛，如果不允許回頭，共有不同的行車路線有()A．24種 B．16種 C．12種 D．10種12．現(xiàn)有60個機器零件，編號從1到60，若從中抽取6個進行檢驗，用系統(tǒng)抽樣的方法確定所抽的編號可以是（）A．3，13，23，33，43，53B．2，14，26，38，40，52C．5，8，31，36，48，54D．5，10，15，20，25，30二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．函數(shù)且的圖象所過定點的坐標是________.14．已知函數(shù)在上是減函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是______.15．已知等腰直角的斜邊，沿斜邊的高線將折起，使二面角的大小為，則四面體的外接球的表面積為__________．16．函數(shù)，若函數(shù)恰有兩個零點，則實數(shù)的取值范圍是______．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)（且）．（Ⅰ）當時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．（Ⅱ）當時，，求的取值范圍．18．（12分）在中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知，，．（1）求b的值；（2）求的值．19．（12分）如圖所示，在四棱錐中，底面，底面為直角梯形，其中，且，，是的中點.（Ⅰ）求證：；（Ⅱ）求與平面所成角的正弦值.20．（12分）已知的展開式前三項中的系數(shù)成等差數(shù)列．（1）求的值和展開式系數(shù)的和；（2）求展開式中所有的有理項．21．（12分）已知函數(shù).（1）證明：函數(shù)在內(nèi)存在唯一零點；（2）已知，若函數(shù)有兩個相異零點，且（為與無關(guān)的常數(shù)），證明：.22．（10分）已知在的展開式中，第6項為常數(shù)項.（1）求；（2）求展開式中所有的有理項.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】

構(gòu)造函數(shù)，對函數(shù)求導(dǎo)得到函數(shù)的單調(diào)性，進而將原不等式轉(zhuǎn)化為，，進而求解.【詳解】根據(jù)題意，設(shè)，則導(dǎo)數(shù)；函數(shù)在區(qū)間上，滿足，則有，則有，即函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)；，則有，解可得：；即不等式的解集為；故選：D．【點睛】這個題目考查了函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用，考查了解不等式的問題；解函數(shù)不等式問題，可以直接通過函數(shù)的表達式得到結(jié)果，如果直接求解比較繁瑣，可以研究函數(shù)的單調(diào)性，零點等問題，將函數(shù)值大小問題轉(zhuǎn)化為自變量問題.2、B【解析】

可求出，根據(jù)即可得出，進行數(shù)量積的坐標運算即可求出x．【詳解】；∵；∴；解得．故選B.【點睛】本題考查向量垂直的充要條件，向量坐標的減法和數(shù)量積運算，屬于基礎(chǔ)題．3、C【解析】考點：數(shù)學(xué)歸納法．分析：首先分析題目已知用數(shù)學(xué)歸納法證明：“1+a+a1+…+an+1=（a≠1）”在驗證n=1時，左端計算所得的項．把n=1代入等式左邊即可得到答案．解：用數(shù)學(xué)歸納法證明：“1+a+a1+…+an+1=（a≠1）”在驗證n=1時，把當n=1代入，左端=1+a+a1．故選C．4、B【解析】

解得方程表示焦點在軸上的雙曲線的m的范圍即可解答.【詳解】表示焦點在軸上的雙曲線?,解得1<m<5,故選B.【點睛】本題考查雙曲線的方程，是基礎(chǔ)題，易錯點是不注意5、D【解析】

過作面，垂足為，連結(jié)，得到點的運動軌跡，以為原點，建立空間直角坐標系，在中，利用余弦定理得到動點的軌跡方程，從而得到、兩點間距離的最小值，再得到，兩點間的最小距離.【詳解】如圖，過作面，垂足為，連結(jié)，根據(jù)題意，因為，所以在以為圓心，為半徑的圓上運動；以為原點與垂直的方向為軸，以為軸，以為軸，建立空間直角坐標系，則，，，因為為平面內(nèi)動點，所以設(shè)在中，根據(jù)余弦定理可得即，整理得，平面內(nèi)，點在曲線上運動，所以，所以當時，，即，所以，兩點間的最小距離為.故選：D.【點睛】本題考查圓上的點到曲線上點的距離的最值，考查求動點的軌跡方程，余弦定理解三角形，屬于中檔題.6、A【解析】試題分析：函數(shù)f（x）可以看作是動點M（x，lnx2）與動點N（A，2A）之間距離的平方，動點M在函數(shù)y=2lnx的圖象上，N在直線y=2x的圖象上，問題轉(zhuǎn)化為求直線上的動點到曲線的最小距離，由y=2lnx得，y'==2，解得x=1，∴曲線上點M（1，0）到直線y=2x的距離最小，最小距離D=，則f（x）≥，根據(jù)題意，要使f（）≤，則f（）=，此時N恰好為垂足，由，解得考點：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用7、C【解析】

利用點到直線的距離可求得，進而可由勾股定理求出，再由解方程即可求出結(jié)果．【詳解】不妨設(shè)，則其到漸近線的距離，在直角中，，所以，所以，所以橢圓C的焦距為．故選：C．【點睛】本題主要考查雙曲線的幾何性質(zhì)，點到直線的距離公式，同時考查方程的思想，屬于基礎(chǔ)題．8、A【解析】

根據(jù)方程和函數(shù)的關(guān)系轉(zhuǎn)化為函數(shù)，利用參數(shù)分離法，構(gòu)造函數(shù)，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，研究函數(shù)的單調(diào)性和極值，利用數(shù)形結(jié)合進行求解即可．【詳解】當x=0時，0=0，∴0為方程的一個根．當x＞0時，方程|x4﹣x3|=ax等價為a=|x3﹣x2|，令f（x）=x3﹣x2，f′（x）=3x2﹣2x，由f′（x）＜0得0＜x＜，由f′（x）＞0得x＜0或x＞，∴f（x）在(0,)上遞減，在上遞增，又f（1）=0，∴當x=時，函數(shù)f（x）取得極小值f（）=﹣，則|f（x）|取得極大值|f（）|=，∴設(shè)的圖象如下圖所示，則由題可知當直線y=a與g（x）的圖象有3個交點時0＜a＜，此時方程|x4﹣x3|=ax在R上存在4個不同的實根，故．故答案為：A【點睛】（1）本題主要考查函數(shù)與方程的應(yīng)用，考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，考查函數(shù)的零點問題，意在考查學(xué)生對這些知識的掌握水平和數(shù)形結(jié)合分析推理能力.(2)解答本題的關(guān)鍵有兩點，其一是分離參數(shù)得到a=|x3﹣x2|，其二是利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性得到函數(shù)的圖像.9、B【解析】

根據(jù)空間中平面與平面平行的判定方法，逐一分析題目中的四個結(jié)論，即可得到答案．【詳解】平面α內(nèi)有無數(shù)條直線與平面β平行時，兩個平面可能平行也可能相交，故A不滿足條件；平面α內(nèi)的任何一條直線都與平面β平行，則能夠保證平面α內(nèi)有兩條相交的直線與平面β平行，故B滿足條件；直線a?α，直線b?β，且a∥β，b∥α，則兩個平面可能平行也可能相交，故C不滿足條件；直線a∥α，a∥β，且直線a不在α內(nèi)，也不在β內(nèi)，則α與β相交或平行，故D錯誤；故選B.【點睛】本題考查的知識點是空間中平面與平面平行的判定，熟練掌握面面平行的定義和判定方法是解答本題的關(guān)鍵．10、C【解析】

由f（x）為偶函數(shù)，得，化簡成xlg（x2+1﹣m2x2）＝0對恒成立，從而得到x2+1﹣m2x2＝1，求出m＝±1即可．【詳解】若函數(shù)f（x）為偶函數(shù)，∴f（﹣x）＝f（x），即；得對恒成立，∴x2+1﹣m2x2＝1，∴（1﹣m2）x2＝0，∴1﹣m2＝0，∴m＝±1．故選C．【點睛】本題考查偶函數(shù)的定義，以及對數(shù)的運算性質(zhì)，平方差公式，屬于基礎(chǔ)題．11、C【解析】根據(jù)題意，車的行駛路線起點有4種，行駛方向有3種，所以行車路線共有種，故選C.12、A【解析】

由題意可知：606【詳解】∵根據(jù)題意可知，系統(tǒng)抽樣得到的產(chǎn)品的編號應(yīng)該具有相同的間隔，且間隔是606【點睛】本題考查了系統(tǒng)抽樣的原則.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

由知，解出，進而可知圖象所過定點的坐標【詳解】由可令，解得，所以圖象所過定點的坐標是【點睛】本題考查對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，屬于簡單題．14、【解析】

在上是減函數(shù)的等價條件是在恒成立，然后分離參數(shù)求最值即可.【詳解】在上是減函數(shù)，在恒成立，即，在的最小值為，【點睛】本題主要考查利用導(dǎo)函數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性問題，把在上是減函數(shù)轉(zhuǎn)化為在恒成立是解決本題的關(guān)鍵.15、【解析】等腰直角翻折后是二面角的平面角，即，因此外接圓半徑為，四面體的外接球半徑等于，外接球的表面積為點睛：涉及球與棱柱、棱錐的切、接問題時，一般過球心及多面體中的特殊點(一般為接、切點)或線作截面，把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題，再利用平面幾何知識尋找?guī)缀误w中元素間的關(guān)系，或只畫內(nèi)切、外接的幾何體的直觀圖，確定球心的位置，弄清球的半徑(直徑)與該幾何體已知量的關(guān)系，列方程(組)求解.16、【解析】

首先將題意轉(zhuǎn)化為函數(shù)與恰有兩個交點，當和時，利用函數(shù)的圖象易得交點個數(shù).當，利用表示直線的斜率，結(jié)合圖象即可求出的范圍.【詳解】由題知：函數(shù)恰有兩個零點.等價于函數(shù)與恰有兩個交點.當時，函數(shù)與恰有一個交點，舍去.當時，函數(shù)與恰有兩個交點.當時，如圖設(shè)與的切點為，，，，則切線方程為，原點代入，解得，.因為函數(shù)與恰有兩個交點，由圖知.綜上所述：或.故答案為：.【點睛】本題主要考查函數(shù)的零點問題，分類討論和數(shù)形結(jié)合為解決本題的關(guān)鍵，屬于中檔題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（Ⅰ）單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為（Ⅱ）k＜0或k【解析】

（Ⅰ）求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的符號，即可求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）當時，，當時，上不等式成立；當時，不等式等價于，設(shè)，進而令，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和最值，從而可求得的取值范圍．【詳解】（Ⅰ）由題意，函數(shù)f（x），則，當時，，當時，，所以函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為.（Ⅱ）時，，①當時，上不等式成立，滿足題設(shè)條件；②當時，，等價于，設(shè)，則，設(shè)，則，∴在[1，+∞）上單調(diào)遞減，得，①當，即時，得，∴在上單調(diào)遞減，得，滿足題設(shè)條件；②當，即時，，而，∴，又單調(diào)遞減，∴當，得，∴在上單調(diào)遞增，得，不滿足題設(shè)條件．綜上所述，或．【點睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的綜合應(yīng)用，以及恒成立問題的求解，著重考查了轉(zhuǎn)化與化歸思想、邏輯推理能力與計算能力，對于恒成立問題，通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，進而得出相應(yīng)的含參不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；也可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題．18、(1)．(2)【解析】

（1）由已知利用三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用可求sin（B）＝0，結(jié)合范圍B∈（，），可求B的值，由余弦定理可得b的值．（2）由（1）及余弦定理可得cosC的值，計算出sinC，根據(jù)兩角差的余弦函數(shù)公式即可計算得解cos（C﹣B）的值．【詳解】（1）∵a＝2，c＝3，，可得：cosBsinBcosB，∴可得：sin（B）＝0，∵B∈（0，π），B∈（，），∴B0，可得：B，∴由余弦定理可得：b．（2）由余弦定理得．可知，故由得，．【點睛】本題主要考查了三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，余弦定理，兩角差的余弦函數(shù)公式在解三角形中的綜合應(yīng)用，考查了計算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．19、（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）【解析】

（1）根據(jù)已知可得，可證平面，從而有，再由已知可得，可證平面，即可證明結(jié)論；（2）以為坐標原點建立空間直角坐標系，求出坐標，再求出平面法向量坐標，根據(jù)空間向量的線面角公式，即可求解.【詳解】（Ⅰ）因為底面，底面，所以.又因為，，所以平面.又因為平面，所以.因為，是的中點，所以.又因為，所以平面.而平面，所以.（Ⅱ）因為兩兩垂直，所以以為原點，所在直線分別為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，，，于是.設(shè)平面的一個法向量為.，.由得，令，則，得.設(shè)與平面所成的角為，則.故與平面所成角的正弦值是.【點睛】本題考查空間線面位置關(guān)系，考查直線與平面垂直的證明、用空間向量法求直線與平面所成的角，注意空間垂直間的相互轉(zhuǎn)化，意在考查邏輯推理和數(shù)學(xué)計算能力，屬于中檔題.20、（1）；（2），，.【解析】

（1）展開式的通項公式為，則前3項的系數(shù)分別為1，，，成等差，即可列式求解．（2）由（1