數(shù)列教學(xué)中數(shù)學(xué)文化資源的開(kāi)發(fā)

數(shù)列教學(xué)中數(shù)學(xué)文化資源的開(kāi)發(fā)

著名數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)教育家克萊因說(shuō)過(guò)：“數(shù)學(xué)是人類(lèi)最高超的智力成就，也是人類(lèi)心靈獨(dú)特的創(chuàng)作.音樂(lè)能激發(fā)或撫慰人的情懷，繪畫(huà)使人賞心悅目，詩(shī)歌能動(dòng)人心弦，哲學(xué)使人獲得智慧，科學(xué)可改善物質(zhì)生活，但數(shù)學(xué)能給予以上的一切.”數(shù)學(xué)美是客觀存在的.“哪里有數(shù)，哪里就有美”.然而，“數(shù)學(xué)美”究竟美在哪里呢？數(shù)學(xué)美反映在對(duì)簡(jiǎn)單性、統(tǒng)一性和奇異性的追求上.高中數(shù)學(xué)中蘊(yùn)含著十分豐富的數(shù)學(xué)美的資源.簡(jiǎn)潔美、對(duì)稱(chēng)美、奇異美可以說(shuō)是無(wú)處不在.在教學(xué)中可有意識(shí)地培養(yǎng)學(xué)生感知數(shù)學(xué)美、欣賞數(shù)學(xué)美的能力，不僅能激發(fā)他們學(xué)習(xí)的興趣，還能提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)，使人變得更富有知識(shí)、更聰明，促進(jìn)學(xué)生身心的全面發(fā)展.在數(shù)列這一章內(nèi)容中，數(shù)學(xué)美也有著明顯的體現(xiàn)，只要善于挖掘這些資源，并充分用好這資源，對(duì)提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).完善學(xué)生的人文精神是十分有益的.資源1——章節(jié)語(yǔ)，用好它能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)欲望數(shù)學(xué)教材中每一章節(jié)中的導(dǎo)語(yǔ)，是編者精心設(shè)計(jì)的.在教學(xué)過(guò)程中若能重視章節(jié)導(dǎo)語(yǔ)的教學(xué)，對(duì)激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，提高數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量，培養(yǎng)學(xué)生的能力，有著不可忽視的作用.著名教育家蘇霍姆林斯基曾說(shuō)過(guò)：“如果教師不想方設(shè)法使學(xué)生進(jìn)入情緒高昂和智力振奮的內(nèi)心狀態(tài)，就急于傳授知識(shí)，那么，這種知識(shí)只能使人產(chǎn)生冷漠的態(tài)度，而不動(dòng)感情的腦力勞動(dòng)就會(huì)帶來(lái)疲倦.”利用好這類(lèi)章節(jié)導(dǎo)語(yǔ)會(huì)使學(xué)生興趣盎然.如：北師大版的普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)《數(shù)學(xué)》，在數(shù)列一章的章節(jié)語(yǔ)中，講述了這樣一個(gè)科學(xué)史上的真實(shí)故事：數(shù)列3，6，12，24，48，96，192，…，這是一個(gè)非常平常的數(shù)列，普魯士天文學(xué)家提丟斯運(yùn)用它作一個(gè)運(yùn)算后.得出另一數(shù)列0.4，0.7，1.0，1.6，2.8，5.2，10.0，16.9，…（這一數(shù)列后一個(gè)數(shù)與前一個(gè)數(shù)之差組成數(shù)列：0.3，0.3，0.6，1.2，2.4，4.8，9.6，…）再把這一列數(shù)和太陽(yáng)到各行星的距離作比較，得到了下面結(jié)論：（單位為天文單位）1781年發(fā)現(xiàn)的天王星，它到太陽(yáng)的距離為19.2個(gè)天文單位（19.2接近于19.6）.觀察上表，是否在距離太陽(yáng)約為2.8個(gè)天文單位的區(qū)域內(nèi)存在尚未被發(fā)現(xiàn)的行星？根據(jù)這一猜測(cè)，天文學(xué)家們開(kāi)始在此區(qū)域內(nèi)尋找.1801年意大利天文學(xué)家比亞茲，果然在這個(gè)距離發(fā)現(xiàn)了谷神星，它與太陽(yáng)的近似距離為2.7個(gè)天文單位.天文學(xué)家利用行星與太陽(yáng)之間的距離與這一數(shù)列的變化規(guī)律，運(yùn)用數(shù)學(xué)的聯(lián)想和合情推理而研究發(fā)現(xiàn)了谷神星.教學(xué)中若能充分利用這一故事，會(huì)極大激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)列的興趣熱情，從而為學(xué)好數(shù)列這一章奠定了情感基礎(chǔ).資源2——生活案例，用好它能強(qiáng)化學(xué)生理性思維在新授等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式時(shí)，可做如下的“貸款”游戲，游戲規(guī)則為：小明第一天貸給小聰1萬(wàn)元，第二天貸給小聰2萬(wàn)元，以后每天比前一天多貸給小聰1萬(wàn)元.而小聰?shù)谝惶熘恍柽€給小明1分錢(qián)，第二天還給小明2分錢(qián)，以后每天的還錢(qián)數(shù)是前一天的兩倍.這樣，第一天小聰支出1分錢(qián)，收入1萬(wàn)元；第二天支出2分錢(qián)收入2萬(wàn)元；……請(qǐng)問(wèn)一個(gè)月（以30天計(jì)算）下來(lái)，這個(gè)合同對(duì)誰(shuí)有利？看到這個(gè)問(wèn)題后，學(xué)生利用等差數(shù)列前n項(xiàng)和很好算出一個(gè)月中，小明一共貸給小聰多少錢(qián).小聰一個(gè)月還給小明多少錢(qián)，數(shù)字大，一時(shí)難得出結(jié)果.這時(shí)，教師就引導(dǎo)學(xué)生探求等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式，一步一步引發(fā)學(xué)生的認(rèn)知沖突，從而把問(wèn)題引向深入，揭開(kāi)等比數(shù)列前n項(xiàng)和的神秘面紗.在沒(méi)有學(xué)等比數(shù)列前n項(xiàng)和之前，心想：要是合同訂兩個(gè)月、三個(gè)月該多好！學(xué)完后一算，結(jié)果怎么樣？不算不知道，一算嚇一跳，就這一個(gè)月小聰就得多付給小明六百多萬(wàn)元錢(qián).正如張楚廷在《數(shù)學(xué)文化》一書(shū)中寫(xiě)到“數(shù)學(xué)像人類(lèi)的一部特制的精密的大型望遠(yuǎn)鏡或顯微鏡一樣，它大大延伸了人洞察自然的能力，看到了不掌握數(shù)學(xué)的人無(wú)法看到的那個(gè)世界”.資源3——等差、等比數(shù)列概念、性質(zhì)的類(lèi)比，用好它能讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)的對(duì)稱(chēng)美對(duì)稱(chēng)通常是指圖形或物體對(duì)某個(gè)點(diǎn)、直線或平面而言，在大小、形狀和排列上具有一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，在數(shù)學(xué)中，對(duì)稱(chēng)的概念略有拓廣，常把某些具有關(guān)聯(lián)性或者是對(duì)立的概念視為對(duì)稱(chēng).在數(shù)列中，對(duì)稱(chēng)的例子如：（1）概念的對(duì)稱(chēng)：①有窮數(shù)列和無(wú)窮數(shù)列的對(duì)稱(chēng)；②遞增數(shù)列與遞減數(shù)列的對(duì)稱(chēng)；③等差數(shù)列與等比數(shù)列的對(duì)稱(chēng).（2）性質(zhì)的對(duì)稱(chēng)：一般情況下，把等差數(shù)列性質(zhì)中的加、減、乘、除符號(hào)相應(yīng)變?yōu)槌?、除、乘方、開(kāi)方就得到等比數(shù)列相應(yīng)的性質(zhì).等差、等比數(shù)列性質(zhì)的這種對(duì)稱(chēng)性充分展示了數(shù)學(xué)的對(duì)稱(chēng)美.數(shù)列中的美，不僅“中看”而且“中用”，著名數(shù)學(xué)家高斯在10歲時(shí)，就利用數(shù)列的對(duì)稱(chēng)美，巧妙地計(jì)算出了1+2+3+…+100的結(jié)果.資源4——著名數(shù)列，用好它能讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)的奇特美意大利數(shù)學(xué)家列昂納多·斐波那契在《算盤(pán)全書(shū)》中，提出了一個(gè)有趣的問(wèn)題：兔子在出生兩個(gè)月后，就有繁殖能力，一對(duì)兔子每個(gè)月能生出一對(duì)小兔子來(lái).假設(shè)所有兔子都不死，那么一年以后可以繁殖多少對(duì)兔子？這就是著名的斐波那契數(shù)列1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，…這個(gè)數(shù)列的特點(diǎn)是，前面相鄰兩項(xiàng)之和，構(gòu)成了后一項(xiàng).它有許多有趣的結(jié)論.如：（2）從第二項(xiàng)開(kāi)始，每個(gè)奇數(shù)項(xiàng)的平方都比前后兩項(xiàng)之積多1，每個(gè)偶數(shù)項(xiàng)的平方都比前后兩項(xiàng)之積少1；（3）斐波那契數(shù)列的第n項(xiàng)是集合｛1，2，3，…，n｝中所有不包含相鄰正整數(shù)的子集個(gè)數(shù).另外，楊輝三角（如圖1）是同學(xué)們十分熟悉的圖形，其中也蘊(yùn)涵著斐波那契數(shù)列.圖中斜線上的數(shù)字之和組成的數(shù)列，就是著名的斐波那契數(shù)列1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，…又如在學(xué)習(xí)無(wú)窮等比數(shù)列各項(xiàng)的和時(shí)，可引導(dǎo)同學(xué)欣賞下列無(wú)窮數(shù)列和給我們帶來(lái)的思維震撼！奇異性是數(shù)學(xué)美的又一個(gè)重要特性，奇異性包括兩個(gè)方面內(nèi)容，一是奇妙，二是