均值假設檢驗

均值假設檢驗第1頁，共55頁，2023年，2月20日，星期一21.假設檢驗的本質TheNatureofHypothesisTesting第2頁，共55頁，2023年，2月20日，星期一3假設（hypothesis）關于某事為真的陳述：每包xx餅干的平均重量與包裝袋上記載的454g不同排課時間影響選修統(tǒng)計學同學的成績表現(xiàn)姚明本周的表現(xiàn)是否失常一種新藥的臨床實驗表現(xiàn)要好到什么程度才能說它不是安慰劑第3頁，共55頁，2023年，2月20日，星期一4然而統(tǒng)計假設實際上包含兩部分，「零」與「備擇」假設(NullandAlternativeHypotheses）零假設（NullHypotheses）：被檢驗的假設。

我們使用符號「H0」來表示零假設。H0:=0備擇假設（AlternativeHypotheses）：與零假設形成對立的假設，使用符號「H0

」或「H1

」來表示對立假設。Ha:0，雙側，雙尾檢驗（two-tailedtest）Ha:>0，右側（right-tailedtest），單側或單尾檢驗（one-tailedtest）Ha:<0，左側（left-tailedtest），單側或單尾檢驗（one-tailedtest）第4頁，共55頁，2023年，2月20日，星期一5假設檢驗之邏輯（TheLogicofHypothesisTesting）先假設零假設為真，自總體取一隨機樣本，倘若樣本資料與零假設一致，則不拒絕零假設；倘若樣本資料與零假設不一致（且其方向與備擇假設一致），則拒絕零假設，并結論備擇假設為真。何謂與零假設（不）一致？--需訂出具體標準。有時我們也說接受零假設，但這并不準確。就像打官司的時候，我們說某人無罪，是應為無法證明其有罪，不利于被告的證據(jù)不足以采信。所以，準確的說法是無法拒絕零假設。第5頁，共55頁，2023年，2月20日，星期一6樣本25袋脆餅中95.44%的平均重量落在μ的2個標準差（3.12g）之間。第6頁，共55頁，2023年，2月20日，星期一7(a)拒絕零假設的訣策準則；(b)若零假設為真，將拒絕零假設的訣策準則套上的正態(tài)曲線。第7頁，共55頁，2023年，2月20日，星期一8圖示樣本平均數(shù)（450g）距離零假設中的總體平均數(shù)（454g）的相對位置（以標準差為單位）。第8頁，共55頁，2023年，2月20日，星期一92.專有名詞，誤差及假設Terms,Errors,andHypotheses第9頁，共55頁，2023年，2月20日，星期一10檢驗統(tǒng)計量，拒絕區(qū)，非拒絕區(qū)，臨界值（TestStatistic,RejectionRegion,NonrejectionRegion,CriticalValues）檢驗統(tǒng)計量（TestStatistic）：

為了檢驗是否拒絕零假設時所計算的統(tǒng)計數(shù)。拒絕區(qū)（RejectionRegion）：

可以拒絕零假設的檢驗統(tǒng)計量之區(qū)間。非拒絕區(qū)（NonrejectionRegion）：

無法拒絕零假設的檢驗統(tǒng)計量之區(qū)間。臨界值（CriticalValues）：

區(qū)隔拒絕區(qū)與非拒絕區(qū)的檢驗統(tǒng)計量之值。臨界值被視為拒絕區(qū)的一部分。第10頁，共55頁，2023年，2月20日，星期一11第11頁，共55頁，2023年，2月20日，星期一12圖示雙尾拒絕區(qū)、左尾拒絕區(qū)及右尾拒絕區(qū)。第12頁，共55頁，2023年，2月20日，星期一133.當σ已知，

一個總體平均數(shù)的假設檢驗HypothesesTestsforOnePopulationMeanWhenσisKnown第13頁，共55頁，2023年，2月20日，星期一14取得臨界值（ObtainingCriticalValues）若假設檢驗依照顯著性水平α來進行，則所選取的臨界值應可滿足，若零假設為真，檢驗統(tǒng)計量落入拒絕區(qū)的機率為α。第14頁，共55頁，2023年，2月20日，星期一15當該檢驗為：(a)雙尾，(b)左尾，(c)右尾，則假設檢驗在顯著性水平α下的臨界值位置。

常用的z:第15頁，共55頁，2023年，2月20日，星期一16總體平均數(shù)的單一樣本Z檢驗（「臨界值」法）

（TheOne-Samplez-TestforaPopulationMean（Critical-ValueApproach））假設：正態(tài)總體或大樣本。σ已知。步驟一：零假設為H0：

=0，備擇假設為

或 或

（雙側） （左側） （右側）步驟二：決定顯著性水平「α」。第16頁，共55頁，2023年，2月20日，星期一17步驟三：計算檢驗統(tǒng)計量

步驟四：臨界值為

或或

（雙尾）（左尾）（右尾）

使用表A-5找出臨界值。第17頁，共55頁，2023年，2月20日，星期一18步驟五：若此統(tǒng)計檢驗量的值落在拒絕區(qū)內，則拒絕H0；反之，則無法拒絕H0

。步驟六：解釋此假設檢驗的結果。此假設檢驗在正態(tài)總體是精確的，在非正態(tài)總體中的大樣本中則是趨近于正確的。Statisticalvs.practicalsignificance第18頁，共55頁，2023年，2月20日，星期一19使用z檢驗的時機（WhentoUsethez-Test）小型樣本（樣本小于15）：z檢驗只能用于當總體為正態(tài)分布或非常趨近正態(tài)時。中型樣本（樣本介于15～30）：除了資料當中有離散值或者總體分布嚴重偏離正態(tài)分布之外，可以使用z檢驗。大型樣本（樣本大于30）：在z檢驗的基本使用上并無限制。然而，若離散值存在且無正當理由將之移除，則應檢驗離散值的影響。我們需各做一次包含與不含離散值的假設檢驗，若這兩者的結論相同，則可以接受此一結論；否則應采用不同的統(tǒng)計方法或取另一個樣本。

若有正當理由移除離散值，則可以使用此z檢驗法。第19頁，共55頁，2023年，2月20日，星期一20

P值P-Values第20頁，共55頁，2023年，2月20日，星期一21若零假設H0為真，得到檢驗統(tǒng)計量的值等于目前的值或比之更極端的機率。稱為P值（p-value），observedsignificancelevel，probabilityvalue。P值越小，越支持備擇假設，也就是備擇假設成立的證據(jù)越強。第21頁，共55頁，2023年，2月20日，星期一22當檢驗為(a)雙尾；(b)左尾；(c)右尾時，

Z檢驗的P值。第22頁，共55頁，2023年，2月20日，星期一23P值代表觀測到的顯著性水平

（observedsignificancelevel）假設檢驗的P值等于可以拒絕零假設的最小顯著性水平，那就是說，得以讓目前樣本資料拒絕H0的最低最小顯著性水平。第23頁，共55頁，2023年，2月20日，星期一24使用「P值」作為假設檢驗的臨界值

（DecisionCriterionforaHypothesisTestUsingtheP-Value）若P值小于或等于顯著性水平時，拒絕零假設；反之，則不拒絕零假設。第24頁，共55頁，2023年，2月20日，星期一25總體平均數(shù)的單一樣本Z檢驗（「P值」法）

（TheOne-Samplez-TestforaPopulationMean（P-ValueApproach））假設：正態(tài)總體或大樣本。σ已知。步驟一：零假設為H0：

=0，備擇假設為

或 或

（雙側） （左側） （右側）步驟二：確定顯著水平「α」。第25頁，共55頁，2023年，2月20日，星期一26步驟三：計算檢驗統(tǒng)計量

并標記為z0。步驟四：臨界值為

或或

（雙尾）（左尾）（右尾）

使用表A-5找出臨界值。第26頁，共55頁，2023年，2月20日，星期一27步驟五：若P≤α，則拒絕H0；反之，無法拒絕H0

。步驟六：解釋此假設檢驗的結果。此假設檢驗在正態(tài)總體是精確的，在非正態(tài)總體中的大樣本里則是趨近于正確的。第27頁，共55頁，2023年，2月20日，星期一28「臨界值」法vs.「p值」法臨界值法P值法步驟一：寫出零假設及備擇假設步驟一：寫出零假設及備擇假設步驟二：確定顯著性水平，α步驟二：確定顯著性水平，α步驟三：計算統(tǒng)計檢驗數(shù)的值步驟三：計算統(tǒng)計檢驗數(shù)的值步驟四：計算臨界值步驟四：計算P值步驟五：若此統(tǒng)計檢驗數(shù)的值落入拒絕區(qū)，拒絕H0；反之，則不拒絕H0步驟五：若P≤α，拒絕H0；反之，則不拒絕H0步驟六：解釋假設檢驗的結果步驟六：解釋假設檢驗的結果第28頁，共55頁，2023年，2月20日，星期一29 當σ未知，

一個總體平均數(shù)的假設檢驗HypothesesTestsforOnePopulationMeanWhenσisUnknown第29頁，共55頁，2023年，2月20日，星期一30當檢驗為(a)雙尾；(b)左尾；(c)右尾時，

t檢驗的P值。但由于t-table不夠詳盡，t檢驗的p值只能以區(qū)間表示（可用統(tǒng)計軟件獲得確切值）第30頁，共55頁，2023年，2月20日，星期一31以樣本大小為12及統(tǒng)計檢驗值t=-1.938，來估計左尾t檢驗的P值。第31頁，共55頁，2023年，2月20日，星期一32以樣本大小為25及統(tǒng)計檢驗值t=-0.895，來估計雙尾t檢驗的P值。第32頁，共55頁，2023年，2月20日，星期一33總體平均數(shù)的單一樣本t檢驗（「臨界值」法）

（TheOne-Samplet-TestforaPopulationMean（Critical-ValueApproach））假設：正態(tài)總體/大樣本。σ未知。步驟一：零假設為H0：

=0，備擇假設為

或 或

（雙側） （左側） （右側）步驟二：確定顯著水平「α」。第33頁，共55頁，2023年，2月20日，星期一34步驟三：計算檢驗統(tǒng)計量

步驟四：臨界值為

或或

（雙尾）（左尾）（右尾）

使用表A-6找出臨界值。第34頁，共55頁，2023年，2月20日，星期一35步驟五：若此統(tǒng)計檢驗量的值落在拒絕區(qū)內，則拒絕H0；反之，則無法拒絕H0

。步驟六：解釋此假設檢驗的結果。此假設檢驗在正態(tài)總體是精確的，在非正態(tài)總體中的大樣本里則是趨近于正確的。第35頁，共55頁，2023年，2月20日，星期一36總體平均數(shù)的單一樣本t檢驗（「P值」法）

（TheOne-Samplet-TestforaPopulationMean（P-ValueApproach））假設：正態(tài)總體/大樣本。σ未知。步驟一：零假設為H0：

=0，備擇假設為

或 或

（雙側） （左側） （右側）步驟二：確定顯著性水平「α」。第36頁，共55頁，2023年，2月20日，星期一37步驟三：計算檢驗統(tǒng)計量

并標記為t0。步驟四：臨界值為

或或

（雙尾）（左尾）（右尾）

使用表A-6找出臨界值。第37頁，共55頁，2023年，2月20日，星期一38步驟五：若P≤α，則拒絕H0；反之，無法拒絕H0

。步驟六：解釋此假設檢驗的結果。此假設檢驗在正態(tài)總體是精確的，在非正態(tài)總體中的大樣本里則是趨近于正確的。第38頁，共55頁，2023年，2月20日，星期一397.應該選用何種方法？

WhichProcedureShouldbeUsed？第39頁，共55頁，2023年，2月20日，星期一40類型假設統(tǒng)計檢驗數(shù)z檢驗1.正態(tài)分布或大樣本2.σ已知t檢驗1.正態(tài)分布/小樣本2.σ未知

自由度=（n-1）W檢驗對稱總體W=絕對值排序后，符號為「+」的加總第40頁，共55頁，2023年，2月20日，星期一41第41頁，共55頁，2023年，2月20日，星期一42對稱總體？開始正態(tài)總體？大樣本？與統(tǒng)計員討論標準差

已知？使用

單一樣本z檢驗使用

單一樣本t檢驗使用

Wilcoxon

Signed-Rank檢驗是是是是否否否否第42頁，共55頁，2023年，2月20日，星期一Alpha越大，檢驗越有說服力？43第43頁，共55頁，2023年，2月20日，星期一44第一型錯誤及第二型錯誤（TypeⅠandTypeⅡErrors）第一類型錯誤（TypeⅠError）：

當零假設為真時，錯誤地拒絕零假設。佘祥林案第二類型錯誤（TypeⅡError）：

當零假設為偽時，錯誤地沒有拒絕零假設。辛普森案TypeI&IIerror第44頁，共55頁，2023年，2月20日，星期一45顯著水平（SignificanceLevel）發(fā)生第Ⅰ類型錯誤的機率為α，意即在零假設正確時拒絕零假設的機率。也是假設檢驗時的顯著水平（SignificanceLevel)。發(fā)生第Ⅱ類型錯誤的機率，則為β。第45頁，共55頁，2023年，2月20日，星期一46第Ⅰ與第Ⅱ類型錯誤機率之間的關系

（RelationBetweenTypeⅠandTypeⅡErrorProbabilities）理想上，假設檢驗時第一類型與第二類型錯誤的機率都應越低越好，但是….樣本大小固定時，當顯著水平α越小時，β（虛無假設為偽時，未拒絕虛無假設的機率）越大。為什么？令可錯殺三千，不可放走一人？第46頁，共55頁，2023年，2月20日，星期一47假設檢驗可能的結論

（PossibleConclusionforaHypothesisTest）若零假設被拒絕，我們下結論：備擇假設是正確的。若零假設不被拒絕，我們下結論：這些資料無法提供足夠的證據(jù)來支持備擇假設。第47頁，共55頁，2023年，2月20日，星期一48

犯第Ⅱ類型錯誤的機率；統(tǒng)計功效TypeⅡErrorProba