工程力學(xué)第九章剛度設(shè)計(jì)新

工程力學(xué)第九章剛度設(shè)計(jì)新1第1頁(yè)，共67頁(yè)，2023年，2月20日，星期一細(xì)長(zhǎng)桿受拉會(huì)變長(zhǎng)變細(xì)，受壓會(huì)變短變粗dLPPd-DdL+DL長(zhǎng)短的變化，沿軸線方向，稱(chēng)為軸向變形粗細(xì)的變化，與軸線垂直，稱(chēng)為橫向變形一拉壓桿的軸向變形與胡克定律實(shí)驗(yàn)表明，在比例極限范圍內(nèi)，正應(yīng)力與正應(yīng)變成正比，即引入比例系數(shù)E，則胡克定律比例系數(shù)E稱(chēng)為彈性模量9-1桿件的拉壓變形2第2頁(yè)，共67頁(yè)，2023年，2月20日，星期一PPPP桿的軸向變形桿的軸向正應(yīng)變橫截面上的正應(yīng)力為代入胡克定律得在比例極限范圍內(nèi)，拉壓桿的軸向變形與軸力P及桿長(zhǎng)成正比，與乘積EA成反比。EA稱(chēng)為抗拉剛度軸向變形與軸力具有相同的正負(fù)號(hào)，即伸長(zhǎng)為正，縮短為負(fù)3第3頁(yè)，共67頁(yè)，2023年，2月20日，星期一二拉壓桿的橫向變形與泊松比PPPP同理，令為橫向線應(yīng)變實(shí)驗(yàn)表明，對(duì)于同一種材料，存在如下關(guān)系：4第4頁(yè)，共67頁(yè)，2023年，2月20日，星期一稱(chēng)為泊松比，是一個(gè)材料常數(shù)負(fù)號(hào)表示縱向與橫向變形的方向相反最重要的兩個(gè)材料彈性常數(shù)，可查表5第5頁(yè)，共67頁(yè)，2023年，2月20日，星期一9-2圓軸扭轉(zhuǎn)變形與剛度條件一、圓軸扭轉(zhuǎn)變形6第6頁(yè)，共67頁(yè)，2023年，2月20日，星期一比較拉壓變形：公式適用條件：1）當(dāng)p（剪切比例極限）公式才成立2）僅適用于圓桿（平面假設(shè)對(duì)圓桿才成立）4）對(duì)于小錐度圓桿可作近似計(jì)算3）扭矩、面積沿桿軸不變（T、Ip為常量）7第7頁(yè)，共67頁(yè)，2023年，2月20日，星期一扭轉(zhuǎn)角與扭矩T，軸長(zhǎng)l成正比,與GIP成反比。乘積GIP稱(chēng)為圓軸截面的扭轉(zhuǎn)剛度，或簡(jiǎn)稱(chēng)為扭轉(zhuǎn)剛度二、圓軸扭轉(zhuǎn)剛度條件8第8頁(yè)，共67頁(yè)，2023年，2月20日，星期一扭轉(zhuǎn)剛度條件已知T、D和[φ/]，校核剛度已知T和[φ/]，設(shè)計(jì)截面已知D和[φ/]，確定許可載荷9第9頁(yè)，共67頁(yè)，2023年，2月20日，星期一例：空心圓軸，外徑Ｄ＝１００ｍｍ，內(nèi)徑ｄ＝８０ｍｍ，AB=l＝５００mm，m１＝６ｋＮＭ，m２＝４ｋＮＭ，Ｇ＝８０ＧＰａ，求C截面對(duì)A、B截面的相對(duì)扭轉(zhuǎn)角。ACB122解：一、繪扭矩圖：TX4(kNm)2二、計(jì)算IP：10第10頁(yè)，共67頁(yè)，2023年，2月20日，星期一三、計(jì)算相對(duì)扭轉(zhuǎn)角11第11頁(yè)，共67頁(yè)，2023年，2月20日，星期一“+”號(hào)表示面向C截面觀察時(shí)，該截面相對(duì)于A（或B）截面逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)。12第12頁(yè)，共67頁(yè)，2023年，2月20日，星期一1.撓曲線9-3梁的彎曲變形撓曲線直梁彎曲后軸線變?yōu)榍€，此即撓曲線；它是一條在彎曲平面內(nèi)的連續(xù)光滑的曲線。撓曲線用撓曲線方程v=f(x)表示。13第13頁(yè)，共67頁(yè)，2023年，2月20日，星期一2.橫截面的兩個(gè)位移(1).撓度(線位移)用v表示它是橫截面形心在y的方向的位移；撓度是代數(shù)值，在y軸上方為正，在y軸下方為負(fù)。(2).轉(zhuǎn)角(角位移)用q表示它是橫截面相對(duì)其變形前位置轉(zhuǎn)動(dòng)的角度；轉(zhuǎn)角是代數(shù)值，從x軸起逆時(shí)針為正，順時(shí)針為負(fù)。14第14頁(yè)，共67頁(yè)，2023年，2月20日，星期一撓曲線方程：轉(zhuǎn)角方程：15第15頁(yè)，共67頁(yè)，2023年，2月20日，星期一3、梁的撓曲線近似微分方程式曲線的曲率為16第16頁(yè)，共67頁(yè)，2023年，2月20日，星期一梁純彎曲時(shí)中性層的曲率：17第17頁(yè)，共67頁(yè)，2023年，2月20日，星期一18第18頁(yè)，共67頁(yè)，2023年，2月20日，星期一梁的撓曲線近似微分方程:19第19頁(yè)，共67頁(yè)，2023年，2月20日，星期一4、用積分法求梁的變形式中積分常數(shù)C、D由邊界條件和連續(xù)條件確定20第20頁(yè)，共67頁(yè)，2023年，2月20日，星期一光滑連續(xù)條件：PC21第21頁(yè)，共67頁(yè)，2023年，2月20日，星期一例：已知梁的抗彎剛度為EI。試求圖示簡(jiǎn)支梁在均布載荷q作用下的轉(zhuǎn)角方程、撓曲線方程，并確定θmax和vmax。22第22頁(yè)，共67頁(yè)，2023年，2月20日，星期一解：由邊界條件：得：23第23頁(yè)，共67頁(yè)，2023年，2月20日，星期一梁的轉(zhuǎn)角方程和撓曲線方程分別為：最大轉(zhuǎn)角和最大撓度分別為：θAθB24第24頁(yè)，共67頁(yè)，2023年，2月20日，星期一例：已知梁的抗彎剛度為EI。試求圖示懸臂梁在集中力P作用下的轉(zhuǎn)角方程、撓曲線方程，并確定θmax和vmax。25第25頁(yè)，共67頁(yè)，2023年，2月20日，星期一解：由邊界條件：得：26第26頁(yè)，共67頁(yè)，2023年，2月20日，星期一梁的轉(zhuǎn)角方程和撓曲線方程分別為：最大轉(zhuǎn)角和最大撓度分別為：θB27第27頁(yè)，共67頁(yè)，2023年，2月20日，星期一5用疊加法計(jì)算梁的變形及剛度條件

一、用疊加法計(jì)算梁的變形在材料服從胡克定律、且變形很小的前提下,載荷與它所引起的變形成線性關(guān)系。當(dāng)梁上同時(shí)作用幾個(gè)載荷時(shí)，各個(gè)載荷所引起的變形是各自獨(dú)立的，互不影響。若計(jì)算幾個(gè)載荷共同作用下在某截面上引起的變形，則可分別計(jì)算各個(gè)載荷單獨(dú)作用下的變形，然后疊加。當(dāng)每一項(xiàng)荷載所引起的撓度為同一方向（如均沿y軸方向),其轉(zhuǎn)角是在同一平面內(nèi)(如均在xy平面內(nèi))時(shí),則疊加就是代數(shù)和。28第28頁(yè)，共67頁(yè)，2023年，2月20日，星期一29第29頁(yè)，共67頁(yè)，2023年，2月20日，星期一30第30頁(yè)，共67頁(yè)，2023年，2月20日，星期一例：用疊加法求31第31頁(yè)，共67頁(yè)，2023年，2月20日，星期一解：將梁上的各載荷分別引起的位移疊加32第32頁(yè)，共67頁(yè)，2023年，2月20日，星期一例：欲使AD梁C點(diǎn)撓度為零，求P與q的關(guān)系。33第33頁(yè)，共67頁(yè)，2023年，2月20日，星期一解：34第34頁(yè)，共67頁(yè)，2023年，2月20日，星期一例：求圖示梁C、D兩點(diǎn)的撓度vC、vD。35第35頁(yè)，共67頁(yè)，2023年，2月20日，星期一解：36第36頁(yè)，共67頁(yè)，2023年，2月20日，星期一例：用疊加法求圖示梁跨中的撓度vC和B點(diǎn)的轉(zhuǎn)角θB（ｋ為彈簧系數(shù)）。37第37頁(yè)，共67頁(yè)，2023年，2月20日，星期一解：彈簧縮短量38第38頁(yè)，共67頁(yè)，2023年，2月20日，星期一例：梁AB，橫截面為邊長(zhǎng)為a的正方形，彈性模量為E1；桿BC，橫截面為直徑為d的圓形，彈性模量為E2。試求BC桿的伸長(zhǎng)及AB梁中點(diǎn)的撓度。39第39頁(yè)，共67頁(yè)，2023年，2月20日，星期一例：圖示梁Ｂ處為彈性支座，彈簧剛度 。求C端撓度vC。40第40頁(yè)，共67頁(yè)，2023年，2月20日，星期一解：(1)梁不變形，僅彈簧變形引起的C點(diǎn)撓度為(2)彈簧不變形，僅梁變形引起的C點(diǎn)撓度為(3)C點(diǎn)總撓度為41第41頁(yè)，共67頁(yè)，2023年，2月20日，星期一例：用疊加法求圖示梁B端的撓度和轉(zhuǎn)角。42第42頁(yè)，共67頁(yè)，2023年，2月20日，星期一解：43第43頁(yè)，共67頁(yè)，2023年，2月20日，星期一6、梁的剛度計(jì)算剛度條件：[v]、[θ]是構(gòu)件的許可撓度和轉(zhuǎn)角，它們決定于構(gòu)件正常工作時(shí)的要求。44第44頁(yè)，共67頁(yè)，2023年，2月20日，星期一例：圖示工字鋼梁，l=8m，Iz=2370cm4,Wz=237cm3，[v

]=l／500，E=200GPa，[σ]=100MPa。試根據(jù)梁的剛度條件，確定梁的許可載荷[P]，并校核強(qiáng)度。45第45頁(yè)，共67頁(yè)，2023年，2月20日，星期一解：由剛度條件46第46頁(yè)，共67頁(yè)，2023年，2月20日，星期一9-4簡(jiǎn)單超靜定問(wèn)題一靜定與靜不定能用靜力學(xué)平衡方程求解的問(wèn)題，稱(chēng)為靜定問(wèn)題。未知力多于平衡方程，用靜力學(xué)平衡方程不能求解的問(wèn)題,稱(chēng)為靜不定問(wèn)題（或超靜定問(wèn)題）靜不定問(wèn)題未知力的數(shù)目，多于有效平衡方程的數(shù)目，二者之差稱(chēng)為超靜定次數(shù)47第47頁(yè)，共67頁(yè)，2023年，2月20日，星期一二靜不定問(wèn)題分析為了求解靜不定問(wèn)題，除了利用平衡方程外，還須研究變形，并借助于變形與內(nèi)力的關(guān)系，建立補(bǔ)充方程（即變形協(xié)調(diào)條件或變形協(xié)調(diào)方程）；保證結(jié)構(gòu)連續(xù)性所應(yīng)滿足的變形幾何方程，稱(chēng)為變形協(xié)調(diào)條件或變形協(xié)調(diào)方程。求靜不定問(wèn)題應(yīng)考慮三個(gè)方面關(guān)系：（1）靜力學(xué)平衡關(guān)系（2）變形幾何關(guān)系（3）變形與力之間的物理關(guān)系48第48頁(yè)，共67頁(yè)，2023年，2月20日，星期一yxFPFN1FN3FN2FPE2A2l2E3A3l3=E2A2l2E1A1l1ABCD49第49頁(yè)，共67頁(yè)，2023年，2月20日，星期一FPyxFN1FN3FN2平衡方程超靜定次數(shù)：3-2=150第50頁(yè)，共67頁(yè)，2023年，2月20日，星期一FPl1l3l2E2A2l2E3A3l3=E2A2l2E1A1l1ABCDA′變形協(xié)調(diào)方程：

各桿變形的幾何關(guān)系平衡方程:51第51頁(yè)，共67頁(yè)，2023年，2月20日，星期一變形協(xié)調(diào)方程：

物性關(guān)系結(jié)果：由平衡方程、變形協(xié)調(diào)方程、物性關(guān)系聯(lián)立解出52第52頁(yè)，共67頁(yè)，2023年，2月20日，星期一例一桿AB,在C處受軸向外力P,已知面積A,

彈性模量E,求A、B兩端的支座反力。

9-4.1拉壓超靜定53第53頁(yè)，共67頁(yè)，2023年，2月20日，星期一解:（1）列靜力學(xué)方程解除約束，設(shè)約束反力為RA.RB.列方程：（2）列變形幾何條件設(shè)桿受力P作用后,C點(diǎn)移至C，在原有約束條件下，桿AB的長(zhǎng)度不變，故此時(shí)AC段的伸長(zhǎng)△lAC與CB段的縮短△lCB應(yīng)該相等。由此變形幾何條件：（b）（3）

列物理?xiàng)l件由虎克定律：（c）（4）建立補(bǔ)充方程，解出約束反力將式（c）代如式（b），得補(bǔ)充方程即聯(lián)立方程得：C′54第54頁(yè)，共67頁(yè)，2023年，2月20日，星期一求靜不定問(wèn)題應(yīng)考慮：（1）滿足靜力學(xué)平衡關(guān)系（2）滿足變形協(xié)調(diào)條件（3）符合變形與力之間的物理關(guān)系（如在線彈性范圍內(nèi)，即滿足胡克定律）即綜合考慮靜力學(xué)，幾何與物理三方面。三靜不定問(wèn)題的特點(diǎn)（即靜不定問(wèn)題區(qū)別于靜定問(wèn)題的特征）（1）桿的軸力不僅與外載荷有關(guān)，而且與桿的拉壓剛度有關(guān)（成正向變化）；（2）各桿（或各桿段）的變形須滿足變形協(xié)調(diào)條件。由于溫度變化或桿長(zhǎng)存在制造誤差，在結(jié)構(gòu)未受力時(shí)就已存在的應(yīng)力，分別稱(chēng)為熱（溫度）應(yīng)力與預(yù)應(yīng)力。下面看一個(gè)由溫度變化引起熱應(yīng)力的例子55第55頁(yè)，共67頁(yè)，2023年，2月20日，星期一例桿AB長(zhǎng)為l,面積為A,材料的彈性模量E和線膨脹系數(shù),求溫度升高T后桿溫度應(yīng)力。

（1）列平衡方程

解除約束，設(shè)約束反力為RA.RB.列方程：解：（2）列變形幾何條件因溫度引起的伸長(zhǎng)因軸向壓力引起的縮短（3）

列物理?xiàng)l件（4）

建立補(bǔ)充方程56第56頁(yè)，共67頁(yè)，2023年，2月20日，星期一9-4.2彎曲超靜定一、靜不定梁的基本概念57第57頁(yè)，共67頁(yè)，2023年，2月20日，星期一用多余反力代替多余約束，就得到一個(gè)形