復(fù)變函數(shù)積分

復(fù)變函數(shù)積分1第1頁，共119頁，2023年，2月20日，星期一第二節(jié)柯西－古薩定理及其推廣2.1柯西－古薩基本定理2.2基本定理的推廣—復(fù)合閉路定理2第2頁，共119頁，2023年，2月20日，星期一第三節(jié)原函數(shù)與不定積分第四節(jié)柯西積分公式與高階導(dǎo)數(shù)公式4.1柯西積分公式4.2高階導(dǎo)數(shù)公式與解析的無限可微性第五節(jié)解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)的關(guān)系3第3頁，共119頁，2023年，2月20日，星期一1.1積分的定義1.有向曲線:

設(shè)C為平面上給定的一條光滑(或按段光滑)曲線,如果選定C的兩個(gè)可能方向中的一個(gè)作為正方向(或正向),那么我們就把C理解為帶有方向的曲線,稱為有向曲線.如果A到B作為曲線C的正向,那么B到A就是曲線C的負(fù)向,4第4頁，共119頁，2023年，2月20日，星期一簡(jiǎn)單閉曲線正向的定義:

簡(jiǎn)單閉曲線C的正向是指當(dāng)曲線上的點(diǎn)P順此方向前進(jìn)時(shí),鄰近P點(diǎn)的曲線的內(nèi)部始終位于P點(diǎn)的左方.與之相反的方向就是曲線的負(fù)方向.關(guān)于曲線方向的說明:在今后的討論中,常把兩個(gè)端點(diǎn)中的一個(gè)作為起點(diǎn),另一個(gè)作為終點(diǎn),除特殊聲明外,正方向總是指從起點(diǎn)到終點(diǎn)的方向.5第5頁，共119頁，2023年，2月20日，星期一2.積分的定義:6第6頁，共119頁，2023年，2月20日，星期一(7第7頁，共119頁，2023年，2月20日，星期一關(guān)于定義的說明:8第8頁，共119頁，2023年，2月20日，星期一1.2積分存在的條件及其計(jì)算法1.存在的條件9第9頁，共119頁，2023年，2月20日，星期一在形式上可以看成是公式10第10頁，共119頁，2023年，2月20日，星期一2.積分的計(jì)算法11第11頁，共119頁，2023年，2月20日，星期一在今后討論的積分中,總假定被積函數(shù)是連續(xù)的,曲線C是按段光滑的.12第12頁，共119頁，2023年，2月20日，星期一復(fù)變函數(shù)積分的計(jì)算步驟13第13頁，共119頁，2023年，2月20日，星期一例1解直線方程為14第14頁，共119頁，2023年，2月20日，星期一這兩個(gè)積分都與路線C無關(guān)15第15頁，共119頁，2023年，2月20日，星期一例2解(1)積分路徑的參數(shù)方程為y=x16第16頁，共119頁，2023年，2月20日，星期一(2)積分路徑的參數(shù)方程為y=x17第17頁，共119頁，2023年，2月20日，星期一y=x(3)積分路徑由兩段直線段構(gòu)成x軸上直線段的參數(shù)方程為1到1+i直線段的參數(shù)方程為18第18頁，共119頁，2023年，2月20日，星期一例3解積分路徑的參數(shù)方程為19第19頁，共119頁，2023年，2月20日，星期一例4解積分路徑的參數(shù)方程為20第20頁，共119頁，2023年，2月20日，星期一重要結(jié)論：積分值與路徑圓周的中心和半徑無關(guān).21第21頁，共119頁，2023年，2月20日，星期一1.3積分的性質(zhì)復(fù)積分與實(shí)變函數(shù)的定積分有類似的性質(zhì).估值不等式22第22頁，共119頁，2023年，2月20日，星期一第一節(jié)小結(jié)本節(jié)我們學(xué)習(xí)了積分的定義、存在條件以及計(jì)算和性質(zhì).應(yīng)注意復(fù)變函數(shù)的積分有跟微積分學(xué)中的線積分完全相似的性質(zhì).本節(jié)中重點(diǎn)掌握復(fù)積分的一般方法.23第23頁，共119頁，2023年，2月20日，星期一思考題24第24頁，共119頁，2023年，2月20日，星期一思考題答案即為一元實(shí)函數(shù)的定積分.25第25頁，共119頁，2023年，2月20日，星期一

2.1柯西古薩基本定理

1.問題的提出觀察上節(jié)例1,此時(shí)積分與路線無關(guān).觀察上節(jié)例4,第二節(jié)柯西－古薩定理及其推廣26第26頁，共119頁，2023年，2月20日，星期一由以上討論可知,積分是否與路線有關(guān),可能決定于被積函數(shù)的解析性及區(qū)域的連通性.27第27頁，共119頁，2023年，2月20日，星期一2.柯西－古薩基本定理定理中的C可以不是簡(jiǎn)單曲線.此定理也稱為柯西積分定理.28第28頁，共119頁，2023年，2月20日，星期一關(guān)于定理的說明:(1)如果曲線C是區(qū)域B的邊界,(2)如果曲線C是區(qū)域B的邊界,定理仍成立.29第29頁，共119頁，2023年，2月20日，星期一例5解根據(jù)柯西－古薩定理,有30第30頁，共119頁，2023年，2月20日，星期一例6證由柯西－古薩定理,31第31頁，共119頁，2023年，2月20日，星期一由柯西－古薩定理,由上節(jié)例4可知,32第32頁，共119頁，2023年，2月20日，星期一例7解根據(jù)柯西－古薩定理得33第33頁，共119頁，2023年，2月20日，星期一34第34頁，共119頁，2023年，2月20日，星期一2.1小結(jié)重點(diǎn)掌握柯西－古薩基本定理:并注意定理成立的條件.35第35頁，共119頁，2023年，2月20日，星期一思考題應(yīng)用柯西–古薩定理應(yīng)注意什么?36第36頁，共119頁，2023年，2月20日，星期一思考題答案(1)注意定理的條件“單連通域”.(2)注意定理的不能反過來用.37第37頁，共119頁，2023年，2月20日，星期一1.問題的提出根據(jù)本章第一節(jié)例4可知,由此希望將基本定理推廣到多連域中.2.2基本定理的推廣復(fù)合閉路定理38第38頁，共119頁，2023年，2月20日，星期一︵︵2.閉路變形原理39第39頁，共119頁，2023年，2月20日，星期一︵︵︵︵︵︵︵︵40第40頁，共119頁，2023年，2月20日，星期一得︵︵︵︵41第41頁，共119頁，2023年，2月20日，星期一解析函數(shù)沿閉曲線的積分,不因閉曲線在區(qū)域內(nèi)作連續(xù)變形而改變它的值.閉路變形原理說明:在變形過程中曲線不經(jīng)過函數(shù)f(z)的不解析的點(diǎn).42第42頁，共119頁，2023年，2月20日，星期一3.復(fù)合閉路定理那末43第43頁，共119頁，2023年，2月20日，星期一44第44頁，共119頁，2023年，2月20日，星期一例8解依題意知,45第45頁，共119頁，2023年，2月20日，星期一根據(jù)復(fù)合閉路定理,46第46頁，共119頁，2023年，2月20日，星期一例9解圓環(huán)域的邊界構(gòu)成一條復(fù)合閉路,根據(jù)閉路復(fù)合定理,47第47頁，共119頁，2023年，2月20日，星期一例10解48第48頁，共119頁，2023年，2月20日，星期一由復(fù)合閉路定理,此結(jié)論非常重要,用起來很方便,因?yàn)椴槐厥菆A,a也不必是圓的圓心,只要a在簡(jiǎn)單閉曲線內(nèi)即可.49第49頁，共119頁，2023年，2月20日，星期一例11解由上例可知50第50頁，共119頁，2023年，2月20日，星期一2.2小結(jié)本課所講述的復(fù)合閉路定理與閉路變形原理是復(fù)積分中的重要定理,掌握并能靈活應(yīng)用它是本章的難點(diǎn).常用結(jié)論:51第51頁，共119頁，2023年，2月20日，星期一思考題復(fù)合閉路定理在積分計(jì)算中有什么用?要注意什么問題?52第52頁，共119頁，2023年，2月20日，星期一思考題答案利用復(fù)合閉路定理是計(jì)算沿閉曲線積分的最主要方法.使用復(fù)合閉路定理時(shí),要注意曲線的方向.53第53頁，共119頁，2023年，2月20日，星期一定理一由定理一可知:解析函數(shù)在單連通域內(nèi)的積分只與起點(diǎn)和終點(diǎn)有關(guān),(如下頁圖)1.兩個(gè)主要定理:第三節(jié)原函數(shù)和不定積分54第54頁，共119頁，2023年，2月20日，星期一55第55頁，共119頁，2023年，2月20日，星期一定理二此定理與微積分學(xué)中的對(duì)變上限積分的求導(dǎo)定理完全類似.56第56頁，共119頁，2023年，2月20日，星期一2.原函數(shù)的定義:原函數(shù)之間的關(guān)系:57第57頁，共119頁，2023年，2月20日，星期一那末它就有無窮多個(gè)原函數(shù),58第58頁，共119頁，2023年，2月20日，星期一3.不定積分的定義:定理三(類似于牛頓-萊布尼茲公式)59第59頁，共119頁，2023年，2月20日，星期一例12解(使用了微積分學(xué)中的“湊微分”法)說明:有了以上定理,復(fù)變函數(shù)的積分就可以用跟微積分學(xué)中類似的方法去計(jì)算.60第60頁，共119頁，2023年，2月20日，星期一例13解由牛頓-萊布尼茲公式知,61第61頁，共119頁，2023年，2月20日，星期一例13另解此方法使用了微積分中“分部積分法”62第62頁，共119頁，2023年，2月20日，星期一例14解利用分部積分法可得課堂練習(xí)答案63第63頁，共119頁，2023年，2月20日，星期一例15解所以積分與路線無關(guān),根據(jù)?！R公式:64第64頁，共119頁，2023年，2月20日，星期一第三節(jié)小結(jié)原函數(shù)、不定積分的定義以及牛頓—萊布尼茲公式.在學(xué)習(xí)中應(yīng)注意與《高等數(shù)學(xué)》中相關(guān)內(nèi)容相結(jié)合,更好的理解本課內(nèi)容.65第65頁，共119頁，2023年，2月20日，星期一思考題解析函數(shù)在單連通域內(nèi)積分的牛頓–萊布尼茲公式與實(shí)函數(shù)定積分的牛頓–萊布尼茲公式有何異同?66第66頁，共119頁，2023年，2月20日，星期一思考題答案兩者的提法和結(jié)果是類似的.兩者對(duì)函數(shù)的要求差異很大.67第67頁，共119頁，2023年，2月20日，星期一1.問題的提出根據(jù)閉路變形原理知,該積分值不隨閉曲線C的變化而改變,求這個(gè)值.第四節(jié)柯西積分公式4.1柯西積分公式68第68頁，共119頁，2023年，2月20日，星期一69第69頁，共119頁，2023年，2月20日，星期一2.柯西積分公式定理證70第70頁，共119頁，2023年，2月20日，星期一71第71頁，共119頁，2023年，2月20日，星期一上不等式表明,只要R足夠小,左端積分的模就可以任意小,根據(jù)閉路變形原理知,左端積分的值與R無關(guān),所以只有在對(duì)所有的R積分值為零時(shí)才有可能.[證畢]柯西積分公式72第72頁，共119頁，2023年，2月20日，星期一關(guān)于柯西積分公式的說明:(1)把函數(shù)在C內(nèi)部任一點(diǎn)的值用它在邊界上的值表示.(這是解析函數(shù)的又一特征)(2)公式不但提供了計(jì)算某些復(fù)變函數(shù)沿閉路積分的一種方法,而且給出了解析函數(shù)的一個(gè)積分表達(dá)式.(這是研究解析函數(shù)的有力工具)(3)一個(gè)解析函數(shù)在圓心處的值等于它在圓周上的平均值.73第73頁，共119頁，2023年，2月20日，星期一例16解74第74頁，共119頁，2023年，2月20日，星期一由柯西積分公式75第75頁，共119頁，2023年，2月20日，星期一例17解由柯西積分公式76第76頁，共119頁，2023年，2月20日，星期一例18解由柯西積分公式77第77頁，共119頁，2023年，2月20日，星期一例19：解78第78頁，共119頁，2023年，2月20日，星期一解例19：79第79頁，共119頁，2023年，2月20日，星期一例20解根據(jù)柯西積分公式知,80第80頁，共119頁，2023年，2月20日，星期一例21解根據(jù)柯西積分公式知,81第81頁，共119頁，2023年，2月20日，星期一比較兩式得82第82頁，共119頁，2023年，2月20日，星期一課堂練習(xí)答案83第83頁，共119頁，2023年，2月20日，星期一4.1小結(jié)柯西積分公式是復(fù)積分計(jì)算中的重要公式,它的證明基于柯西–古薩基本定理,它的重要性在于:一個(gè)解析函數(shù)在區(qū)域內(nèi)部的值可以用它在邊界上的值通過積分表示,所以它是研究解析函數(shù)的重要工具.柯西積分公式:84第84頁，共119頁，2023年，2月20日，星期一思考題柯西積分公式是對(duì)有界區(qū)域而言的,能否推廣到無界區(qū)域中?85第85頁，共119頁，2023年，2月20日，星期一思考題答案可以.其中積分方向應(yīng)是順時(shí)針方向.放映結(jié)束，按Esc退出.86第86頁，共119頁，2023年，2月20日，星期一1.問題的提出問題:(1)解析函數(shù)是否有高階導(dǎo)數(shù)?(2)若有高階導(dǎo)數(shù),其定義和求法是否與實(shí)變函數(shù)相同?回答:(1)解析函數(shù)有各高階導(dǎo)數(shù).(2)高階導(dǎo)數(shù)的值可以用函數(shù)在邊界上的值通過積分來表示,這與實(shí)變函數(shù)完全不同.解析函數(shù)高階導(dǎo)數(shù)的定義是什么?4.2高階導(dǎo)數(shù)公式與解析函數(shù)的無限可微性87第87頁，共119頁，2023年，2月20日，星期一2.主要定理不在于通過積分來求導(dǎo),而在于通過求導(dǎo)來求積分.88第88頁，共119頁，2023年，2月20日，星期一例22解89第89頁，共119頁，2023年，2月20日，星期一90第90頁，共119頁，2023年，2月20日，星期一根據(jù)復(fù)合閉路定理91第91頁，共119頁，2023年，2月20日，星期一92第92頁，共119頁，2023年，2月20日，星期一例23解93第93頁，共119頁，2023年，2月20日，星期一94第94頁，共119頁，2023年，2月20日，星期一例24解由柯西－古薩基本定理得由柯西積分公式得95第95頁，共119頁，2023年，2月20日，星期一96第96頁，共119頁，2023年，2月20日，星期一課堂練習(xí)答案97第97頁，共119頁，2023年，2月20日，星期一練習(xí)解98第98頁，共119頁，2023年，2月20日，星期一根據(jù)復(fù)合閉路定理和高階導(dǎo)數(shù)公式,99第99頁，共119頁，2023年，2月20日，星期一100第100頁，共119頁，2023年，2月20日，星期一4.2小結(jié)高階導(dǎo)數(shù)公式是復(fù)積分的重要公式.它表明了解析函數(shù)的導(dǎo)數(shù)仍然是解析函數(shù)這一異常重要的結(jié)論,同時(shí)表明了解析函數(shù)與實(shí)變函數(shù)的本質(zhì)區(qū)別.高階導(dǎo)數(shù)公式101第101頁，共119頁，2023年，2月20日，星期一思考題解析函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)公式說明解析函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與實(shí)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)有何不同?102第102頁，共119頁，2023年，2月20日，星期一思考題答案這一點(diǎn)與實(shí)變量函數(shù)有本質(zhì)的區(qū)別.103第103頁，共119頁，2023年，2月20日，星期一1.調(diào)和函數(shù)的定義調(diào)和函數(shù)在流體力學(xué)和電磁場(chǎng)理論等實(shí)際問題中有很重要的應(yīng)用.第五節(jié)解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)的關(guān)系104第104頁，共119頁，2023年，2月20日，星期一2.解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)的關(guān)系1.兩者的關(guān)系定理

任何在區(qū)域

D

內(nèi)解析的函數(shù),它的實(shí)部和虛部都是

D

內(nèi)的調(diào)和函數(shù).證105第105頁，共119頁，2023年，2月20日，星期一根據(jù)解析函數(shù)高階導(dǎo)數(shù)定理,[證畢]106第106頁，共119頁，2023年，2月20日，星期一2.共軛調(diào)和函數(shù)的定義區(qū)域D內(nèi)的解析函數(shù)的虛部為實(shí)部的共軛調(diào)和函數(shù).107第107頁，共119頁，2023年，2月20日，星期一3.偏積分法如果已知一個(gè)調(diào)和函數(shù)u,那末就可以利用柯西－黎曼方程求得它的共軛調(diào)和函數(shù)v,從而構(gòu)成一個(gè)解析函數(shù)u+vi.這種方法稱為偏積分法.解例25108第108頁，共119頁，2023年，2月20日，星期一109第1