復(fù)變函數(shù)與積分變換第三章

復(fù)變函數(shù)與積分變換第三章第1頁(yè)，共70頁(yè)，2023年，2月20日，星期一第三章復(fù)變函數(shù)的積分§3.1復(fù)變函數(shù)的積分§3.2Cauchy積分定理§3.3Cauchy積分公式第2頁(yè)，共70頁(yè)，2023年，2月20日，星期一主要內(nèi)容

本章介紹復(fù)變函數(shù)的積分概念，解析函數(shù)積分的主要性質(zhì).重點(diǎn)是Cauchy積分定理、Cauchy積分公式、Cauchy(高階)導(dǎo)數(shù)公式。第3頁(yè)，共70頁(yè)，2023年，2月20日，星期一§3.1復(fù)變函數(shù)積分的概念一復(fù)變函數(shù)積分的定義二復(fù)變函數(shù)積分的性質(zhì)三復(fù)變函數(shù)積分的計(jì)算第4頁(yè)，共70頁(yè)，2023年，2月20日，星期一復(fù)習(xí)核心思想是什么？第5頁(yè)，共70頁(yè)，2023年，2月20日，星期一微積分學(xué)的現(xiàn)實(shí)意義第6頁(yè)，共70頁(yè)，2023年，2月20日，星期一abxyC定義如圖設(shè)

C

為簡(jiǎn)單光滑的有向(1)將曲線

C

任意劃分：一、復(fù)積分的定義函數(shù)在

C

上有定義，令zkz0zkznzk-1(2)在每個(gè)弧段上任取一點(diǎn)若

存在(不依賴

C

的劃分和的選取)，則稱之為沿曲線

C

的積分，記為曲線，其方向是從a到b，

P40定義

3.1

第7頁(yè)，共70頁(yè)，2023年，2月20日，星期一abxyC一、復(fù)積分的定義表示沿曲線

C

的注(1)znzk-1z0zkzkC-負(fù)方向積分；表示沿閉曲線

G(2)(的逆時(shí)針?lè)较?積分；第8頁(yè)，共70頁(yè)，2023年，2月20日，星期一第一類曲線積分二、復(fù)積分的性質(zhì)(1)(4)(2)(3)其中，其中，L為曲線C的弧長(zhǎng)。P41

第9頁(yè)，共70頁(yè)，2023年，2月20日，星期一估計(jì)例的模的一個(gè)上界，其中

C

如圖所示。xyCi1-1解第10頁(yè)，共70頁(yè)，2023年，2月20日，星期一三、復(fù)積分的計(jì)算附格林(Green)公式

進(jìn)一步可化為定積分或者二重積分。方法一

化為第二類曲線積分

P42定理3.1

(推導(dǎo)?)第11頁(yè)，共70頁(yè)，2023年，2月20日，星期一定理3.1設(shè)C是分段光滑(或可求長(zhǎng))的有向曲線，在C上連續(xù)，則存在，并且第12頁(yè)，共70頁(yè)，2023年，2月20日，星期一從形式上可以看成第13頁(yè)，共70頁(yè)，2023年，2月20日，星期一三、復(fù)積分的計(jì)算方法二

直接化為定積分

設(shè)曲線則其中，附其它方法(后面的章節(jié)介紹)利用原函數(shù)計(jì)算，即利用柯西積分公式、高階導(dǎo)公式計(jì)算。

利用留數(shù)計(jì)算。P43

第14頁(yè)，共70頁(yè)，2023年，2月20日，星期一解(1)曲線

C1的方程為曲線

C2的方程為xyC1C2C3i1C4計(jì)算例其中

C

為(如圖)：(1)(2)(3)P43例2修改

第15頁(yè)，共70頁(yè)，2023年，2月20日，星期一解(2)曲線

C3的方程為xyC1C2C3i1C4計(jì)算例其中

C

為(如圖)：(1)(2)(3)P43例2修改

第16頁(yè)，共70頁(yè)，2023年，2月20日，星期一解(3)曲線

C4的方程為xyC1C2C3i1C4計(jì)算例其中

C

為(如圖)：(1)(2)(3)P43例2修改

第17頁(yè)，共70頁(yè)，2023年，2月20日，星期一解(1)曲線

C1的方程為曲線

C2的方程為xyC1C2C3i1計(jì)算例其中

C

為：(1)(2)第18頁(yè)，共70頁(yè)，2023年，2月20日，星期一解(2)曲線

C3的方程為xyC1C2C3i1計(jì)算例其中

C

為：(1)(2)第19頁(yè)，共70頁(yè)，2023年，2月20日，星期一都是從相同的起點(diǎn)到相同的終點(diǎn),沿著兩條不注意1從例題看到,積分和相同的路徑進(jìn)行時(shí),積分值不同,積分值相同.是否可以討論積分與積分路徑的關(guān)系?注意2一般不能將函數(shù)f(z)在以a為起點(diǎn),以b為終點(diǎn)的曲線C上的積分記成因?yàn)榉e分值可能與積分路徑有關(guān),所以記第20頁(yè)，共70頁(yè)，2023年，2月20日，星期一解積分路徑的參數(shù)方程為例計(jì)算積分(n是整數(shù)),其中C是圓周:的正向.第21頁(yè)，共70頁(yè)，2023年，2月20日，星期一重要結(jié)論：積分值與圓周的中心、半徑無(wú)關(guān).注

此例的結(jié)果很重要！

第22頁(yè)，共70頁(yè)，2023年，2月20日，星期一§3.2柯西積分定理一、柯西基本定理二、閉路變形原理三、復(fù)合閉路定理四、路徑無(wú)關(guān)性五、原函數(shù)第23頁(yè)，共70頁(yè)，2023年，2月20日，星期一(?)證明Green公式C

-

R方程D(?)Green公式C

-

R方程證明一、柯西基本定理定理設(shè)函數(shù)

f(z)

在單連通域

D

內(nèi)解析，G

為D

內(nèi)的任意一條簡(jiǎn)單閉曲線，上述定理又稱為柯西-古薩(Cauchy-Goursat)基本定理。

則有GG

P46定理

3.2

第24頁(yè)，共70頁(yè)，2023年，2月20日，星期一注(1)

定理中的曲線

G

可以不是簡(jiǎn)單閉曲線。(2)

定理中的條件還可以進(jìn)一步減弱。定理設(shè)單連域

D

的邊界為

C，函數(shù)

f(z)在

D

內(nèi)解析，則有CD在

上連續(xù)，D一、柯西基本定理定理設(shè)函數(shù)

f(z)

在單連通域

D

內(nèi)解析，G

為D

內(nèi)的任意一條簡(jiǎn)單閉曲線，則有GG第25頁(yè)，共70頁(yè)，2023年，2月20日，星期一二、閉路變形原理

將柯西積分定理推廣到二連域定理設(shè)二連域

D

的邊界為

(如圖)，或Dab證明如圖，作線段

a

b，則二連域D變?yōu)閱芜B域，由或函數(shù)在

D

內(nèi)解析，在

D+C

上連續(xù)，則從而有

P47定理

3.3

第26頁(yè)，共70頁(yè)，2023年，2月20日，星期一D在區(qū)域內(nèi)的一個(gè)解析函數(shù)沿閉曲線的積分，不因閉曲線在區(qū)域內(nèi)作連續(xù)變形而改變它的值，稱此為閉路變形原理。二、閉路變形原理

閉路變形原理如圖，設(shè)在

D

內(nèi)解析，在邊界上連續(xù)，G為

D

內(nèi)的一條“閉曲線”，則第27頁(yè)，共70頁(yè)，2023年，2月20日，星期一DrCG解如圖以

為圓心

r

為半徑作圓，則函數(shù)在因此有當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)。上解析，▲重要

第28頁(yè)，共70頁(yè)，2023年，2月20日，星期一三、復(fù)合閉路定理

將柯西積分定理推廣到多連域函數(shù)在

D

內(nèi)解析，或設(shè)多連域

D

的邊界為

(如圖)，定理DC1C2C0C3Cn…在D+C上連續(xù)，則證明(略)

P47定理3.4

第29頁(yè)，共70頁(yè)，2023年，2月20日，星期一解顯然函數(shù)

例

計(jì)算積分其中G為包含圓周在內(nèi)的任意分段光滑正向簡(jiǎn)單閉曲線.在復(fù)平面有兩個(gè)奇點(diǎn)0和1,并且G包含了這兩個(gè)奇點(diǎn).第30頁(yè)，共70頁(yè)，2023年，2月20日，星期一打洞!根據(jù),第31頁(yè)，共70頁(yè)，2023年，2月20日，星期一Cauchy定理重要公式Cauchy定理重要公式（挖“奇點(diǎn)”法）第32頁(yè)，共70頁(yè)，2023年，2月20日，星期一令解則奇點(diǎn)為(1)當(dāng)

C

為時(shí)，C(1)(2)

其中

C

為：例計(jì)算C3210第33頁(yè)，共70頁(yè)，2023年，2月20日，星期一令解C1C2則奇點(diǎn)為(2)當(dāng)

C

為時(shí)，令

C1：

C2：則C(1)(2)

其中

C

為：例計(jì)算C3210第34頁(yè)，共70頁(yè)，2023年，2月20日，星期一的簡(jiǎn)單曲線，四、路徑無(wú)關(guān)性定理設(shè)函數(shù)

f(z)

在單連通域

D

內(nèi)解析，C1,

C2

為

D

內(nèi)的任意兩條從到證明由可見(jiàn)，解析函數(shù)在單連域內(nèi)的積分只與起點(diǎn)和終點(diǎn)有關(guān)，則有

P49定理

3.5

第35頁(yè)，共70頁(yè)，2023年，2月20日，星期一計(jì)算例其中

C

為如圖所示的一個(gè)半圓。xyCi2G解設(shè)

G

如圖所示，處處解析，問(wèn)是否可以直接計(jì)算？因此有即由于在復(fù)平面上第36頁(yè)，共70頁(yè)，2023年，2月20日，星期一五、原函數(shù)設(shè)在單連域

D

內(nèi)，函數(shù)

恒滿足條件定義則稱為在

D

內(nèi)的一個(gè)原函數(shù)。1.基本概念及性質(zhì)函數(shù)的任何兩個(gè)原函數(shù)相差一個(gè)常數(shù)。性質(zhì)設(shè)和是的兩個(gè)原函數(shù)，則證明其中，c

為任意常數(shù)。函數(shù)的原函數(shù)稱為

的不定積分，定義記作

P50定義

3.2

補(bǔ)

第37頁(yè)，共70頁(yè)，2023年，2月20日，星期一D五、原函數(shù)2.由變上限積分構(gòu)成的原函數(shù)定理若

在單連域

D

內(nèi)處處解析，則在

D

內(nèi)解析，且令

P49定理

3.6

3.Newton-Leibniz公式定理若

在單連域

D

內(nèi)處處解析，

為

的原函數(shù)，

P50定理

3.7

第38頁(yè)，共70頁(yè)，2023年，2月20日，星期一復(fù)積分的換元積分公式復(fù)積分的分部積分公式第39頁(yè)，共70頁(yè)，2023年，2月20日，星期一例求解例求解例求解第40頁(yè)，共70頁(yè)，2023年，2月20日，星期一練習(xí)解使用“湊微分”解利用分部積分法可得練習(xí)第41頁(yè)，共70頁(yè)，2023年，2月20日，星期一§3.3Cauchy積分公式

3.3.1問(wèn)題的提出3.3.2Cauchy積分公式3.3.3高階導(dǎo)數(shù)公式第42頁(yè)，共70頁(yè)，2023年，2月20日，星期一實(shí)際問(wèn)題：

如果測(cè)得地球表面各點(diǎn)的溫度，能否測(cè)得地心的溫度？如何測(cè)？尋求：由D邊界上的函數(shù)值導(dǎo)出D內(nèi)點(diǎn)的函數(shù)值的表達(dá)式.數(shù)學(xué)模型3.3.1問(wèn)題的提出第43頁(yè)，共70頁(yè)，2023年，2月20日，星期一DC一、柯西積分公式Gd定理如果函數(shù)在區(qū)域D

內(nèi)解析，在D+

C

上連續(xù)，證明(思路)如圖，以為圓心，d

為半徑作圓

G，則左邊右邊|

右邊

-

左邊

|則

P52定理

3.8

(跳過(guò)?)第44頁(yè)，共70頁(yè)，2023年，2月20日，星期一在D+

C

上連續(xù)，

則一、柯西積分公式定理如果函數(shù)在區(qū)域D

內(nèi)解析，DdGC證明(思路)(當(dāng)充分小時(shí))|

右邊

-

左邊

|即只要

d足夠小，所證等式兩邊的差的?？梢匀我庑。捎谧筮吪c右邊均為常數(shù)，與

d無(wú)關(guān)，故等式成立。第45頁(yè)，共70頁(yè)，2023年，2月20日，星期一在邊界

C

上連續(xù)，

則一、柯西積分公式定理如果函數(shù)在區(qū)域D

內(nèi)解析，DdGC意義將換成，積分變量換成，

解析函數(shù)在其解析區(qū)域內(nèi)的值完全由邊界上的值確定。

換句話說(shuō)，解析函數(shù)可用其解析區(qū)域邊界上的值以一種特定的積分形式表達(dá)出來(lái)。則上式變?yōu)榈?6頁(yè)，共70頁(yè)，2023年，2月20日，星期一是多連域。一、柯西積分公式注意柯西積分公式中的區(qū)域D

可以應(yīng)用推出一些理論結(jié)果，從而進(jìn)一步認(rèn)識(shí)解析函數(shù)。比如對(duì)于二連域

D

,其邊界為，DC1反過(guò)來(lái)計(jì)算積分則

P53推論

3.3

第47頁(yè)，共70頁(yè)，2023年，2月20日，星期一在上解析

其中

C

為：例計(jì)算(1)(2)C1C2210(1)解(柯西積分公式)(2)(柯西積分定理)(函數(shù)

在

上解析)第48頁(yè)，共70頁(yè)，2023年，2月20日，星期一C1C2令解則令

C1：

C2：

其中

C

如圖所示。例計(jì)算C201則(復(fù)合閉路定理)(柯西積分公式)第49頁(yè)，共70頁(yè)，2023年，2月20日，星期一C203-

3解

試考慮積分路徑為的情況。第50頁(yè)，共70頁(yè)，2023年，2月20日，星期一二、平均值公式如果函數(shù)在內(nèi)解析，定理(平均值公式)在上連續(xù)，qxRyC證明由柯西積分公式有則有

P53推論3.2

(連續(xù)函數(shù)的平均值)第51頁(yè)，共70頁(yè)，2023年，2月20日，星期一§3.3.3解析函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)一、高階導(dǎo)數(shù)定理二、柯西不等式三、劉維爾定理第52頁(yè)，共70頁(yè)，2023年，2月20日，星期一一、高階導(dǎo)數(shù)定理分析則由柯西積分公式有又……如果函數(shù)在區(qū)域D

內(nèi)解析，在上連續(xù)，第53頁(yè)，共70頁(yè)，2023年，2月20日，星期一一、高階導(dǎo)數(shù)定理定理如果函數(shù)在區(qū)域D

內(nèi)解析，在上連續(xù)，則的各階導(dǎo)數(shù)均在

D

上解析，證明(略)意義解析函數(shù)的導(dǎo)數(shù)仍解析。應(yīng)用

推出一些理論結(jié)果。反過(guò)來(lái)計(jì)算積分且

P55定理

3.9

(進(jìn)入證明?)第54頁(yè)，共70頁(yè)，2023年，2月20日，星期一解例計(jì)算解第55頁(yè)，共70頁(yè)，2023年，2月20日，星期一(1)令解

例計(jì)算則(復(fù)合閉路定理)C2C1C2

i-

i如圖，作

C1

,C2兩個(gè)小圓，記為第56頁(yè)，共70頁(yè)，2023年，2月20日，星期一解

例計(jì)算C2C2-

iC1

i(2)(高階導(dǎo)數(shù)公式)同樣可求得(3)第57頁(yè)，共70頁(yè)，2023年，2月20日，星期一二、柯西不等式定理設(shè)函數(shù)在內(nèi)解析，且則(柯西不等式)證明函數(shù)在上解析，令即得

P57定理

3.10

第58頁(yè)，共70頁(yè)，2023年，2月20日，星期一三、劉維爾定理定理設(shè)函數(shù)在全平面上解析且有界，則為一常數(shù)。設(shè)為平面上任意一點(diǎn)，證明函數(shù)在上解析，且根據(jù)柯西不等式有令即得由的任意性，知在全平面上有則為一常數(shù)。P57定理3.11第59頁(yè)，共70頁(yè)，2023年，2月20日，星期一復(fù)變函數(shù)的積分積分存在的條件及計(jì)算積分的性質(zhì)Cauchy積分定理原函數(shù)的概念復(fù)合閉路定理Cauchy積分公式高階導(dǎo)數(shù)公式Newton-Leibniz公式本章內(nèi)容總結(jié)第60頁(yè)，共70頁(yè)，2023年，2月20日，星期一1.Cauchy積分定理2.復(fù)合閉路定理

3.Cauchy積分公式與高階導(dǎo)數(shù)公式本章的重點(diǎn)4.復(fù)變函數(shù)積分的計(jì)算第61頁(yè)，共70頁(yè)，2023年，2月20日，星期一完了？誰(shuí)完了？積分學(xué)，學(xué)完了第62頁(yè)，共70頁(yè)，2023年，2月20日，星期一Classisover祝你下課！第63頁(yè)，共70頁(yè)，2023年，2月20日，星期一第三章完第64頁(yè)，共70頁(yè)，2023年，2月20日，星期一GeorgeGreen(1793.7.14-1841.5.31)自學(xué)而成的英國(guó)數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家.出色地將數(shù)學(xué)方法應(yīng)用到電磁理論和其他數(shù)學(xué)物理問(wèn)題.1928年出版了出版了小冊(cè)子《數(shù)學(xué)分析在電磁學(xué)中的應(yīng)用》,其中有著名的Green公式.40歲進(jìn)入劍橋大學(xué)學(xué)習(xí),1839年聘為劍橋大學(xué)教授.他的工作培育了數(shù)學(xué)物理學(xué)者的劍橋?qū)W派,其中包括G.Stokes和C.Maxwell.第65頁(yè)，共70頁(yè)，2023年，2月20日，星期一IsaacNewton

(1642.12.25-1727.3.20)偉大的英國(guó)物理學(xué)家和數(shù)學(xué)家.1661年,進(jìn)入劍橋大學(xué)三一學(xué)院學(xué)習(xí).大學(xué)畢業(yè)后,在1665和1666年期間,Newton做了具有劃時(shí)代意義的三項(xiàng)工作:微積分、萬(wàn)有引力和光的分析.1687年發(fā)表《自然哲學(xué)之?dāng)?shù)學(xué)原理》.1669年任劍橋大