復(fù)變函數(shù)第三章

復(fù)變函數(shù)第三章第1頁(yè)，共45頁(yè)，2023年，2月20日，星期一§1復(fù)變函數(shù)積分的概念1.1積分的定義有向曲線設(shè)函數(shù)w=f(z)定義在區(qū)域D

內(nèi)，C

為D

內(nèi)起點(diǎn)為A，終點(diǎn)為B

的一條光滑的有向曲線，在C

上從A

到B

依次取分點(diǎn)：在弧上任意取一點(diǎn)作和式z1z3zkz2z0=Az1z2z3...zk-1B=z1xyOzk第2頁(yè)，共45頁(yè)，2023年，2月20日，星期一3當(dāng)n

趨于無(wú)窮時(shí)，不論對(duì)C

的分法及對(duì)的取法如何，只要趨于零，若有唯一極限，則稱此極限值為f(z)沿C

的積分.記作注若C為閉曲線，則沿C的積分記作若C

是實(shí)軸上的閉區(qū)間，而f(z)是一個(gè)一元實(shí)函數(shù)，則復(fù)積分的定義和一元實(shí)函數(shù)定積分的定義是一致的.第3頁(yè)，共45頁(yè)，2023年，2月20日，星期一4復(fù)積分的基本性質(zhì)第4頁(yè)，共45頁(yè)，2023年，2月20日，星期一5例設(shè)C為從點(diǎn)i到點(diǎn)3+4i的直線段，試求積分絕對(duì)值的一個(gè)上界.如何計(jì)算復(fù)積分？第5頁(yè)，共45頁(yè)，2023年，2月20日，星期一6復(fù)積分存在的必要條件若函數(shù)f(z)=u(x,y)+iv(x,y)沿（按段）光滑曲線C：

連續(xù)，則f(z)沿C

可積，且成立第6頁(yè)，共45頁(yè)，2023年，2月20日，星期一7注形式上看，例分別沿y=x與y=x2計(jì)算如下積分：第7頁(yè)，共45頁(yè)，2023年，2月20日，星期一8變量替換公式例分別沿y=x與y=x2計(jì)算如下積分：第8頁(yè)，共45頁(yè)，2023年，2月20日，星期一9Oxy例計(jì)算，其中C的正向圓周，n

為整數(shù).為以z0

為中心，r

為半徑Oxy例計(jì)算的值，其中C為1）沿直線段2）沿折線段例計(jì)算其中C

為從原點(diǎn)到點(diǎn)3+4i的直線段.第9頁(yè)，共45頁(yè)，2023年，2月20日，星期一解：直線段C

的方程：或z=3t+i4t,

0≤t≤1則在

C上dz=(3+4i)dt，從而與積分路線C無(wú)關(guān)，只與端點(diǎn)有關(guān).第10頁(yè)，共45頁(yè)，2023年，2月20日，星期一11Oxy例計(jì)算，其中C的正向圓周，n

為整數(shù).為以z0

為中心，r

為半徑解：C

的方程：第11頁(yè)，共45頁(yè)，2023年，2月20日，星期一12第12頁(yè)，共45頁(yè)，2023年，2月20日，星期一13Oxy例計(jì)算的值，其中C為1）沿直線段2）沿折線段第13頁(yè)，共45頁(yè)，2023年，2月20日，星期一14§2柯西-古薩基本定理柯西-古薩基本定理設(shè)函數(shù)f(z)在單連通區(qū)域B

內(nèi)處處解析，則f(z)沿B內(nèi)的任一條封閉曲線C的積分為零：注條件若改為f(z)在閉區(qū)域上解析，其中曲線C為單連通區(qū)域B

的邊界，結(jié)論仍成立.第14頁(yè)，共45頁(yè)，2023年，2月20日，星期一柯西-古薩基本定理設(shè)函數(shù)f(z)在單連通區(qū)域B

內(nèi)處處解析，則f(z)沿B內(nèi)的任一條封閉曲線C的積分為零：注條件若改為f(z)在單連通區(qū)域D上解析，且在其邊界C上連續(xù)，結(jié)論仍成立.CC第15頁(yè)，共45頁(yè)，2023年，2月20日，星期一16Oxy例計(jì)算的值，其中C為1）沿直線段2）沿折線段第16頁(yè)，共45頁(yè)，2023年，2月20日，星期一計(jì)算復(fù)積分的方法：找出f(z)的實(shí)部和虛部寫出積分曲線的參數(shù)方程

f(z)在單連通區(qū)域內(nèi)解析且連續(xù)到邊界C第17頁(yè)，共45頁(yè)，2023年，2月20日，星期一§3基本定理的推廣——復(fù)合閉路定理復(fù)合閉路定理

設(shè)C為多連通域D

內(nèi)的一條簡(jiǎn)單閉曲線，是在C

內(nèi)部的簡(jiǎn)單閉曲線，它們互不包含也互不相交，并且以

為邊界的區(qū)域全含于D，若f(z)在D

內(nèi)解析，則CC2C3C1簡(jiǎn)化條件：若f(z)在多連通區(qū)域D

內(nèi)解析，并連續(xù)到其邊界第18頁(yè)，共45頁(yè)，2023年，2月20日，星期一CC1二連通情形：第19頁(yè)，共45頁(yè)，2023年，2月20日，星期一20Oxy例計(jì)算，其中為包含z0

的任意一條簡(jiǎn)單閉曲線，n

為整數(shù).解：第20頁(yè)，共45頁(yè)，2023年，2月20日，星期一求型積分的步驟：第21頁(yè)，共45頁(yè)，2023年，2月20日，星期一xy第22頁(yè)，共45頁(yè)，2023年，2月20日，星期一23定理一若函數(shù)f(z)在單連通區(qū)域B

內(nèi)解析，則定理二

設(shè)函數(shù)f(z)在單連通區(qū)域B

內(nèi)解析，則函數(shù)F(z)在B

內(nèi)解析，且F′(z)=f(z).§4原函數(shù)與不定積分與連接起點(diǎn)和終點(diǎn)的路線C

無(wú)關(guān).第23頁(yè)，共45頁(yè)，2023年，2月20日，星期一由充分小及在小領(lǐng)域內(nèi)的一致連續(xù)性第24頁(yè)，共45頁(yè)，2023年，2月20日，星期一25原函數(shù)

在若函數(shù)在區(qū)域

B內(nèi)的導(dǎo)數(shù)等于f(z)，即則稱為f(z)在區(qū)域

B內(nèi)的原函數(shù).注定理二中的F(z)就是f(z)的一個(gè)原函數(shù).不定積分f(z)的原函數(shù)的一般表達(dá)F(z)+c(c

為任意復(fù)常數(shù))為f(z)的不定積分，記作定理三

（牛頓-萊布尼茲公式）若函數(shù)f(z)在單連通區(qū)域B

內(nèi)解析，

是f(z)的任一原函數(shù)，則第25頁(yè)，共45頁(yè)，2023年，2月20日，星期一26原函數(shù)：原函數(shù)：第26頁(yè)，共45頁(yè)，2023年，2月20日，星期一計(jì)算復(fù)積分的方法：第27頁(yè)，共45頁(yè)，2023年，2月20日，星期一28§5柯西積分公式（復(fù)合閉路定理）（積分估值）第28頁(yè)，共45頁(yè)，2023年，2月20日，星期一29定理（柯西積分公式）若函數(shù)

f(z)在區(qū)域D內(nèi)解析，C為D內(nèi)的任何一條正向簡(jiǎn)單閉曲線，它的內(nèi)部完全含于D，z0

為C

內(nèi)的任一點(diǎn)，則注條件改為

f(z)在簡(jiǎn)單閉曲線

C的內(nèi)部解析且連續(xù)到邊界，則結(jié)論仍成立.或第29頁(yè)，共45頁(yè)，2023年，2月20日，星期一30在上述定理中，若C

代表圓周：，則即一個(gè)解析函數(shù)在圓心處的值等于它在圓周上的值的平均數(shù).（解析函數(shù)平均值定理）例求下列積分的值：第30頁(yè)，共45頁(yè)，2023年，2月20日，星期一31解：由函數(shù)

f(z)=sinz

在

z平面上解析，且z=0含于內(nèi)部，則根據(jù)柯西積分公式，第31頁(yè)，共45頁(yè)，2023年，2月20日，星期一32(z=-1,z=3含于內(nèi)部)第32頁(yè)，共45頁(yè)，2023年，2月20日，星期一xy第33頁(yè)，共45頁(yè)，2023年，2月20日，星期一第34頁(yè)，共45頁(yè)，2023年，2月20日，星期一35§6解析函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)定理解析函數(shù)

f(z)的導(dǎo)數(shù)仍為解析函數(shù)，它的

n階導(dǎo)數(shù)為：其中C

為解析區(qū)域D

內(nèi)圍繞z0

的任何一條正向簡(jiǎn)單曲線，且它的內(nèi)部全含于D.注一個(gè)解析函數(shù)具有無(wú)窮階導(dǎo)數(shù)，且它們也是解析的.第35頁(yè)，共45頁(yè)，2023年，2月20日，星期一36例求下列積分的值，其中C

為正向圓周：B

內(nèi)任何一條簡(jiǎn)單閉曲線C

都有例設(shè)函數(shù)

f(z)在單連通區(qū)域B

內(nèi)連續(xù)，且對(duì)證明f(z)在B

內(nèi)解析.（Morera定理）第36頁(yè)，共45頁(yè)，2023年，2月20日，星期一37定理（柯西積分公式）若函數(shù)

f(z)在區(qū)域D內(nèi)解析，C為D內(nèi)的任何一條正向簡(jiǎn)單閉曲線，它的內(nèi)部完全含于D，z

為C

內(nèi)的任一點(diǎn)，則注條件改為

f(z)在簡(jiǎn)單閉曲線

C的內(nèi)部以及C上解析，則結(jié)論仍成立.或第37頁(yè)，共45頁(yè)，2023年，2月20日，星期一38定理（高階導(dǎo)數(shù)公式）解析函數(shù)

f(z)的導(dǎo)數(shù)仍為解析函數(shù)，它的

n階導(dǎo)數(shù)為：其中C

為解析區(qū)域D

內(nèi)圍繞z0

的任何一條正向簡(jiǎn)單曲線，且它的內(nèi)部全含于D.注一個(gè)解析函數(shù)具有無(wú)窮階導(dǎo)數(shù)，且它們也是解析的.第38頁(yè)，共45頁(yè)，2023年，2月20日，星期一39§7解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)的關(guān)系調(diào)和函數(shù)若二元實(shí)函數(shù)H(x,y)在區(qū)域D

內(nèi)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)，且滿足Laplace方程則稱H(x,y)為D

內(nèi)的調(diào)和函數(shù).第39頁(yè)，共45頁(yè)，2023年，2月20日，星期一定理任何在區(qū)域D

內(nèi)解析的函數(shù)，它的實(shí)部和虛部都是D

內(nèi)的調(diào)和函數(shù).證：設(shè)D

內(nèi)的解析函數(shù)則兩等式分別關(guān)于x,y求偏導(dǎo)由解析函數(shù)高階導(dǎo)數(shù)定理知，u和v具有任意階連續(xù)偏導(dǎo)，故從而同理因此u和v調(diào)和.第40頁(yè)，共45頁(yè)，2023年，2月20日，星期一41共軛調(diào)和函數(shù)區(qū)域D

內(nèi)滿足C.-R.方程的兩個(gè)調(diào)和函數(shù)u,v

中，v稱為u在區(qū)域D

內(nèi)的共軛調(diào)和函數(shù).注區(qū)域D

內(nèi)的解析函數(shù)的虛部為實(shí)部的共軛調(diào)和函數(shù).u+iv

=f(z)調(diào)和解析為

u的共軛調(diào)和函數(shù)第41頁(yè)，共45頁(yè)，2023年，2月20日，星期一42例

驗(yàn)證u(x,y)=y3-3xy2

是調(diào)和函數(shù)，并求以u(píng)(x,y)為實(shí)部的解析函數(shù)f(z).例

已知一調(diào)和函數(shù)