工程力學(xué)第八章圓軸的扭轉(zhuǎn)

工程力學(xué)第八章圓軸的扭轉(zhuǎn)第1頁，共71頁，2023年，2月20日，星期一實(shí)際工程中，有很多產(chǎn)生扭轉(zhuǎn)變形的構(gòu)件。圖示汽車操縱桿；機(jī)械中的傳動(dòng)軸等。傳動(dòng)軸8.1扭轉(zhuǎn)的概念與實(shí)例第2頁，共71頁，2023年，2月20日，星期一研究對(duì)象：

圓截面直桿受力特點(diǎn)：作用在垂直于軸線的不同平面內(nèi)的外力偶，且滿足平衡方程:

SMx=0變形特征：相對(duì)扭轉(zhuǎn)角

fABxyz0M0M變形前變形后fAB第3頁，共71頁，2023年，2月20日，星期一本章研究桿件發(fā)生除扭轉(zhuǎn)變形外，其它變形可忽略的情況，并且以圓截面(實(shí)心圓截面或空心圓截面)桿為主要研究對(duì)象。此外，所研究的問題限于桿在線彈性范圍內(nèi)工作的情況。第4頁，共71頁，2023年，2月20日，星期一8.2扭矩與扭矩圖扭矩：MT是橫截面上的內(nèi)力偶矩。內(nèi)力—由截面法求得。取左邊部分平衡由平衡方程：

M0M0假想切面外力偶

M0內(nèi)力偶

MT第5頁，共71頁，2023年，2月20日，星期一由平衡方程：

取右邊部分MT和MT

是同一截面上的內(nèi)力，應(yīng)當(dāng)有相同的大小和正負(fù)。TM0M0假想切面取左邊部分平衡外力偶

M0

扭矩

MT扭矩外力偶

平衡MTM0第6頁，共71頁，2023年，2月20日，星期一扭矩的符號(hào)規(guī)定：按右手螺旋法則確定扭矩的矢量方向，扭矩矢量的指向與截面的外法線方向一致者為正，反之為負(fù)。負(fù)M0MTM0MT正第7頁，共71頁，2023年，2月20日，星期一nnmT

（+）mnnT（+）

上述截面的內(nèi)力（扭矩）為正值扭矩圖：利用截面法每次只能求某一指定截面上的扭矩，為能反映出扭矩的分布情況，我們以桿件的軸線為基線，用一個(gè)圖形來表示沿軸長(zhǎng)各橫截面上扭矩的變化規(guī)律，稱為扭矩圖xT+–第8頁，共71頁，2023年，2月20日，星期一[例8-1]、作圖示圓軸的扭矩圖2mxmx3mxABC解：由于AB、BC兩段的扭矩不同，所以要分段計(jì)算（1）計(jì)算AB段的扭矩1用假想的1截面將軸切開，取左段為隔離體根據(jù)平衡條件求得：TAB=2mx112mxTAB

第9頁，共71頁，2023年，2月20日，星期一（2）計(jì)算BC段的扭矩2用假想截面2將圓軸切開，取左段或右段為隔離體，根據(jù)平衡條件求得：TBC=-mx2mx3mxAB22TBCmxC22TBC2mxmx3mxAB（3）作扭矩圖xTABC2mxmx+–第10頁，共71頁，2023年，2月20日，星期一[例8-2]圖示為一裝巖機(jī)的后車軸，已知其行走的功率PK=10.5kW，額定轉(zhuǎn)速n=680r/min，機(jī)體上的荷載通過軸承傳到車軸上，不計(jì)摩擦，畫出車軸的扭矩圖ABC解：1）計(jì)算外力矩齒輪B輸入的功率分別傳遞到輪A、C上，每個(gè)輪所消耗的功率為：PK/2mAmBmC第11頁，共71頁，2023年，2月20日，星期一2）計(jì)算AB段內(nèi)力根據(jù)平衡條件，可求得：TAB=mA=74NmmAATABmAmBABTBC3）計(jì)算BC段內(nèi)力根據(jù)平衡條件，求得：TBC=mA-mB=-74Nm4）扭矩圖xTABC7474+–mAmBmC第12頁，共71頁，2023年，2月20日，星期一

[例8-3]

一傳動(dòng)軸如圖，轉(zhuǎn)速；主動(dòng)輪輸入的功率P1=500kW，三個(gè)從動(dòng)輪輸出的功率分別為：P2=150kW，P3=150kW，P4=200kW。試作軸的扭矩圖。第13頁，共71頁，2023年，2月20日，星期一解：1.計(jì)算作用在各輪上的外力偶矩第14頁，共71頁，2023年，2月20日，星期一2.計(jì)算各段的扭矩BC段內(nèi)：AD段內(nèi)：CA段內(nèi)：(負(fù))注意這個(gè)扭矩是假定為負(fù)的第15頁，共71頁，2023年，2月20日，星期一3.作扭矩圖由扭矩圖可見，傳動(dòng)軸的最大扭矩Tmax在CA段內(nèi)，其值為9.56kN·m。第16頁，共71頁，2023年，2月20日，星期一思考：如果將從動(dòng)輪D與C的位置對(duì)調(diào)，試作該傳動(dòng)軸的扭矩圖。這樣的布置是否合理？第17頁，共71頁，2023年，2月20日，星期一15.94.786.374.78第18頁，共71頁，2023年，2月20日，星期一5kN5kN3kNN圖+-5kN2kN8kN5kN2kN8kN5kN+向簡(jiǎn)捷畫法：2010ABC在左端取參考正向，按載荷大小畫水平線；遇集中載荷作用則內(nèi)力相應(yīng)增減；至右端回到零。FN圖（軸力）

按右手法確定+向xoCABMT圖第19頁，共71頁，2023年，2月20日，星期一討論：試作扭矩圖2010MT圖

按右手法確定+向xoCAB40kN.mD20kN.m10kN.m10kN.mABCD20xoCAB40kN.mD10kN.m10kN.m求反力偶：2010MT圖

按右手法確定+向ABCD20第20頁，共71頁，2023年，2月20日，星期一8.3圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力與變形8.3.1.橫截面上的應(yīng)力表面變形情況推斷橫截面的變形情況(問題的幾何方面)橫截面上應(yīng)變的變化規(guī)律橫截面上應(yīng)力變化規(guī)律應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系(問題的物理方面)內(nèi)力與應(yīng)力的關(guān)系橫截面上應(yīng)力的計(jì)算公式(問題的靜力學(xué)方面)第21頁，共71頁，2023年，2月20日，星期一圓軸扭轉(zhuǎn)實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象：橫向：圓周線仍相互平行，且形狀和大小不變，間距不變，但相鄰圓周發(fā)生相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)縱向：各縱向線仍然平行，但傾斜了一個(gè)角度，由縱向線與圓周線所組成的矩形變成了平行四邊形平截面假定：圓軸扭轉(zhuǎn)變形后，橫截面保持為平面，其形狀和大小及相鄰兩橫截面間的距離保持不變，半徑仍保持為直線（橫截面剛性地繞軸線作相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)）推知：桿的橫截面上只有切應(yīng)力，且垂直于半徑。第22頁，共71頁，2023年，2月20日，星期一取長(zhǎng)為dx的微段研究，在扭矩作用下，右端面剛性轉(zhuǎn)動(dòng)角df，原來的矩形ABCD變成為菱形ABCD。1.變形幾何條件g是微元的直角改變量，即半徑r各處的剪應(yīng)變。因?yàn)镃C=gdx=rdf

,故有：df/dx,稱為單位扭轉(zhuǎn)角。對(duì)半徑為r的其它各處，可作類似的分析。dxOCDABrrCDdfdfgMTg第23頁，共71頁，2023年，2月20日，星期一1.變形幾何條件對(duì)半徑為r的其它各處，作類似的分析。剪應(yīng)變g的大小與半徑r成正比。與單位扭轉(zhuǎn)角df

/dx成正比。即得變形幾何條件為：--(1)同樣有：CC=gdx=rdfdxOCDABrrCDdfMTgrgr第24頁，共71頁，2023年，2月20日，星期一2.物理關(guān)系—材料的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系在線性彈性范圍內(nèi)，剪切虎克定律為：G是t-g曲線的斜率，如圖，稱為剪切彈性模量。單位GPa--(2)半徑為r處的剪應(yīng)力則為：圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)無正應(yīng)力1GOtg1Gtys材料的剪應(yīng)力與剪應(yīng)變之間有與拉壓類似的關(guān)系。第25頁，共71頁，2023年，2月20日，星期一討論：圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的剪應(yīng)力分布圓軸幾何及MT給定，df/dx為常數(shù)；G是材料常數(shù)。--(3)dxOCDABrrCDdfMTgrgrtrMTotrrtmax最大剪應(yīng)力在圓軸表面處。扭轉(zhuǎn)截面上任一點(diǎn)的剪應(yīng)力與該點(diǎn)到軸心的距離r成正比；剪應(yīng)變?cè)贏BCD面內(nèi)，故剪應(yīng)力與半徑垂直，指向由截面扭矩方向確定。第26頁，共71頁，2023年，2月20日，星期一3.力的平衡關(guān)系應(yīng)力是內(nèi)力(扭矩)在微截面上的分布集度。各微截面上內(nèi)力對(duì)軸心之矩的和應(yīng)與截面扭矩相等。取微面積如圖，有：--(3)利用(3)式，得到：trMTotrrtmaxdA第27頁，共71頁，2023年，2月20日，星期一3.力的平衡關(guān)系令：最后得到：--(4)Ir

稱為截面對(duì)圓心的極慣性矩，只與截面幾何相關(guān)。tmax在圓軸表面處，且WT=IP

/r，稱為抗扭截面模量。求IP，WT?trMTotrrtmax第28頁，共71頁，2023年，2月20日，星期一8.3.2

圓截面的極慣性矩和抗扭截面模量dDo討論內(nèi)徑d，外徑D的空心圓截面，取微面積dA=2prdr,則有：rdrdA極慣性矩)1(3232)(244442/2/3apprrpP-=-==òDdDdIDd抗扭截面模量：

16/)1()2//(43apP-==DDIWTa=d/D極慣性矩：抗扭截面模量第29頁，共71頁，2023年，2月20日，星期一dDo空心圓軸實(shí)心圓軸Do極慣性矩:抗扭截面模量:a=d/D=0第30頁，共71頁，2023年，2月20日，星期一研究思路：變形幾何條件dx---(1)d/jrg=+材料物理關(guān)系dxdGGjrgtrr==---(2)靜力平衡關(guān)系+TAMdAdxdG=ò2rj---(3)圓軸扭轉(zhuǎn)剪應(yīng)力公式：PrrtIMT=---(4)且由(2)、(4)可知單位扭轉(zhuǎn)角為：PjGIMdxdT//=---(5)第31頁，共71頁，2023年，2月20日，星期一結(jié)論：1）圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)，橫截面上只有剪應(yīng)力，剪應(yīng)力在橫截面上線性分布，垂直與半徑，指向由扭矩的轉(zhuǎn)向確定。2）

截面任一處截面外圓周處（表面）

tP=MTr/IP

tmax=MT/WT

dDo空心圓軸實(shí)心圓軸DoMTtrtmaxMTtrtmax第32頁，共71頁，2023年，2月20日，星期一討論：2）下列圓軸扭轉(zhuǎn)的剪應(yīng)力分布圖是否正確?

1）已知二軸長(zhǎng)度及所受外力矩完全相同。若二軸截面尺寸不同，其扭矩圖相同否?若二軸材料不同、截面尺寸相同，各段應(yīng)力是否相同？變形是否相同？相同相同不同oMToMToMToMT第33頁，共71頁，2023年，2月20日，星期一8.3.3扭轉(zhuǎn)圓軸任一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)

MTdxMTttdxcAdyttt′t′研究?jī)蓹M截面相距dx的任一A處單位厚度微元，左右二邊為橫截面，上下二邊為過軸線的徑向面。

AA的平衡？SMC(F)=tdxdy-tdydx=0

t=t剪應(yīng)力互等定理：

物體內(nèi)任一點(diǎn)處二相互垂直的截面上，剪應(yīng)力總是同時(shí)存在的，它們大小相等，方向是共同指向或背離二截面的交線。

第34頁，共71頁，2023年，2月20日，星期一dxcAdyttt′t′純剪應(yīng)力狀態(tài)等價(jià)于轉(zhuǎn)過45后微元的二向等值拉壓應(yīng)力狀態(tài)。純剪應(yīng)力狀態(tài):微元各面只有剪應(yīng)力作用。

45斜截面上的應(yīng)力：

t45dxct45s45ttdx+(t45dx/cos45)cos45+(s45dx/cos45)sin45=0還有：s-45=t；t-45=0

tdx-(t45dx/cos45)sin45+(s45dx/cos45)cos45=0解得：s45=-t；t45=0。Ass第35頁，共71頁，2023年，2月20日，星期一現(xiàn)分析單元體內(nèi)垂直于前、后兩平面的任一斜截面ef(如圖)上的應(yīng)力。斜截面上的應(yīng)力第36頁，共71頁，2023年，2月20日，星期一分離體上作用力的平衡方程為利用t=t'，經(jīng)整理得第37頁，共71頁，2023年，2月20日，星期一由此可知：(1)單元體的四個(gè)側(cè)面(a

=0°和a

=90°)上切應(yīng)力的絕對(duì)值最大；

(2)

a=-45°和a=+45°截面上切應(yīng)力為零，而正應(yīng)力的絕對(duì)值最大；，如圖所示。第38頁，共71頁，2023年，2月20日，星期一低碳鋼扭轉(zhuǎn)試驗(yàn)開始低碳鋼扭轉(zhuǎn)試驗(yàn)結(jié)束第39頁，共71頁，2023年，2月20日，星期一低碳鋼扭轉(zhuǎn)破壞斷口第40頁，共71頁，2023年，2月20日，星期一鑄鐵扭轉(zhuǎn)破壞試驗(yàn)過程第41頁，共71頁，2023年，2月20日，星期一鑄鐵扭轉(zhuǎn)破壞斷口第42頁，共71頁，2023年，2月20日，星期一思考：低碳鋼和鑄鐵的圓截面試件其扭轉(zhuǎn)破壞的斷口分別如圖a及圖b所示，試問為什么它們的斷口形式不同？第43頁，共71頁，2023年，2月20日，星期一

例題8-4

實(shí)心圓截面軸Ⅰ(圖a)和空心圓截面軸Ⅱ(圖b)（）除橫截面不同外，其它均相同。試求兩種圓軸在橫截面上最大切應(yīng)力相等的情況下，D2與d1之比以及兩軸的重量比。第44頁，共71頁，2023年，2月20日，星期一解：由t1,max=t2,max，并將a＝0.8代入得第45頁，共71頁，2023年，2月20日，星期一兩軸的重量比即為其橫截面面積之比：空心圓軸的自重比實(shí)心圓軸輕。實(shí)際應(yīng)用中，尚需考慮加工等因素。第46頁，共71頁，2023年，2月20日，星期一Ⅳ.

強(qiáng)度條件此處[t]為材料的許用切應(yīng)力。對(duì)于等直圓軸亦即

鑄鐵等脆性材料制成的等直圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)雖沿斜截面因拉伸而發(fā)生脆性斷裂，但因斜截面上的拉應(yīng)力與橫截面上的切應(yīng)力有固定關(guān)系，故仍可以切應(yīng)力和許用切應(yīng)力來表達(dá)強(qiáng)度條件。第47頁，共71頁，2023年，2月20日，星期一

[例8-5]

圖示階梯狀圓軸，AB段直徑d1=120mm，BC段直徑d2=100mm。扭轉(zhuǎn)力偶矩MA=22kN·m，MB=36kN·m，MC=14kN·m，材料的許用切應(yīng)力[t]=80MPa。試校核該軸的強(qiáng)度。第48頁，共71頁，2023年，2月20日，星期一BC段內(nèi)AB段內(nèi)解：1.繪扭矩圖2.求每段軸的橫截面上的最大切應(yīng)力第49頁，共71頁，2023年，2月20日，星期一3.校核強(qiáng)度需要指出的是，階梯狀圓軸在兩段的連接處仍有應(yīng)力集中現(xiàn)象，在以上計(jì)算中對(duì)此并未考核。

t2,max>t1,max，但有t2,max<[t]=80MPa，故該軸滿足強(qiáng)度條件。第50頁，共71頁，2023年，2月20日，星期一Ⅰ.扭轉(zhuǎn)時(shí)的變形等直圓桿的扭轉(zhuǎn)變形可用兩個(gè)橫截面的相對(duì)扭轉(zhuǎn)角(相對(duì)角位移)j來度量。MeADBCMejg8.3.4圓軸的扭轉(zhuǎn)變形第51頁，共71頁，2023年，2月20日，星期一

當(dāng)?shù)戎眻A桿相距l(xiāng)的兩橫截面之間，扭矩T及材料的切變模量G為常量時(shí)有

由前已得到的扭轉(zhuǎn)角沿桿長(zhǎng)的變化率(亦稱單位長(zhǎng)度扭轉(zhuǎn)角)為可知，桿的相距l(xiāng)的兩橫截面之間的相對(duì)扭轉(zhuǎn)角j為GI稱為抗扭剛度，反映軸抵抗變形的能力。r第52頁，共71頁，2023年，2月20日，星期一解：

1.各段軸的橫截面上的扭矩：

[例8-6]

圖示鋼制實(shí)心圓截面軸，已知：M1=1592N·m，M2=955N·m，M3=637N·m，lAB=300mm，lAC=500mm，d=70mm，鋼的切變模量G=80GPa。試求橫截面C相對(duì)于B的扭轉(zhuǎn)角jCB.第53頁，共71頁，2023年，2月20日，星期一3.橫截面C相對(duì)于B的扭轉(zhuǎn)角：2.各段軸的兩個(gè)端面間的相對(duì)扭轉(zhuǎn)角：第54頁，共71頁，2023年，2月20日，星期一[例8-7]

空心圓軸如圖，已知MA=150N.m，MB=50N.mMc=100N.m，材料G=80Gpa，試求（1）軸內(nèi)的最大剪應(yīng)力；（2）C截面相對(duì)A截面的扭轉(zhuǎn)角。解:1)畫扭矩圖。2)計(jì)算各段應(yīng)力:

f22

f18

f2410001000ABCMBMCMAABC150100MT/N.mAB段：N-mm-Mpa單位制N-mm-Mpa單位制第55頁，共71頁，2023年，2月20日，星期一故tmax=86.7Mpa3)計(jì)算扭轉(zhuǎn)角ACradGIlMGIlMBCBCTBCABABTABAC183.0=+=rrjBC段：N-mm-Mpa單位制ABC150100MT/N.m

f22

f18

f2410001000ABCMBMCMA第56頁，共71頁，2023年，2月20日，星期一Ⅱ.剛度條件式中的許可單位長(zhǎng)度扭轉(zhuǎn)角[j']的常用單位是(°)/m。此時(shí)，等直圓桿在扭轉(zhuǎn)時(shí)的剛度條件表示為：對(duì)于精密機(jī)器的軸[q]≈0.15~0.30(°)/m；對(duì)于一般的傳動(dòng)軸[q]≈2

(°)/m。第57頁，共71頁，2023年，2月20日，星期一解:1.按強(qiáng)度條件求所需外直徑D

[例8-8]

由45號(hào)鋼制成的某空心圓截面軸，內(nèi)、外直徑之比a=0.5。已知材料的許用切應(yīng)力[t]=40MPa，切變模量G=80GPa。軸的橫截面上扭矩的最大者為Tmax=9.56kN·m，軸的許可單位長(zhǎng)度扭轉(zhuǎn)角[q]=0.3(°)/m。試選擇軸的直徑。第58頁，共71頁，2023年，2月20日，星期一2.按剛度條件求所需外直徑D3.空心圓截面軸所需外直徑為D≥125.5mm(由剛度條件控制)，內(nèi)直徑則根據(jù)a=d/D=0.5知第59頁，共71頁，2023年，2月20日，星期一§8-5扭轉(zhuǎn)靜不定問題

[例8-9]

兩端固定的圓截面等直桿AB，在截面C處受扭轉(zhuǎn)力偶矩Me作用，如圖a。已知桿的扭轉(zhuǎn)剛度為GIp。試求桿兩端的約束力偶矩以及C截面的扭轉(zhuǎn)角。(a)第60頁，共71頁，2023年，2月20日，星期一

解:

1.有二個(gè)未知約束力偶矩MA,MB，但只有一個(gè)獨(dú)立的靜力平衡方程故為一次靜不定問題。(a)MAMB第61頁，共71頁，2023年，2月20日，星期一

2.B為固定端,因此(a)MAMB第62頁，共71頁，2023年，2月20日，星期一4