2023北京高三一模數(shù)學(xué)匯編：數(shù)列

第1頁/共1頁2023北京高三一模數(shù)學(xué)匯編數(shù)列1．（2023·北京海淀·統(tǒng)考一模）在等差數(shù)列中，，，則（

）A． B． C． D．2．（2023·北京石景山·統(tǒng)考一模）已知數(shù)列滿足：對任意的，都有，且，則（

）A． B． C． D．3．（2023·北京房山·統(tǒng)考一模）已知數(shù)列對任意滿足，且，則等于（

）A． B． C． D．4．（2023·北京朝陽·統(tǒng)考一模）已知項(xiàng)數(shù)為的等差數(shù)列滿足，．若，則k的最大值是（

）A．14 B．15 C．16 D．175．（2023·北京順義·統(tǒng)考一模）若等差數(shù)列和等比數(shù)列滿足，則的公差為（

）A．1 B． C． D．26．（2023·北京平谷·統(tǒng)考一模）設(shè)是首項(xiàng)為正數(shù)的等比數(shù)列,公比為則“”是“對任意的正整數(shù)”的A．充要條件 B．充分而不必要條件C．必要而不充分條件 D．既不充分也不必要條件7．（2023·北京石景山·統(tǒng)考一模）項(xiàng)數(shù)為的有限數(shù)列的各項(xiàng)均不小于的整數(shù)，滿足，其中.給出下列四個(gè)結(jié)論：①若，則；②若，則滿足條件的數(shù)列有4個(gè)；③存在的數(shù)列；④所有滿足條件的數(shù)列中，首項(xiàng)相同.其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是_________.8．（2023·北京海淀·統(tǒng)考一模）已知數(shù)列．給出兩個(gè)性質(zhì)：①對于中任意兩項(xiàng)，在中都存在一項(xiàng)，使得；②對于中任意連續(xù)三項(xiàng)，均有．(1)分別判斷以下兩個(gè)數(shù)列是否滿足性質(zhì)①，并說明理由：（i）有窮數(shù)列：；（ⅱ）無窮數(shù)列：．(2)若有窮數(shù)列滿足性質(zhì)①和性質(zhì)②，且各項(xiàng)互不相等，求項(xiàng)數(shù)m的最大值；(3)若數(shù)列滿足性質(zhì)①和性質(zhì)②，且，求的通項(xiàng)公式．9．（2023·北京房山·統(tǒng)考一模）如果數(shù)列對任意的，，則稱為“速增數(shù)列”.(1)判斷數(shù)列是否為“速增數(shù)列”？說明理由；(2)若數(shù)列為“速增數(shù)列”.且任意項(xiàng)，，求正整數(shù)k的最大值；(3)已知項(xiàng)數(shù)為（）的數(shù)列是“速增數(shù)列”，且的所有項(xiàng)的和等于k，若，，證明：.10．（2023·北京東城·統(tǒng)考一模）已知數(shù)表中的項(xiàng)互不相同，且滿足下列條件：①；②.則稱這樣的數(shù)表具有性質(zhì).(1)若數(shù)表具有性質(zhì)，且，寫出所有滿足條件的數(shù)表，并求出的值；(2)對于具有性質(zhì)的數(shù)表，當(dāng)取最大值時(shí)，求證：存在正整數(shù)，使得；(3)對于具有性質(zhì)的數(shù)表，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，求的最大值.11．（2023·北京石景山·統(tǒng)考一模）若無窮數(shù)列滿足以下兩個(gè)條件，則稱該數(shù)列為數(shù)列.①，當(dāng)時(shí)，；②若存在某一項(xiàng)，則存在，使得（且）.(1)若，寫出所有數(shù)列的前四項(xiàng)；(2)若，判斷數(shù)列是否為等差數(shù)列，請說明理由；(3)在所有的數(shù)列中，求滿足的的最小值.12．（2023·北京東城·統(tǒng)考一模）已知數(shù)列各項(xiàng)均為正數(shù)，，為其前n項(xiàng)和.若是公差為的等差數(shù)列，則______，______.

參考答案1．C【分析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，求出的值，即可得出，即可得解.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，則.故選：C.2．B【分析】根據(jù)對任意的，有，且，求得的值，即可得的值.【詳解】對任意的，都有，且，所以，則，所以.故選：B.3．D【分析】由數(shù)列遞推公式依次計(jì)算，，，，即可得答案.【詳解】由題意可得，，，，.故選：D4．B【分析】通過條件，，得到，再利用條件得到，進(jìn)而得到不等關(guān)系：，從而得到的最大值.【詳解】由，，得到，即，當(dāng)時(shí)，恒有，即，所以，由，得到，所以，，整理得到：，所以.故選：B5．A【分析】根據(jù)等差等比數(shù)列的通項(xiàng)公式轉(zhuǎn)化為首項(xiàng)與公比，公差的關(guān)系求解.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為，又又，故選：A6．C【詳解】試題分析：由題意得，，故是必要不充分條件，故選C.【考點(diǎn)】充要關(guān)系【名師點(diǎn)睛】充分、必要條件的三種判斷方法：①定義法：直接判斷“若p則q”、“若q則p”的真假．并注意和圖示相結(jié)合，例如“p?q”為真，則p是q的充分條件．②等價(jià)法：利用p?q與非q?非p，q?p與非p?非q，p?q與非q?非p的等價(jià)關(guān)系，對于條件或結(jié)論是否定式的命題，一般運(yùn)用等價(jià)法．③集合法：若A?B，則A是B的充分條件或B是A的必要條件；若A＝B，則A是B的充要條件．7．①②④【分析】根據(jù)有限數(shù)列的性質(zhì)，，及滿足，其中，利用不等式放縮，結(jié)合等比數(shù)列求和可得，即可確定的值，從而可判斷①③④的正誤，若，得，結(jié)合，求得的關(guān)系，根據(jù)不等式求得的范圍，一一列舉得數(shù)列，即可判斷②.【詳解】由于有限數(shù)列的各項(xiàng)均不小于的整數(shù)，所以，，又因?yàn)?，所以所以，且，為整?shù)，所以，故③不正確，④正確；當(dāng)時(shí)，得，所以，則，故①正確；當(dāng)時(shí)，得，因?yàn)?，所以，則，所以，為整數(shù)，則的可能取值為，對應(yīng)的的取值為，故數(shù)列可能為；；；，共4個(gè)，故②正確.故答案為：①②④.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：項(xiàng)數(shù)為的有限數(shù)列的性質(zhì)入手，從各項(xiàng)，結(jié)合不等式放縮，確定的范圍，從而得的值，逐項(xiàng)驗(yàn)證即可.8．(1)（i）不滿足，理由見詳解；（ⅱ）滿足，理由見詳解(2)3(3)【分析】（1）（i）令，代入求解即可判斷；（ⅱ）對于任意，直接相乘得到即可判斷；（2）對于有窮數(shù)列，記其非零項(xiàng)中絕對值最大的一項(xiàng)為，絕對值最小的一項(xiàng)為，令時(shí)，得到；再令時(shí)，得到，從而得到數(shù)列至多有0，-1，1共3項(xiàng)，再構(gòu)造數(shù)列：0，-1，1，證明其滿足性質(zhì)①和性質(zhì)②，進(jìn)而即可求得項(xiàng)數(shù)m的最大值；（3）首先證明：當(dāng)，時(shí)，數(shù)列滿足，且，(*)，再考慮，，三項(xiàng)，結(jié)合性質(zhì)(*)得到，從而，最后經(jīng)驗(yàn)證，數(shù)列：滿足條件，再通過反證法證明這是唯一滿足條件的數(shù)列即可．【詳解】（1）（i）不滿足．令，則不是數(shù)列{an}中的項(xiàng)，故有窮數(shù)列不滿足性質(zhì)①；（ⅱ）滿足．對于任意，有，由于，令即可，故無窮數(shù)列滿足性質(zhì)①．（2）對于有窮數(shù)列，記其非零項(xiàng)中絕對值最大的一項(xiàng)為，絕對值最小的一項(xiàng)為，故令時(shí)，存在一項(xiàng)，又是數(shù)列非零項(xiàng)中絕對值最大的，所以，即；再令時(shí)，存在一項(xiàng)，又是數(shù)列非零項(xiàng)中絕對值最小的，所以，即，又，所以數(shù)列所有非零項(xiàng)的絕對值均為1，又?jǐn)?shù)列的各項(xiàng)均不相等，所以其至多有0，-1，1共3項(xiàng)，所以，構(gòu)造數(shù)列：0，-1，1，其任意兩項(xiàng)乘積均為0，-1，1之一，滿足性質(zhì)①；其連續(xù)三項(xiàng)滿足，滿足性質(zhì)②.又其各項(xiàng)均不相等，所以該數(shù)列滿足條件，此時(shí)，綜上，的最大值為3．（3）首先證明：當(dāng)，時(shí)，數(shù)列滿足，且，(*)因?yàn)閷τ谌我鈹?shù)列的連續(xù)三項(xiàng)，，，總有，即或，不論是哪種情形，均有當(dāng)時(shí)，，即；當(dāng)時(shí)，，亦有，又，故性質(zhì)(*)得證．考慮，，三項(xiàng)，有或，若，則，此時(shí)令，有，由性質(zhì)(*)知不存在k使得，且，故只有，此時(shí)，因?yàn)椋?/p>

所以令時(shí)，，由性質(zhì)(*)知，只有或，當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)令，，但，即，由性質(zhì)(*)知不存在k使得，所以，即，從而，經(jīng)驗(yàn)證，數(shù)列：滿足條件，下面證這是唯一滿足條件的數(shù)列，假設(shè)是第一個(gè)不滿足上述通項(xiàng)公式的項(xiàng)，，當(dāng)，時(shí)，只能為，令，則，但，由性質(zhì)(*)，不存在k使得，當(dāng)，時(shí)，只能為，則，令，則，但，由性質(zhì)(*)，不存在k使得，故不存在不滿足上述通項(xiàng)公式的項(xiàng)，綜上，數(shù)列的通項(xiàng)公式為．【點(diǎn)睛】與數(shù)列的新定義有關(guān)的問題的求解策略：①通過給出一個(gè)新的數(shù)列的定義，或約定一種新的運(yùn)算，或給出幾個(gè)新模型來創(chuàng)設(shè)新問題的情景，要求在閱讀理解的基礎(chǔ)上，依據(jù)題目提供的信息，聯(lián)系所學(xué)的知識(shí)和方法，實(shí)心信息的遷移，達(dá)到靈活解題的目的；②遇到新定義問題，應(yīng)耐心讀題，分析新定義的特點(diǎn)，弄清新定義的性質(zhì)，按新定義的要求，“照章辦事”，逐條分析，運(yùn)算，驗(yàn)證，使得問題得以解決．9．(1)是，理由見解析(2)(3)證明見解析【分析】（1）計(jì)算，，，得到答案.（2）根據(jù)題意得到，，計(jì)算當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，得到答案.（3）證明，得到，得到，代入計(jì)算得到證明.【詳解】（1）因?yàn)?，則，，又，故，數(shù)列是“速增數(shù)列”.（2），當(dāng)時(shí)，，即，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故正整數(shù)k的最大值為.（3），故，即；，故，即，同理可得：，，，故，故，，得證.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查了數(shù)列的新定義問題，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力，轉(zhuǎn)化能力和綜合應(yīng)用能力，其中根據(jù)題意利用累加法的思想確定是解題的關(guān)鍵.10．(1)答案見解析(2)證明見解析(3)【分析】（1）根據(jù)題意寫出滿足性質(zhì)的所有數(shù)表，再分別計(jì)算即可；（2）根據(jù)題意，可知當(dāng)取最大值時(shí)，存在，使得，由數(shù)表具有性質(zhì)可得為奇數(shù)，不妨設(shè)此時(shí)數(shù)表為，再利用反證法證明即可；（3）結(jié)合性質(zhì)可得，，兩式相加可得得，結(jié)合，可得，構(gòu)造數(shù)表，結(jié)合性質(zhì)進(jìn)而可以求解.【詳解】（1）滿足條件的數(shù)表為，所以的值分別為5，5，6.（2）若當(dāng)取最大值時(shí)，存在，使得.由數(shù)表具有性質(zhì)可得為奇數(shù)，不妨設(shè)此時(shí)數(shù)表為.①若存在（為偶數(shù)，），使得，交換和的位置，所得到的新數(shù)表也具有性質(zhì)，調(diào)整后數(shù)表第一行和大于原數(shù)表第一行和，與題設(shè)矛盾，所以存在，使得.②若對任意的（為偶數(shù)，），都有，交換和的位置，所得到的新數(shù)表也具有性質(zhì)，此時(shí)轉(zhuǎn)化為①的情況.綜上可知，存在正整數(shù)，使得.（3）當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，令，，對任意具有性質(zhì)數(shù)表，一方面，，因此．①另一方面，，因此.②記．由①+②得.又，可得.構(gòu)造數(shù)表可知數(shù)表具有性質(zhì)，且.綜上可知，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，的最大值為.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：在證明抽象問題時(shí)，常常使用反證法：先設(shè)題設(shè)不成立，結(jié)合條件推出矛盾，即可說明題目成立.11．(1)數(shù)列的前四項(xiàng)為：；；；(2)數(shù)列為首項(xiàng)為1公差為4的等差數(shù)列，理由見解析(3)的最小值為【分析】（1）先根據(jù)條件①去絕對值可得或，由得，再根據(jù)條件逐個(gè)列舉即可；（2）由條件①知，當(dāng)時(shí)，或，由得，利用反證法假設(shè)數(shù)列中存在最小的正整數(shù)（），使得，根據(jù)單調(diào)性結(jié)合條件②可知假設(shè)不成立，即可得結(jié)論；（3）先根據(jù)條件②可得必為數(shù)列中的項(xiàng)，再結(jié)合條件①可得分析即可．【詳解】（1）由條件①知，當(dāng)時(shí)，或，因?yàn)?，由條件①知，所以數(shù)列的前四項(xiàng)為：；；；.（2）若，數(shù)列是等差數(shù)列由條件①知，當(dāng)時(shí)，或，因?yàn)椋约僭O(shè)數(shù)列中存在最小的正整數(shù)（），使得，則單調(diào)遞增，由則均為正數(shù)，且.所以.由條件②知，則存在，使得此時(shí)與均為正數(shù)矛盾，所以不存在整數(shù)（），使得，即.所以數(shù)列為首項(xiàng)為1公差為4的等差