2023屆湖南省寧鄉(xiāng)縣一中數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末考試試題含解析

2022-2023高二下數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項1．考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認(rèn)真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．在的展開式中，的冪指數(shù)是整數(shù)的共有A．3項 B．4項 C．5項 D．6項2．中，角、、的對邊分別為，，，若，三角形面積為，，則()A．7 B．8 C．5 D．63．從5位男教師和4位女教師中選出3位教師，派到3個班擔(dān)任班主任（每班1位班主任），要求這3位班主任中男、女教師都要有，則不同的選派方案共有（）A．210種 B．420種 C．630種 D．840種4．已知隨機(jī)變量，若，則，分別為（）A．和 B．和 C．和 D．和5．計算：（）A．﹣1 B．1 C．﹣8 D．86．圓與圓的位置關(guān)系是（）A．相交 B．內(nèi)切 C．外切 D．相離7．已知定義在上的連續(xù)奇函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，當(dāng)時，，則使得成立的的取值范圍是（）A． B． C． D．8．已知雙曲線的焦距為，其漸近線方程為，則焦點到漸近線的距離為（）A．1 B． C．2 D．9．已知數(shù)列的前項和為，，若，，則（）A． B．0 C．1 D．210．函數(shù)的最小正周期為（）A． B． C． D．11．已知e1，e2是單位向量，且e1?e2=0，向量a與eA．定值－1 B．定值1C．最大值1，最小值－1 D．最大值0，最小值－112．若一個直三棱柱的所有棱長都為1，且其頂點都在一個球面上，則該球的表面積為（）．A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知函數(shù)在R上為增函數(shù)，則a的取值范圍是______.14．己知復(fù)數(shù)和均是純虛數(shù)，則的模為________.15．極坐標(biāo)系中，曲線上的點到直線的距離的最大值是.16．湖結(jié)冰時，一個球漂在其上，取出后(未弄破冰)，冰面上留下了一個直徑為24cm,深為8cm的空穴，則該球的半徑為.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知，設(shè)命題：函數(shù)在上為減函數(shù)，命題：不等式對恒成立，若為假命題，為真命題，求的取值范圍.18．（12分）設(shè)函數(shù)f（x）＝｜3﹣2x｜+｜2x﹣a｜（1）當(dāng)a＝1時，求不等式f（x）≤3的解集；（2）若存在x∈R使得不等式f（x）≤t++2對任意t＞0恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．19．（12分）設(shè)．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的值．20．（12分）(1)設(shè)集合}，，且，求實數(shù)m的值.(2)設(shè)，是兩個復(fù)數(shù)，已知，，且·是實數(shù)，求.21．（12分）已知函數(shù).（1）求函數(shù)的定義域并判斷奇偶性；（2）若，求實數(shù)m的取值范圍.22．（10分）已知函數(shù).（1）若，求曲線在點處的切線方程；（2）討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】

根據(jù)題目，寫出二次項展開式的通項公式，即可求出的冪指數(shù)是整數(shù)的項的個數(shù)?！驹斀狻坑深}意知，要使的冪指數(shù)是整數(shù)，則必須是的倍數(shù)，故當(dāng)滿足條件。即的冪指數(shù)是整數(shù)的項共有項，故答案選D?！军c睛】本題主要考查二項式定理的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是熟記二項展開式的公式。2、A【解析】分析：由已知及三角形的面積公式可求bc，然后由a+b+c=20以及余弦定理，即可求a．詳解：由題意可得，S△ABC=bcsinA=bcsin60°∴bcsin60°=10∴bc=40∵a+b+c=20∴20﹣a=b+c．由余弦定理可得，a2=b2+c2﹣2bccos60°=（b+c）2﹣3bc=（20﹣a）2﹣120解得a=1．故選A．點睛：本題綜合考查正弦定理、余弦定理及三角形的面積公式等知識的綜合應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是靈活利用公式．考查計算能力．3、B【解析】依題意可得，3位實習(xí)教師中可能是一男兩女或兩男一女．若是一男兩女，則有種選派方案，若是兩男一女，則有種選派方案．所以總共有種不同選派方案，故選B4、C【解析】

利用二項分布的數(shù)學(xué)期望和方差公式求出和，然后利用期望和方差的性質(zhì)可求出和的值.【詳解】，，.，，由期望和方差的性質(zhì)可得，.故選：C.【點睛】本題考查均值和方差的求法，是基礎(chǔ)題，解題時要認(rèn)真審題，注意二項分布的性質(zhì)的合理運用．5、D【解析】

根據(jù)微積分基本定理，可直接求出結(jié)果.【詳解】.故選D【點睛】本題主要考查定積分，熟記微積分基本定理即可，屬于?？碱}型.6、C【解析】

據(jù)題意可知兩個圓的圓心分別為，；半徑分別為1和4；圓心距離為5，再由半徑長度與圓心距可判斷兩圓位置關(guān)系.【詳解】設(shè)兩個圓的半徑分別為和，因為圓的方程為與圓所以圓心坐標(biāo)為，圓心距離為5，由，可知兩圓外切，故選C.【點睛】本題考查兩圓的位置關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.7、C【解析】

根據(jù)時可得：；令可得函數(shù)在上單調(diào)遞增；利用奇偶性的定義可證得為偶函數(shù)，則在上單調(diào)遞減；將已知不等式變?yōu)椋鶕?jù)單調(diào)性可得自變量的大小關(guān)系，解不等式求得結(jié)果.【詳解】當(dāng)時，令，則在上單調(diào)遞增為奇函數(shù)為偶函數(shù)則在上單調(diào)遞減等價于可得：，解得：本題正確選項：【點睛】本題考查函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的綜合應(yīng)用問題，關(guān)鍵是能夠構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的符號確定所構(gòu)造函數(shù)的單調(diào)性，并且根據(jù)奇偶性的定義得到所構(gòu)造函數(shù)的奇偶性，從而將函數(shù)值的大小關(guān)系轉(zhuǎn)變?yōu)樽宰兞恐g的比較.8、A【解析】

首先根據(jù)雙曲線的焦距得到，再求焦點到漸近線的距離即可.【詳解】由題知：，，.到直線的距離.故選：A【點睛】本題主要考查雙曲線的幾何性質(zhì)，同時考查了點到直線的距離公式，屬于簡單題.9、C【解析】

首先根據(jù)得到數(shù)列為等差數(shù)列，再根據(jù)，即可算出的值.【詳解】因為，所以數(shù)列為等差數(shù)列.因為，所以...因為，所以.故選：C【點睛】本題主要考查等差數(shù)列的性質(zhì)，同時考查了等差中項，屬于簡單題.10、B【解析】

先利用二倍角的余弦公式化簡函數(shù)解析式，然后利用周期公式可求答案．【詳解】函數(shù)的最小正周期為：本題正確選項：【點睛】本題考查三角函數(shù)的周期性及其求法，考查二倍角的余弦公式，屬基礎(chǔ)題．11、A【解析】

由題意可設(shè)e1=(1,0),e【詳解】由題意設(shè)e1=(1,0),e2=(0,1)所以a-所以(x-1)2又a-2所以數(shù)量積a?故選：A．【點睛】本題考查平面向量基本定理以及模長問題，用解析法，設(shè)出向量的坐標(biāo)，用坐標(biāo)運算會更加方便。12、B【解析】

根據(jù)題意畫出其立體圖形.設(shè)此直三棱柱兩底面的中心分別為,則球心為線段的中點,利用勾股定理求出球的半徑,即可求得該球的表面積．【詳解】畫出其立體圖形:直三棱柱的所有棱長都為1,且每個頂點都在球的球面上，設(shè)此直三棱柱兩底面的中心分別為,則球心為線段的中點，設(shè)球的半徑為，在中是其外接圓半徑,由正弦定理可得:,,即在中∴球的表面積.故選:B.【點睛】本題主要考查空間幾何體中位置關(guān)系、球和正棱柱的性質(zhì).解決本題的關(guān)鍵在于能想象出空間圖形,并能準(zhǔn)確的判斷其外接球的球心就是上下底面中心連線的中點．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

由分段函數(shù)在R上為增函數(shù),則,進(jìn)而求解即可.【詳解】因為在上為增函數(shù),所以,解得,故答案為:【點睛】本題考查已知分段函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)范圍,考查指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用.14、1【解析】

通過純虛數(shù)的概念，即可求得，從而得到模長.【詳解】根據(jù)題意設(shè)，則，又為虛數(shù)，則，故，則，故答案為1.【點睛】本題主要考查純虛數(shù)及模的概念，難度不大.15、7【解析】試題分析：由線方程化為：，即，化為：，圓心坐標(biāo)為（－2,0），半徑為r＝2，直線方程化為：－8＝0，圓心到直線的距離為：＝5，所以，最大距離為：5＋2＝7.考點：1、極坐標(biāo)方程化為普通方程；2、點到直線的距離.16、13cm【解析】

設(shè)球半徑為R，則，解得，故答案為13.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、.【解析】

化簡命題可得，化簡命題可得，由為真命題，為假命題，可得一真一假，分兩種情況討論，對于真假以及假真分別列不等式組，分別解不等式組，然后求并集即可求得實數(shù)的取值范圍.【詳解】∵：函數(shù)在上為減函數(shù)，∴，即.∵：不等式對一切恒成立，∴或，即.∵為假命題，為真命題，∴，一真一假，若真假，則，此時不存在，若假真，則，解得或.∴的取值范圍為.【點睛】本題通過判斷或命題、且命題以及非命題的真假，綜合考查指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)以及不等式恒成立問題，屬于中檔題.解答非命題、且命題與或命題真假有關(guān)的題型時，應(yīng)注意：（1）原命題與其非命題真假相反；（2）或命題“一真則真”；（3）且命題“一假則假”.18、（1）；（2）【解析】

（1）解法一：利用分類討論法去掉絕對值，解對應(yīng)的不等式即可；解法二：利用分段函數(shù)表示f（x），作出y＝f（x）和直線y＝3的圖象，利用圖象求出不等式的解集；（2）由題意可得f（x）的最小值不大于t2的最小值，利用絕對值不等式求出f（x）的最小值，利用基本不等式求出t2的最小值，再列不等式求得實數(shù)a的取值范圍．【詳解】（1）解法一：當(dāng)a＝1時，f（x）＝|3﹣2x|+|2x﹣1|；當(dāng)x時，不等式f（x）≤3可化為：﹣2x+1﹣2x+3≤3，解得x，此時x；當(dāng)x時，不等式f（x）≤3可化為為：2x﹣1﹣2x+3≤3，此不等式恒成立，此時得x；當(dāng)x時，不等式f（x）≤3可化為：2x﹣1+2x﹣3≤3，解得得x，此時x，綜上知，x，即不等式的解集為[，]；解法二：利用分段函數(shù)表示f（x）；作出y＝f（x）和直線y＝3的圖象，如圖所示：由f（x）＝3解得：x或x，由圖象可得不等式的解集為[，]；（2）由f（x）＝|3﹣2x|+|2x﹣a|≥|3﹣2x+2x﹣a|＝|3﹣a|＝|a﹣3|，即f（x）的最小值為|a﹣3|，由t2≥22＝6，當(dāng)且僅當(dāng)t，即t＝2時，取等號，因為存在x∈R，使得不等式f（x）≤t2對任意t＞0恒成立，所以|a﹣3|≤6，解得﹣3≤a≤1；所以實數(shù)a的取值范圍是﹣3≤a≤1．【點睛】本題考查了含有絕對值的不等式的解法與應(yīng)用問題，也考查了不等式恒成立問題，是中檔題．19、（Ⅰ）16；（Ⅱ）1049.【解析】

（Ⅰ）賦值，令即可求出；（Ⅱ）分別令，兩式相加，可以求得，單獨求出，繼而求出．【詳解】(I)令,解得.(II)令,即,令,即,兩式相加，,而，故.【點睛】本題主要考二項式定理和賦值法的應(yīng)用．20、(1)或或(2)或【解析】

（1）解方程得到集合，再分別討論和兩種情況，即可得出結(jié)果；（2）先設(shè)，根據(jù)題中條件，得到，，即可求出結(jié)果.【詳解】解：(1)由解得：或∴，又∵∴當(dāng)時，此時符合題意.當(dāng)時，則.由得，所以或解得：或綜上所述：或或(2)設(shè)，∵∴，即①又，且，是實數(shù)，∴②由①②得，，或，∴或【點睛】本題主要考查由集合間的關(guān)系求參數(shù)的問題，以及復(fù)數(shù)的運算，熟記子集的概念，以及復(fù)數(shù)的運算法則即可，屬于?？碱}型.21、（1）見解析；（2）或.【解析】

（1）由，求得x的范圍，可得函數(shù)y＝f（x）定義域，由函數(shù)y＝f（x）的定義域關(guān)于原點對稱，且滿足f（﹣x）＝f（x），可得函數(shù)y＝f（x）為偶函數(shù)；（2）化簡函數(shù)f（x）的解析式為所，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性可得，不等式等價于，由此求得m的范圍．【詳解】（1）由得,所以的定義域為，又因為，所以偶函數(shù).（2）因為所以是[0，3）上的減函數(shù),又是偶函數(shù).故解得或.【點睛】本題主要考查求函數(shù)的定義域，函數(shù)的奇偶性的判斷，復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，屬于中檔題．22、（1）（2）當(dāng)時，函數(shù)的增區(qū)間是（0,1），減區(qū)間是；當(dāng)時，函數(shù)的增區(qū)間是和，減區(qū)間是；當(dāng)時，函數(shù)增區(qū)間是，沒有減區(qū)間；當(dāng)時，函數(shù)的增區(qū)間是（0,1）和，減區(qū)間是.【解析】

（1）求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，寫出切線方程的點斜式方程，整理化簡即可；（2）求導(dǎo)，根據(jù)參數(shù)對導(dǎo)數(shù)正負(fù)的影響對參數(shù)進(jìn)行分類討論，求得對應(yīng)的單調(diào)性和單調(diào)區(qū)間.【詳