2023屆湖南省邵東縣三中數(shù)學(xué)高二下期末教學(xué)質(zhì)量檢測試題含解析

2022-2023高二下數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項1．考生要認(rèn)真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知的分布列為-101設(shè)，則的值為（）A．4 B． C． D．12．—個盒子里裝有相同大小的紅球、白球共個,其中白球個.從中任取兩個,則概率為的事件是(

).A．沒有白球 B．至少有一個白球C．至少有一個紅球 D．至多有一個白球3．已知隨機變量，若，則的值為()A．0.1 B．0.3 C．0.6 D．0.44．設(shè)是不同的直線，是不同的平面，有以下四個命題：①若，則②若，，則③若，，則④若，，則.其中真命題的序號為（）A．①③ B．②③ C．①④ D．②④5．如圖，網(wǎng)格紙的小正方形的邊長是1，粗線表示一正方體被某平面截得的幾何體的三視圖，則該幾何體的體積為A．2 B．4 C．6 D．86．某生產(chǎn)廠家的年利潤（單位：萬元）與年產(chǎn)量（單位：萬件）的函數(shù)關(guān)系式為，則該生產(chǎn)廠家獲取的最大年利潤為（）A．300萬元 B．252萬元 C．200萬元 D．128萬元7．設(shè)隨機變量服從二項分布，則函數(shù)存在零點的概率是（）A． B． C． D．8．函數(shù)在上的極大值為（）A． B．0 C． D．9．若函數(shù)在上有小于的極值點，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．10．在上單調(diào)遞增，則實數(shù)的取值范圍為（）A． B．C． D．11．已知，集合，集合，則從M到N的函數(shù)個數(shù)是（）A．6561 B．3363 C．2187 D．21012．已知，，則=（）A．2 B．-2 C． D．3二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．平面向量a與b的夾角為45°，a=1,-1，→=114．函數(shù)在上的減區(qū)間為_____．15．若對任意，都有恒成立，則實數(shù)的取值范圍是_______________.16．袋中裝有10個形狀大小均相同的小球，其中有6個紅球和4個白球.從中不放回地依次摸出2個球，記事件“第一次摸出的是紅球”，事件“第二次摸出的是白球”，則______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在區(qū)間上任取一個數(shù)記為a，在區(qū)間上任取一個數(shù)記為b．若a，，求直線的斜率為的概率；若a，，求直線的斜率為的概率．18．（12分）已知四棱錐的底面為直角梯形，，，，，底面，為的中點.（1）求異面直線與所成角的余弦值；（2）設(shè)是棱上的一點，當(dāng)平面時，求直線與平面所成角的正弦值.19．（12分）已知函數(shù)(為自然對數(shù)的底數(shù)).(1)若,求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)在(1)的條件下，求函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值.20．（12分）如圖所示,在三棱柱中,是邊長為4的正方形,，.(l)求證:；(2)求二面角的余弦值．21．（12分）已知橢圓過點，且離心率為.（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）為橢圓的左、右頂點，直線與軸交于點，點是橢圓上異于的動點，直線分別交直線于兩點.證明：恒為定值.22．（10分）如圖，三棱柱中，平面平面，，．（Ⅰ）證明：；（Ⅱ）求直線與平面所成角的正弦值．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】

由的分布列，求出，再由，求得.【詳解】，因為，所以.【點睛】本題考查隨機變量的期望計算，對于兩個隨機變量，具有線性關(guān)系，直接利用公式能使運算更簡潔.2、B【解析】表示任取的兩個球中只有一個白球和兩個都是白球的概率，即至少有一個白球的概率.故選B.點睛：古典概型中基本事件數(shù)的探求方法(1)列舉法.(2)樹狀圖法：適合于較為復(fù)雜的問題中的基本事件的探求.對于基本事件有“有序”與“無序”區(qū)別的題目，常采用樹狀圖法.(3)列表法：適用于多元素基本事件的求解問題，通過列表把復(fù)雜的題目簡單化、抽象的題目具體化.(4)排列組合法：適用于限制條件較多且元素數(shù)目較多的題目.3、D【解析】

根據(jù)題意隨機變量可知其正態(tài)分布曲線的對稱軸，再根據(jù)正態(tài)分布曲線的對稱性求解，即可得出答案．【詳解】根據(jù)正態(tài)分布可知，故．故答案選D．【點睛】本題主要考查了根據(jù)正態(tài)分布曲線的性質(zhì)求指定區(qū)間的概率．4、D【解析】

由題意結(jié)合立體幾何的結(jié)論逐一考查所給的說法是否正確即可.【詳解】逐一考查所給的命題：①如圖所示，正方體中，取平面為平面，平面，直線為，滿足，，但是不滿足，題中所給的命題錯誤；②由面面垂直的性質(zhì)定理可知若，，則，題中所給的命題正確；③如圖所示，正方體中，取平面為，直線為，直線為，滿足，，但是，不滿足，題中所給的命題錯誤；④由面面垂直的性質(zhì)定理可知若，，則，題中所給的命題正確.綜上可得：真命題的序號為②④.本題選擇D選項.【點睛】本題考查了空間幾何體的線面位置關(guān)系判定與證明：（1）對于異面直線的判定要熟記異面直線的概念：把既不平行也不相交的兩條直線稱為異面直線；（2）對于線面位置關(guān)系的判定中，熟記線面平行與垂直、面面平行與垂直的定理是關(guān)鍵.5、B【解析】

由題意，直觀圖如圖所示，由圖可知該幾何體的體積為為正方體的一半．【詳解】由題意，直觀圖如圖所示，由圖可知該幾何體的體積為為正方體的一半，即為2×2×2＝1．故選B．【點睛】本題考查由三視圖求體積，考查學(xué)生的計算能力，確定幾何體的形狀是關(guān)鍵．6、C【解析】

求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，得到函數(shù)的單調(diào)性，進而求解函數(shù)的最大值，即可得到答案.【詳解】由題意，函數(shù)，所以，當(dāng)時，，函數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù)；當(dāng)時，，函數(shù)為單調(diào)遞減函數(shù)，所以當(dāng)時，有最大值，此時最大值為200萬元，故選C.【點睛】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與最值問題，其中解答中熟記函數(shù)的導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的應(yīng)用，準(zhǔn)確判定函數(shù)的單調(diào)性是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與計算能力，屬于基礎(chǔ)題.7、C【解析】

因為函數(shù)存在零點，所以..【詳解】∵函數(shù)存在零點，∴，∴.∵服從，∴.故選【點睛】本題主要考查獨立重復(fù)試驗的概率求法以及二項分布，熟記公式是解題的關(guān)鍵，屬于簡單題.8、A【解析】

先算出，然后求出的單調(diào)性即可【詳解】由可得當(dāng)時，單調(diào)遞增當(dāng)時，單調(diào)遞減所以函數(shù)在上的極大值為故選：A【點睛】本題考查的是利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值，較簡單.9、B【解析】

先對函數(shù)求導(dǎo)，令導(dǎo)函數(shù)等于0，在上有小于的極值點等價于導(dǎo)函數(shù)有小于0的根．【詳解】由因為在上有小于的極值點，所以有小于0的根，由的圖像如圖：可知有小于0的根需要，所以選擇B【點睛】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)極值的問題．屬于基礎(chǔ)題．10、D【解析】

利用函數(shù)在連續(xù)可導(dǎo)且單調(diào)遞增，可得導(dǎo)函數(shù)在大于等于0恒成立即可得到的取值范圍．【詳解】因為函數(shù)在連續(xù)可導(dǎo)且單調(diào)遞增，所以在恒成立，分離參數(shù)得恒成立，即，故選D．【點睛】本題考查函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增等價于在該區(qū)間內(nèi)恒成立．11、C【解析】

由（1+x）8＝a0+a1x+a2x2+…+a77x+a8x8，可得a0＝a8＝1，a2＝a6＝28，a4＝1．即可得集合有7個元素，利用函數(shù)定義可得從M到N的函數(shù)個數(shù)．【詳解】解：由，可得，，．∴，共7個元素，則從M到N的函數(shù)個數(shù)是．故選：C．【點睛】本題主要考查二項式定理的應(yīng)用，及函數(shù)定義，屬于中檔題．12、C【解析】

首先根據(jù)題中所給的函數(shù)解析式，求得，之后根據(jù)，從而求得，得到結(jié)果.【詳解】根據(jù)題意，可知，所以，所以，故選C.【點睛】該題考查的是有關(guān)分段函數(shù)根據(jù)函數(shù)值求參數(shù)的問題，在解題的過程中，首先求得，利用內(nèi)層函數(shù)的函數(shù)值等于外層函數(shù)的自變量，代入函數(shù)解析式求得結(jié)果.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、10.【解析】

分析：先計算|a|，再利用向量模的公式求詳解：由題得|a所以a故答案為：10.點睛：(1)本題主要考查向量的模的計算，意在考查學(xué)生對這些知識的掌握水平和基本計算能力.(2)若a=(x,y)，則a14、【解析】

利用兩角和差的正弦公式化簡函數(shù)的解析式為,結(jié)合正弦函數(shù)圖像,即可求得函數(shù)的減區(qū)間.【詳解】函數(shù)根據(jù)正弦函數(shù)減區(qū)間可得:,解得:,故函數(shù)的減區(qū)間為:再由,可得函數(shù)的減區(qū)間為故答案為:【點睛】本題主要考查三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的求法,利用正弦函數(shù)的圖像和性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵,考查了計算能力,屬于基礎(chǔ)題.15、【解析】

根據(jù)（）代入中求得的最大值，進而得到實數(shù)的取值范圍?！驹斀狻恳驗?，所以（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號）；所以，即的最大值為，即實數(shù)的取值范圍是；故答案為：【點睛】本題考查不等式恒成立問題的解題方法，解題關(guān)鍵是利用基本不等式求出的最大值，屬于中檔題。16、【解析】

首先第一次摸出紅球為事件，第二次摸出白球為事件，分別求出，利用條件概率公式，即可求解．【詳解】由題意，事件A“第一次摸到紅球”的概率為：，又由“第一次摸到紅球且第二次摸到白球”的概率為，根據(jù)條件概率公式，可得，故答案為．【點睛】本題主要考查了概率的計算方法，主要是考查了條件概率與獨立事件的理解，屬于中檔題．看準(zhǔn)確事件之間的聯(lián)系，正確運用公式，是解決本題的關(guān)鍵，著重考查了推理與運算能力．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）.【解析】

，2，3，4，1，6，，2，3，4，1，基本事件總數(shù)，再列出滿足條件的基本事件有6個，由古典概型概率計算公式求解；有序?qū)崝?shù)對滿足，而滿足直線的斜率為，即，畫出圖形，由測度比是面積比得答案．【詳解】解：在區(qū)間上任取一個數(shù)記為a，在區(qū)間上任取一個數(shù)記為b，a，，，2，3，4，1，6，，2，3，4，1．基本事件總數(shù)，直線的斜率為，即，也就是，滿足條件的基本事件有6個，分別是：，，，，，，直線的斜率為的概率；在區(qū)間上任取一個數(shù)記為a，在區(qū)間上任取一個數(shù)記為b，a，，有序?qū)崝?shù)對滿足，而滿足直線的斜率為，即，如圖：，．直線的斜率為的概率．【點睛】本題考查概率的求法，注意列舉法和幾何概型的合理運用，是中檔題．18、（1）;（2）.【解析】

以點為坐標(biāo)原點，以直線，，分別為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系（1）由可得異面直線與所成角的余弦值．（2）當(dāng)平面時，設(shè)，要使平面，只需即可．即可得即為的中點，即，由即可求得直線與平面所成角的正弦值．【詳解】解：以點為坐標(biāo)原點，以直線，，分別為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系.則，，，，，.（1），．則異面直線與所成角的余弦值為．（2）當(dāng)平面時，設(shè).，，，面．要使平面，只需即可．，．即為的中點，即,，平面的法向量為，則．直線與平面所成角的正弦值為.【點睛】本題考查了異面直線所成角，考查了線面角.本題的易錯點是第二問中，錯把當(dāng)成了線面角.19、(1)單調(diào)遞增區(qū)間為，；單調(diào)遞減區(qū)間為；(2)見解析．【解析】

（1）將代入函數(shù)中，求出導(dǎo)函數(shù)大于零求出遞增區(qū)間，導(dǎo)函數(shù)小于零求出遞減區(qū)間；（2）分為和和三種情況分別判斷在上的單調(diào)性，然后求出最大值和最小值．【詳解】（1）若，則，求導(dǎo)得．因為，令，即，解得或令，即，解得∴函數(shù)在和上遞增，在上遞減．即函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，；單調(diào)遞減區(qū)間為（2）①當(dāng)時，∵在上遞減，∴在區(qū)間上的最大值為，在區(qū)間上的最小值為．②當(dāng)時，∵在上遞減，在上遞增，且，∴在上的最大值為，在區(qū)間上的最小值為．③當(dāng)時，∵在上遞減，在上遞增，且，∴在上的最大值為，在區(qū)間上的最小值為．【點睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和最值，考查了轉(zhuǎn)化思想和分類討論思想，屬中檔題．20、（1）見解析；（2）【解析】

（1）利用線面垂直的判定定理，證得平面，即可得到；（2）以為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，求得平面和平面的法向量，利用向量的夾角公式，即可求解.【詳解】（1）證明：因為是邊長為4的正方形，所以，又，，由線面垂直的判定定理，可得平面ABC，所以.（2）在中，有，所以，分別以AC，AB，為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，，，設(shè)平面的法向量為，則，取，則，同理得平面的法向量，設(shè)二面角的平面角為，則.【點睛】本題考查了直線與平面垂直判定與證明，以及空間角的求解問題，考查學(xué)生的空間想象能力和邏輯推理能力，解答中熟記線面位置關(guān)系的判定定理和性質(zhì)定理，通過嚴(yán)密推理是線面位置關(guān)系判定的關(guān)鍵，同時對于立體幾何中角的計算問題，往往可以利用空間向量法，通過求解平面的法向量，利用向量的夾角公式求解.21、（Ⅰ）.（Ⅱ）為定值.證明見解析．【解析】本試題主要是考出了橢圓方程的求解，橢圓的幾何性質(zhì)，直線與橢圓的位置關(guān)系的運用的綜合考查，體現(xiàn)了運用代數(shù)的方法解決解析幾何的本質(zhì)的運用．（1）首先根據(jù)題意的幾何性質(zhì)來表示得到關(guān)于a,b,c的關(guān)系式，從而得到其橢圓的方程．（2設(shè)出直線方程，設(shè)點P的坐標(biāo)，點斜式得到AP的方程，然后聯(lián)立方程組，可知借助于韋達(dá)定理表示出長度，進而證明為定值．（Ⅰ）解：由題意可知，，，解得.…………4分所以橢圓的方程為.…………5分（Ⅱ）證明：由（Ⅰ）可知,，.設(shè)，依題意，于是直線的方程為，令，則.即.…………7分又直線的方程為，令，則，即.…………9分…………11分