2023屆湖南省長沙市地質中學數(shù)學高二下期末學業(yè)水平測試模擬試題含解析

2022-2023高二下數(shù)學模擬試卷注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知函數(shù)f（x）＝（3x﹣2）ex+mx﹣m（m≥﹣1），若有且僅有兩個整數(shù)使得f（x）≤0，則實數(shù)m的取值范圍是（）A．（，2] B．[，）C．[，） D．[﹣1，）2．奇函數(shù)在區(qū)間上單調遞減，且，則不等式的解集是（）A． B．C． D．3．已知復數(shù)滿足（為虛數(shù)單位），則共軛復數(shù)等于（）A． B． C． D．4．設p：實數(shù)x，y滿足(x－1)2＋(y－1)2≤2，q：實數(shù)x，y滿足則p是q的()A．必要不充分條件B．充分不必要條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件5．在平面直角坐標系中，不等式組x+y≤0x-y≤0x2+y2≤r2(rA．－1B．－5C．13D．－6．甲、乙、丙、丁四名同學組成一個4×100米接力隊，老師要安排他們四人的出場順序，以下是他們四人的要求:甲：我不跑第一棒和第二棒；乙：我不跑第一棒和第四棒；丙：我也不跑第一棒和第四棒；?。喝绻也慌艿诙簦揖筒慌艿谝话?老師聽了他們四人的對話，安排了一種合理的出場順序，滿足了他們的所有要求，據(jù)此我們可以斷定在老師安排的出場順序中跑第三棒的人是()A．甲 B．乙 C．丙 D．丁7．通過隨機詢問111名性別不同的中學生是否愛好運動，得到如下的列聯(lián)表：男女總計愛好412131不愛好212151總計3151111由得，1．1511．1111．1112．8413．32511．828參照附表，得到的正確結論是（）A．在犯錯誤的概率不超過1.111的前提下，認為“愛好運動與性別有關”B．在犯錯誤的概率不超過1.11的前提下，認為“愛好運動與性別有關”C．在犯錯誤的概率不超過1.111的前提下，認為“愛好運動與性別無關”D．有以上的把握認為“愛好運動與性別無關”8．在的展開式中，的系數(shù)等于A．280 B．300 C．210 D．1209．已知直線l過點P(1,0,－1)，平行于向量，平面過直線l與點M(1,2,3)，則平面的法向量不可能是（）A．(1,－4,2) B． C． D．(0,－1,1)10．甲、乙兩位同學將高三6次物理測試成績做成如圖所示的莖葉圖加以比較（成績均為整數(shù)滿分100分），乙同學對其中一次成績記憶模糊，只記得成績不低于90分且不是滿分，則甲同學的平均成績超過乙同學的平均成績的概率為（）A． B． C． D．11．已知雙曲線的一條漸近線方程為，則此雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．12．若函數(shù)f（x）=有最大值，則a的取值范圍為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．函數(shù)為上的奇函數(shù)，若對任意的且，都有，已知，則不等式的解集為______.14．已知，在函數(shù)與的圖象的交點中，距離最短的兩個交點的距離為，則值為__________．15．已知頂點在原點的拋物線的焦點與橢圓的右焦點重合，則拋物線的方程為______．16．已知定義在上的函數(shù)滿足（其中為的導函數(shù)）且，則不等式的解集是__________．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)，其中為實數(shù).（1）求函數(shù)的單調區(qū)間；（2）若函數(shù)有兩個極值點，求證：.18．（12分）已知函數(shù)．（1）若，證明：；（2）若只有一個極值點，求的取值范圍．19．（12分）已知橢圓的離心率，左、右焦點分別為，且與拋物線的焦點重合.（1）求橢圓的標準方程；（2）若過的直線交橢圓于兩點，過的直線交橢圓于兩點，且，求的最小值.20．（12分）已知．（Ⅰ）討論的單調性；（Ⅱ）當時，證明對于任意的成立．21．（12分）（遼寧省葫蘆島市2018年二模）直角坐標系中，直線的參數(shù)方程為(為參數(shù))，在極坐標系（與直角坐標系取相同的長度單位，且以原點為極點，以軸正半軸為極軸）中，圓的方程為.（1）求圓的直角坐標方程；（2）設圓與直線交于點，若點的坐標為，求的最小值.22．（10分）把6本不同的書，全部分給甲，乙，丙三人，在下列不同情形下，各有多少種分法？（用數(shù)字作答）(Ⅰ)甲得2本；(Ⅱ)每人2本；(Ⅲ)有1人4本，其余兩人各1本．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】

設，利用導數(shù)研究其單調性，作出圖象，再由恒過定點，數(shù)形結合得到答案．【詳解】設，，則，，，單調遞減，，，單調遞增，，取最小值，直線過定點，而，，要使有且僅有兩個整數(shù)使得，則，即實數(shù)的取值范圍為.故選B項.【點睛】本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，考查函數(shù)零點的判定，屬于中檔題.2、A【解析】

根據(jù)函數(shù)為奇函數(shù)，以及上的單調性，判斷出上的單調性，求得的值，對分為四種情況討論，由此求得不等式的解集，進而求得的解集.【詳解】由于函數(shù)為奇函數(shù)，且在上遞減，故在上遞減，由于，所以當或時，；當或時，.所以當或時.故當或即或時，.所以不等式的解集為.故本小題選A.【點睛】本小題主要考查函數(shù)的奇偶性、單調性，考查函數(shù)變換，考查含有函數(shù)符號的不等式的解法，屬于中檔題.3、D【解析】試題分析：由題意得考點：復數(shù)運算4、A【解析】試題分析：畫圓：(x–1)2+(y–1)2=2，如圖所示，則(x–1)2+(y–1)2≤2表示圓及其內部，設該區(qū)域為M.畫出表示的可行域，如圖中陰影部分所示，設該區(qū)域為N.可知N在M內，則p是q的必要不充分條件.故選A.【考點】充要條件的判斷，線性規(guī)劃【名師點睛】本題考查充分性與必要性的判斷問題，首先是分清條件和結論，然后考察條件推結論，結論推條件是否成立.這類問題往往與函數(shù)、三角、不等式等數(shù)學知識相結合．本題的條件與結論可以轉化為平面區(qū)域的關系，利用充分性、必要性和集合的包含關系得出結論．5、D【解析】作出不等式組表示的平面區(qū)域，如圖所示，由題意，知14πr2=π，解得r=2．因為目標函數(shù)z=x+y+1x+3=1+y-2x+3表示區(qū)域內上的點與點P(-3,2)連線的斜率加上1，由圖知當區(qū)域內的點與點P的連線與圓相切時斜率最?。O切線方程為y-2=k(x+3)，即6、C【解析】

跑第三棒的只能是乙、丙中的一個，當丙跑第三棒時，乙只能跑第二棒，這時丁跑第一棒，甲跑第四棒，符合題意；當乙跑第三棒時，丙只能跑第二棒，這里四和丁都不跑第一棒，不合題意．【詳解】由題意得乙、丙均不跑第一棒和第四棒，∴跑第三棒的只能是乙、丙中的一個，當丙跑第三棒時，乙只能跑第二棒，這時丁跑第一棒，甲跑第四棒，符合題意；當乙跑第三棒時，丙只能跑第二棒，這里四和丁都不跑第一棒，不合題意．故跑第三棒的是丙．故選：C．【點睛】本題考查推理論證，考查簡單的合情推理等基礎知識，考查運算求解能力、分析判斷能力，是基礎題．7、B【解析】

試題分析：根據(jù)列聯(lián)表數(shù)據(jù)得到7.8，發(fā)現(xiàn)它大于3.325，得到有99%以上的把握認為“愛好這項運動與性別有關”，從而可得結論．解：∵7.8＞3.325，∴有1.11=1%的機會錯誤，即有99%以上的把握認為“愛好這項運動與性別有關”故選B．點評：本題考查獨立性檢驗的應用，考查利用臨界值，進行判斷，是一個基礎題8、D【解析】

根據(jù)二項式定理，把每一項里的系數(shù)單獨寫下來，然后相加，再根據(jù)組合數(shù)性質，化簡求值．【詳解】解：在的展開式中，項的系數(shù)為．故選D．【點睛】本題主要考查二項式定理展開以及利用組合數(shù)性質進行化簡求值．9、D【解析】試題分析：由題意可知，所研究平面的法向量垂直于向量，和向量，而=（1，2，3）-（1，0，-1）=（0，2，4），選項A，（2，1，1）（1，-4，2）=0，（0，2，4）（1，-4，2）=0滿足垂直，故正確；選項B，（2，1，1）（，-1，）=0，（0，2，4）（，-1，）=0滿足垂直，故正確；選項C，（2，1，1）（-，1，?）=0，（0，2，4）（-，1，?）=0滿足垂直，故正確；選項D，（2，1，1）（0，-1，1）=0，但（0，2，4）（0，-1，1）≠0，故錯誤．考點：平面的法向量10、C【解析】

首先求得甲的平均數(shù)，然后結合題意確定污損的數(shù)字可能的取值，最后利用古典概型計算公式求解其概率值即可.【詳解】由題意可得：，設被污損的數(shù)字為x，則：，滿足題意時，，即：，即x可能的取值為,結合古典概型計算公式可得滿足題意的概率值：.故選C.【點睛】本題主要考查莖葉圖的識別與閱讀，平均數(shù)的計算方法，古典概型計算公式等知識，意在考查學生的轉化能力和計算求解能力.11、B【解析】

由漸近線方程得出的值，結合可求得【詳解】∵雙曲線的一條漸近線方程為，∴，∴，解得，即離心率為．故選：B．【點睛】本題考查雙曲線的漸近線和離心率，解題時要注意，要與橢圓中的關系區(qū)別開來．12、B【解析】

分析函數(shù)每段的單調性確定其最值，列a的不等式即可求解.【詳解】由題,單調遞增，故單調遞減，故,因為函數(shù)存在最大值，所以解.故選B.【點睛】本題考查分段函數(shù)最值，函數(shù)單調性，確定每段函數(shù)單調性及最值是關鍵，是基礎題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

根據(jù)題意，可得函數(shù)在上的單調性，結合可得在上的符號，利用函數(shù)的奇偶性可得在上，，則上，，即可分析的解，可得答案．【詳解】根據(jù)題意，若對任意的，且，都有，

則在上為增函數(shù)，

又由，則在上，，則在上，，

又由為奇函數(shù)，則在上，，則上，，

或，即或或或

解得：，

即不等式的解集為；

故答案為：【點睛】本題主要考查函數(shù)的奇偶性與單調性的綜合應用，涉及不等式的解法，屬于中檔題．14、【解析】由題意，令，，則，所以，，即，當，；當，，如圖所示，由勾股定理得，解得.15、【解析】

求得拋物線的右焦點坐標，由此求得拋物線方程.【詳解】橢圓的，故，故，所以橢圓右焦點的坐標為，故，所以，所以拋物線的方程為.故答案為：【點睛】本小題主要考查橢圓焦點的計算，考查根據(jù)拋物線的焦點計算拋物線方程，屬于基礎題.16、【解析】分析：根據(jù)題意，令g（x）=，對其求導可得g′（x），分析可得g′（x）＜0，即函數(shù)g（x）為減函數(shù)；結合f（1）=e可得g（1）=，則不等式f（x）＞ex?＞1?g（x）＞1?g（x）＞g（1），借助函數(shù)的單調性分析可得答案．詳解：根據(jù)題意，令g（x）=，則其導數(shù)g′（x）=，又由f′（x）＜f（x），則有g′（x）＜0，即函數(shù)g（x）為減函數(shù)；且g（1）=；則不等式f（x）＞ex?＞1?g（x）＞1?g（x）＞g（1），又由函數(shù)g（x）為減函數(shù)，則有x＜1；則不等式f（x）＞ex的解集為（-∞,1）；故答案為：．點睛：（1）本題主要考查利用導數(shù)求函數(shù)的單調性和解不等式，意在考查學生對這些知識的掌握水平和分析推理轉化能力.(2)解答本題的關鍵是構造函數(shù)g（x）=求其單調性,再利用單調性解不等式g（x）＞g（1）.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）見解析；（2）證明見解析【解析】

（1）計算導數(shù)，采用分類討論的方法，，與，根據(jù)導數(shù)的符號判定原函數(shù)的單調性，可得結果.（2）根據(jù)（1）的結論，可得，然后構造新函數(shù)，通過導數(shù)研究新函數(shù)的單調性，并計算最值，然后與比較大小，可得結果.【詳解】（1）函數(shù)的定義域為，①若，即時，則，此時的單調減區(qū)間為；②若，時，令的兩根為，，，所以的單調減區(qū)間為，，單調減區(qū)間為.③當時，，，此時的單調增區(qū)間為，單調減區(qū)間為.（2）當時，函數(shù)有兩個極值點，且，.則則要證，只需證.構造函數(shù)，則，在上單調遞增，又，，且在定義域上不間斷，由零點存在定理可知：在上唯一實根，且.則在上遞減，上遞增，所以的最小值為.因為，當，，則，所以恒成立.所以，所以，得證.【點睛】本題考查導數(shù)的綜合應用，難點在于分類討論思想的應用，同時掌握構造函數(shù)，化繁為簡，考驗分析能力以及極強的邏輯推理能力，綜合性較強，屬難題.18、（1）詳見解析；（2）.【解析】

（1）將代入，可得等價于，即，令，求出，可得的最小值，可得證；（2）分，三種情況討論，分別對求導，其中又分①若②③三種情況，利用函數(shù)的零點存在定理可得a的取值范圍.【詳解】解：（1）當時，等價于，即；設函數(shù)，則，當時，；當時，．所以在上單調遞減，在單調遞增．故為的最小值，而，故，即．（2），設函數(shù)，則；（i）當時，，在上單調遞增，又，取b滿足且，則，故在上有唯一一個零點，且當時，，時，，由于，所以是的唯一極值點；（ii）當時，在上單調遞增，無極值點；（iii）當時，若時，；若時，．所以在上單調遞減，在單調遞增．故為的最小值，①若時，由于，故只有一個零點，所以時，因此在上單調遞增，故不存在極值；②若時，由于，即，所以，因此在上單調遞增，故不存在極值；③若時，，即．又，且，而由（1）知，所以，取c滿足，則故在有唯一一個零點，在有唯一一個零點；且當時，當時，，當時，由于，故在處取得極小值，在處取得極大值，即在上有兩個極值點．綜上，只有一個極值點時，的取值范圍是【點睛】本題主要考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性及利用導數(shù)研究函數(shù)的極值，及函數(shù)的零點存在定理，注意分類討論思想的運用.19、（1）橢圓的標準方程為；（2）的最小值為.【解析】試題分析：（1）由題可知）拋物線的焦點為，所以，然后根據(jù)離心率可得a值，從而得出橢圓標準方程（2）根據(jù)題意則需求出AC和BD的長度表達式，顯然可以根據(jù)直線與橢圓的弦長公式求得，所以設，，直線的方程為，代入橢圓方程，，同理求出AC的長度，然后化簡即得.解析：（1）拋物線的焦點為，所以，又因為，所以，所以，所以橢圓的標準方程為.（2）（i）當直線的斜率存在且時，直線的方程為，代入橢圓方程，并化簡得.設，，則，，.易知的斜率為，所以..當，即時，上式取等號，故的最小值為.（ii）當直線的斜率不存在或等于零時，易得.綜上，的最小值為.點睛：本題要熟悉橢圓標準方程的求解、直線與橢圓的位置關系問題，在求解橢圓中的最值問題時務必先求出表達式結合不等式即可得出結論，同時直線與橢圓的弦長公式也要非常熟悉20、（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）見解析【解析】試題分析：（Ⅰ）求的導函數(shù)，對a進行分類討論，求的單調性；（Ⅱ）要證對于任意的成立，即證，根據(jù)單調性求解.試題解析：（Ⅰ）的定義域為；.當，時，，單調遞增；，單調遞減.當時，.（1），，當或時，，單調遞增；當時，，單調遞減；（2）時，，在內，，單調遞增；（3）時，，當或時，，單調遞增；當時，，單調遞減.綜上所述，當時，函數(shù)在內單調遞增，在內單調遞減；當時，在內單調遞增，在內單調遞減，在內單調遞增；當時，在內單調遞增；當，在內單調遞增，在內單調遞減，在內單調遞增.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，時，，，令，.則，由可得，當且僅當時取得等號.又，設，則在單調遞減，因為，所以在上存在使得時，時，，所以函數(shù)在上單調遞增；在上單調遞減，由于，因此，當且僅當取得等號，所以，即對于任意的恒成立?！究键c】利用導函數(shù)判斷函數(shù)的單調性，分類討論思想.【名師點睛】本題主要考查導數(shù)的計算、應用導數(shù)研究函數(shù)的單調性、分類討論思想.本題覆蓋面廣，對考生計算能力要求較高，是一道難題.解答本題，準確求導數(shù)是基礎，恰當分類討論是關鍵，易錯點是分類討論不全面、不徹底、不恰當，或因復雜式子變形能力差，而錯誤百出.本題能較好地考查考生的邏輯思維能力、基本計算能力、分類討論思想等.21、（1）（2）.