2023屆江蘇省宿遷市新陽中學數(shù)學高二第二學期期末檢測模擬試題含解析

2022-2023高二下數(shù)學模擬試卷注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區(qū)域內。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知數(shù)列的前項和為，且，若，則（）A． B． C． D．2．在中，角的對邊分別是，若，則的值為（）A．1 B． C． D．3．小趙、小錢、小孫、小李到個景點旅游，每人只去一個景點，設事件“個人去的景點彼此互不相同”，事件“小趙獨自去一個景點”，則（）A． B． C． D．4．已知函數(shù)在處取得極值，對任意恒成立，則A． B． C． D．5．設變量x，y滿足約束條件，則目標函數(shù)的最大值為（）A．4 B．6 C．8 D．106．展開式中的系數(shù)為（）A． B． C． D．607．轉化為弧度數(shù)為（）A． B． C． D．8．若身高和體重的回歸模型為，則下列敘述正確的是（）A．身高與體重是負相關 B．回歸直線必定經過一個樣本點C．身高的人體重一定時 D．身高與體重是正相關9．設集合，，，則中的元素個數(shù)為（）A． B． C． D．10．在等差數(shù)列中，，，則的前10項和為（）A．-80 B．-85 C．-88 D．-9011．若一個直三棱柱的所有棱長都為1，且其頂點都在一個球面上，則該球的表面積為（）．A． B． C． D．12．在等差數(shù)列中，是函數(shù)的兩個零點，則的前10項和等于（）A． B．15 C．30 D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知直線的極坐標方程為，為極點，點在直線上，線段上的點滿足，則點的軌跡的極坐標方程為_______________.14．在平面直角坐標系中，拋物線的焦點為，準線為，，過拋物線上一點作的垂線，垂足為，與相交于點.若，且的面積為，則的值為______.15．甲乙兩人組隊參加猜謎語大賽，比賽共兩輪，每輪比賽甲乙兩人各猜一個謎語，已知甲猜對每個謎語的概率為，乙猜對每個謎語的概率為，甲、乙在猜謎語這件事上互不影響，則比賽結束時，甲乙兩人合起來共猜對三個謎語的概率為__________16．若曲線經過T變換作用后縱坐標不變、橫坐標變?yōu)樵瓉淼?倍，則T變換所對應的矩陣_____.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖為某一幾何體的展開圖，其中是邊長為的正方形，，點及共線.(1)沿圖中虛線將它們折疊起來，使四點重合，請畫出其直觀圖，試問需要幾個這樣的幾何體才能拼成一個棱長為的正方體?(2)設正方體的棱的中點為，求平面與平面所成二面角(銳角)的余弦值.(3)在正方體的邊上是否存在一點，使得點到平面的距離為，若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.18．（12分）已知函數(shù)，．（1）當時，求的極值；（2）若且對任意的，恒成立，求的最大值．19．（12分）甲、乙兩人進行象棋比賽，約定先連勝兩局者直接贏得比賽，若賽完5局仍未出現(xiàn)連勝，則判定獲勝局數(shù)多者贏得比賽．假設每局甲獲勝的概率為，乙獲勝的概率為，各局比賽結果相互獨立．（1）求甲在4局以內（含4局）贏得比賽的概率；（2）用X表示比賽決出勝負時的總局數(shù)，求隨機變量X的分布列和均值.20．（12分）某市一次全市高中男生身高統(tǒng)計調查數(shù)據顯示：全市10萬名男生的身高服從正態(tài)分布.現(xiàn)從某學校高中男生中隨機抽取50名測量身高，測量發(fā)現(xiàn)被測學生身高全部介于160cm和190cm之間，將身高的測量結果按如下方式分成5組：第1組[160,166)，第2組[166，172)，...，第5組[184，190]下表是按上述分組方法得到的頻率分布表：分組[160，166)[166，172)[172，178)[178，184)[184，190]人數(shù)31024103這50個數(shù)據的平均數(shù)和方差分別比10萬個數(shù)據的平均數(shù)和方差多1和6.68，且這50個數(shù)據的方差為.(同組中的身高數(shù)據用該組區(qū)間的中點值作代表)：(1)求，；(2)給出正態(tài)分布的數(shù)據：，.(i)若從這10萬名學生中隨機抽取1名，求該學生身高在(169,179)的概率；(ii)若從這10萬名學生中隨機抽取1萬名，記為這1萬名學生中身高在(169，184)的人數(shù)，求的數(shù)學期望.21．（12分）命題p：關于x的不等式對一切恒成立；命題q：函數(shù)在上遞增，若為真，而為假，求實數(shù)的取值范圍。22．（10分）已知的最小正周期為．(1)求的值；(2)在中，角，，所對的邊分別是為，，，若，求角的大小以及的取值范圍．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】分析：根據等差數(shù)列的判斷方法，確定數(shù)列為等差數(shù)列，再由等差數(shù)列的性質和前n項和公式，即可求得的值.詳解：，得數(shù)列為等差數(shù)列.由等差數(shù)列性質：，故選B.點睛：本題考查等差數(shù)列的判斷方法，等差數(shù)列的求和公式及性質，考查了推理能力和計算能力.等差數(shù)列的常用判斷方法(1)定義法：對于數(shù)列，若(常數(shù))，則數(shù)列是等差數(shù)列；(2)等差中項：對于數(shù)列，若，則數(shù)列是等差數(shù)列;(3)通項公式：(為常數(shù),)?是等差數(shù)列;(4)前項和公式：(為常數(shù),)?是等差數(shù)列;(5)是等差數(shù)列?是等差數(shù)列.2、C【解析】

在中利用正弦定理和二倍角公式能求出角，再依據余弦定理列出關于角的關系式，化簡即得．【詳解】∵，∴由正弦定理可得，即.由于，∴.∵，∴.又，由余弦定理可得，∴.故選C.【點睛】本題主要考查正余弦定理解三角形以及三角恒等變換．3、D【解析】分析：這是求小趙獨自去一個景點的前提下，4

個人去的景點不相同的概率，求出相應基本事件的個數(shù)，即可得出結論．詳解：小趙獨自去一個景點，則有3個景點可選，其余3人只能在小趙剩下的3個景點中選擇，可能性為種

所以小趙獨自去一個景點的可能性為種

因為4

個人去的景點不相同的可能性為種，

所以．

故選：D．點睛：本題考查條件概率，考查學生的計算能力，確定基本事件的個數(shù)是關鍵．4、C【解析】分析：根據函數(shù)在處取得極值解得，由于，對任意恒成立，則，確定的值。再由三次函數(shù)的二階導數(shù)的幾何意義，確定的對稱中心，最后求解。詳解：已知函數(shù)在處取得極值，故，解得。對任意恒成立，則，對任意恒成立，則所以.所以函數(shù)表達式為，，，令，解得，由此，由三次函數(shù)的性質，為三次函數(shù)的拐點，即為三次函數(shù)的對稱中心,，所以，.故選C。點睛：在某點處的極值等價于在某點處的一階導函數(shù)的根，二階導函數(shù)的零點的幾何意義為函數(shù)的拐點，三次函數(shù)的拐點的幾何意義為三次函數(shù)的對稱中心。二階導函數(shù)的零點為拐點，但不是所有的拐點都為對稱中心。5、C【解析】

先作出約束條件表示的平面區(qū)域，令，由圖求出的范圍，進而求出的最大值.【詳解】作出可行域如圖：令，由得，點；由得，點，由圖知當目標函數(shù)經過點時，最大值為4，當經過點時，最小值為，所以的最大值為8.故選：C【點睛】本題主要考查了簡單線性規(guī)劃問題，考查了學生的作圖能力與數(shù)形結合的思想.6、A【解析】分析：先求展開式的通項公式，根據展開式中的系數(shù)與關系，即可求得答案.詳解：展開式的通項公式，可得展開式中含項：即展開式中含的系數(shù)為.故選A.點睛：本題考查了二項式定理的應用問題，利用二項展開式的通項公式求展開式中某項的系數(shù)是解題關鍵.7、D【解析】已知180°對應弧度，則轉化為弧度數(shù)為.本題選擇D選項.8、D【解析】

由線性回歸直線方程可得回歸系數(shù)大于0，所以正相關，且經過樣本中心，且為估計值，即可得到結論．【詳解】可得，可得身高與體重是正相關，錯誤，正確；回歸直可以不經過每一個樣本點，一定過樣本中心點，，故錯誤；若，可得，即體重可能是，故錯誤．故選．【點睛】本題考查線性回歸中心方程和運用，考查方程思想和估計思想，屬于基礎題．9、C【解析】分析：由題意列表計算所有可能的值，然后結合集合元素的互異性確定集合M，最后確定其元素的個數(shù)即可.詳解：結合題意列表計算M中所有可能的值如下：2341234246836912觀察可得：，據此可知中的元素個數(shù)為.本題選擇C選項.點睛：本題主要考查集合的表示方法，集合元素的互異性等知識，意在考查學生的轉化能力和計算求解能力.10、A【解析】

用待定系數(shù)法可求出通項，于是可求得前10項和.【詳解】設的公差為，則，，所以，，前10項和為.【點睛】本題主要考查等差數(shù)列的通項公式，求和公式，比較基礎.11、B【解析】

根據題意畫出其立體圖形.設此直三棱柱兩底面的中心分別為,則球心為線段的中點,利用勾股定理求出球的半徑,即可求得該球的表面積．【詳解】畫出其立體圖形:直三棱柱的所有棱長都為1,且每個頂點都在球的球面上，設此直三棱柱兩底面的中心分別為,則球心為線段的中點，設球的半徑為，在中是其外接圓半徑,由正弦定理可得:,,即在中∴球的表面積.故選:B.【點睛】本題主要考查空間幾何體中位置關系、球和正棱柱的性質.解決本題的關鍵在于能想象出空間圖形,并能準確的判斷其外接球的球心就是上下底面中心連線的中點．12、B【解析】由題意得是方程的兩根，∴，∴．選B．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

設的極坐標為，的極坐標為，將點的坐標代入直線上得出，由，得，得，代入后化簡看得出答案。【詳解】設的極坐標為，的極坐標為.所以,,且.由得，即.故答案為：?！军c睛】本題考查動點的極坐標方程，考查相關點法求動點的軌跡方程，解本題的關鍵在于弄清楚主動點與從動點兩點之間極徑與極角之間的關系，并用這種相互關系進行替換，考查推理能力，屬于中等題。14、【解析】

由題意知可求的坐標．由于軸，，，可得，．利用拋物線的定義可得，代入可取，再利用，即可得出的值.【詳解】解：如圖所示，，，.與軸平行，，，．，解得，代入可取，，解得．故答案為:．【點睛】本題考查了拋物線的定義及其性質、平行線的性質、三角形面積計算公式.本題的關鍵在于求出的坐標后，如何根據已知面積列出方程.15、【解析】

找到滿足題意的所有情況，分別求得每種情況下的概率，由分類計數(shù)原理進行加法運算即可.【詳解】甲乙兩人合起來共猜對三個謎語的所有情況包括：甲猜對2個，乙猜對1個和甲猜對1個，乙猜對2個，若甲猜對2個，乙猜對1個，則有=，若甲猜對1個，乙猜對2個，則有，∴比賽結束時，甲乙兩人合起來共猜對三個謎語的概率為+.故答案為.【點睛】本題考查了相互獨立事件的概率的求法，考查了分類計數(shù)原理的應用，屬于基礎題.16、【解析】

根據伸縮變換性質即可得出【詳解】設在這個伸縮變換下，直角坐標系內任意一點對應到點則從而對應的二階矩陣【點睛】本題主要考查了伸縮變換對應矩陣，屬于基礎題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）直觀圖見解析，3個；（2）；（3）不存在．【解析】

（1）先還原為一個四棱錐，在正方體中觀察；（2）延長與延長線交于點，連接，則為平面與平面的交線，作出二面角的平面角，計算即可；（3）假設點存在，作出點到平面的垂線段，然后計算的長，若，則點在邊上，否則不在邊上．【詳解】（1）圖1圖1左邊是所求直觀圖，放到圖1右邊正方體中，觀察發(fā)現(xiàn)要3個這樣的四棱錐才能拼成一個正方體．（2）圖2如圖（2）延長與延長線交于點，連接，則為平面與平面的交線，作于，連接，∵平面，平面，∴，又，∴平面，∴，∴是二面角的平面角．∵，是中點，即，∴是中點，正方體棱長為6，∴，，中，，．（3）假設存在點滿足題意，圖3如圖3，作于，∵平面，∴，而，∴平面．的長就是點到平面的距離．．∴，由，得，∴∽，∴，，不在線段上，∴假設錯誤，滿足題意的點不存在．【點睛】本題考查多面體的展開圖，考查二面角、點到平面的距離．立體幾何中求角時要作出這個角的“平面角”，并證明，然后計算．點到平面的距離可能通過作以平面的垂線段計算，也可通過體積法求解．18、（1）極小值為，無極大值；（2）1.【解析】

（1）將代入，求其單調區(qū)間，根據單調區(qū)間即可得到函數(shù)的極值.（2）首先將問題轉化為，恒成立，設，求出其單調區(qū)間和最值即可得到的最大值.【詳解】（1）當時，，易知函數(shù)在上為單調增函數(shù)，及所以當，，為減函數(shù).當，，為增函數(shù).所以在時取最小值，即，無極大值.（2）當時，由，即，得.令，則.設，則，在上為增函數(shù)，因為，，所以，且，當時，，，在上單調遞減；當時，，，在上單調遞增．所以，因為，所以，，所以，即的最大值為1．【點睛】本題第一問考查利用導數(shù)求函數(shù)的極值，第二問考查利用導數(shù)解決恒成立問題，屬于中檔題.19、（1）；（2）分布列見解析，.【解析】

（1）根據概率的乘法公式，求出對應的概率，即可得到結論．（2）利用離散型隨機變量分別求出對應的概率，即可求X的分布列以及數(shù)學期望．【詳解】用A表示“甲在4局以內（含4局）贏得比賽”，表示“第k局甲獲勝”，表示“第k局乙獲勝”則，，.（1）.（2）X的所有可能取值為.，，，.∴X的分布列為X2345P∴【點睛】本題考查了相互獨立事件、互斥事件的概率計算公式、隨機變量的分布列與數(shù)學期望，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．20、(1)=174；；(2)(i)0.6826；(ii)8185【解析】

（1）由每組的中間值乘以該組的人數(shù)，再求和，最后除以總人數(shù)，即可求出平均值，根據題意即可得到，再由，以及題中條件，即可得出；（2）(i)先由題意得(169，179)=(，)，根據題中所給數(shù)據，即可求出對應概率；(ii)由題意可知(169，184)=(，)，，先求出一名學生身高在(169，184)的概率，由題意可知服從二項分布，再由二項分布的期望，即可求出結果.【詳解】解：(1)根據頻率分布表中的數(shù)據可以得出這50個數(shù)據的平均數(shù)為所以