大數定律和中心極限定理

大數定律和中心極限定理第1頁，共19頁，2023年，2月20日，星期一蒲豐投針問題中解法的理論依據就是大數定律當投針次數n很大時，用針與線相交的頻率m/n近似針與線相交的概率p，從而求得π的近似值.針長L線距a第2頁，共19頁，2023年，2月20日，星期一定義:

設{Xn}為隨機變量序列，a是一個常數，若對于任意>0,

有則稱{Xn}依概率收斂于a?？捎洖椤?大數定律一、依概率收斂意思是:當a時,Xn落在內的概率越來越大。即第3頁，共19頁，2023年，2月20日，星期一二、幾個常用的大數定律切比雪夫大數定律設{Xk,k=1,2,...}為獨立的隨機變量序列，且有相同的數學期望，及方差2>0，則即對任何>0,

證明:

由切比雪夫不等式這里故第4頁，共19頁，2023年，2月20日，星期一伯努里大數定律

設進行n次獨立重復試驗，每次試驗中事件A發(fā)生的概率為p，記fn=nA/n為n次試驗中事件A發(fā)生的頻率，則證明:

設第i次試驗事件A發(fā)生第i次試驗事件A不發(fā)生則由切比雪夫大數定理：第5頁，共19頁，2023年，2月20日，星期一辛欽大數定律

若{Xk,k=1,2,...}為獨立同分布隨機變量序列,EXk=<,k=1,2,…

則當隨機變量序列X1,X2,...,Xn,…獨立同分布時,有如下更實用的結論：例

在擲骰子過程中，以Xn記第n次擲出的點數，在依概率收斂意義下，求的極限。第6頁，共19頁，2023年，2月20日，星期一下面我們再舉一例說明大數定律的應用.定積分的概率計算法求的值第7頁，共19頁，2023年，2月20日，星期一

我們介紹均值法，步驟是1)產生在(0,1)上均勻分布的隨機數rn,2)計算g(rn)，n=1,2,…,Nn=1,2,…,N即3)用平均值近似積分值求的值第8頁，共19頁，2023年，2月20日，星期一

我們介紹均值法，步驟是1)產生在(0,1)上均勻分布的隨機數rn,2)計算g(rn)，n=1,2,…,Nn=1,2,…,N即3)用平均值近似積分值求的值第9頁，共19頁，2023年，2月20日，星期一應如何近似計算？請思考.問：若求的值第10頁，共19頁，2023年，2月20日，星期一大數定律以嚴格的數學形式表達了隨機現象最根本的性質之一：它是隨機現象統(tǒng)計規(guī)律的具體表現.大數定律在理論和實際中都有廣泛的應用.平均結果的穩(wěn)定性第11頁，共19頁，2023年，2月20日，星期一一、依分布收斂定義設{Xn}為隨機變量序列，X為隨機變量，其對應的分布函數分別為Fn(x),F(x)。若在F(x)的連續(xù)點，有則稱{Xn}依分布收斂于X。記為§2中心極限定理若隨機變量序列{Xn}之和的標準化變量則稱隨機變量序列{Xn}滿足中心極限定理。第12頁，共19頁，2023年，2月20日，星期一二、幾個常用的中心極限定理1、獨立同分布的中心極限定理設{Xn}為獨立同分布隨機變量序列，若EXk=<，DXk=2<，k=1,2,…,

則{Xn}滿足中心極限定理。此時有因此，當n充分大時其中Fn(x)為的分布函數。第13頁，共19頁，2023年，2月20日，星期一例1將一顆骰子連擲100次，試估算點數之和大于500的概率。解:設Xk為第k次擲出的點數,k=1,2,…,100,則X1,…,X100獨立同分布。并且由獨立同分布的中心極限定理知：第14頁，共19頁，2023年，2月20日，星期一2、德莫佛-拉普拉斯中心極限定理設隨機變量n(n=1,2,...)服從參數為n,p(0<p<1)的二項分布，則證明:設第i次試驗事件A發(fā)生第i次試驗事件A不發(fā)生則由獨立同分布的中心極限定理,結論即可得證。即第15頁，共19頁，2023年，2月20日，星期一第16頁，共19頁，2023年，2月20日，星期一例：華師學生10000名，在周一晚上去自習的概率為0.7，假設彼此自習是相互獨立的，設X為周一晚上華師學生去上自習的人數。（1）寫出X的分布；（2）用切貝謝夫不等式估算周一晚上華師學生上自習的人數在6800~7200之間的概率的近似值；（3）用棣莫弗-拉普拉斯定理計算周一晚上華師學生上自習人數在6800~7200之間的概率的近似值。解:（1）

第17頁，共19頁，2023年，2月20日，星期一（2）（3）第18頁，共19頁，2023年，2月20日，星期一例2一加法器同時收到20個噪聲電壓Vk(k=1,2,…,20),

設它們是相互獨立的隨機變量，且都服從U(0,10)分布。記V=，求V大于105的近似值。例3一船舶在某海區(qū)航行，已知每次遭受一次波浪的沖擊，縱搖角大于3度的概率p=1/3，若船遭受了90000次波浪的沖擊，問其中有29000~30500次縱搖角大于加3度的概率是多少？例4設每個學生有0名、1名、2名家長參加家長會的概率分別為0.05、0.8、