解三角形中的周長、面積和其他元素的最值或范圍問題（解析版）高考數(shù)學(xué)重要考點與題型

解三角形中的周長、面積和其他元素的最值或范圍問題目錄類型一：求三角形的周長 1類型二：三角形周長范圍或最值 2類型三：求三角形的面積 3類型四：三角形面積的范圍或最值 3類型五：其他元素的范圍或最值 4滿分策略：1.正弦定理滿分策略：1.正弦定理+角的范圍2.余弦定理+基本不等式典型例題：在△ABC中,角A,B,C的對邊分別為(1)求角A;(2)若D為BC邊的中點,且AD=13,AC=2,求【答案】(1)A(2)8+2試題分析：(1)由正弦定理將邊化角,然后利用內(nèi)角和定理將sinC轉(zhuǎn)化成sinA+B即可求解;(2)分別在兩個三角形中用余弦定理即可求解出各邊長,詳細解答：（1）在△ABC中因為2由正弦定理得2sin所以2sin即sinB又因為A,B∈0,π,所以A=（2）取AB邊的中點E,連接DE,則DE//且DE=12在△ADE中,由余弦定理得AD解得AE=3,所以AB在△ABC中,由余弦定理得BC所以△ABC的周長為8+2題型專練：1．（2023·內(nèi)蒙古赤峰·統(tǒng)考二模）在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，已知ccosB+bcosC=2acosA，A．4 B．6 C．8 D．18【答案】B【分析】由正弦定理和和角公式得到cosA=12，得到A=π【詳解】ccosB+又sinC所以sinA因為A∈0,π，所以sin因為A∈0,π由三角形面積公式可得12bcsin由余弦定理得cosA解得b+c=4故三角形周長為4+2=6.故選：B2．（2023春·江蘇鎮(zhèn)江·高一江蘇省揚中高級中學(xué)校聯(lián)考期中）在△ABC中，a,b,c(1)求cosA(2)若a=23，且△ABC的面積S(3)若b=3，且sinBsinC=【答案】(1)1(2)6(3)6+2【分析】（1）由余弦定理統(tǒng)一為邊，再由余弦定理求解即可；（2）由面積公式及余弦定理化簡，解得b=c=3，由數(shù)量積公式計算即可得解；（3）根據(jù)三角恒等變換求出cosBcosC=13，再由兩角差的余弦公式求出B=C，再由余弦定理求a【詳解】（1）∵(3b-c)cosA-acosC=0∴(3b-c)×b∴b∴cosA=b（2）由cosA=13，可得∴S∴bc=9，∵a∴b2+∴cosB=a2+∴BA（3）∵cosA=-cos(B+C)=sinBsinC-cosBcosC=13，∴cosBcosC=1∴cos(B-C)=sinBsinC+cosBcosC=2由0<B<∴B-C=0，即b=c=3，由余弦定理，cosA=b2+∴a+b+c=6+23即△ABC的周長為6+233．（2023·黑龍江大慶·統(tǒng)考三模）在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，已知3(1)求A；(2)若a=8，△ABC的內(nèi)切圓半徑為3，求△【答案】(1)2π(2)18【分析】（1）由正弦定理結(jié)合兩角和的正弦公式化簡可得出tanA的值，結(jié)合角A的取值范圍可求得角A的值；（2）利用三角形的面積公式可得出b+c+8=12bc，結(jié)合余弦定理可求得b+c的值，即可求得【詳解】（1）解：因為3b=a由正弦定理可得3sinB=sinA3因為A+B+C=π，所以sinB=sinA+C代入①式整理得3cosAsinC=-sinAsinC又因為A、C∈0,π，sinC≠0，則3cosA=-sinA<0又因為A∈0,π，解得A=（2）解：由（1）知，A=2π3，因為△ABC內(nèi)切圓半徑為所以S△ABC=1所以，b+c+8=12由余弦定理a2=b2+c聯(lián)立②③，得b+c2-2所以△ABC的周長為a+b+c=18.4．（湖南省永州市2023屆高三三模數(shù)學(xué)試題）在△ABC中，A,B,C(1)求C的值；(2)若AB邊上的點M滿足BM=2MA，c=3，CM=【答案】(1)C=(2)答案見解析【分析】（1）由正弦定理邊化角結(jié)合兩角和的正弦公式化簡可得答案；（2）由余弦定理可得9=a2+b2-ab，再利用向量的線性運算可得結(jié)合【詳解】（1）由正弦定理得：sinCcosA+3在三角形中B=π-A+C故sinCcosA+3即sinCcosA+3因為A∈(0,π),sinx≠0，所以3sinC-cosC=1即sinC-而C∈(0,π)，∴C-π6∈(-π6（2）因為BM=2MA，∴BM=2，由余弦定理得c2=a2又CM=7由于CM=故CM2則63=a2①×7=②即7a2+7亦即2a-ba-b=0，則a=b或當(dāng)a=b時，代入①得a=3，b=3，周長L=a+b+c=9；當(dāng)a=b2時，代入①得a=3周長L=a+b+c=3+335．（2023春·河北衡水·高三衡水市第二中學(xué)期末）記△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a、b、(1)若A=π6(2)若c=1，cosC=1【答案】(1)π(2)2【分析】（1）由已知條件可用正弦定理的性質(zhì)進行邊化角方法，利用A=π（2）c=1這個條件帶入主干條件中，得到a、b等式關(guān)系，利用條件cosC=15結(jié)合余弦定理，求出a+b【詳解】（1）∵3b=c+∴由正弦定理得3sinB=sinC+∴∴∴sin∵B∈∴B-∴B-∴B=π（2）∵3b=c+∴3b-∵cosC=∴由余弦定理得a∴a2∴(a+b)2=2因此△ABC的周長為a+b+c=26．（2023·江西南昌·校聯(lián)考模擬預(yù)測）在①3absinC=4AB已知△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，(1)求sinA(2)若△ABC的面積為2，a=4，求△注：如選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.【答案】(1)sinA=(2)4+4【分析】（1）根據(jù)所選條件，利用正弦定理邊化角，結(jié)合兩角和的正弦公式化簡，可求sinA的值；（2）由面積公式求得bc=5，再利用余弦定理求得b+c，可得△ABC的周長.【詳解】（1）若選①，由已知得3absinC=4bccosA，所以3asinC=4ccosA，由正弦定理得3sinAsinC=4sinCcosA，又C∈0,π，所以sinC>0，所以3sinA=4cosA，又由A∈0,π，sinA>0，解得若選②，由已知及正弦定理得3sinAsinB+4sinAcosB=4sinC所以3sinAsinB+4sinAcosB=4sinA+B所以3sinAsinB+4sinAcosB=4sinAcosB+4cosAsinB，所以3sinAsinB=4cosAsinB，又B∈0,π，所以sinB>0，所以3sinA=4cosA，又由A∈0,π，sinA>0，解得（2）由△ABC的面積為2，得12bcsinA=2由（1）可得cosA=1-由余弦定理得cosA=b所以b2+c所以△ABC的周長為a+b+c=4+42類型二：三角形周長范圍或最值典型例題：已知△ABC的面積為S，角A,B,C所對的邊為a,b,c(1)求B的大小；(2)求△AOC【答案】(1)B(2)4試題分析：（1）利用三角形的面積公式及余弦定理，結(jié)合同角三角函數(shù)的商數(shù)關(guān)系及三角函數(shù)的特殊值，注意角的范圍即可求解；（2）根據(jù)（1）的結(jié)論及三角形內(nèi)心的定義，利用正弦定理及兩角差的正弦公式，結(jié)合輔助角公式及角范圍的變化，再利用正弦函數(shù)的性質(zhì)即可求解．詳細解答：（1）因為S=所以34×2accosB因為B∈(0,π)（2）設(shè)△AOC周長為l，∠由（1）知B=π3，所以0<∠因為點O為ΔABC的內(nèi)心，OA，OC分別是∠A，∠C所以∠AOC在△AOC中，由正弦定理可得OA所以l=因為α∈(0,π3)，所以可得△AOC周長l題型專練：7．（湖南省名校教研聯(lián)盟2023屆高三下學(xué)期4月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題）已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若4sin(1)求a的值；(2)若△ABC的面積為3b2+【答案】(1)a=4(2)12【分析】（1）法一：設(shè)4=at，t>0，由正弦定理得到tsin2法二：設(shè)4=at，t>0，由正弦定理得到tsin2（2）由面積公式得到A=π3，由正弦定理結(jié)合三角恒等變換得到b+c=8sinB+π【詳解】（1）法一：設(shè)4=at，t>0在△ABC中，由正弦定理得a=2R?sinA，b=2R?sinB，c=2R?sinC，代入已知化簡得tsin又在△ABC中有：sinC=sinA+B即tsin∵sinA+B即tsin2A-sin2法二：設(shè)4=at，t>0在△ABC中，由正弦定理得a=2R?sinA，b=2R?sinB，c=2R?sinC，代入已知化簡得tsin又在△ABC中有：sinC=sinA+B即tsin∵sin=sin2即tsin2A-sin2（2）在△ABC中有S=12bcsinA即tanA=3由正弦定理得：bsinB故b=83?b+c=8因在△ABC中，A=π3，0<所以b+c≤8，當(dāng)A=B=C時，等號成立，周長取得最大值12.8．（2023·全國·高三專題練習(xí)）在①cosC=ba-c2a問題：在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知______，a＝4(1)求A；(2)求△ABC【答案】(1)A=(2)8,12【分析】（1）根據(jù)所選的條件，應(yīng)用正余弦定理邊角關(guān)系、三角恒等變換可得cosA=1（2）由余弦定理及基本不等式求得0<b【詳解】（1）選①：由cosC=ba-由正弦定理得2sinAcosC=2sinB-sinC，即2sinAcosC=2sin(A+C)-sinC=2sinAcosC+2cosAsinC-sinC，化簡得sinC=2cosAsinC，因為sinC≠0，所以cosA=1由三角形內(nèi)角性質(zhì)知：A=π選②：在△ABC中，由正弦定理得：cb因為1+tanAtanB=即2sinCcosA=sinAcosB+cosAsinB=sin(A+B)=sinC，因為sinC≠0，所以cosA=1由三角形內(nèi)角性質(zhì)知：A=π選③：在△ABC中，由(c-b)sin(A+B)=(a-b)(sinA+sinB)得：(c-b)sinC=(a-b)(sinA+sinB)，由正弦定理得c2-bc=由三角形內(nèi)角性質(zhì)知：A=π（2）由余弦定理得16=b所以(b+c)2-16=3bc≤當(dāng)且僅當(dāng)b＝c時等號成立，又b+c>所以b+c∈4,8，a+b+c∈故△ABC周長的取值范圍是8,12．9．（2023·貴州貴陽·校聯(lián)考模擬預(yù)測）記△ABC內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且a(1)求C；(2)若△ABC為銳角三角形，c=2，求【答案】(1)C=(2)(2+2【分析】（1）應(yīng)用正弦定理及余弦定理解三角形即可；（2）先應(yīng)用正弦定理用角表示邊長，再根據(jù)銳角三角形求角的范圍，最后求三角函數(shù)的值域即得.【詳解】（1）在△ABC中，由射影定理得acosB+bcosA=c，則題述條件化簡為a2由余弦定理得a2可得cosC=12所以C=π（2）在△ABC中，由正弦定理得asinA則△ABC周長C△ABC因為sinA+sin2π3-A因為△ABC為銳角三角形，A+B=2π則得A∈π故sinA+10．（2023春·廣東深圳·高一校考期中）在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c．已知((1)求角C；(2)若c=23，求【答案】(1)C=2π(2)4+23【分析】（1）由正弦定理化角為邊，由余弦定理求得C；（2）由正弦定理用A表示出a,b，計算a+b+c，利用兩角和與差的正弦公式化簡變形，再由正弦函數(shù)性質(zhì)得最大值．【詳解】（1）因為(sinA+sinB)2=sin2C+sinAsinB所以cosC=a2+b2（2）由（1）C=2π3，則由正弦定理asinA=bsinB=a+b+c=4sinA+4sin(=4sinA+4(=4sin(A+π0<A<π3所以43A=π6時，a+b+c取得最大值11．（2023春·山西太原·高一統(tǒng)考期中）△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,(1)求A；(2)若△ABC的面積為33，求△【答案】(1)A=(2)6【分析】（1）由向量共線的坐標(biāo)運算可得2b-ccosA=acosC（2）根據(jù)△ABC的面積公式可得bc=12，再根據(jù)余弦定理以及基本不等式化簡即可得出結(jié)論.【詳解】（1）在△ABC中，A+B+C=π，∵向量m與n向量共線，∴2b-c由正弦定理可得2sinB-sinCcosA=sinAcosC∴2sinBcosA=sinA+C又A∈0,π，所以（2）因為S=12bcsinA=3由余弦定理得：a2所以b+c=a所以a+b+c=a所以周長的取值范圍是6312．（2023春·浙江杭州·高一校考期中）在△ABC中，角A,B,C(1)求角B的大小；(2)若a=2，且△ABC為銳角三角形，求(3)若b2=ac，且外接圓半徑為2，圓心為O,P【答案】(1)B=(2)3+(3)-2,6【分析】（1）直接利用正余弦定理即可求解；（2）利用正弦定理將周長轉(zhuǎn)化為關(guān)于角A的三角函數(shù)，利用三角函數(shù)的值域即可求解；（3）易得三角形ABC為等邊三角形，取AB中點M，可得PA?PB=PM2-MA2=PM【詳解】（1）依題意，由正弦定理，asinA由asinA+asinCcosB+bsinCcosA=bsinB+csinA可得a2由余弦定理2accosB=a則a2+c因為0<B<（2）由△ABC為銳角三角形，B=π3，可得由正弦定理asinA=b則b=3則△ABC的周長為a+b+c=3+3由A∈π6,π2tan2π12+23所以tanA2∈（3）由正弦定理bsinB=2R，則b=23由a2+c2=則三角形ABC為等邊三角形，取AB中點M，如圖所示：則PA==PM由OP=2,OM=1，則PM∈1,3，則PA【點睛】方法點睛：（1）利用正余弦定理可進行邊角互換用以化簡條件；（2）涉及三角形周長與面積的最值問題，可將問題轉(zhuǎn)化為基本不等式或三角函數(shù)來求最值；（3）外接圓動點范圍問題，可轉(zhuǎn)化為動點到某個定點的距離問題，結(jié)合幾何圖形性質(zhì)分析得出范圍.13．（2023·河北邯鄲·統(tǒng)考二模）已知條件：①2a=b+2ccosB從三個條件中任選一個，補充在下面的問題中，并解答.問題：在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，滿足：_________(1)求角C的大小；(2)若c=23，∠ABC與∠BAC的平分線交于點I注：如果選擇多個條件分別作答，按第一個解答計分【答案】(1)條件選擇見解析，C=π(2)4+23【分析】（1）選①，利用余弦定理求解作答；選②，利用二倍角正弦、正弦定理邊化角求解作答；選③，利用二倍角的余弦公式計算作答.（2）根據(jù)給定條件，結(jié)合（1）的結(jié)論求出∠AIB，再利用正弦定理結(jié)合三角恒等變換求解作答.【詳解】（1）選擇條件①，2a=b+2ccosB，在△ABC中，由余弦定理得2a=b+2c?a整理得a2+b2-所以C=π選擇條件②，2asinAcosB+bsin2A=23于是asinAcosB+bsinAcosA=3在△ABC中，由正弦定理得，sin2因為sinA≠0，則sinAcosB+sinBcosA=3cosC，即因為A+B+C=π，因此sinC=3cosC，即tanC=3所以C=π選擇條件③，3sinC=3-2在△ABC中，因為3sinC=2-(2cos2則sinC+π6=1，又C∈0,π所以C=π（2）由（1）知，C=π3，有而∠BAC與∠ABC的平分線交于點I，即有∠ABI+∠BAI=π3，于是設(shè)∠ABI=θ，則∠BAI=π3-在△ABI中，由正弦定理得，BIsin(所以BI=4sin(π3-所以△ABI的周長為2=23+23cosθ+2sinθ=4sin(θ+π則當(dāng)θ+π3=π2，即θ=所以△ABI周長的最大值為4+23類型三：求三角形的面積典型例題：已知△ABC的內(nèi)角A，B，C所對邊分別為a，b，c，滿足c(1)求角A；(2)若b=2c，點D為邊BC的中點，且AD=【答案】(1)π(2)2試題分析：（1）根據(jù)正弦定理得到sinCtan（2）根據(jù)余弦定理得到BC2=10c2-28，再次利用詳細解答：（1）由正弦定理，可得：sinCtanAA,C∈0,π，sinA≠0（2）在△ACD中，A在△ABD中，ACD=BD，∠ADC即(2c)2+c2=2?在△ABC中，故BC2=3c2題型專練：14．（山東省日照市2023屆高三下學(xué)期4月校際聯(lián)合考試數(shù)學(xué)試題）在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，已知2(1)求角A的值；(2)若△ABC的面積S=323【答案】(1)A=(2)直角三角形【分析】（1）由正弦定理化邊為角，然后由誘導(dǎo)公式，兩角和的正弦變形可求得A角；（2）由三角形面積求得b，由余弦定理求得a，然后用正弦定理可得sinB,判斷△ABC的形狀即可.【詳解】（1）因為2c-b=2acosB，由正弦定理得2sinC-sinB=2sinAcosB，sinB=2sin又B是三角形內(nèi)角，sinB≠0，所以cosA=1所以A=π（2）S△ABC=1a2=b又asinA=bsinB所以B=π2,△ABC15．（2023春·廣東佛山·高一佛山市榮山中學(xué)?？计谥校┮阎鰽BC內(nèi)角A,B,C(1)求角A；(2)若△ABC的周長為33，且△ABC外接圓的半徑為1，求【答案】(1)A=(2)3【分析】（1）由正弦定理及三角形的性質(zhì)即可求角；（2）利用正弦定理求出邊長a，然后再根據(jù)周長和余弦定理列式解出bc，從而求解面積.【詳解】（1）∵2ccosA=acosB+bcosA，由正弦定理得2sinCcosA=sinAcosB+sinBcosA，因為sinAcosB+sinBcosA=sin(A+B)=sinC，所以2sinCcosA=sinC，因為C∈0,π，所以sinC≠0，所以cosA=又A∈0,π，所以A=（2）設(shè)△ABC外接圓的半徑為R，則R=1，由正弦定理得a=2RsinA=3因為△ABC的周長為a+b+c=33，所以b+c=3由余弦定理得a2即3=12-2bc-2bc×12，所以所以△ABC的面積S=116．（2023·全國·高三專題練習(xí)）在△ABC中，角A,B,C的對邊分別為a(1)C的大小；(2)若△ABC的外接圓半徑R=1，求【答案】(1)2π(2)45【分析】（1）根據(jù)平方公式求得sinB的值，代入已知式子即可得3，根據(jù)兩角和差公式與誘導(dǎo)公式化簡求解即可得角C的大??；（2）結(jié)合正弦定理即可求得邊a,b的值，再利用面積公式求解即可.【詳解】（1）∵cosB=1114，B∈0,π，∴sinB=1-∴sinA=sin(B+C)=5∴-514sinC=∵C∈(0,π)，∴C=2π（2）由正弦定理asinA=b∴△ABC的面積為1217．（河北省石家莊市部分學(xué)校2023屆高三聯(lián)考（二）數(shù)學(xué)試題）在△ABC中，內(nèi)角A,B,C(1)求角B的大??；(2)若a+c=26asinC【答案】(1)B=(2)3【分析】（1）利用余弦定理、正弦定理化簡已知條件，由此求得B.（2）正弦定理求得sinC，根據(jù)余弦定理、三角形的面積公式求得正確答案.【詳解】（1）依題意，sinAcosBcosC由余弦定理得sinAcosBcosC則sinAcosB=3由于sinA≠0，則tanB=3所以B為銳角，則B=π（2）由正弦定理得csinCa+c=26由余弦定理得32=由a+c=2ac兩邊平方得代入①得2a2c2-3ac=9所以S=118．（2023春·江蘇鎮(zhèn)江·高一統(tǒng)考期中）在①sin2B+sin2C-記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且________(1)求角A；(2)若a=7，b=1【答案】(1)A=(2)3【分析】（1）利用正弦定理進行邊角轉(zhuǎn)化，結(jié)合余弦定理或者三角形中兩角和差的三角函數(shù)公式求得；（2）利用余弦定理求得c=3，進而求得三角形的面積.【詳解】（1）選①sin2由正弦定理角化邊得到：b2+c∵0<A<選②acosC=2b-c由正弦定理邊化角得到sinA即sin(A+C)由于sin(A+C)∴cosA∵0<A<選③ccosCsinA=2b-c由正弦定理邊化角得到sinCcosCsinA=2sinB-sinC∵sinC>0,∴cosCsinA=由于sin(A+C)∴cosA∵0<A<（2）由余弦定理得7=1+c∴c2-c-6=0，解得c=3(∴△ABC的面積為1219．（2023·貴州黔東南·凱里一中?？既＃┮阎鰽BC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且2a(1)求A的大??；(2)設(shè)點D為BC上一點，AD是△ABC的角平分線，且AD=4，AC=6，求△【答案】(1)A=(2)18【分析】（1）利用正弦定理將已知等式統(tǒng)一成邊的形式，化簡后再利用余弦定理可求得結(jié)果；（2）由AD是△ABC的角平分線，可得S△ABD+S△ADC【詳解】（1）因為2asinA=所以根據(jù)正弦定理得：2即a由余弦定理得：a故cosA=-又A∈所以A=2π（2）因為AD是△ABC的角平分線，由S△ABD得：12所以AB=12故S△ABC20．（2023·北京豐臺·統(tǒng)考二模）在四邊形ABCD中，AB=1，CD=DA(1)求BD的長；(2)求四邊形ABCD的面積．條件①：cos∠條件②：∠DCB注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個解答計分．【答案】(1)選①，BD=5；選②，(2)選①，5+1；選②，【分析】（1）選①，利用余弦定理得到BD=5；選②，利用互補得到cos∠BAD+cos∠BCD=0（2）選①，在（1）的基礎(chǔ)上，得到AB⊥AD，結(jié)合三角形面積公式求出△ABD和△BCD的面積，相加即可；選②，在（1）的基礎(chǔ)上求出∠BAD=2π3和∠BCD=π3，利用三角形面積公式求出△ABD【詳解】（1）選①，由余弦定理得cos∠DBC=D解得BD=5選②，在△ABD中，由余弦定理得cos∠BAD=A在△BCD中，由余弦定理得cos∠BCD=C因為∠DCB+∠DAB=π，所以cos∠BAD+cos∠BCD=0，即5-BD24（2）選①，BD=5，sin∠DBC=故S△BCD在△ABD中，AB2+AD2=BD所以四邊形ABCD的面積為5+1選②，BD=7，故cos∠BAD=5-74因為∠DCB+∠DAB=π，所以∠BCD=π故S△ABDS△BCD故四邊形ABCD的面積為32類型四：三角形面積的范圍或最值典型例題：已知a，b，c是△ABC的三個內(nèi)角A，B，C的對邊，且a+cb(1)求B；(2)若b=2，求△ABC【答案】(1)B(2)3試題分析：（1）應(yīng)用正弦邊角關(guān)系、三角形內(nèi)角性質(zhì)及和角正弦公式得cosB+1=3（2）應(yīng)用余弦定理及基本不等式求得ac≤4詳細解答：（1）由a+cb=cos則sinA而sinA所以cosBsinC+sin所以3sinB-由-π6<B-（2）由b2=a2+所以S△ABC=12acsin題型專練：21．（2023·福建·統(tǒng)考模擬預(yù)測）△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且b=2(1)求C；(2)若c=1，D為△ABC的外接圓上的點，BA?BD【答案】(1)π6(2)32【分析】（1）根據(jù)正弦定理以及兩角和的正弦公式化簡，即可得出tanC=3（2）解法一：由已知可推出BC⊥CD，然后根據(jù)正弦定理可求出2R=2，進而求出BD=2，AD=3.設(shè)BC=x，CD=y，表示出四邊形的面積，根據(jù)基本不等式即可得出答案；解法二：根據(jù)投影向量，推出BC⊥CD，然后同解法一求得AD=3.設(shè)∠CBD=θ，表示出四邊形的面積，根據(jù)θ的范圍，即可得出答案；解法三：同解法一求得AD=3，設(shè)點C到BD的距離為h，表示出四邊形的面積，即可推出答案；解法四：建系，由已知寫出點的坐標(biāo)，結(jié)合已知推得BD是【詳解】（1）因為b=2csinA+在△ABC中，由正弦定理得，sinB=2sinCsinA+又因為sinB=sinπ-A-C所以sinA+C展開得sinAcosC+cosAsinC=2sinC3即sinAcosC-3因為sinA≠0，故cosC=3sinC，即又因為C∈0,π，所以C=（2）解法一：如圖1設(shè)△ABC的外接圓的圓心為O，半徑為R，因為BA?BD=即BA?AD=0故BD是⊙O的直徑，所以BC⊥CD.在△ABC中，c=1，2R=csin∠BCA=在△ABD中，AD=B設(shè)四邊形ABCD的面積為S，BC=x，CD=y，則x2S=≤3當(dāng)且僅當(dāng)x=y=2時，等號成立所以四邊形ABCD面積最大值為32解法二：如圖1設(shè)△ABC的外接圓的圓心為O，半徑為R，BD在BA上的投影向量為λBA所以BA?又BA?BD=所以BD在BA上的投影向量為BA，所以DA⊥BA.故BD是⊙O的直徑，所以BC⊥CD.在△ABC中，c=1，2R=csin∠BCA=在△ABD中，AD=B設(shè)四邊形ABCD的面積為S，∠CBD=θ，θ∈0,則CB=2cosθ，CD=2sinθ，所以S=S當(dāng)2θ=π2時，S最大，所以四邊形ABCD面積最大值為解法三：如圖1設(shè)△ABC的外接圓的圓心為O，半徑為R，因為BA?BD=BA2所以DA⊥BA.故BD是⊙O的直徑，所以BC⊥CD.在△ABC中，c=1，2R=csin∠BCA=在△ABD中，AD=B設(shè)四邊形ABCD的面積為S，點C到BD的距離為h，則S=S當(dāng)h=R=1時，S最大，所以四邊形ABCD面積最大值為32解法四：設(shè)△ABC的外接圓的圓心為O，半徑為R，在△ABC中，c=1，2R=c故△ABC外接圓⊙O的半徑R=1.即OA=OB=AB=1，所以∠AOB=π如圖2，以△ABC外接圓的圓心為原點，OB所在直線為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系xOy，則A12,因為C，D為單位圓上的點，設(shè)Ccosα,sinα，D其中α∈0,2π，β∈所以BA=-1代入BA?BD=BA2即sinβ-由β∈0,2π可知β-所以解得β-π6=π6或β-當(dāng)β=π3時，A，D重合，舍去；當(dāng)β=π時，BD是⊙O設(shè)四邊形ABCD的面積為S，則S=S由α∈0,2π知sinα≤1，所以當(dāng)α=3π2時，即C的坐標(biāo)為所以四邊形ABCD面積最大值為3222．（2023·新疆喀什·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知拋物線C:x2=2pyp>0的焦點為F(1)求p；(2)若點P在圓M上，PA，PB是拋物線C的兩條切線，A,B是切點，求三角形PAB【答案】(1)2(2)32【分析】（1）求出圓心及半徑r，再根據(jù)點F0,p2到圓M（2）設(shè)切點Ax1,y1，Bx2,y2，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線PA,PB的方程，從而可求得P點的坐標(biāo)，設(shè)直線AB:y=kx+b，聯(lián)立拋物線方程，再利用韋達定理求出【詳解】（1）圓M:x2+y+32由點F0,p2到圓M上的點的距離的最小值為FM（2）由（1）知，拋物線的方程為x2=4y，即y=1設(shè)切點Ax1,y1則kPA則直線PA:y=x12聯(lián)立y=x12從而得到Px設(shè)直線AB:y=kx+b，聯(lián)立拋物線方程，消去y并整理，得x2則Δ=16k2+16b且x1+x2=4k因為AB=點P到直線AB的距離d=2所以S△PAB=又點P2k,-b在圓M:故k2=1-b-32而yP=-b∈-4,-2，故當(dāng)b=4【點睛】方法點睛：解答直線與拋物線的題目時，時常把兩個曲線的方程聯(lián)立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根與系數(shù)的關(guān)系，并結(jié)合題設(shè)條件建立有關(guān)參變量的等量關(guān)系；最值問題經(jīng)常轉(zhuǎn)化成函數(shù)問題處理.23．（2023·貴州黔東南·凱里一中校考三模）已知直線y=kx+1與拋物線C：x2=8y交于A，B兩點，分別過A，(1)證明點D在一條定直線上；(2)過點D作y軸的平行線交C于點E，求△ADE【答案】(1)證明見解析(2)2【分析】（1）設(shè)Ax1,y1，Bx2,y2，Dx0,（2）由（1）知D4k,-1則E為4k,2k2，聯(lián)立直線與拋物線方程，消元、列出韋達定理，即可表示出P點坐標(biāo)，即可得到E為DP的中點，再用弦長公式表示出AB及D到直線y=kx+1的距離d，即可求出【詳解】（1）設(shè)Ax1,y1，Bx2C在點A處的切線方程為y-y將x12=8∴x1同理x2∴A，B兩點都在直線xx0=4y0∴x0=4k，y0=-1，即點（2）由（1）可知，x0=4k，即D為4k,-1，∴E為將y=kx+1與x2=8y聯(lián)立得∴x1+x∴線段AB的中點為P4k,4∴D，E，P三點共線，且E為DP的中點．∵AB=D到直線y=kx+1的距離d=2∴S△ABD=1∵S△ADE∴△ADE面積的最小值為2．24．（四川省遂寧市2023屆高三三診考試數(shù)學(xué)（理）試題）在△ABC中，角A,B,(1)求角A的值；(2)已知D在邊BC上，且BD=3DC,【答案】(1)A=(2)4【分析】（1）由正弦定理邊角互化結(jié)合和差角關(guān)系可得sin(A+B)=2sinCcosA，即可得cosA=1（2）根據(jù)向量的線性表示以及模長公式可得9=116c2【詳解】（1）在△ABC中因為bcosA+acosB=2ccosA．由正弦定理得sinBcosA+sinAcosB=2sinCcosA，所以sin(A+B)=2sinCcosA，因為A+B+C=π，所以sin(A+B)=sinC．故sinC=2sinCcosA又C是△ABC的內(nèi)角，所以sinC≠0．從而cosA=1而A為△ABC的內(nèi)角，所以A=π（2）因為BD=3DC所以AD-AB從而9=1由基本不等式可得：9≥38bc+故△ABC的面積的最大值為1225．（2023·山東日照·山東省日照實驗高級中學(xué)?？寄M預(yù)測）在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且3(1)求角A的大??；(2)若BC邊上的中線AD=1，求△【答案】(1)2π(2)3【分析】（1）通過三角恒等變換和正弦定理化簡即可.（2）將中線AD=1轉(zhuǎn)化為向量AB+AC2的模長，從而求出【詳解】（1）依題意有3∴3sinAsinB=(1-cosA)sinB，又∴3sinA=1-cosA，又解得sinA=32,cosA=-∴A=2π（2）因為|所以|AB∴(|AB||故△ABC面積的最大值為S=126．（2023·河北張家口·統(tǒng)考一模）在△ABC中，2(1)求A；(2)如圖，D為平面ABC上△ABC外一點，且CD=1，BD=3，若【答案】(1)A=(2)2【分析】（1）由2cos2A+8sin2A（2）在△BCD中，利用余弦定理得到BC2=4-23cos∠BDC，易得△ABC為等邊三角形，再由∠BDC表示S△BCD【詳解】（1）解：由2cos2A+8sin得22化簡得4cos所以(2cosA-1)2=0，故又0<A<（2）在△BCD中，BC由（1）知A=π3．又AC=AB，所以所以△ABC的面積S=3又△BCD的面積S△BCD故四邊形ABCD的面積S==3=3當(dāng)∠BDC=5π6時，四邊形ABCD的面積最大，最大值為27．（2023·河南新鄉(xiāng)·統(tǒng)考二模）如圖，在△ABC中，D，E在BC上，BD=2，DE=(1)求sin∠ACB(2)求△ABC【答案】(1)sin∠ACBsin∠ABC(2)(0,43【分析】（1）根據(jù)三角形面積公式結(jié)合條件可得AB?ADAC?AE=21，（2）設(shè)AC=x，根據(jù)余弦定理及三角形面積公式結(jié)合條件可表示三角形面積，然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合條件即得.【詳解】（1）因為BD=2，DE=EC=1，∠BAD=∠CAE，所以S△ABDS△ABE故AB2A則在△ABC中，根據(jù)正弦定理可得，sin∠ACBsin∠ABC（2）設(shè)AC=x，則AB=3x，由x+3在△ABC中，cos∠ABC=A則sin2S△ABC由2(3-1)則0<故△ABC面積的取值范圍為(0,43類型五：其他元素的范圍或最值典型例題：已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且cos(1)求角C；(2)設(shè)BC的中點為D，且AD=3，求【答案】(1)C(2)2試題分析：（1）已知等式，由正弦定理和兩角和的正弦公式化簡，可求角C；（2）設(shè)∠CAD=θ，由正弦定理，把a+2b詳細解答：（1）△ABC中，cosA+所以sinC即sinC所以3sin又A∈0,π，則sin則有sinC-π6=12，又因為（2）設(shè)∠CAD=θ，則△ACD中，由由正弦定理及AD=3可得所以CD=2sinθ所以a+2由θ∈0,2π3所以a+2即a+2b的取值范圍題型專練：28．（2023·河北·校聯(lián)考二模）在△ABC中，角A,B,C的對邊分別為a(1)求△ABC的外接圓半徑R(2)求△ABC內(nèi)切圓半徑r的取值范圍【答案】(1)7(2)r∈【分析】（1）由正弦定理及余弦定理求得B=π3，由2R=b（2）由正弦定理求a+c的范圍，再用S△ABC=12acsinB=1【詳解】（1）由正弦定理，a+bc=再由余弦定理，cosB=12，又B∈0,π因為2R=bsinB=（2）由（1）可知：a2+cS則r=3在△ABC中，由正弦定理，asinA=c則a+c===14又A∈0,π3所以sinA+14sinA+π629．（2023·山東菏澤·統(tǒng)考二模）記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別是a，b，c，已知△ABC的外接圓半徑R=2(1)求B和b的值；(2)求AC邊上高的最大值.【答案】(1)B=π4，(2)22【分析】（1）把給定的等式切化弦，再逆用和角的正弦求出B，利用正弦定理求出b作答.（2）利用余弦定理、均值不等式求出ac的最大值，借助面積三角形求出AC邊上高的最大值作答.【詳解】（1）由tanB+tanC=2sinAcosC，得sinB因此sin(B+C)=2sinAcosB，在△ABC中，sin(π-A)=2而0<A<π，即sinA>0，于是cosB=因為△ABC的外接圓半徑R=22，由正弦定理得b=2RsinB=4所以B=π4，（2）由（1）知，B=π4，b=4，由余弦定理b2于是ac≤162-2=8(2+2)，當(dāng)且僅當(dāng)a=c時取等號，令則由12bh=所以AC邊上高的最大值是2230．（2023·山東·校聯(lián)考二模）已知△ABC內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，點G是△ABC的重心，且AG?(1)若∠GAB=π6(2)求cos∠ACB的取值范圍.【答案】(1)tan∠GAC=(2)cos∠BAC∈【分析】（1）建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，設(shè)AB=2，則可求C52（2）設(shè)∠GAB=θ,θ∈0,π2，則可求得【詳解】（1）以A為原點，AB所在的直線為x軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，設(shè)AB的中點為D，則D,G,C共線且DG=設(shè)AB=2，則B2,0，G32,故GC=-GB-GA=所以tan∠GAC=tan∠GAB-（2）設(shè)∠GAB=θ,θ∈0,π2故GA=-2cos故GC=-故GC=2cos2θ,2sin2θ，所以故C3cos2θ+1,3sin2θ，而CACB=故cos=8而θ∈0,π2，故2所以45≤831．（2023·全國·學(xué)軍中學(xué)校聯(lián)考二模）設(shè)x∈R，函數(shù)fx=cosωx+φω>0,-π(1)求fx解析式，并通過列表?描點在給定坐標(biāo)系中作出函數(shù)fx在(2)在銳角△ABC中，a,b,c分別是角A,【答案】(1)fx(2)-【分析】（1）由函數(shù)fx的最小正周期為π，結(jié)合周期公式求ω，求出平移后的函數(shù)解析式，結(jié)合余弦函數(shù)的性質(zhì)求φ（2）由條件結(jié)合邊角互化求出角C，根據(jù)銳角三角形內(nèi)角關(guān)系求B的范圍，結(jié)合余弦函數(shù)性質(zhì)求fB的值域【詳解】（1）∵函數(shù)fx的最小正周期T=2πω∵fx圖象向左平移π6后得到的函數(shù)為由已知φ+π3=kπ,k∈Z.∴φ=-π解析式為：fx由五點法可得，列表如下：x0π5π2π11ππ2x--0ππ3π5πf110-101fx在0,π（2）∵2a-b由正弦定理可得，2sinAcosC=sinBcosC+sinCcosB，所以2sinAcosC=sinB+C，即2sinAcosC=sinA因為sinA≠0，所以2sinAcosC=1所以cosC=1又C∈0,π2又因為三角形為銳角三角形，0<B<所以π6所以0<2B所以f32．（2023·云南紅河·統(tǒng)考二模）記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知2(1)證明：0<B(2)求sinB【答案】(1)證明見解析(2)6【分析】（1）利用正弦定理化角為邊，再根據(jù)余弦定理結(jié)合基本不等式求出cosB的范圍，即可得B的范圍，即可得證；（2）根據(jù)二倍角的余弦公式可得sinB?cos2B=sinB-2sin3B，設(shè)t=sinB，0<【詳解】（1）因為2sinB