高中數(shù)學(xué) 人教A版高一上學(xué)期 必修二 直線平面平行與垂直的判定定理及性質(zhì)定理（教師版）

高中數(shù)學(xué)人教A版高一上學(xué)期必修二直線，平面平行與垂直的判定定理及性質(zhì)定理【問題查找】問題一：證明直線與平面平行【例1】如圖，直三棱柱ABC－A1B1C1中，D是AB的中點(diǎn)．證明：BC1∥平面A1CD.問題二：證明平面與平面的的平行【例2】如圖，已知四棱柱ABCD－A1B1C1D1，證明：平面A1BD∥平面CD1B1.問題三：證明直線平面的垂直【例3】.如圖，四棱錐P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，BC＝CD，∠ACB＝∠ACD，.求證：BD⊥平面PAC.證明：又∵∠ACB∠ACD，∴BD⊥AC.∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥BD.又PAAC=A,∴BD⊥平面PAC.問題四：證明平面與平面的垂直【例4】、如圖所示，已知三棱錐P－ABC，∠ACB＝90°，CB＝4，AB＝20，D為AB的中點(diǎn)，且△PDB是正三角形，PA⊥PC.求證：平面PAC⊥平面ABC；問題五：線面平行與垂直的綜合應(yīng)用【例5】、已知：正三棱柱中，，，為棱的中點(diǎn)．

（）求證：平面．

（）求證：平面平面．（）求四棱錐的體積．【要點(diǎn)精講】【精準(zhǔn)突破1】學(xué)習(xí)目標(biāo)：理解線面平行的判定定理及性質(zhì)定理目標(biāo)分解：理解線面平行的判定定理理解線面平行的性質(zhì)定理教學(xué)過程目標(biāo)（1）：準(zhǔn)確記憶并理解線面平行的判定定理【教師】還記得線面平行的判定定理嗎？【知識點(diǎn)】線面平行的判定定理【例1】判斷下列命題是否正確：(1)一條直線平行于一個平面，這條直線就平行于平面內(nèi)的任何直線；(2)過平面外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知平面平行；(3)過直線外一點(diǎn)有且只有一個平面與已知直線平行；(4)與兩條異面直線都平行的平面有無窮多個．【解答】解：A、不是任何直線，故A錯；B、有無數(shù)條，故B錯誤；C、僅有一個，故C正確；D、只有一個，故D錯誤；故選：C．【例2】如圖，直三棱柱ABC－A1B1C1中，D是AB的中點(diǎn)．證明：BC1∥平面A1CD.解析：利用中位線在已知平面中找到與所求直線平行的直線即可證明目標(biāo)（2）：能準(zhǔn)確記憶并理解線面平行的性質(zhì)定理【教師】在前面我們知道線線平行可以推導(dǎo)出線面平行，那么線面平行是否也能推導(dǎo)出線線平行呢?【知識點(diǎn)】線面平行的性質(zhì)定理【例3】求證：如果一條直線和兩個相交平面都平行，那么這條直線和它們的交線平行．【解答】解：過這條直線做兩個平面分別于這兩相交平面相交，由線面平行的性質(zhì)定理知直線分別與彼此的交線平行，又平行具有傳遞性，所以得到直線垂直與兩平面的交線?！纠?】如圖，AB是圓O的直徑，點(diǎn)C是圓O上異于A，B的點(diǎn)，P為平面ABC外一點(diǎn)，E，F(xiàn)分別是PA，PC的中點(diǎn)．記平面BEF與平面ABC的交線為l，試判斷直線l與平面PAC的位置關(guān)系，并加以證明．【精準(zhǔn)突破2】學(xué)習(xí)目標(biāo)：記憶并理解平面與平面的判定定理與性質(zhì)定理教學(xué)過程目標(biāo)（1）：記住并理解平面與平面平行的判定定理【教師】還記得面面平行的判定定理嗎？【知識點(diǎn)】面面平行的判定定理【例5】下列命題正確的是()①一個平面內(nèi)有兩條直線都與另外一個平面平行，則這兩個平面平行；②一個平面內(nèi)有無數(shù)條直線都與另外一個平面平行，則這兩個平面平行；③一個平面內(nèi)任何直線都與另外一個平面平行，則這兩個平面平行；④一個平面內(nèi)有兩條相交直線都與另外一個平面平行，則這兩個平面平行．A．①③B．②④C．②③④ D．③④解析：注意相交直線或任意一條，由定理易知③④正確?！纠?】如圖所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，點(diǎn)D，E分別是BC與B1C1的中點(diǎn)．求證：平面A1EB∥平面ADC1.目標(biāo)（2）：記住并理解平面與平面平行的性質(zhì)定理【教師】還記得面面平行的性質(zhì)定理嗎？【知識點(diǎn)】面面平行的性質(zhì)定理【例7】(1)平面α∥平面β，直線a?α，直線b?β，下面四種情形：①a∥b；②a⊥b；③a與b異面；④a與b相交，其中可能出現(xiàn)的情形有()A．1種 B．2種C．3種 D．4種(2)給出四種說法：①若平面α∥平面β，平面β∥平面γ，則平面α∥平面γ；②若平面α∥平面β，直線a與α相交，則a與β相交；③若平面α∥平面β，P∈α，PQ∥β，則PQ?α；④若直線a∥平面β，直線b∥平面α，且α∥β，則a∥b.其中正確說法的序號是________．【精準(zhǔn)突破3】學(xué)習(xí)目標(biāo)：記憶并理解直線與平面垂直的判定定理與性質(zhì)定理教學(xué)過程目標(biāo)（1）：記住并理解直線與平面垂直的判定定理【教師】還記得線面垂直的判定定理嗎？【知識點(diǎn)】線面垂直的判定定理【例8】如圖，P為△ABC所在平面外一點(diǎn)，PA⊥平面ABC，∠ABC＝90°，AE⊥PB于E，AF⊥PC于F.求證：(1)BC⊥平面PAB；(2)AE⊥平面PBC；(3)PC⊥平面AEF 目標(biāo)（2）：記憶并理解直線與平面垂直的性質(zhì)定理【教師】還記得直線與平面垂直的性質(zhì)定理【知識點(diǎn)】直線與平面垂直的性質(zhì)定理【例9】如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，M是AB上一點(diǎn)，N是A1C的中點(diǎn)，MN⊥平面A1DC.求證：MN∥AD1.【精準(zhǔn)突破4】學(xué)習(xí)目標(biāo)：記憶并理解平面與平面垂直的判定定理與性質(zhì)定理教學(xué)過程目標(biāo)（1）：記住并理解平面與平面垂直的判定定理【教師】還記得面面垂直的判定定理嗎？【知識點(diǎn)】面面垂直的判定定理【例10】如圖所示，在長方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝1，AA1＝2，M是棱CC1的中點(diǎn)．證明：平面ABM⊥平面A1B1M.目標(biāo)（2）：記住并理解平面與平面垂直的性質(zhì)定理【教師】還記得面面垂直的性質(zhì)定理嗎？【知識點(diǎn)】面面垂直的性質(zhì)定理【查漏補(bǔ)缺】1、如圖是正方體的平面展開圖。關(guān)于這個正方體，有以下判斷：

①與所成的角為②∥平面

③

④平面∥平面

其中正確判斷的序號是（

）．A．①③B．②③C．①②④D．②③④【解析】

把正方體的平面展開圖還原成正方體

，得：①與所成的角為正確；②

不包含于平面

平面

平面

，故②正確；③

與

是異面直線，故③不正確；④

平面

，所以平面

平面

，故④正確，正確判斷的序號是①②④，故選C.2、如圖所示，在正方體中，、、、分別為棱，，，的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，點(diǎn)在四邊形及內(nèi)部運(yùn)動，則滿足__________時，有平面．

【解析】∵，,∴面平面．

∵點(diǎn)在四邊形上及其內(nèi)部運(yùn)動，要使平面，則，故答案為．3.已知：正三棱柱中，，，為棱的中點(diǎn)．

（）求證：平面．

（）求證：平面平面．

【解析】試題分析：

（1）要證線面平行，就是要證線線平行，考慮過直線的平面與平面的交線（其中是與的交點(diǎn)），而由中位線定理易得，從而得線面平行；

（2）由于是正三角形，因此有，從而只要再證與平面內(nèi)另一條直線垂直即可，這可由正棱柱的側(cè)棱與底面垂直得到，從而得線面垂直，于是有面面垂直；

（）證明：連接，交于點(diǎn)，連接，∵在中，，分別是，中點(diǎn)，

∴，∵平面，平面，∴平面，（）證明：∵在等邊中，是棱中點(diǎn)，∴，又∵在正三棱柱中，平面，

平面，∴，∵點(diǎn)，，平面，∴平面，

∵平面，∴平面平面．

4如圖，在三棱錐中，，，為的中點(diǎn)，為上一點(diǎn)，且平面．

求證：（1）直線平面；（2）平面

平面．試題解析：（1）因為平面，平面，

平面

平面，所以．

因為平面，平面，

所以平面．

（2）因為為的中點(diǎn)，，所以為的中點(diǎn)．

又因為，所以，又，，

所以．平面，，

所以平面．

因為平面，

所以平面

平面．5.如圖，在梯形中，，，，平面平面，四邊形是矩形，，點(diǎn)在線段上，且．

（1）求證：平面；

試題解析：（1）證明：在梯形中，

∵，，，

∴四邊形是等腰梯形，且，，

∴，∴，

又∵，∴.

設(shè)與交于點(diǎn)，，

由角平分線定理知：，連接，

則且，

∴四邊形是平行四邊形，∴，

又平面，∴平面.

6.三棱柱，側(cè)棱與底面垂直，，，，分別是，的中點(diǎn)．

（）求證：平面．

（）求證：平面平面．證明：（）連接，．在中，∵，是，的中點(diǎn)，∴，又∵平面，∴平面．

（）∵三棱柱中，側(cè)棱與底面垂直，∴四邊形是正方形，∴，∴，

連接，，則≌，∴，∵是的中點(diǎn)，∴，

∵，∴平面，∵平面，∴平面平面．

【梳理優(yōu)化】鞏固練習(xí)完成不好就回歸到精準(zhǔn)突破重新學(xué)習(xí)，然后進(jìn)入【查漏補(bǔ)缺】；鞏固練習(xí)完成挺好就直接進(jìn)入【舉一反三】進(jìn)行拓展學(xué)習(xí)?！静槁┭a(bǔ)缺】1.在棱錐中，底面ABCD為菱形，

(1)若E為SD的中點(diǎn)，求證：直線(2)求證：直線試題解析：證明：（1）設(shè)AC與BD交于點(diǎn)O，連接OE，

由題知，O為BD的中點(diǎn)，E為SD的中點(diǎn)，∴OE∥SB

又∵，，∴．

（2）∵ABCD為菱形，∴AC⊥BD，

∵SD⊥面ABCD，，∴AC⊥SD，而，∴AC⊥面SBD．2.如圖，四棱柱中，底面是正方形，側(cè)棱底面，為的中點(diǎn)．

（）求證：平面．（）求證：．試題解析：（）

證明：連接交于點(diǎn)，∵在中，、分別是，中點(diǎn)，∴，∴平面，平面，∴平面．

（）∵在正方形中，，在四棱柱中，平面，平面，∴，∵點(diǎn)，，平面，∴平面，∵平面，∴．

3.如圖，四棱錐的底面是邊長為的正方形，側(cè)棱底面，且，是側(cè)棱上的動點(diǎn).

（1）如果是的中點(diǎn)，求證平面.

（2）是否不論點(diǎn)在側(cè)棱的任何位置，都有？證明你的結(jié)論.試題解析：

（）證明：連接交于，連接，∵四邊形是正方形，∴是的中點(diǎn)，

又∵是的中點(diǎn)，∴，∵平面，平面，∴平面.

（）不論點(diǎn)在何位置，都有，證明如下：∵四邊形是正方形，

∴，∵底面，且平面，∴，

又∵，∴平面，∵不論點(diǎn)在何位置，都有平面，

∴不論點(diǎn)在何位置，都有.4.如圖，在梯形中，，，，平面，.

（1）證明：平面；

（2）若為的中點(diǎn)，求證：平面.試題解析：（1）證明：∵平面，平面，∴又∵，而，所以面

（2）∵，，∴，∴，又由（1）面∴，∴為等腰直角三角形，又為中點(diǎn)，∴，又∵，∴，所以，，而面，面，所以面.5,如圖，在矩形中，，，分別為線段，的中點(diǎn)，平面．

（I）求證：平面．

（II）求證：平面平面．試題解析：（I）證明：∵四邊形是矩形，∴且，

∵，分別是線段，的中點(diǎn)，∴，且，

∴四邊形為平行四邊形，∴，∵平面，平面，

∴平面．

（）證明：連接，，

∵，為中點(diǎn)，∴，∴四邊形為正方形，∴，

又∵平面，平面，∴，∵，

∴平面，∵平面，∴平面平面．

6.如圖，矩形與梯形所在的平面互相垂直，，∥，，，，為的中點(diǎn)，為中點(diǎn)．

（1）求證：平面∥平面；

（2）求證：平面平面．試題解析：

（1）證明：在△中，分別為的中點(diǎn)，所以，又平面，且平面，所以∥平面．;

因為為中點(diǎn)，∥，，

所以四邊形為平行四邊形，所以

又平面，且平面，

所以∥平面

面

平面∥平面

（2）證明：在矩形中，．又因為平面

平面，且平面平面，所以平面．所以．

在直角梯形中，，，可得．

在△中，，因為，所以．

因為,所以平面．

面，平面平面

【舉一反三】1.如圖，在四棱錐中，側(cè)面底面,四邊形是邊長為的正方形，，點(diǎn)在線段上（不含端點(diǎn)），且平面

（1）求證：面；

（2）求證：平面試題解析：

（1）取的中點(diǎn)連接,

又側(cè)面平面平面

又面.

（2）平面,

側(cè)面底面，又,

側(cè)面,

而與是平面內(nèi)兩相交直線，

平面

2.三棱柱，側(cè)棱與底面垂直，，，，分別是，的中點(diǎn)．

（）求證：平面．

（）求證：平面平面．證明：（）連接，．在中，∵，是，的中點(diǎn)，∴，又∵平面，

∴平面．

（）∵三棱柱中，側(cè)棱與底面垂直，∴四邊形是正方形，∴，∴，

連接，，則≌，∴，

∵是的中點(diǎn)，∴，

∵，∴平面，

∵平面，∴平面平面．

3.如圖，在直三棱柱中，，，為中點(diǎn)，與交于點(diǎn)．

（Ⅰ）求證：平面．

（Ⅱ）求證：平面．

（Ⅲ）在線段上是否存在點(diǎn)，使得？請說明理由．

試題解析：

（Ⅰ）連接，∴，∴四邊形為正方形．∴為中點(diǎn)，又為中點(diǎn)，∴為的中位線，∴．∵平面，面，

∴面．

（Ⅱ）由題知，，又，∴面，

∴．在正方形中，，，∴面．

（Ⅲ）存在，取中點(diǎn)，連接，．∴，∴．

∵，為中點(diǎn)，∴．∵，∴面，

∴，∴當(dāng)為中點(diǎn)時，．

4.如圖，已知四棱錐的底面是平行四邊形，平面，是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)．

（1）求證：平面；

（2）若，求證：平面平面．試題解析：（1）取中點(diǎn)，連，，中，且．

又，，，

得，，四邊形是平行四邊形．

得，平面，平面，

平面．

（2）因為平面，所以,又因為，是平面內(nèi)兩條相交直線，所以平面，而在平面平面內(nèi)，所以平面平面．【優(yōu)化】【方法技巧】：1.應(yīng)用判定定理證明線面平行的步驟上面的第一步“找”是證題的關(guān)鍵，其常用方法有：利用三角形、梯形中位線的性質(zhì)；利用平行四邊形的性質(zhì)；利用平行線分線段成比例定理．【方法技巧】平面與平面平行的判定方法：(1)定義法：兩個平面沒有公共點(diǎn)；(2)判定定理：一個平面內(nèi)的兩條相交直線分別平行于另一個平面；(3)轉(zhuǎn)化為線線平行：平面α內(nèi)的兩條相交直線與平面β內(nèi)的兩條相交直線分別平行，則α∥β；(4)利用平行平面的傳遞性：若α∥β，β∥γ，則α∥γ.空間中各種平行關(guān)系相互轉(zhuǎn)化關(guān)系的示意圖在關(guān)于垂直問題的論證中要注意線線垂直、線面垂直、面面垂直的相互轉(zhuǎn)化．每一種垂直的判定都是從某一垂直開始轉(zhuǎn)向另一垂直，最終達(dá)到目的，其轉(zhuǎn)化關(guān)系如下：【強(qiáng)化鞏固】1．已知平面α∩平面β＝a，平面β∩平面γ＝b，平面γ∩平面α＝c，若a∥b，則c與a，b的位置關(guān)系是()A．c與a，b都是異面B．c與a，b都相交C．c至少與a，b中的一條相交D．c與a，b都平行解析：由線面平行的性質(zhì)定理可知a,b,c分別平行，故選D2.如果平面α平行于平面β，那么()A．平面α內(nèi)任意直線都平行于平面βB．平面α內(nèi)僅有兩條相交直線平行于平面βC．平面α內(nèi)任意直線都平行于平面β內(nèi)的任意直線D．平面α內(nèi)的直線A與平面β內(nèi)的直線不能垂直解析：由面面平行的性質(zhì)定理易知A正確。3.如圖，正方體ABCD－A′B′C′D′中，點(diǎn)E在AB′上，點(diǎn)F在BD上，且B′E＝BF.求證：EF∥平面BB′C′C.4.如圖所示，已知PA垂直于⊙O所在的平面，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)A作AE⊥PC于點(diǎn)E.求證：AE⊥平面PBC.5.如圖，已知AB⊥平